中考必会几何模型：辅助圆

压轴题05圆的综合目录题型一切线的判定题型二圆中求线段长度题型三圆中的最值问题题型四圆中的阴影部分面积题型五圆中的比值（相似）问题下图为二次函数图象性质与几何问题中各题型的题型一切线的判定解题模板：技巧：有切点，连半径，证垂直（根据题意，可以证角为90°，如已有90°角，可以尝试证平行） 没切点，作垂直，证半径（通常为证全等，也可以通过计算得到与半径相等）【例1】1．（2023-四川攀枝花-中考真题）如图，AB 为O 的直径，如果圆上的点D 恰使ADC B ∠=∠，求证：直线CD 与O 相切．【变式1-1】（2023-辽宁-中考真题）如图，ABC 内接于O ，AB 是O 的直径，CE 平分ACB ∠交O 于点E ，过点E 作EF AB ∥，交CA 的延长线于点F ．求证：EF 与O 相切；【变式1-2】（2023-辽宁-中考真题）如图，AB 是O 的直径，点C E ，在O 上，2CAB EAB ∠=∠，点F 在线段AB 的延长线上，且AFE ABC ∠=∠．(1)求证：EF与O相切；(2)若41sin5BF AFE=∠=，，求BC的长．【变式1-3】（2023-湖北鄂州-中考真题）如图，AB为O的直径，E为O上一点，点C为EB的中点，过点C作CD AE⊥，交AE的延长线于点D，延长DC交AB的延长线于点F．(1)求证：CD是O的切线；题型二圆中求线段长度解题模板：【例2】（2023-西藏-中考真题）如图，已知AB为O的直径，点C为圆上一点，AD垂直于过点C的直线，交O于点E，垂足为点D，AC平分BAD∠．(1)求证：CD 是O 的切线； (2)若8AC =，6BC =，求DE 的长．【变式2-1】（2023-内蒙古-中考真题）如图，AB 是⊙O 的直径，E 为⊙O 上的一点，点C 是AE 的中点，连接BC ，过点C 的直线垂直于BE 的延长线于点D ，交BA 的延长线于点P ．(1)求证：PC 为⊙O 的切线；(2)若PC =，10PB =，求BE 的长．【变式2-2】（2023-辽宁大连-中考真题）如图1，在O 中，AB 为O 的直径，点C 为O 上一点，AD 为CAB ∠的平分线交O 于点D ，连接OD 交BC 于点E ．(1)求BED ∠的度数；(2)如图2，过点A 作O 的切线交BC 延长线于点F ，过点D 作DG AF ∥交AB 于点G ．若AD =4DE =，求DG 的长．【变式2-3】（2023-湖北恩施-中考真题）如图，ABC 是等腰直角三角形，90ACB ∠=︒，点O 为AB 的中点，连接CO 交O 于点E ，O 与AC 相切于点D ．(1)求证：BC是O的切线；(2)延长CO交O于点G，连接AG交O于点F，若AC FG的长．题型三圆中的最值问题解题模板：技巧精讲：1、辅助圆模型【例3】（2023-湖南长沙-三模）如图1：在O 中，AB 为直径，C 是O 上一点，3,4AC BC ==.过O 分别作OH BC ⊥于点H ，OD AC ⊥于点D ，点E 、F 分别在线段BC AC 、上运动（不含端点），且保持90EOF ∠=︒．(1)OC =______；四边形CDOH 是______（填矩形/菱形/正方形）； CDOH S =四边形______； (2)当F 和D 不重合时，求证：OFD OEH ∽；(3)⊙在图1中，P 是CEO 的外接圆，设P 面积为S ，求S 的最小值，并说明理由；⊙如图2：若Q 是线段AB 上一动点，且1QAQB n =∶∶，90EQF ∠=︒，M 是四边形CEQF 的外接圆，则当n 为何值时，M 的面积最小？最小值为多少？请直接写出答案．【变式3-1】（2023-安徽-模拟预测）如图，半圆的直径4AB =，弦CD AB ∥，连接,,,AC BD AD BC ．(1)求证：ADC BCD △≌△；(2)当ACD 的面积最大时，求CAD ∠的度数．【变式3-2】（2023-四川-中考真题）如图1，已知线段AB ，AC ，线段AC 绕点A 在直线AB 上方旋转，连接BC ，以BC 为边在BC 上方作Rt BDC ，且30DBC ∠=︒．(1)若=90BDC ∠︒，以AB 为边在AB 上方作Rt BAE △，且90AEB ∠=︒，30EBA ∠=︒，连接DE ，用等式表示线段AC 与DE 的数量关系是 ；(2)如图2，在(1)的条件下，若DE AB ⊥，4AB =，2AC =，求BC 的长；(3)如图3，若90BCD ∠=︒，4AB =，2AC =，当AD 的值最大时，求此时tan CBA ∠的值．【变式3-3】（2023-陕西西安-模拟预测）【问题情境】如图1，在ABC 中，120A ∠=︒，AB AC =，BC =ABC 的外接圆的半径值为______； 【问题解决】如图2，点P 为正方形ABCD 内一点，且90BPC ∠=︒，若4AB =，求AP 的最小值； 【问题解决】如图3，正方形ABCD 是一个边长为的书展区域设计图，CE 为大门，点E 在边BC 上，CE =，点P 是正方形ABCD 内设立的一个活动治安点，到B 、E 的张角为120︒，即120BPE ∠=︒，点A 、D 为另两个固定治安点，现需在展览区域内部设置一个补水供给点Q ，使得Q 到A 、D 、P 三个治安点的距离和最小，试求QA QD QP ++的最小值．（结果精确到0.1m 1.7≈，214.3205≈）题型四 圆中的阴影部分面积【例4】（2024-西藏拉萨-一模）如图，等腰ABC 的顶点A ，C 在O 上， BC 边经过圆心0且与O 交于D 点，30B ∠=︒.(1)求证：AB 是O 的切线； (2)若6AB =，求阴影部分的面积【变式4-1】（2023-陕西西安-一模）如图，正六边形ABCDEF 内接于O ．(1)若P 是CD 上的动点，连接BP ，FP ，求BPF ∠的度数；(2)已知ADF △的面积为O 的面积．【变式4-2】（2023-浙江衢州-中考真题）如图，在Rt ABC △中，90,ACB O ∠=︒为AC 边上一点，连结OB ．以OC 为半径的半圆与AB 边相切于点D ，交AC 边于点E ．(1)求证：BC BD =．(2)若,2OB OA AE ==．⊙求半圆O 的半径．⊙求图中阴影部分的面积．【变式4-3】（2023-辽宁阜新-中考真题）如图，AB 是O 的直径，点C ，D 是O 上AB 异侧的两点，DE CB ⊥，交CB 的延长线于点E ，且BD 平分ABE ∠．(1)求证：DE 是O 的切线．(2)若60ABC ∠=︒，4AB =，求图中阴影部分的面积．【变式4-4】（2023-山东枣庄-中考真题）如图，AB 为O 的直径，点C 是AD 的中点，过点C 做射线BD 的垂线，垂足为E ．(1)求证：CE 是O 切线；(2)若34BE AB ==，，求BC 的长；(3)在（2）的条件下，求阴影部分的面积（用含有π的式子表示）．题型五 圆中的比值（相似）问题 技巧精讲：【例5】（2024-陕西西安-模拟预测）如图，AB 为O 的直径， 点 D 为O 上一点， 过点 B 作O 切线交AD 延长线于点 C ，CE 平分ACB ∠，CE BD ，交于F ．(1)求证：BE BF =；(2)若O 半径为2，3sin 5A =，求DF 的长度． 【变式5-1】（2023-湖南湘西-二模）如图，AB 是O 的直径，点C ，D 在O 上，AD 平分CAB ∠，交BC 于点E ，连接BD ．(1)求证：BED ABD △△．(2)当3tan 4ABC ∠=，且10AB =时，求线段BD 的长．(3)点G 为线段AE 上一点，且BG 平分ABC ∠，若GE =，3BG =，求CE 的长．【变式5-2】（2024-陕西西安-一模）如图，AB 是O 的直径CD 与O 相切于点C ，与BA 的延长线交于点D ，连接BC ，点E 在线段OB 上，过点E 作BD 的垂线交DC 的延长线于点F ，交BC 于点G ．(1)求证：FC FG =；(2)若220AO AD ==，点E 为OB 的中点，求GE 的长．【变式5-3】（2024-陕西西安-一模）如图，AB 是O 的直径，点D 在直径AB 上（D 与,A B 不重合），CD AB ⊥且CD AB =，连接CB ，与O 交于点F ，在CD 上取一点E ，使EF 与O 相切．(1)求证：EF EC =；(2)若D 是OA 的中点，4AB =，求BF 的长．一、解答题1．（2024-云南-模拟预测）如图，四边形ABCD 内接于O ，对角线AC 是O 的直径，过点C 作AC 的垂线交AD 的延长线于点E ，F 为CE 的中点，连接BD ，DF ，BD 与AC 交于点P ．(1)求证：DF 是O 的切线；(2)若45DPC ∠=︒，228PD PB +=，求AC 的长．2．（2024-湖北黄冈-模拟预测）如图，PO 平分APD ∠，PA 与⊙O 相切于点A ，延长AO 交PD 于点C ，过点O 作OB PD ⊥，垂足为B ．(1)求证：PB 是⊙O 的切线；(2)若⊙O 的半径为4，5OC =，求PA 的长．3．（2024-江苏淮安-模拟预测）如图，已知直线l 与O 相离，OA l ⊥于点A ，交O 于点 P ，点 B 是O 上一点，连接BP 并延长，交直线l 于点 C ，使得AB AC =．(1)判断直线AB 与O 的位置关系并说明理由；(2)4PC OA ==，求线段 PB 的长．4．（2024-四川凉山-模拟预测）如图，CD 是O 的直径，点P 是CD 延长线上一点，且AP 与O 相切于点A ，弦AB CD ⊥于点F ，过D 点作DE AP ⊥于点E ．(1)求证：∠∠EAD FAD =；(2)若4PA =，2PD =，求O 的半径和DE 的长．5．（2024-四川凉山-模拟预测）如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，以AC 为直径的O 交AB 于点D ，E 为BC 的中点，连接DE 并延长交AC 的延长线于点F ．(1)求证：DE 是O 的切线；(2)若30A ∠=︒，3DF =，求CE 长．6．（2024-山东泰安-一模）如图，AB CD ，是O 的两条直径，过点C 的O 的切线交AB 的延长线于点E ，连接AC BD ，．(1)求证：ABD CAB ∠=∠；(2)若B 是OE 的中点，12AC =，求O 的半径．7．（2024-福建南平-一模）如图1，点D 是ABC 的边AB 上一点．AD AC =，CAB α∠=，O 是BCD △的外接圆，点E 在DBC 上（不与点C ，点D 重合），且90CED α∠=︒-．(1)求证：ABC 是直角三角形；(2)如图2，若CE 是⊙O 的直径，且2CE =，折线ADF 是由折线ACE 绕点A 顺时针旋转α得到． ⊙当30α=︒时，求CDE 的面积；⊙求证：点C ，D ，F 三点共线．8．（2023-四川甘孜-中考真题）如图，在Rt ABC △中，=90ABC ∠︒，以BC 为直径的O 交AC 边于点D ，过点C 作O 的切线，交BD 的延长线于点E ．(1)求证：=DCE DBC ∠∠；(2)若=2AB ，=3CE ，求O 的半径．9．（2023-湖北黄石-中考真题）如图，AB 为O 的直径，DA 和O 相交于点F ，AC 平分DAB ∠，点C 在O 上，且CD DA ⊥，AC 交BF 于点P ．(1)求证：CD 是O 的切线；(2)求证：2AC PC BC ⋅=；(3)已知23BC FP DC =⋅，求AF AB的值．10．（2023-辽宁鞍山-中考真题）如图，四边形ABCD 内接于O ，AB 为O 的直径，过点D 作DF BC ⊥，交BC 的延长线于点F ，交BA 的延长线于点E ，连接BD ．若180EAD BDF ∠+∠=︒．(1)求证：EF 为O 的切线．(2)若10BE =，2sin 3BDC ∠=，求O 的半径．11．（2023-湖南湘西-中考真题）如图，点D ，E 在以AC 为直径的O 上，ADC ∠的平分线交O 于点B ，连接BA ，EC ，EA ，过点E 作EH AC ⊥，垂足为H ，交AD 于点F ．(1)求证：2AE AF AD =⋅；(2)若sin 5ABD AB ∠==，求AD 的长． 12．（2023-辽宁沈阳-中考真题）如图，AB 是O 的直径，点C 是O 上的一点（点C 不与点A ，B 重合），连接AC 、BC ，点D 是AB 上的一点，AC AD =，BE 交CD 的延长线于点E ，且BE BC =．(1)求证：BE 是O 的切线；(2)若O 的半径为5，1tan 2E =，则BE 的长为______ ．13．（2023-黑龙江大庆-中考真题）如图，AB 是O 的直径，点C 是圆上的一点，CD AD ⊥于点D ，AD 交O 于点F ，连接AC ，若AC 平分DAB ∠，过点F 作FG AB ⊥于点G ，交AC 于点H ，延长AB ，DC 交于点E ．(1)求证：CD 是O 的切线；(2)求证：AF AC AE AH ⋅=⋅；(3)若4sin 5DEA ∠=，求AH FH的值．14．（2023-四川雅安-中考真题）如图，在Rt ABC △中，90ABC ∠=︒，以AB 为直径的O 与AC 交于点D ，点E 是BC 的中点，连接BD ，DE ．(1)求证：DE 是O 的切线；(2)若2DE =，1tan 2BAC ∠=，求AD 的长；(3)在（2）的条件下，点P 是O 上一动点，求PA PB +的最大值．15．（2023-辽宁营口-中考真题）如图，在ABC 中，AB BC =，以BC 为直径作O 与AC 交于点D ，过点D 作DE AB ⊥，交CB 延长线于点F ，垂足为点E ．(1)求证：DF 为O 的切线；(2)若3BE =，4cos 5C =，求BF 的长．。

模型介绍【点睛1】触发隐圆模型的条件（1）动点定长模型若P为动点，但AB=AC=AP原理：圆A中，AB=AC=AP则B、C、P三点共圆，A圆心，AB半径备注：常转全等或相似证明出定长（2）直角圆周角模型固定线段AB所对动角∠C恒为90°原理：圆O中，圆周角为90°所对弦是直径则A、B、C三点共圆，AB为直径备注：常通过互余转换等证明出动角恒为直角（3）定弦定角模型固定线段AB所对动角∠P为定值原理：弦AB所对同侧圆周角恒相等则点P 运动轨迹为过A 、B 、C 三点的圆备注：点P 在优弧、劣弧上运动皆可（4）四点共圆模型①若动角∠A+动角∠C=180°原理：圆内接四边形对角互补则A 、B 、C 、D 四点共圆备注：点A 与点C 在线段AB 异侧（5）四点共圆模型②固定线段AB 所对同侧动角∠P=∠C原理：弦AB 所对同侧圆周角恒相等则A 、B 、C 、P 四点共圆备注：点P 与点C 需在线段AB 同侧【点睛2】圆中旋转最值问题条件：线段AB 绕点O 旋转一周，点M 是线段AB 上的一动点，点C 是定点（1）求CM 最小值与最大值（2）求线段AB 扫过的面积（3）求ABC S △最大值与最小值作法：如图建立三个同心圆，作OM ⊥AB ，B 、A 、M 运动路径分别为大圆、中圆、小圆 结论：①CM 1最小，CM 3最大②线段AB 扫过面积为大圆与小圆组成的圆环面积③ABC S △最小值以AB 为底，CM 1为高；最大值以AB 为底，CM 2为高例题精讲考点一：定点定长构造隐圆【例1】．如图，已知AB ＝AC ＝AD ，∠CBD ＝2∠BDC ，∠BAC ＝44°，则∠CAD 的度数为．解：∵AB ＝AC ＝AD ，∴B ，C ，D 在以A 为圆心，AB 为半径的圆上，∴∠CAD ＝2∠CBD ，∠BAC ＝2∠BDC ，∵∠CBD ＝2∠BDC ，∠BAC ＝44°，∴∠CAD ＝2∠BAC ＝88°．故答案为：88°变式训练【变式1-1】．如图所示，四边形ABCD 中，DC ∥AB ，BC ＝1，AB ＝AC ＝AD ＝2．则BD 的长为（）A ．B ．C ．D ．解：以A 为圆心，AB 长为半径作圆，延长BA 交⊙A 于F ，连接DF ．∵DC ∥AB ，∴＝，∴DF ＝CB ＝1，BF ＝2+2＝4，∵FB 是⊙A 的直径，∴∠FDB ＝90°，∴BD ＝＝．故选：B ．【变式1-2】．如图，点A，B的坐标分别为A（4，0），B（0，4），C为坐标平面内一点，BC＝2，点M为线段AC的中点，连接OM，OM的最大值为．解：∵C为坐标平面内一点，BC＝2，∴点C的运动轨迹是在半径为2的⊙B上，如图，取OD＝OA＝4，连接OD，∵点M为线段AC的中点，∴OM是△ACD的中位线，∴OM＝，∴OM最大值时，CD取最大值，此时D、B、C三点共线，此时在Rt△OBD中，BD＝＝4，∴CD＝2+4，∴OM的最大值是1+2．故答案为：1+2．考点二：定弦定角构造隐圆【例2】．如图，在△ABC中，BC＝2，点A为动点，在点A运动的过程中始终有∠BAC＝45°，则△ABC面积的最大值为．解：如图，△ABC的外接圆⊙O，连接OB、OC，∵∠BAC＝45°，∴∠BOC＝2∠BAC＝2×45°＝90°，过点O作OD⊥BC，垂足为D，∵OB＝OC，∴BD＝CD＝BC＝1，∵∠BOC＝90°，OD⊥BC，∴OD＝BC＝1，∴OB＝＝，∵BC＝2保持不变，∴BC边上的高越大，则△ABC的面积越大，当高过圆心时，最大，此时BC边上的高为：+1，∴△ABC的最大面积是：×2×（+1）＝+1．故答案为：+1．变式训练【变式2-1】．如图，P是矩形ABCD内一点，AB＝4，AD＝2，AP⊥BP，则当线段DP最短时，CP＝．解：以AB为直径作半圆O，连接OD，与半圆O交于点P′，当点P与P′重合时，DP 最短，则AO＝OP′＝OB＝AB＝2，∵AD＝2，∠BAD＝90°，∴OD＝2，∠ADO＝∠AOD＝∠ODC＝45°，∴DP′＝OD﹣OP′＝2﹣2，过P′作P′E⊥CD于点E，则P′E＝DE＝DP′＝2﹣，∴CE＝CD﹣DE＝+2，∴CP′＝．故答案为：2．【变式2-2】．如图，边长为4的正方形ABCD外有一点E，∠AEB＝90°，F为DE的中点，连接CF，则CF的最大值为．解：如图，以AB为直径作圆H，∵∠AEB＝90°，∴点E在这个⊙H上，延长DC至P，使CD＝PC，连接BE，EH，PH，过H作HM⊥CD于M，∵EF＝DF，CD＝PC，∴CF＝PE，Rt△AEB中，∵H是AB的中点，∴EH＝AB＝2，Rt△PHM中，由勾股定理得：PH＝＝＝2，∵PE≤EH+PH＝2+2，当P，E，H三点共线时，PE最大，CF最大，∴CF的最大值是+1考点三：对角互补构造隐圆【例3】．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，点E在对角线AC上，连接BE，作EF⊥BE，垂足为E，直线EF交线段DC于点F，则＝__________.解：如图，连接BF，取BF的中点O，连接OE，OC．∵四边形ABCD是矩形，EF⊥BE，∴四边形EFCB对角互补，∴B，C，F，E四点共圆，∴∠BEF＝∠BCF＝90°，AB＝CD＝3，BC＝AD＝5，∵OB＝OF，∴OE＝OB＝OF＝OC，∴B，C，F，E四点在以O为圆心的圆上，∴∠EBF＝∠ECF，∴tan∠EBF＝tan∠ACD，∴＝＝变式训练【变式3-1】．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠ACD＝30°，AD＝2，E是AC的中点，连接DE，则线段DE长度的最小值为．解：∵∠BAD＝∠BCD＝90°，∴A、B、C、D四点共圆，且BD为直径，取BD中点O，则圆心为点O，连接AO、CO，取AO中点F，连接EF，DF，∵∠ACD＝30°，∴∠AOD＝60°，∵OA＝OD，∴△OAD为等边三角形，∴OA＝OD＝OC＝AD＝2，∴∠AFD＝90°，则DF＝，∵EF是△AOC的中位线，∴EF＝OC＝1，在△DEF中，DF﹣EF≤DE，∴当D、E、F三点共线时，DE取到最小，最小值为．∴DE的最小值为．【变式3-2】．如图，正方形ABCD的边长为2，点E是BC边上的一动点，点F是CD上一点，且CE＝DF，AF、DE相交于点O，BO＝BA，则OC的值为．解：如图∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝DC，∠ADF＝∠ECD＝∠ABC＝90°，∵DF＝CE，∴△ADF≌△DCE，∴∠DAF＝∠EDC，∵∠EDC+∠ADO＝90°，∴∠DAF+∠ADO＝90°，∴∠AOD＝90°，∴四边形ABEO对角互补，∴A、B、E、O四点共圆，取AE的中点K，连接BK、OK，作OM⊥CD于M．则KB＝AK＝KE＝OK，∵BA＝BO，∴∠BAO＝∠BOA＝∠AEB＝∠DEC，∵AB＝DC，∠ABE＝∠DCE，∠AEB＝∠DEC，∴△ABE≌△DCE，∴BE＝EC＝1，∴DF＝EC＝FC＝1，∴DE＝＝，∵△DFO∽△DEC，∴＝＝，∴＝＝，∴OD＝，OF＝，∵•DO•OF＝•DF•OM，∴OM＝，∴MF＝＝，∴CM＝1+＝，在Rt△OMC中，OC＝＝，故答案为．实战演练1．如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（﹣3，0）、（0，4），以点A为圆心，以AB长为半径画弧交x轴上点C，则点C的坐标为（）A．（5，0）B．（2，0）C．（﹣8，0）D．（2，0）或（﹣8，0）解：∵点A、B的坐标分别为（﹣3，0）、（0，4），∴OA＝3，OB＝4，∴AB＝＝5，∴AC′＝5，AC＝5，∴C′点坐标为（2，0）；C点坐标为（﹣8，0）．故选：D．2．如图，在矩形ABCD中，已知AB＝3，BC＝4，点P是BC边上一动点（点P不与B，C 重合），连接AP，作点B关于直线AP的对称点M，则线段MC的最小值为（）A．2B．C．3D．解：连接AM，∵点B和M关于AP对称，∴AB＝AM＝3，∴M在以A圆心，3为半径的圆上，∴当A，M，C三点共线时，CM最短，∵AC＝，AM＝AB＝3，∴CM＝5﹣3＝2，故选：A．3．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，点P在矩形的内部，连接PA，PB，PC，若∠PBC＝∠PAB，则PC的最小值是（）A．6B．﹣3C．2﹣4D．4﹣4解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，∴∠ABP+∠PBC＝90°，∵∠PBC＝∠PAB，∴∠PAB+∠PBA＝90°，∴∠APB＝90°，∴点P在以AB为直径的圆上运动，设圆心为O，连接OC交⊙O于P，此时PC最小，∵OC＝＝＝2，∴PC的最小值为2﹣4，故选：C．4．如图所示，∠MON＝45°，Rt△ABC，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，当A、B分别在射线OM、ON上滑动时，OC的最大值为（）A．12B．14C．16D．14解：如图，在Rt△ABC中，由勾股定理得AB＝，在AB的下方作等腰直角△AQB，∠AQB＝90°，作BH⊥QC于H，∴点O在以点Q为圆心，QB为半径的圆上，∵∠AQB+∠ACB＝180°，∴点A、C、B、Q共圆，∴∠BCQ＝∠BAQ＝45°，∴BH＝CH＝3，在Rt△BQH中，由勾股定理得QH＝4，∴CQ＝7，当点C、Q、O共线时，OC最大，∴OC的最大值为OQ+CQ＝5+7＝12，故选：A．5．如图，已知AB＝AC＝AD，∠CBD＝2∠BDC，∠BAC＝44°，则∠CAD的度数为．解：∵AB＝AC＝AD，∴B，C，D在以A为圆心，AB为半径的圆上，∴∠CAD＝2∠CBD，∠BAC＝2∠BDC，∵∠CBD＝2∠BDC，∠BAC＝44°，∴∠CAD＝2∠BAC＝88°．故答案为：88°．6．如图示，A，B两点的坐标分别为（﹣2，0），（3，0），点C在y轴上，且∠ACB＝45°，则点C的坐标为．解：在x轴的上方作等腰直角△ABF，FB＝FA，∠BAF＝90°，以F为圆心，FA为半径作⊙F交y轴于C，连接CB，CA．∵∠ACB＝∠AFB＝45°，∵B（﹣2，0），A（3，0），△ABF是等腰直角三角形，∴F（，），FA＝FB＝FC＝，设C（0．m），则（）2+（﹣m）2＝（）2，解得m＝6或﹣1（舍弃）∴C（0，6），根据对称性可知C′（0，﹣6）也符合条件，综上所述，点C的坐标为（0，6）或（0，﹣6）．故答案为（0，6）或（0，﹣6）．7．如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB+∠PBA＝90°，则线段CP长的最小值为2．解：∵∠PAB+∠PBA＝90°，∴∠APB＝90°，∴P在以AB为直径的圆周上（P在△ACB内部），连接OC，交⊙O于P，此时CP的值最小，如图，∵AB＝6，∴OB＝3，∵BC＝4，∴由勾股定理得：OC＝5，∴CP＝5﹣3＝2，故答案为：2．8．在△ABC中，AB＝4，∠C＝45°，则AC+BC的最大值为．解：过点B作BD⊥AC于点D，∵∠C＝45°，∴△BCD为等腰直角三角形，∴BD＝CD，设BD＝CD＝a，延长AC至点F，使得CF＝a，∵tan∠AFB＝＝，作△ABF的外接圆⊙O，过点O作OE⊥AB于点E，则AE＝AB＝2，∠AOE＝∠AFB，∴tan∠AOE＝，∴OE＝4，OA＝＝，∴+BC＝（AC+BC）＝（AC+CF）＝≤（OA+OF），∴+BC的最大值为×＝4．故答案为：．9．如图，等边△ABC中，AB＝6，点D、点E分别在BC和AC上，且BD＝CE，连接AD、BE交于点F，则CF的最小值为．解：如图，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∠ABC＝∠BAC＝∠BCE＝60°，∵BD＝CE，∴△ABD≌△BCE（SAS）∴∠BAD＝∠CBE，又∵∠AFE＝∠BAD+∠ABE，∴∠AFE＝∠CBE+∠ABE＝∠ABC，∴∠AFE＝60°，∴∠AFB＝120°，∴点F的运动轨迹是O为圆心，OA为半径的弧上运动（∠AOB＝120°，OA＝2），连接OC交⊙O于N，当点F与N重合时，CF的值最小，最小值＝OC﹣ON＝4﹣2＝2．故答案为2．10．如图，正方形ABCD中，AB＝2，动点E从点A出发向点D运动，同时动点F从点D 出发向点C运动，点E、F运动的速度相同，当它们到达各自终点时停止运动，运动过程中线段AF、BE相交于点P，则线段DP的最小值为．解：如图：，∵动点F，E的速度相同，∴DF＝AE，又∵正方形ABCD中，AB＝2，∴AD＝AB，在△ABE和△DAF中，，∴△ABE≌△DAF，∴∠ABE＝∠DAF．∵∠ABE+∠BEA＝90°，∴∠FAD+∠BEA＝90°，∴∠APB＝90°，∵点P在运动中保持∠APB＝90°，∴点P的路径是一段以AB为直径的弧，设AB的中点为G，连接CG交弧于点P，此时CP的长度最小，AG＝BG＝AB＝1．在Rt△BCG中，DG＝＝＝，∵PG＝AG＝1，∴DP＝DG﹣PG＝﹣1即线段DP的最小值为﹣1，故答案为：﹣1．11．如图，四边形ABCD 中，∠ABC ＝∠ACD ＝∠ADC ＝45°，△DBC 的面积为8，则BC 长为．解：如图，作DH ⊥BC 交BC 的延长线于H ，取CD 的中点O ，连接OA ，OB ．∵DH ⊥BH ，∴∠DHC ＝90°，∴四边形DACH 对角互补，∴A ，C ，H ，D 四点共圆，∵∠DAC ＝90°，CO ＝OD ，∴OA ＝OD ＝OC ＝OH ，∴A ，C ，H ，D 四点在以O 为圆心的圆上，∵AC ＝AD ，∴∠CHA ＝∠AHD ＝45°，（没有学习四点共圆，可以这样证明：过点A 作AM ⊥DH 于M ，过点A 作AN ⊥BH 于N ，证明△AMD ≌△ANC ，推出AM ＝AN ，推出AH 平分∠MHN 即可）∵∠ABC ＝45°，∴∠BAH ＝90°，∴BA ＝AH ，∵∠BAH ＝∠CAD ＝90°，∴∠BAC ＝∠HAD ，∵AC ＝AD ，AB ＝AH ，∴△BAC ≌△HAD （SAS ），∴BC ＝DH ，∴S △BCD ＝×BC ×DH ＝×BC 2＝16，∴BC ＝4或﹣4（舍弃），故答案为4．12．已知：在△ABC中，AB＝AC＝6，∠B＝30°，E为BC上一点，BE＝2EC，DE＝DC，∠ADC＝60°，则AD的长．解：连接AE，过点A作AH⊥BC于H点，在Rt△ABH中，∵∠B＝30°，∴AH＝AB＝3．利用勾股定理可得BH＝3，根据等腰三角形性质可知CH＝BH＝3，BC＝6．∴CE＝BC＝2．∴HE＝CH﹣CE＝．在Rt△AHE中，由勾股定理可求AE＝2．所以AE＝CE，∠CAE＝∠ACB＝30°，所以∠AEB＝60°＝∠ADC，∴四边形AECD对角互补，∴点A、D、C、E四点共圆，∴∠ADE＝∠ACE＝30°，所以∠CDE＝∠ADC﹣∠ADE＝30°．∵DE＝DC，∴∠DEC＝75°．∴∠AED＝120°﹣75°＝45°．过点A作AM⊥DE于M点，则AM＝AE＝．在Rt△AMD中，∠ADM＝30°，∴AD＝2AM＝．故答案为2．13．如图，在正方形ABCD中，AD＝6，点E是对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF ⊥ED，连接DF交AC于点G，将△EFG沿EF翻折，得到△EFM．连接DM．交EF于点N．若AF＝2．则△EMN的面积是．解：如图，取DF的中点K，连接AK，EK．连接GM交EF于H．∵四边形ACD是正方形，∴AD＝AB＝6，∠DAB＝90°，AB∥CD，∠DAC＝∠CAB＝45°，∵DE⊥EF，∴∠DEF＝∠DAF＝90°，∴四边形AFED对角互补，∴A，F，E，D四点共圆，∵DK＝KF，∴KA＝KD＝KF＝KE，∴∠DFE＝∠DAE＝45°，∴∠EDF＝∠EFD＝45°，∴DE＝EF，∵AF＝2，AD＝6，∴DF＝＝2，∴DE＝DF＝2，∵AF∥CD，∴＝＝，∴FG＝FM＝，∴GM＝FM＝，∴FH＝GH＝HM＝，∵EF⊥GM，∴GH＝HM＝，∴EH＝EF﹣FH＝2﹣＝，∵MH∥DE，∴＝＝＝，∴EN＝EH＝，＝•EN•MH＝••＝．∴S△ENM故答案为．14．如图，在正方形ABCD中，AD＝8，点E是对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF ⊥ED，交AB于点F，连接DF，交AC于点G，将△EFG沿EF翻折，得到△EFM，连接DM，交EF于点N，若点F是AB的中点，则FM＝，＝．解：∵将△EFG沿EF翻折，得到△EFM，∴FG＝FM，∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，∴△AGF∽△CGD，∴，∵点F是AB的中点，∴AF＝CD，∴，∵AD＝8，∴AF＝4，∴DF＝＝4，∴FM＝FG＝；∵AC是正方形ABCD的对角线，∴∠CAD＝45°，∵EF⊥DE，∴∠DEF＝90°＝∠BAD，∴∠BAD+∠DEF＝180°，∴点A，D，E，F四点共圆，∴∠DFE＝∠DAC＝45°，∴∠EDF＝45°，∴DE＝EF＝DF＝2，连接GM，交EF于P，由折叠知，PG＝PM，GM⊥EF，∵DE⊥EF，∴GM∥DE，∴△FPG∽△FED，∴，∴PF＝EF＝，∴PE＝EF﹣PF＝，∵GM∥DE，∴△MPN∽△DEN，∴，∴，∴EN＝PE＝，在Rt△DEN中，，故答案为：；．15．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点E，F分别是边CD，BC上的动点，且∠AFE＝90°（1）证明：△ABF∽△FCE；（2）当DE取何值时，∠AED最大．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝90°，∵∠AFE＝90°，∴∠AFB+∠EFC＝90°，∵∠EFC+∠FEC＝90°，∴∠AFB＝∠FEC，∴△ABF∽△FCE．（2）取AE的中点O，连接OD、OF．∵∠AFE＝∠ADE＝90°（对角互补），∴A、D、E、F四点共圆，∴∠AED＝∠AFD，∴当⊙O与BC相切时，∠AFD的值最大，易知BF＝CF＝4，∵△ABF∽△FCE，∴＝，∴＝，∴EC＝，∴DE＝DC﹣CE＝6﹣＝．∴当DE＝时，∠AED的值最大．16．如图，将两张等腰直角三角形纸片OAB和OCD放置在平面直角坐标系中，点O（0，0），A（0，4）．将Rt△OCD绕点O顺时针旋转，连接AC，BD，直线AC与BD相交于点P．（1）求证：AP⊥BP；（2）若点Q为OA的中点，求PQ的最小值．（1）证明：∵△OAB和△OCD都是等腰直角三角形，∴OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝90°，∴∠AOC+∠COB＝∠COB+∠BOD＝90°，∴∠AOC＝∠BOD，在△AOC和△BOD中，，∴△AOC≌△BOD（SAS），∴∠OAC＝∠OBD，∵△OAB是等腰直角三角形，∴∠OAB+∠OBA＝90°，∴∠OAC+∠CAB+∠ABO＝90°，∴∠OBD+∠CAB+∠ABO＝90°，∴∠APB＝90°，∴AP⊥BP；（2）解：如图，∵AP⊥BP，∴点P在以AB为直径的圆E上运动，由点圆最值可得，当P，Q，E三点共线，且点P在EQ的延长线上时，PQ最小，∵△OAB是等腰直角三角形，A（0，4），∴OA＝OB＝4，∴AB＝OA＝4，∵E是AB的中点，Q是OA的中点，∴QE＝OB＝2，∵PE是圆E的半径，∴PE＝AB＝2，∴PQ＝PE﹣QE＝2﹣2，∴PQ的最小值为2﹣2．17．（1）【学习心得】于彤同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．例如：如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是△ABC外一点，且AD＝AC，求∠BDC的度数．若以点A为圆心，AB为半径作辅助⊙A，则点C、D必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，从而可容易得到∠BDC＝45°．（2）【问题解决】如图2，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠BDC＝25°，求∠BAC的度数．（3）【问题拓展】如图3，如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE＝DF．连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是﹣1．解：（1）如图1，∵AB＝AC，AD＝AC，∴以点A为圆心，AB为半径作圆A，点B、C、D必在⊙A上，∵∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，∴∠BDC＝∠BAC＝45°，故答案是：45；（2）如图2，取BD的中点O，连接AO、CO．∵∠BAD＝∠BCD＝90°，∴点A、B、C、D共圆，∴∠BDC＝∠BAC，∵∠BDC＝25°，∴∠BAC＝25°，（3）如图3，在正方形ABCD中，AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠CDA，∠ADG＝∠CDG，在△ABE和△DCF中，，∴△ABE≌△DCF（SAS），∴∠1＝∠2，在△ADG和△CDG中，，∴△ADG≌△CDG（SAS），∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠3，∵∠BAH+∠3＝∠BAD＝90°，∴∠1+∠BAH＝90°，∴∠AHB＝180°﹣90°＝90°，取AB的中点O，连接OH、OD，则OH＝AO＝AB＝1，在Rt△AOD中，OD＝＝＝，根据三角形的三边关系，OH+DH＞OD，∴当O、D、H三点共线时，DH的长度最小，最小值＝OD﹣OH＝﹣1．（解法二：可以理解为点H是在Rt△AHB，AB直径的半圆上运动当O、H、D三点共线时，DH长度最小）故答案为：﹣1．18．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+6（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣2，0）和点B（6，0），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．（1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标；（2）如图①，连接BC，点P是线段BC上方抛物线上一动点，若△PBC的面积为12，求点P的坐标；（3）如图②，已知⊙B的半径为2，点Q是⊙B上一个动点，连接AQ，DQ，求DQ+AQ 的最小值．解：（1）令x＝0，则y＝6，C（0，6），∵A（﹣2，0），B（6，0），∴设抛物线的表达式为y＝a（x﹣6）（x+2）（a≠0），当x＝0时，y＝﹣12a＝6，解得a＝﹣，抛物线的表达式为y＝﹣（x﹣6）（x+2）＝﹣x2+2x+6，∵y＝﹣x2+2x+6＝﹣（x﹣2）2+8，∴顶点D的坐标为（2，8）；（2）由（1）知，C（0，6），设直线BC的表达式为y＝kx+t，将点B、C的坐标代入得6k+t＝0，，解得，∴直线BC的表达式为y＝﹣x+6；如图，过点P作PH∥y轴交BC于点H，连接PB，PC，设P（x，﹣x2+2x+6），则H（x，﹣x+6）（0＜x＜6），∴PH＝﹣x2+2x+6﹣（﹣x+6）＝﹣x2+3x，∵△PBC的面积为12，∴OB•PH＝×6×（﹣x2+3x）＝12，即﹣x2+3x＝4，解得x＝2或x＝4，∴点P的坐标为（2，8）或（4，6）；（3）如图，取点E（5.5，0），∴BE＝0.5，∵AB＝8，BQ＝2，∴AB：BQ＝4：1，∵BE＝0.5，BQ＝2，∴BQ：BE＝4：1，∵∠ABQ＝∠QBE，∴△ABQ∽△QBE，∴AQ：QE＝BQ：BE＝4：1，即QE＝AQ，∴DQ+AQ＝DQ+QE，由两点间线段最短可知，当点D，Q，E三点共线时，DQ+QE最小，最小值为DE，∴DE＝＝．即DQ+AQ的最小值为：．19．模型分析如图在△ABC中，AD⊥BC于点D，其中∠BAC为定角，AD为定值，我们称该模型为定角定高模型．问题：随着点A的运动，探究BC的最小值（△ABC面积的最小值）．（1）当∠BAC＝90°时（如图①）：第一步：作△ABC的外接圈⊙O；第二步：连接OA；第三步：由图知AO≥AD，当AO＝AD时，BC取得最小值．（2）当∠BAC＜90°时（如图②）：第一步：作△ABC的外接圆⊙O；第二步：连接OA，OB，OC，过点O作OE⊥BC于点E：第三步：由图知AO+OE≥AD，当AO+OE＝AD时，BC取得最小值．那么∠BAC＞90°呢？结论：当AD过△ABC的外接圆圆心O（即AB＝AC）时，BC取得最小值，此时△ABC的面积最小当∠BAC＜90°时，请根据【模型分析】（2）中的做法将下面证明过程补充完整．求证：当AD过△ABC的外接圆圆心O（即AB＝AC）时，BC取得最小值，此时△ABC 的面积最小．证明：如解图，作△ABC的外接圆⊙O，连接OA，OB，OC，过点O作OE⊥BC于点E，设⊙O的半径为r，∠BOE＝∠BAC＝α，AD＝h，∴BC＝2BE＝2OB•sinα＝2r•sinα，∵sinα为定值，∴要使BC最小，只需…自主探究：我们知道了当AD过△ABC的外接圆圆心O（即AB＝AC）时，△ABC的面积取得最小值，那么要使△ABC的周长取得最小值，需要满足什么条件呢？模型分析：证明：如图1，作△ABC的外接圆⊙O，连接OA，OB，作OE⊥BC于E，设⊙O的半径为r，AD＝h，∴BC＝2BE＝2CE，∵＝，∴∠BOC＝2∠BAC＝2α，∵OB＝OC，∴∠BOE＝∠BOC＝α，∴OE＝OB•cosα＝r•cosα，∵OA+OE≥AD，∴r+r•cosα≥h，∴r≥，∵BE＝OB•sinα＝r•sinα，∴BC＝2BE＝2r•sinα，∴当r最小时，BC最小，∴当r＝时，BC＝；最小自主探究：解：如图2，延长CB知E，使BE＝AB，延长BC至F，使CF＝AC，∴AB+BC+AC＝BE+BC+CF＝EF，∠AEB＝∠EAB，∠CAF＝∠AFC，∴∠ABC＝2∠EAB，∠ACB＝2∠CAF，∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠BAC＝180°﹣α，∴2∠EAB+2∠CAF＝180°﹣α，∴∠EAF+∠CAF＝90°﹣，∴∠EAF＝∠EAF+∠CAF+∠BAC＝90°+，作△AEF的外接圆O，作OH⊥EF于H，连接OA，OE，OF，在优弧EF上任取一点G （不在E和点F处），连接EG，FG，∴∠G＝180°﹣∠EFA＝90﹣，同理上可得：∠EOH＝∠G＝90°﹣，∴∠OEH＝90°﹣∠EOH＝，∴OH＝r•sin，EF＝2EH＝2r•cos，∵OH+AD≤OA，∴r•sin+h≤r，∴（1﹣sin）r≥h，∴r≥，∴r＝，最小∴EF＝，最小∴△ABC的周长最小值为：．20．如图，抛物线y＝ax2+x+c与x轴交于A，B两点（点B在点A左侧），与y轴交于点C，直线y＝kx+b经过点A，C，且OA＝2OC＝4．（1）求抛物线的解析式；（2）点E为AC上方抛物线上一动点，过点E作EF∥y轴交AC于点F，求线段EF的最大值；（3）在（2）的结论下，若点G是x轴上一点，当∠CGF的度数最大时，求点G的坐标．解：（1）∵OA＝2OC＝4，∴A（4，0），C（0，2），将A（4，0），C（0，2）代入y＝ax2+x+c，∴，解得，∴y＝﹣x2+x+2；（2）将点A（4，0），C（0，2）代入y＝kx+b，∴，解得，∴y＝﹣x+2，设E（t，﹣t2+t+2），则F（t，﹣t+2），∴EF＝﹣t2+t+2+t﹣2＝﹣t2+2t＝﹣（t﹣2）2+2，当t＝2时，EF的最大值为2；（3）∵t＝2，∴E（2，3），F（2，1），设G（x，0），作△CFG的外接圆M，设圆M的半径为r，当圆M与x轴相切时，∠CGF最大，此时M（x，r），∵MC＝MF＝r，∴x2+（r﹣2）2＝r2，（2﹣x）2+（1﹣r）2＝r2，解得x＝4﹣，∴G（4﹣，0）．。

辅助圆模型模型讲解一、定点定长1、O为定点，OA=OB，且长度固定，那么O、A、B三点可以确定一个圆，动点P在圆弧AB上运动，如图所示，Q为圆外一定点，当P运动到OQ的连线上时，即：P落到P1处，O、P1、Q三点共线时，PQ最小。

二、定弦定角2、线段AB固定，Q为动点，且∠AQB为定值，那么Q、A、B三点可以确定一个圆，动点Q在圆弧AB上运动，如图所示，R为圆外一定点，当Q运动到OQ的连线上时，即：P落到P1处，O、P1、Q三点共线时，RQ最小。

方法点拨一、题型特征：①动点的运动轨迹为圆②圆外一点到圆上一点的距离最短：即圆外一点与圆心连线与圆的交点③常见确定圆的模型：定点定长、定弦定角。

二、模型本质：两点之间，线段最短。

例题演练1．如图，已知AB＝AC＝BD＝6，AB⊥BD，E为BC的中点，则DE的最小值为（）A．3﹣3B．3C．3﹣3D．2【解答】解：取AB的中点O，连接AE，OE，OD．∵AB＝AC，BE＝EC，∴AE⊥BC，∴∠AEB＝90°，∵OA＝OB，∴OE＝AB＝3，∵AB⊥BD，∴∠OBD＝90°，∵OB＝3，BD＝6，∴OD＝＝＝3，∵DE≥OD﹣OE，∴DE≥3﹣3，∴DE的最小值为3﹣3，故选：C．强化训练1．如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝8，点P为矩形内一动点，且满足∠PBC ＝∠PCD，则线段PD的最小值为（）A．5B．1C．2D．3 2．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E是矩形内部的一个动点，且AE ⊥BE，则线段CE的最小值为．3．如图，△ABC为等边三角形，AB＝2．若P为△ABC内一动点，且满足∠P AB ＝∠ACP，则线段PB长度的最小值为．4．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E是平面内的一个动点，且满足∠AEB＝90°，连接CE，则线段CE长的最大值为．5．如图1，P是⊙O外的一点，直线PO分别交⊙O于点A，B，则P A是点P 到⊙O上的点的最短距离．（1）探究一：如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，以BC为直径的半圆交AB于D，P是上的一个动点，连接AP，则AP的最小值是．（2）探究二：如图3，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C，请求出A′C长度的最小值．（3）探究三，在正方形ABCD中，点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在直线DC，CB上移动，连接AE和DF交于点P，由于点E，F的移动，使得点P也随之运动，若AD＝4，试求出线段CP的最小值．1．如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C长度的最小值是．辅助圆模型模型讲解一、定点定长1、O为定点，OA=OB，且长度固定，那么O、A、B三点可以确定一个圆，动点P在圆弧AB上运动，如图所示，Q为圆外一定点，当P运动到OQ的连线上时，即：P落到P1处，O、P1、Q三点共线时，PQ最小。

中考几何专题word讲义——辅助圆问题
类型一：定点定长作圆
类型二：点圆最值
•①直径是例中最长的弦
•②点圆最值：过该点与圆心作一条直线，直线与圆的交点即为所求的点。

类型三：线圆最值
类型四：定弦定角
类型五：定角定高
类型六：最大张角
解决问题的理论依据：同孤所对圆周角相等，圆外角小于圆周角。

类型七：四点共圆
类型八：阿氏圆
解题思路：
一找：找带有系数k的线段PA
二构：在线段OA上取一点C,构造△PCO∽△APO
•①在线段OA上截取OC,使OC=k·r
•②连接PC、OP,证明△PCO∽△APO
三转化：通过相似三角形的对应边成比例，将k·PA转化为PC:
四求解：使得PB十k·PA=PB十PC,利用“两点之间线段最短”转化为求BC的长。

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2022年中考数学考前30天迅速提分复习方案（全国通用）专题2.9辅助圆三种模型与真题训练题型一：定点定长构造辅助圆一．解答题（共3小题）1．（2019•新城区校级三模）圆的定义：在同一平面内，到定点的距离等于定长的所有点所组成的图形．（1）已知：如图1，OA＝OB＝OC，请利用圆规画出过A、B．C三点的圆．若∠AOB＝70°，则∠ACB＝．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BCA＝30°，AB＝2．（2）已知，如图2．点P为AC边的中点，将AC沿BA方向平移2个单位长度，点A、P、C的对应点分别为点D、E、F，求四边形BDFC的面积和∠BEA的大小．（3）如图3，将AC边沿BC方向平移a个单位至DF，是否存在这样的a，使得直线DF上有一点Q，满足∠BQA＝45°且此时四边形BADF的面积最大？若存在，求出四边形BADF面积的最大值及平移距离a，若不存在，说明理由．2．（2021•内乡县一模）（1）【学习心得】于彤同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．例如：如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是△ABC外一点，且AD＝AC，求∠BDC的度数．若以点A为圆心，AB为半径作辅助⊙A，则点C、D必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，从而可容易得到∠BDC＝°．（2）【问题解决】如图2，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠BDC＝25°，求∠BAC的数．（3）【问题拓展】如图3，如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE＝DF．连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是．3．（2021•红谷滩区校级模拟）（1）学习心得：小刚同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到有一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．例如：如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝80°，D是△ABC外一点，且AD＝AC，求∠BDC的度数．若以点A为圆心，AB为半径作辅助圆⊙A，则点C、D必在⊙A上，∠BAC是⊙A 的圆心角，而∠BDC是圆周角，从而可容易得到∠BDC＝．（2）问题解决：如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠BDC＝25°，求∠BAC的度数．（3）问题拓展：抛物线与y轴交于点A，顶点为B，对称轴BC与x轴交于点C，点P在抛物线上，直线PQ∥BC交x轴于点Q，连接BQ．①若含45°角的直线三角板如图所示放置，其中，一个顶点与C重合，直角顶点D在BQ上，另一顶点E在PQ上，求Q的坐标；②若含30°角的直角三角板一个顶点与点C重合，直角顶点D在BQ上，另一个顶点E在PQ上，求点P的坐标．题型二：定弦定角构造辅助圆一．选择题（共3小题）1．（2022•睢阳区模拟）如图，正方形OABC中，A（8，0），B（8，8），点D坐标为（﹣6，0），连接CD，点P为边OA上一个动点，连接CP，过点D作DE⊥CP于点E，连接AE，当AE取最小值时，点E的纵坐标为（）A．3﹣B．4﹣C．D．2．（2021•永嘉县校级模拟）如图，△ABC，AC＝3，BC＝4，∠ACB＝60°，过点A作BC的平行线l，P为直线l上一动点，⊙O为△APC的外接圆，直线BP交⊙O于E点，则AE的最小值为（）A．B．7﹣4C．D．13．（2021•安徽二模）如图，在矩形ABCD中，AD＝5，AB＝3，点E在AB上，＝，在矩形内找一点P，使得∠BPE＝60°，则线段PD的最小值为（）A．2﹣2B．C．4D．2二．填空题（共2小题）4．（2021•郯城县校级模拟）如图，半径为4的⊙O中，CD为直径，弦AB⊥CD且过半径OD的中点，点E为⊙O上一动点，CF⊥AE于点F．当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长为．5．（2020•碑林区校级模拟）如图，等边△ABC中，AB＝6，点D、点E分别在BC和AC上，且BD ＝CE，连接AD、BE交于点F，则CF的最小值为．三．解答题（共3小题）6．（2019•新城区校级三模）圆的定义：在同一平面内，到定点的距离等于定长的所有点所组成的图形．（1）已知：如图1，OA＝OB＝OC，请利用圆规画出过A、B．C三点的圆．若∠AOB＝70°，则∠ACB＝．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BCA＝30°，AB＝2．（2）已知，如图2．点P为AC边的中点，将AC沿BA方向平移2个单位长度，点A、P、C的对应点分别为点D、E、F，求四边形BDFC的面积和∠BEA的大小．（3）如图3，将AC边沿BC方向平移a个单位至DF，是否存在这样的a，使得直线DF上有一点Q，满足∠BQA＝45°且此时四边形BADF的面积最大？若存在，求出四边形BADF面积的最大值及平移距离a，若不存在，说明理由．7．（2019•新城区校级一模）问题提出：如图1：在△ABC中，BC＝10且∠BAC＝45°，点O为△ABC的外心，则△ABC的外接圆半径是．问题探究：如图2，正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD两边上点且∠EAF＝45°，请问线段BE、DF、EF有怎样的数量关系？并说明理由．问题解决：如图3，四边形ABCD中，AB＝AD＝4，∠B＝45°，∠D＝135°，点E、F分别是射线CB、CD上的动点，并且∠EAF＝∠C＝60°，试问△AEF的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值．若不存在，请说明理由．8．（2019•碑林区校级一模）（1）如图1，已知△ABC中，∠ABC＝30°，AB＝AC＝1，则S△ABC＝．（2）如图2，在平面直角坐标系xOy中，点A在y轴上运动，点B在x轴上运动，且AB＝4，求△AOB面积的最大值．（3）如图3，⊙O的半径为2，弦AB＝2，点C为优弧上一动点，AM⊥AC交射线CB于点M，请问，△ABM的周长存在最大值还是最小值？若存在，求出相应的最值；若不存在，说明理由．题型三：对角互补构造辅助圆一．解答题（共5小题）1．（2020•碑林区校级模拟）问题提出：（1）如图①，半圆O的直径AB＝10，点P是半圆O上的一个动点，则△PAB的面积最大值是．问题探究：（2）如图②，在边长为10的正方形ABCD中，点G是BC边的中点，E、F分别是AD和CD边上的点，请探究并求出四边形BEFG的周长的最小值．问题解决：（3）如图③，四边形ABCD中，AB＝AD＝6，∠BAD＝60°，∠BCD＝120°，四边形ABCD 的周长是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．2．（2018•大荔县一模）（1）如图①，点A、点B在线段l的同侧，请你在直线l上找一点P，使得AP+BP的值最小（不需要说明理由）．（2）如图②，菱形ABCD的边长为6，对角线AC＝6，点E，F在AC上，且EF＝2，求DE+BF的最小值．（3）如图③，四边形ABCD中，AB＝AD＝6，∠BAD＝60°，∠BCD＝120°，四边形ABCD 的周长是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．3．（2021•内乡县一模）（1）【学习心得】于彤同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．例如：如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是△ABC外一点，且AD＝AC，求∠BDC的度数．若以点A为圆心，AB为半径作辅助⊙A，则点C、D必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，从而可容易得到∠BDC＝°．（2）【问题解决】如图2，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠BDC＝25°，求∠BAC的数．（3）【问题拓展】如图3，如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE＝DF．连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是．4．（2021•红谷滩区校级模拟）（1）学习心得：小刚同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到有一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．例如：如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝80°，D是△ABC外一点，且AD＝AC，求∠BDC的度数．若以点A为圆心，AB为半径作辅助圆⊙A，则点C、D必在⊙A上，∠BAC是⊙A 的圆心角，而∠BDC是圆周角，从而可容易得到∠BDC＝．（2）问题解决：如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠BDC＝25°，求∠BAC的度数．（3）问题拓展：抛物线与y轴交于点A，顶点为B，对称轴BC与x轴交于点C，点P在抛物线上，直线PQ∥BC交x轴于点Q，连接BQ．①若含45°角的直线三角板如图所示放置，其中，一个顶点与C重合，直角顶点D在BQ上，另一顶点E在PQ上，求Q的坐标；②若含30°角的直角三角板一个顶点与点C重合，直角顶点D在BQ上，另一个顶点E在PQ上，求点P的坐标．5．（2020•梁园区一模）如图1，点B在直线l上，过点B构建等腰直角三角形ABC，使∠BAC＝90°，且AB＝AC，过点C作CD⊥直线l于点D，连接AD．（1）小亮在研究这个图形时发现，∠BAC＝∠BDC＝90°，点A，D应该在以BC为直径的圆上，则∠ADB的度数为°，将射线AD顺时针旋转90°交直线l于点E，可求出线段AD，BD，CD的数量关系为；（2）小亮将等腰直角三角形ABC绕点B在平面内旋转，当旋转到图2位置时，线段AD，BD，CD的数量关系是否变化，请说明理由；（3）在旋转过程中，若CD长为1，当△ABD面积取得最大值时，请直接写AD的长．【真题训练】一．选择题（共1小题）1．（2021•攀枝花）如图，在矩形ABCD中，已知AB＝3，BC＝4，点P是BC边上一动点（点P不与B，C重合），连接AP，作点B关于直线AP的对称点M，则线段MC的最小值为（）A．2B．C．3D．二．解答题（共2小题）2．（2015•汕尾）在Rt△ABC中，∠A＝90°，AC＝AB＝4，D，E分别是边AB，AC的中点，若等腰Rt△ADE绕点A逆时针旋转，得到等腰Rt△AD1E1，设旋转角为α（0＜α≤180°），记直线BD1与CE1的交点为P．（1）如图1，当α＝90°时，线段BD1的长等于，线段CE1的长等于；（直接填写结果）（2）如图2，当α＝135°时，求证：BD1＝CE1，且BD1⊥CE1；（3）求点P到AB所在直线的距离的最大值．（直接写出结果）3．（2014•淄博）如图，点A与点B的坐标分别是（1，0），（5，0），点P是该直角坐标系内的一个动点．（1）使∠APB＝30°的点P有个；（2）若点P在y轴上，且∠APB＝30°，求满足条件的点P的坐标；（3）当点P在y轴上移动时，∠APB是否有最大值？若有，求点P的坐标，并说明此时∠APB 最大的理由；若没有，也请说明理由．。

在中考数学中，有一类高频考题，明明图形中并未出现圆，但是可以用圆的相关知识来解决问题，这样的圆可以称为辅助圆，常见的模型有以下几种：
模型一
定点定长作圆型模型二
点圆最值模型三
线圆最值模型四
直径对直径模型五
定弦对定角（非90°)
模型六四点共圆昌辅助圆在解题中的应用
模型一定点定长作圆型mm 团曰平面内，点A为定点，点B为动点，且AB长度固定，则点B的轨迹在以点A为圆心，AB长为半径的圆上（如图CD).--------•• 恤、,/、、I \ A
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推广：如图＠，点E为定点，点F为线段BD上的动点（不与点B重合），将bi.BEF'l-廿EF折叠得到bi.B'EF,则点B的运动轨迹为以E为圆心，线段BE为半径的半圆弧．
巨辅助圆在解题中的应用
ffi]压]��I.如图，已知点o,点c,且线段OC=3,点A 、B是平面内的动点，且OA=2,BC=4, 请在平面内画出点A、B的运动轨迹．
解：如解图，点A的运动轨迹为00,点B的运动轨迹为0C.
B \11111/ 、/、，、，/ C
__.。

辅助圆（1）专题一：触发隐圆模型的类型（1）动点定长模型若P为动点，但AB=AC=AP原理：圆A中，AB=AC=AP则B、C、P三点共圆，A圆心，AB半径备注：常转全等或相似证明出定长（2）直角圆周角模型固定线段AB所对动角∠C恒为90° 原理：圆O中，圆周角为90°所对弦是直径则A、B、C三点共圆，AB为直径备注：常通过互余转换等证明出动角恒为直角（3）定弦定角模型固定线段AB所对动角∠P为定值原理：弦AB所对同侧圆周角恒相等则点P运动轨迹为过A、B、P三点的圆备注：点P在优弧、劣弧上运动皆可（4）四点共圆模型①若动角∠A+动角∠C=180° 原理：圆内接四边形对角互补则A、B、C、D四点共圆备注：点A与点C在线段AB异侧（5）四点共圆模型②固定线段AB 所对同侧动角∠P=∠C 原理：弦AB 所对同侧圆周角恒相等 则A 、B 、C 、P 四点共圆 备注：点P 与点C 需在线段AB 同侧四点共圆模型应用1. 如图，在四边形ABCD 中，连接AC ，BD ，∠BAD=∠BCD=90°，∠BDC=25°，则∠BAC 的度数等于_______________.2. 如图，在△ABC 中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，O 为 AC 的中点，过点O 作OE ⊥OF ，OE 、OF 分别交AB 、BC 于点E 、F ，则EF 的最小值等于_______________.3. 如图，在△ABC 中，三条高AD 、BE 、CF 相交于点H ，连接DE 、DF ，若∠BAC=64°，则∠EDF的度数等于_______________.4. 如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，将△ABC 绕点A 顺时针旋转一个角度得到△ADE ，连接BE 、CD ，延长CD 交BE 于点F ，求证：BF=EF.第1题 第2题 第3题 第4题5. 如图，在△ABC 中，AC=BC ，点O 为底边AB 中点，点D 为AC 腰上一点，连接BD ，过点C 作CE ⊥BD ，垂足为点E ，连接EO.求证：∠OEB=12∠ACB.6. 如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠CAD=90°，点E 在边AB 上，CE ⊥DE 。

图中无圆，心中有圆——构造辅助圆解决最值问题圆，规范简约且具有丰富的性质。

尽管在许多几何问题的条件中可能并不明确涉及到圆，但是如果能够根据问题的条件和图形的特点构造一个圆，转机或许因此出现。

这就需要我们有明亮的眼光、明锐的视角发现图中的“隐形圆”，充分利用圆的众多性质，为解决问题铺设“桥梁”。

本文讲述两种常用的构造辅助圆的模型：(1)定点定长构造辅助圆；(2)定弦定角构造辅助圆。

一、模型介绍类型一：定点定长构造辅助圆平面内，点A为定点，点B为动点，且AB长度固定，则点B的轨迹在以点A 为圆心，AB长为半径的圆上(如图1).依据的是圆的定义:圆是所有到定点的距离等于定长的点的集合。

图1经典例题如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4,点F在边AC上，并且CF=1，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是______分析：CF为定长，翻折得PF=CF，故无论E点如何运动，点P随着点E的运动而始终在以点F为圆心，1为半径的圆上，将问题转化为⊙F上一点到直线AB 的距离的最小值。

解：如图，构造以F为圆心，CF为半径的圆。

过F作FG⊥AB于点G，交⊙F 于点P，此时PG的值最小，最小值为AF×sinA-1=2×-1=.模型总结：利用“定点定长”构造辅助圆的关键在于寻找一个定点，使目标动点到该定点的距离为定值。

类型二：定弦定角构造辅助圆固定的线段只要对应固定的角度，那么这个角的顶点轨迹为圆的部分。

在⊙O中，若弦AB长度固定，则弦AB所对的圆周角都相等。

如图2，若有一固定线段AB及线段AB所对的∠C固定，根据圆的知识可知点C不唯一。

当∠C ＜90°时，点C在优弧上运动；当∠C=90°时，点C在半圆上运动，且线段AB 是圆的直径；当∠C＞90°时，点C在劣弧上运动。

图2经典例题如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，点P为一动点，且PA⊥PC，连结BP，则BP的最大值为____________。

辅助圆模型1 . 共端点，等线段模型分析：（1）若有共端点的三条等线段，可思考构造辅助圆。

一般来说，构造辅助圆是为了利用圆的性质来解决角度问题。

例子：如图，△ABC和△ACD都是等腰三角形，AB=AC，AC=AD，连接BD。

求证：∠1+∠2=90°。

证明：利用模型构造辅助圆，∵AB=AC，∴∠ABC=∠2，∵∠BAC=2∠1，∴2∠2+2∠1=180°，∴∠1+∠2=90°。

方法二：利用模型构造辅助圆，延长CA交圆于点E，联结BE，∵CA是直径,∴∠EBC=90°。

∴∠E+∠2=90°，∵∠1=∠E，∴∠1+∠2=90°针对训练：如图，△ABC为等腰三角形，AB=AC，在△ABC的外侧作直线AP，点B与点D关于AP轴对称，连接BD、CD，CD与AP交于点E。

求证：∠1=∠2。

提示：可知AD=AB=AC,构造辅助圆可知关键的相等关系，∠1=2∠BDC,∠BDC=∠EBD，∠2=2∠BDC，∠1=∠2。

模型2. 直角三角形共斜边模型分析：共斜边的两个直角三角形，同侧或异侧，都有四点共圆，再根据圆周角定理得到角度相等，完成角度等量关系的代替，是证明角相等的思路之一。

例子：如图，AD、BE、CF为△ABC的三条高，H为垂心，求证：∠ADF=∠ADE。

证明：利用模型，可知B、C、E、F四点共圆，∴∠FBE=∠FCE,B、D、H、F四点共圆，∴∠ADF=∠FBE,D、C、E、H四点共圆，∴∠ADE=∠FCE,∴∠ADF=∠ADE。

针对训练：如图，已知△ABC中，AH是高，AT是角平分线，且TD⊥AB，TE⊥AC。

求：∠AHD=∠AHE。

提示：利用模型可知，A、D、T、E四点共圆，且AT为直径，联结OH,∵AH⊥BC，∴△ATH是直角三角形。

∴OH=1/2AT（O是AT中点）,∴点H在圆上，∵AT是角平分线，TD⊥AB，TE⊥AC。

∴△ATD≌△ATE,∴AD=AE,∴∠AHD=∠AHE。

辅助圆思想【例1】在ABC △中，BA BC BAC =∠=α，，M 是AC 的中点，P 是线段BM 上的动点，将线段PA 绕点P 顺时针旋转2α得到线段PQ ．⑴若α=60︒且点P 与点M 重合（如图1），线段CQ 的延长线交射线BM 于点D ，请补全图形，并写出CDB ∠的度数；⑵在图2中，点P 不与点B M ，重合，线段CQ 的延长线与射线BM 交于点D ，猜想CDB ∠的大小（用含α的代数式表示），并加以证明；（2012年北京中考节选）【解析】⑴图略，30CDB ∠=︒．⑵如图，连接PC ，根据对称性可知，PC PA PQ ==，以P 为圆心、PA 长为半径作P ⊙，则12ACQ APQ α∠=∠=，∴90CDB α∠=︒-．【例2】已知：AOB △中，2AB OB ==，COD △中，3CD OC ==，ABO DCO =∠∠．连接AD 、BC ，点M 、N 、P 分别为OA 、OD 、BC 的中点．图1NMO PDCBA图2NM O PDCBA⑴如图1，若A 、O 、C 三点在同一直线上，且60ABO =∠°，则PMN △的形状是___________，此时ADBC=________；⑵如图2，若A 、O 、C 三点在同一直线上，且2ABO α=∠，证明PMN BAO △∽△，并计算ADBC的值（用含α的式子表示）；题型一：共顶点等线段（海淀一模）【解析】⑴等边三角形，1；⑵证明：连接BM 、CN ．由题意，得BM OA ⊥，CN OD ⊥，90AOB COD α∠=∠=︒-．∵A 、O 、C 三点在同一直线上，∴B 、O 、D 三点在同一直线上．∴90BMC CNB ==∠∠°．∵P 为BC 中点，∴在Rt BMC △中，12PM BC =．在Rt BNC △中，12PN BC =．∴PM PN =．∴B 、C 、N 、M 四点都在以P 为圆心，12BC 为半径的圆上．∴2MPN MBN =∠∠．又∵12MBN ABO α∠=∠=，∴MPN ABO =∠∠．∴PMN BAO △∽△．∴MN AOPM BA =．由题意，12MN AD =，又12PM BC =．∴AD MN BC PM =．∴AD AO BC BA=．在Rt BMA △中，sin AMABα=．∵2AO AM =，∴2sin AO BA α=．∴2sin ADBCα=．【例3】已知90AOB ∠=︒，OM 是AOB ∠的平分线．将一个直角RPS 的直角顶点P 在射线OM上移动，点P 不与点O 重合．如图，当直角RPS 的两边分别与射线OA 、OB 交于点C 、D 时，请判断PC 与PD 的数量关系，并证明你的结论；RBP C AD OGSM 321G N SH ODA C M PBR 【解析】PC 与PD 的数量关系是相等．常规证法：过点P 作PH OA ⊥，PN OB ⊥，垂足分别为点H N 、．∵90AOB ∠=︒，易得90HPN ∠=︒，∴190CPN ∠+∠=︒，而290CPN ∠+∠=︒，∴12∠=∠．∵OM 是AOB ∠的平分线，∴PH PN =，又∵90PHC PND ∠=∠=︒，∴PCH PDN △≌△．∴PC PD =．题型二：共斜边的直角三角形PONM DCBA辅助圆证法：∵90COD CPD ∠=∠=︒，∴C O D P 、、、四点共圆，∵OP 平分COD ∠，∴COP POD ∠=∠，∴PC PD =．【例4】如图，四边形ABCD 是正方形，M 是BC 上一点，ME AM ⊥交BCD ∠的外角平分线于E ，求证：AM EM =．【解析】连接AC AE、∵四边形ABCD 是正方形，∴45ACD ∠=︒，∵CE 是外角平分线，∴45DCE ∠=︒，∴90ACE ∠=︒，∵90AME ∠=︒，∴A M C E 、、、四点共圆，∴45AEM ACB ∠=∠=︒，∴45EAM ∠=︒，∴AM EM =．【例5】在矩形ABCD 中，点P 在AD 上，AB =2，AP =1，将三角板的直角顶点放在点P 处，三角板的两直角边分别能与AB 、BC 边相交于点E 、F ，连接EF ．⑴如图，当点E 与点B 重合时，点F 恰好与点C 重合，求此时PC 的长；⑵将三角板从⑴中的位置开始，绕点P 顺时针旋转，当点E 与点A 重合时停止，在这个过程中，请你观察、探究并解答：①∠PEF 的大小是否发生变化？请说明理由；②直接写出从开始到停止，线段EF 的中点所经过的路线长．备用图（朝阳一模）【解析】⑴在矩形ABCD 中，90A D ∠=∠=︒，AP =1，CD =AB =2，∴PB=，90ABP APB ∠+∠=︒．∵90BPC ∠=︒，∴90APB DPC ∠+∠=︒．∴ABP DPC ∠=∠．∴△ABP ∽△DPC ．∴AP PB CD PC =，即12PC =．∴PC=．⑵①∠PEF 的大小不变．理由：过点F 作FG ⊥AD 于点G ．∴四边形ABFG 是矩形．∴90A AGF ∠=∠=︒．∴GF=AB=2，90AEP APE ∠+∠=︒．∵90EPF ∠=︒，∴90APE GPF ∠+∠=︒．∴AEP GPF ∠=∠．∴△APE ∽△GFP .∴221PF GF PE AP ===．∴在Rt △EPF 中，tan ∠PEF=2PFPE=．即tan ∠PEF 的值不变．∴∠PEF 的大小不变．②5.辅助圆证法：连接PB ，∵90EPF EBF ∠=∠=︒，∴P E B F 、、、四点共圆，∴PEF PBF ∠=∠，∴PEF ∠不会发生变化．【例6】如图，在四边形ABCD 中，AC 是BAD ∠的平分线，若180B D ∠+∠=︒，求证：BC CD =．【解析】∵180B D ∠+∠=︒，∴ABCD 是圆内接四边形，∵AC 平分BAD ∠，∴CAD BAC ∠=∠，∴BC CD =．【例7】已知：如图，正方形ABCD 中，BD 为对角线，45MAN ∠=︒，将MAN ∠绕顶点A 逆时针旋转α（045α<<），旋转后角的两边分别交BD 于点P 、点Q ，交BC CD ，于点E 、点F ，联结EF EQ ，．在MAN ∠的旋转过程中，AEQ ∠的大小是否改变？若不变写出它的度数，若改变，写出它的变化范围．【解析】∵BD 是对角线，∴45CBD ∠=︒，∵45MAN ∠=︒，∴A B E Q 、、、四点共圆，∴45AEQ ABD ∠=∠=︒，∴AEQ ∠的大小不发生改变．题型三：四点共圆的简单应用【例8】（海淀区2010-2011学年度第一学期初三期末25）如图一，在△ABC 中，分别以AB ，AC 为直径在△ABC 外作半圆1O 和半圆2O ，其中1O 和2O 分别为两个半圆的圆心.F 是边BC 的中点，点D 和点E 分别为两个半圆圆弧的中点.⑴连结1122,,,,,O F O D DF O F O E EF ，证明：12DO F FO E △≌△；⑵如图二，过点A 分别作半圆1O 和半圆2O 的切线，交BD 的延长线和CE 的延长线于点P 和点Q ，连结PQ ，若∠ACB =90°,DB =5，CE =3，求线段PQ 的长;⑶如图三，过点A 作半圆2O 的切线，交CE 的延长线于点Q ，过点Q 作直线FA 的垂线，交BD 的延长线于点P ，连结PA .证明：PA 是半圆1O 的切线.【解析】⑴如图一，∵1O ，2O ，F 分别是AB ，AC ，BC 边的中点，∴1O F ∥AC 且1O F =A 2O ，2O F ∥AB 且2O F =A 1O ，∴∠B 1O F=∠BAC ，∠C 2O F=∠BAC ，∴∠B 1O F=∠C 2O F ∵点D 和点E 分别为两个半圆圆弧的中点，∴1O F =A 2O =2O E ，2O F =A 1O =1O D ，∠B 1O D =90°，∠C 2O E =90°，∴∠B 1O D=∠C 2O E .∴∠D 1O F=∠F 2O E .∴12DO F FO E △≌△.⑵如图二，延长CA 至G ，使AG =AQ ,连接BG 、AE .∵点E 是半圆2O 圆弧的中点，∴AE=CE=3∵AC 为直径，∴∠AEC =90°，∴∠ACE =∠EAC =45°，AC =，∵AQ 是半圆2O 的切线，∴，∴∠ACE =∠AQE =45°，∠GAQ =90°∴AQ =AC =AG =同理：∠BAP =90°，AB =AP =∴CG =∠GAB =∠QAP ∴AQP AGB △≌△，∴PQ =BG∵∠ACB =90°，∴BC =∴BG =，∴PQ=.⑶证法一：如图三，设直线F A 与PQ 的垂足为M ，过C 作CS ⊥MF 于S ，过B 作BR ⊥MF 于R ，连接DR 、AD 、DM.∵F 是BC 边的中点，∴ABF ACF S S =△△.∴BR=CS ，由⑵已证∠CAQ =90°,AC =AQ ，∴∠2+∠3=90°∵FM ⊥PQ ,∴∠2+∠1=90°，∴∠1=∠3,同理：∠2=∠4,图一图二Q图三图二∴AMQ CSA△≌△，∴AM=CS，∴AM=BR，同⑵可证AD=BD，∠ADB=∠ADP=90°,∴∠ADB=∠ARB=90°,∠ADP=∠AMP=90°∴A、D、B、R四点在以AB为直径的圆上，A、D、P、M四点在以AP为直径的圆上，且∠DBR+∠DAR=180°，∴∠5=∠8,∠6=∠7,∵∠DAM+∠DAR=180°，∴∠DBR=∠DAM∴DBR DAM△≌△，∴∠5=∠9，∴∠RDM=90°，∴∠5+∠7=90°，∴∠6+∠8=90°，∴∠PAB=90°，O直径，∴PA⊥AB,又AB是半圆1O的切线.∴PA是半圆1OPCBA 训练1.如图，PA PB 、分别切O ⊙于A B 、两点，PC 满足AB PB AC PC AB PC AC PB ⋅-⋅=⋅-⋅，且AP PC ⊥，2PAB BPC ∠=∠，求ACB ∠的度数．【解析】∵PA PB 、都是O ⊙的切线，∴PA PB =∵AB PB AC PC AB PC AC PB ⋅-⋅=⋅-⋅，∴()()0AB AC PB PC +-=∴PB PC =，∴A B C 、、三点都在以P 为圆心，PA 为半径的圆上．设ACB α∠=，则2APB α∠=，∴902BPC α∠=︒-∵2PAB BPC ∠=∠，∴()29021804PAB PBA αα∠=∠=︒-=︒-在PAB △中，180APB PAB PBA ∠+∠+∠=︒，即()218042180αα︒-+=︒∴6180α=︒，∴30α=︒，即30ACB ∠=︒．训练2.如图，E F 、分别是正方形ABCD 的边CD AD 、的中点，BE CF 、相交于H ，求证：AH AB =．【解析】连接BF∵E F 、是CD AD 、的中点，∴BCE CDF △≌△，∴CBE DCF ∠=∠，∴90DCH BEC CBE BEC ∠+∠=∠+∠=︒，即90BHF ∠=︒，∴A B H F 、、、四点共圆，∴AHB AFB ∠=∠，CFD CFD ∠=∠，很明显AFB CFD ∠=∠，∴ABH AHB ∠=∠，∴AH AB =．训练3.如图，已知在五边形ABCDE 中，3BAE α∠=，BC CD DE ==，且1802BCD CDE α∠=∠=︒-．求证：BAC CAD DAE ∠=∠=∠．【解析】连接BD CE 、，∵BC CD =，1802BCD α∠=︒-，∴CBD CDB α∠=∠=，∴1803BDE α∠=︒-，∴180BAE BDE ∠+∠=︒，∴A B D E 、、、四点共圆．同理A B C E 、、、四点共圆，∴A B C D E 、、、、五点共圆，∵BC CD DE ==，∴BAC CAD DAE ∠=∠=∠．题型一共顶点等线段【练习1】如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数333y x =+的图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，点C 的坐标为()30，，连结BC ．⑴求证：ABC △是等边三角形；⑵点P 在线段BC 的延长线上，连结AP ，作AP 的垂直平分线，垂足为点D ，并与y 轴交于点D ，分别连结EA 、EP ．①若6CP =，直接写出AEP ∠的度数；②若点P 在线段BC 的延长线上运动（P 不与点C 重合），AEP ∠的度数是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出ADP ∠的度数；【解析】⑴证明：如图，∵一次函数333+=x y 的图象与x 轴交于点A （－3，0），B （0，33）．∵C （3，0）．∴OA ＝OC ．又y 轴⊥AC ，∴AB ＝BC ．在Rt △AOB 中，3tan ==∠AOBOBAO ．∴∠BAC =60°.∴△ABC 是等边三角形.⑵①答：∠AEP =120°．②解：如图，作EH ⊥CP 于点H ，∵y 轴垂直平分AC ，△ABC 是等边三角形，∴EA =EC ，∠BEA ＝∠BEC ＝AEC ∠21，∠DEP =30°．∴∠BEH=60°．∵ED 垂直平分AP ，∴EA=EP ．∴EA ＝EC ＝EP ，∴EH 垂直平分CP ，在△CEP 中，∠CEH =∠PEH ＝PEC ∠21，∵∠BEH=∠BEC ＋∠CEH ＝AEC ∠21＋PEC ∠21=60°．∴∠AEP=∠AEC ＋∠PEC ＝120°．辅助圆的证法：∵点E 在y 轴上，∴EA EC =，∵EC EP =，∴以E 为圆心、EA 长为半径作圆，C P 、在该圆上，∴()2180120AEP ACP ∠=︒-∠=︒．题型二共斜边的直角三角形【练习2】如图，正方形ABCD 的中心为O ，面积为22013cm ，P 为正方形内一点，且45OPB ∠=︒，:5:6PA PB =，求PB 的长．OP DCB AxOABC1PEy 111yOCBA【解析】连接OA OB 、，∵ABCD 是正方形，∴90AOB ∠=︒，45OAB ∠=︒，∵45OPB ∠=︒，∴A B O P 、、、四点共圆，∴90APB ∠=︒．在Rt ABP △中，90APB ∠=︒，∴222PA PB AB +=，设56PA k PB k ==，，则2225362013k k +=，解得233k =，∴k =∴PB =．题型三四点共圆的简单应用【练习3】设D 是等腰Rt ABC △底边BC 的中点，过C D 、两点（但不过点A ）任作一圆交直线AC 于点E ，连接BE 交此圆于点F ．求证：AF BE ⊥．【解析】连接EF ，FD由题意可知C D F E 、、、四点共圆，⑴若E 在线段AC 上，则45BFD ACB ∠=∠=︒，∵45BAD ∠=︒，∴A B D F 、、、四点共圆，∴90AFB ADB ∠=∠=︒，∴AF BE ⊥．⑵若E 在AC 的延长线上，则45DFE ACB ∠=∠=︒，∵45BAD ∠=︒，∴A B F D 、、、四点共圆，∴90AFB ADB ∠=∠=︒，∴AF BE ⊥．⑶若E 在CA 的延长线上，则45BFD ACB ∠=∠=︒，∵45BAD ∠=︒，∴A D B F 、、、四点共圆，∴180AFB ADB ∠+∠=︒，∴90AFB ADB ∠=∠=︒，∴AF BE ⊥．综上所述，命题成立．。

圆中的辅助线模型1连半径构造等腰三角形已知AB 是⊙O 的一条弦，连接OA ，OB ，则∠A ＝∠B．模型分析在圆的相关题目中，不要忽略隐含的已知条件．我们通常可以连接半径构造等腰三角形，利用等腰三角形的性质及圆中的相关定理，解决角度的计算问题模型实例如图，CD 是⊙O 的直径，∠EOD ＝84°，AE 交⊙O 于点B ，且AB ＝OC ，求∠A．解答：如图，连接OB ，∵AB ＝OC ，OC ＝OB ，∴AB ＝BO ．∴∠BOC ＝∠A ．∴∠EBO ＝∠BOC ＋∠A ＝2∠A ．而OB ＝OE ，得∠E ＝∠EBO ＝2∠A ．1．如图，AB 经过⊙O 的圆心，点B 在⊙O 上，若AD ＝OB ，且∠B ＝54°．试求∠A 的度数．解答：如图，连接OC 、OD ．∵∠B ＝54°，OC ＝OB ，∴∠AOC ＝2∠B ＝108°．ABOCD又∵AD ＝OB ＝OD ，∴∠A ＝∠AOD ．∵OC ＝OD ，∴∠OCA ＝∠ODC ＝∠A ＋∠AOD ＝2∠A ．∴∠A ＋∠OCA ＋∠AOC ＝∠A ＋2∠A ＋108°＝180°．∴∠A ＝24°．2．如图，AB 是⊙O 的直径，弦PQ 交AB 于M ，且PM ＝MO ，求证：则 AP ＝13BQ．证明：如图，连接OP 、OQ ．∵PM ＝OM ，∴∠P ＝∠MOP ．∵OP ＝OQ ，∴∠P ＝∠Q ．∵∠QMO ＝2∠MOP ，∴∠BOQ ＝3∠MOP ．∴∠AOP ＝13∠BOQ ．∴ AP ＝13BQ．模型2构造直角三角形如图①，已知AB 是⊙O 的直径，点C 是圆上一点，连接AC 、B C，则∠ACB =90o.如图②，已知AB 是⊙O 的一条弦，过点O 作OE ⊥AB ，则OE 2+AE 2=OA 2.A BOQMP模型分析(1)如图①,当图形中含有直径时,构造直径所对的圆周角是解问题的重要思路,在证明有关问题中注意90o的圆周角的构造.(2)如图②，在解决求弦长、弦心距、半径问题时，在圆中常作弦心距或连接半径作为辅助线，利用弦心距、半径和半弦组成一个直角三角形，再利用勾股定理进行计算.模型实例例1已知⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于点E ，AE =2，BE =6，∠DEB =60o.求CD 的长.解答:如图,过O 作ＯＦ⊥ＣＤ于点Ｆ，连接ＯＤ．∵ＡＢ＝ＡＥ＋ＥＢ，ＡＥ＝２，ＥＢ＝６，∴ＡＢ＝８．∴ＯＡ＝12ＡＢ＝４．∴ＯＥ＝ＯＡ－ＡＥ＝４－２＝２在Ｒｔ△ＯＥＦ中,∠DEB=60º,OE=2,∴EF=1,OF=3.在Rt △ODF 中,222OD DF OF =+,∴2224(3)DF =+.∴13DF =.∵OF ⊥CD,∴CD=2DF=213例2如图,AB 是⊙O 的直径,AB=AC,BC 交⊙O 于点D,AC 交⊙O 于点E,∠BAC=45º.(1)求∠EBC 的度数;(2)求证:BD=CD.CBOADEABOD F CE解答（1）∵AB ＝AC ，∠BAC ＝45°，∴∠ABC ＝∠ACB ＝67.5°．∵AB 是直径，∴∠AEB ＝90°，∴∠EBC ＝90°－67.5°＝22.5°．（2）连接AD ，∵AB 是直径，∴∠ADB ＝90°．又∵AB ＝AC ，∴BD ＝CD (等腰三角形三线合一性质)．练习1．如图，⊙O 的弦AB 、CD 互相垂直，垂足为E ，且AE ＝5，BE ＝13，点O 到AB 的距离为．求点O 到CD 距离，线段OE 的长即⊙O 的半径．ABCDEO解答：如图，连接OB ，过O 分别作OM ⊥AB 于点M ，ON ⊥CD 于点N ．∵AB ＝AE ＋BE ＝5＋13＝18，∴AM ＝12AB ＝9．又∵OM ＝2，∴在Rt △OBM 中，BO11，由图知，四边形ONEM 是矩形，∴ON ＝EM ＝AM －AE ＝9－5＝4，∴OE＝．2．已知，AB和CD是⊙O的两条弦，且AB⊥CD于点H，连接BC、AD，作OE⊥AD于点E．求证：OE＝12BC．ABCDEHO证明：如图，连接AO并延长交⊙O于点F，连接DF、BD．∵OE⊥AD，∴AE＝DE．∵OA＝OF，∴OE是△ADF的中位线．∴OE＝12 DF．∵AB⊥CD，∴∠ABD＋∠CDB＝90°．∵AF是直径，∴∠ADF＝90°．∴∠DAF＋∠F＝90°．∵∠ABD＝∠F，∴∠CDB＝∠DAF．∴DF＝BC．∴OE＝12 BC．3．如图，直径AB＝2，AB、CD交于点E且夹角为45°．则CE2＋DE2＝__________．A BCDE O解答：如图，过点O作OF⊥CD于点F，连接OD．设OF＝a，DF＝b，则在Rt△OFD中，a2＋b2＝1．∴CF＝DF＝b．∵∠BED＝45°，∴OF＝EF＝a．∴CE2＋DE2＝(b－a)2＋(a＋b)2＝2(a2＋b2)＝2．模型3与圆的切线有关的辅助线ABC O模型分析（1）已知切线：连接过切点的半径；如图，已知直线AB 是⊙O 的切线，点C 是切点，连接OC ，则OC ⊥AB ．（2）证明切线：①当已知直线经过圆上的一点时，连半径，证垂直；如图，已知过圆上一点C 的直线AB ，连接OC ，证明OC ⊥AB ，则直线AB 是⊙O 的切线．②如果不知直线与圆是否有交点时，作垂直，证明垂线段长度等于半径；如图，过点O 作OC ⊥AB ，证明OC 等于⊙O 的半径，则直线AB 是⊙O 的切线．模型实例例1如图，OA 、OB 是⊙O 的半径，且OA ⊥OB ，P 是OA 上任意一点，BP 的延长线交⊙O 于Q ，过Q 点的切线交OA 的延长线于R ．求证：RP ＝PQ ．RBOQAP 证明连接OQ ．∵OQ ＝OB ，∴∠OQB ＝∠OBQ ．∵RQ 为⊙O 的切线，OA ⊥OB ，∴∠BPO ＝90°－∠OBQ ，∠BQR ＝90°－∠OQB ．∴∠BPO ＝∠QPB ＝∠BQR ．∴RP ＝RQ ．例2如图，△ABC 内接于⊙O ，过A 点作直线DE ，当∠BAE ＝∠C 时，试确定直线DE 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论．AB CDEO解答直线DE 与⊙O 相切，理由如下：连接AO 并延长，交⊙O 于点F ，连接BF ．∵∠BAE ＝∠C ，∠C ＝∠F ，∴∠BAE ＝∠F ∵AF 为直径，∴∠ABF ＝90°．∴∠F ＋∠BAF ＝90°．∴∠BAE ＋∠BAF ∴FA ⊥DE ．又∵AO 是⊙O 的半径，∴直线DE 与⊙O 相切．小猿热搜1．如图，在△ABC 中，以AB 为直径的⊙O 分别与BC 、AC 相交于点D 、E ，BD ＝CD ，过点D 作⊙O 的切线交AC 于点F ．求证：DF ⊥AC ．ABCD EFO证明：如图，连接OD ．∵DF 是⊙O 的切线，D 为切点，∴OD ⊥DF ．∴∠ODF ＝90°．∵BD ＝CD ，OA ＝OB ，∴OD 是△ABC 的中位线．∴OD ∥AC ．∴∠CFD ＝∠ODF ＝90°．∴DF ⊥AC ．2．如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是它的切线，CO 平分∠ACD ．求证：CD 是⊙O的切线．ABCDO证明：如图，过O 点作OE ⊥CD 于点E ．∵AC 是⊙O 的切线，∴OA ⊥AC ．∵CO 平分∠ACD ，OE ⊥CD ，∴OA ＝OE ．∴CD 是⊙O 的切线．3．如图，直线AC 与⊙O 相交于B 、C 两点，E 是 BC的中点，D 是⊙O 上一点，若∠EDA ＝∠AMD ．求证：AD 是⊙O 的切线．AB C DEM O证明：如图，连接OE 交BC 于点F ，连接OD ．∵E 是是 BC的中点，∴OE ⊥BC ．∴∠E ＋∠EMF ＝90°．∵∠EDA ＝∠AMD ，∠AMD ＝∠EMF ，∴∠ADM ＋∠E ＝90°．∵OE ＝OD ，∴∠E ＝∠ODE ．∴∠ODE ＋∠ADM ＝90°，即∠ODA ＝90°．∴OD ⊥AD ．∴AD 是⊙O 的切线．赠送—高中数学知识点二次函数（1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=-③判别式：∆④端点函数值符号．①k ＜x 1≤x 2⇔②x 1≤x 2＜k⇔③x 1＜k ＜x 2⇔af (k )＜0④k 1＜x 1≤x 2＜k 2⇔⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2⇔f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2⇔此结论可直接由⑤推出．（5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+．（Ⅰ）当0a >时（开口向上）①若2bp a-<，则()m f p =②若2b p q a ≤-≤，则()2bm f a =-③若2bq a->，则()m f q =xxx①若02bx a-≤，则()M f q =②02bx a->，则()M f p =(Ⅱ)当0a <时(开口向下)①若2bp a-<，则()M f p =②若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a=-③若2bq a->，则()M f q =①若02bx a-≤，则()m f q =②02bx a->，则()m f p =．xxxfxfx。