第六讲_2.3高阶有限差分(6)概论
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高等计算流体力学-02
( j 3)
j 1
k
a j bk
k 1 other
k 0,1,2,3
( 2) 0 a1 (1) 0 a2 a3 (1) 0 a4 0 1 2 2 2 2 ( 2) a1 (1) a2 0 a3 (1) a4 0 ( 2)1 a1 ( 1)1 a2 01 a3 (1)1 a4
物理坐标 计算坐标
常用的一维坐标变换函数： 指数函数 双曲正切函数
x j tanh( bg j ) / tanh( bg )
要求： 坐标变换必须足够 光滑，否则会降低精度 网格间距变化要缓慢，否则 会带来较大误差
9
方法2） 在非等距网格上直接构造差分格式 原理： 直接进行Taylor展开，构造格式 格式系数是坐标（或网格间距）的函数
守恒性的例子： 环形管道里的流动 —— 总质量保持不变
j 1
N
n n n n g g 1 g 1 g 1 / 2 j 1 j N 2 2 2
特点： 消去了中间点上的值，只保留两端 物理含义： 只要边界上没有误差，总体积分 方程不会有任何误差。
n 1 j j
前差 后差 中心差
… j-2
后
j-1 j
前
j+1 …
其他： 向前（后）偏心差分；
c.
差分方程 经差分离散后的方程，称为差分方程
u u a 0 t x
1 un un j j
t
a
n un j u j 1
x
0
如何确定精度？ 1） 理论方法， 给出误差表达式 2）数值方法， 给出误差对 x 的数值依赖关系
n 1 n un un g g j j 1 1 j j h 2 2
有限差分法
有限差分法
• 1、差分 • 1.1、定义：某个物理量的有限增量。如： ΔT。 • 1.2、引入差分的目的：以有限差分代替无 限微分，以差分方程代替微分方程，以数值 计算代替数学推导的过程，从而将连续函数 离散化，以有限的、离散的数值代替连续的 函数分布。
T(x,y)
T0,4 T0,3 T0,2
T1,4 T2,4 T3,4
y Ti,j
T0,4
T0,3 T0,2 T0,1 T0,0
T1,4 T2,4 T3,4
T4,4
T4,3 T4,2 T4,1
T1,0 T2,0 T3,0 T4,0
x
• • • •
3.2、向前差分：（二维的情况） 3.2.1、一阶差分： ΔTf,i,j=Ti+1,j-Ti,j Δ2Tf,i,j=Ti+2,j-2Ti+1,j+Ti,j
y
一阶差分：x方向
x Ti-2,j Ti-1,j Ti,j Ti+1,j Ti+2,j
y
二阶差分：x方向
x Ti-2,j Ti-1,j Ti,j Ti+1,j Ti+2,j
x
2
y
2
0
• 如方程和边界条件如下，请按等步长0.25， 求解各节点的温度。方程及边界条件如下：
2 2T T 0 , 0 x 1, 0 y 1 2 2 x y T ( 0 , y ) T ( x ,0 ) 0 T ( x ,1) 100 x , x 0 T (1, y ) 100 y , y 0
2
T
2
y
2
T i , j 1 2 T i , j T i , j 1 0 . 25
• 1、差分 • 1.1、定义：某个物理量的有限增量。如： ΔT。 • 1.2、引入差分的目的：以有限差分代替无 限微分，以差分方程代替微分方程，以数值 计算代替数学推导的过程，从而将连续函数 离散化，以有限的、离散的数值代替连续的 函数分布。
T(x,y)
T0,4 T0,3 T0,2
T1,4 T2,4 T3,4
y Ti,j
T0,4
T0,3 T0,2 T0,1 T0,0
T1,4 T2,4 T3,4
T4,4
T4,3 T4,2 T4,1
T1,0 T2,0 T3,0 T4,0
x
• • • •
3.2、向前差分：（二维的情况） 3.2.1、一阶差分： ΔTf,i,j=Ti+1,j-Ti,j Δ2Tf,i,j=Ti+2,j-2Ti+1,j+Ti,j
y
一阶差分：x方向
x Ti-2,j Ti-1,j Ti,j Ti+1,j Ti+2,j
y
二阶差分：x方向
x Ti-2,j Ti-1,j Ti,j Ti+1,j Ti+2,j
x
2
y
2
0
• 如方程和边界条件如下，请按等步长0.25， 求解各节点的温度。方程及边界条件如下：
2 2T T 0 , 0 x 1, 0 y 1 2 2 x y T ( 0 , y ) T ( x ,0 ) 0 T ( x ,1) 100 x , x 0 T (1, y ) 100 y , y 0
2
T
2
y
2
T i , j 1 2 T i , j T i , j 1 0 . 25
有限差分法的基本原理
f (x) ≈
2h
中心二阶差商
′′
f (x+h)−2f (x)+f (x−h)
f (x) ≈
h2
O(h) O(h)
2
O(h )
2
O(h )
其中，h表示网格间距，O(hn)表示截断误差与hn成正比。可以看出，中心差商比前向或后向差商具有更高的精度。
误差分析
有限差分法求得的数值解与真实解之间存在误差，这些误差主要来源于以下几个方面：
常用差分格式
有限差分法中最重要的步骤是构造合适的差分格式来近似微分项。根据泰勒展开式，可以得到以下常用的一阶和二阶差分格式：
差分格式
表达式
截断误差
前向一阶差商
′
f (x+h)−f (x)
f (x) ≈
h
后向一阶差商
′
f (x)−f (x−h)
f (x) ≈
h
中心一阶差商
′
f (x+h)−f (x−h)
截断误差：由于使用有限项级数来近似无穷级数而产生的误差； 舍入误差：由于计算机对小数进行四舍五入而产生的误差；
离散误差：由于对连续区域进行离散化而产生的误差； 稳定性误差：由于数值格式的稳定性不足而导致误差的累积或放大。
为了减小误差，一般可以采取以下措施：
选择更高阶或更精确的差分格式； 减小网格间距或时间步长； 选择合适的初始条件和边界条件； 选择稳定且收敛的数值格式。
+
。 2
h)
为了验证上述方法的正确性，我们取M = 10, N = 100，则原问题可以写为如下形式：
则该问题对应的递推关系式为：
⎧ut (x, t) − uxx (x, t) = 0,
有限差分法、有限单元和有限体积法简介
有限差分法、有限单元法和有限体积法的简介1.有限差分方法有限差分方法(Finite Difference Method，FDM)是计算机数值模拟最早采用的方法，至今仍被广泛运用。
该方法将求解域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连续的求解域。
有限差分法以Taylor级数展开等方法，把控制方程中的导数用网格节点上的函数值的差商代替进行离散，从而建立以网格节点上的值为未知数的代数方程组。
该方法是一种直接将微分问题变为代数问题的近似数值解法，数学概念直观，表达简单，是发展较早且比较成熟的数值方法。
对于有限差分格式，从格式的精度来划分，有一阶格式、二阶格式和高阶格式。
从差分的空间形式来考虑，可分为中心格式和逆风格式。
考虑时间因子的影响，差分格式还可以分为显格式、隐格式、显隐交替格式等。
目前常见的差分格式，主要是上述几种形式的组合，不同的组合构成不同的差分格式。
差分方法主要适用于有结构网格，网格的步长一般根据实际地形的情况和柯朗稳定条件来决定。
构造差分的方法有多种形式，目前主要采用的是泰勒级数展开方法。
其基本的差分表达式主要有三种形式：一阶向前差分、一阶向后差分、一阶中心差分和二阶中心差分等，其中前两种格式为一阶计算精度，后两种格式为二阶计算精度。
通过对时间和空间这几种不同差分格式的组合，可以组合成不同的差分计算格式。
2.有限元方法有限元方法(Finite Element Method，FEM)的基础是变分原理和加权余量法，其基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元内，选择一些合适的节点作为求解函数的插值点，将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。
采用不同的权函数和插值函数形式，便构成不同的有限元方法。
有限元方法最早应用于结构力学，后来随着计算机的发展慢慢用于流体力学的数值模拟。
在有限元方法中，把计算域离散剖分为有限个互不重叠且相互连接的单元，在每个单元内选择基函数，用单元基函数的线形组合来逼近单元中的真解，整个计算域上总体的基函数可以看为由每个单元基函数组成的，则整个计算域内的解可以看作是由所有单元上的近似解构成。
第六章 第节 差分方程
1 (2r 1) C2 n)(1 ) n . 2
2
例 求yn2 yn1 yn 0的通解。
解 由r r 1 0 得r1, 2
2
1 3i . 2
2 2 4 1 1 r c 1, tan 3, . 3 1 2 2 n 通解 yn 1 (C1 cos n C2 sin n). 3 3 2 2 即 yn C1 cos n C2 sin n. 3 3
6.7
差分方程
1、差分方程基础 2、一节常系数线性差分方程 3、二阶常系数线性差分方程
4、差分方程的应用
一、差分方程概念
设整变量函数yn f (n)，n 0,1, 2,, 则yn＋1 yn 称为yn的一阶差分，记为yn
yn yn1 yn f n 1 f n
代入原方程 ,得
1 5 求yn1 yn ( ) n 的通解。 2 2
5 n 1 1 5 n 5 n A( ) A( ) ( ) , 2 2 2 2 5 1 1 A( ) 1, A , 2 2 2 1 5 n yn * ( ) 2 2 1 n 1 5 n 原方程通解 y n C ( ) ( ) . 2 2 2
2
n
研究yn1 byn (n)的解法，
定理: 非齐次线性差分方程通解等于相应 齐次线性差分方程通解加上非齐次线性差 分方程的一个特解 现在问题归结为求出非齐次线性差分方程 的一个特解。
设 (n) a pm (n)型(a 0),其中pm (n)
n
为已知m次多项式，可以证明非齐次方 程 的特解形式是
则 r cos, r sin , 所以 r1 r cos i sin , r2 r cos i sin .
有限差分方法(图像处理必学)知识点讲解
f1 + f2
+
f3 + h2
f4
− 4 f0
−
2h 2 4!
∂4f ( ∂x4
+
∂4f ∂y 4
).
(4.1.7)
j+1 (i-1, j+1)
(i, j+1) 2
(i+1, j+1)
h2
j
(i-1, j)
3
0
(i, j)
1 (i+1, j)
h4
h3
4
(i+1, j-1)
j-1
(i-1, j-1) (i, j-1)
上述差分步骤应用于偏微分：
例如，对于 f
=
f
(x,
y)
的情况，拉普拉斯算符在
0
点作用在此函数上的值
⎛ ⎜
∇
2
⎝
f
=
⎛ ⎜ ⎝
∂ ∂
2f x2
+∂2f ∂ y2
⎞ ⎟
⎞ ⎟
，也可
⎠⎠
以用临近的点上的函数值来表示出来。(见图 4.1.1, 且 h1 = h2 = h3 = h4 = h 时)
∇2 f ≈
（4.2.15） （4.2.16） （4.2.17）
将公式（4.2.14）和（4.2.16）两式代入方程（4.2.13），我们就得到该方程的差分表达式为
(∇ 2φ )0
=
⎡ 2⎢
h3
(φ1
⎣
−φ0) + h1h3 (h1
h1 (φ3 + h3 )
− φ0 )
+
h4 (φ2 − φ0 ) + h2 (φ4 h2 h4 (h2 + h4 )
偏微分方程的有限差分方法
二阶线性偏微分方程的一般形式为：
A 2 u B 2 u C 2 u D u E u F G u 0 x 1 2 x 1 x 2 x 2 2 x 1 x 2
对于变量 x1 和 x 2 给定的值 xˆ1 和 xˆ 2 若 4 A (x ˆ 1 ,x ˆ 2 ) C (x ˆ 1 ,x ˆ 2 ) B 2 (x ˆ 1 ,x ˆ 2 )
这里，[ u ] ij 表示 u(xi, yj )。上两式分别简记为
x p u x ijh 1 1 2x(pijx[u]i)jO (h1 2)
yp u yijh 12 2y(pij y[u]ij)O (h2 2)
则 L u x p u x y p u y q u f (x ,y ) 在 (i, j) 点被表示为
余弦是 (co,scos)。
由
u nij
u xijc
os u yijc
os
用单侧差商逼近 x方向和 y方向的导数，然后列
出边界网点上的差分方程。
（2）邻近边界的网格点 (xi , yj ) 不在上 可以采用直接转移法近似处理，即将边界
条件用于邻近边界的网格点，然后再在该点列 出差分方程。
2 用积分插值法构造差分格式 3 差分格式的稳定性和收敛性 4 差分方程求解的一些方法
— 数值积分 有限元法
— 函数插值
不同的数值微分和数值积分方法、不同的函数插值方 法，就产生了不同的有限差分法与不同的有限元法。
其它数学基础：
数理方程、数值代数、最优化理论与方法等
偏微分方程的有限差分方法
基本思想：使用离散的、只含有限个未知 数的差分方程去近似代替连续变量的微分方程 及边值条件，并将相应的差分方程解作为(初)边 值问题的近似解。
第三章有限差分方法
第三章 有限差分方法§3.1 线性微分方程第三章 有限差分方法求解常微分方程和偏微分方程是物理学中最常见的问题，而用数值计算方法 求方程的解已经是一个发展得相当成熟的领域，这样的方法主要有有限差分和有 限元方法。
除了物理学的问题以外，数值方法在工程和气象等众多研究领域中也 得到广泛应用，由于数值求解微分方程的课题众多，本章中只能涉及针对物理学 中一些重要内容所采用的主要普适的方法。
对一些标准的微分方程形式，人们已 经开发了相应的程序库和软件包。
§3.1 线性微分方程3.1.1 微分方程的分类3.1.1.1 偏微分方程的类型微分方程是表达物理量、它对其变量的导数以及变量之间的一个关系。
只有一个变量的情形是常微分方程，多个变量下是偏微分方程。
如有两个独立变量时，二阶偏微分方程的一般形式是，a∂2φ ∂x2+b∂ 2φ ∂x∂y+c∂2φ ∂y 2+d∂φ ∂x+ e ∂φ ∂y+fφ+g=0，(3.1.1.1-1)其中的系数 a, b, c, d, e, f , g 可以是独立变量 x 和 y 的函数。
如果 b2 < 4ac ，称为椭圆形偏微分方程， b2 = 4ac 是抛物线型， b2 > 4ac 双曲线型。
例如，波动方程∂2φ ∂x2−1 v2∂ 2φ ∂t 2=0，(3.1.1.1-2)是双曲线型，而二维的Poisson方程，∂2φ ∂x2+∂ 2φ ∂y2= −ρ ( x, y) ，(3.1.1.1-3)是椭圆形。
抛物线型方程的例子是扩散方程，∂φ ∂t=∂ ∂x⎛ ⎜⎝D∂φ ∂x⎞ ⎟⎠+S( x,t) 。
(3.1.1.1-4)在数值计算中，方程类型之间的差别不是那么重要。
在（3.1.1.1-1）式中，我们假定了系数 a, b, c, d, e, f , g 不包含φ 及其高阶导数（否则方程就不是二阶的），这是线性的偏微分方程，否则就是非线性的偏微分方程。
有限差分方法基础
2!
3!
4!
（1-14）
f (x x) f (x) f (x) f (x) x f (x) (x)2 f IV (x) (x)3 O((x)4 )
x
2!
3!
4!
f (x) O(x)
（1-15）
11
第一节 差分原理及逼近误差/逼近误差（2/9）
f (x x) f (x) x f (x) (x)2 f (x) (x)3 f (x) (x)4 f IV (x) O((x)5 ),
t i
t
空间导数用一阶中心差商近似替代，即
n
n i 1
n i 1
x i
2x
则在 (xi ,tn )点旳对流方程就可近似地写作
n1 i
n i
n i 1
n i 1
0
t
2x
（2-2） （2-3） （2-4）
25
第二节 差分方程、截断误差和相容性/截断误差（1/6）
按照前面有关逼近误差旳分析懂得，用时间向前差商替代时间导数时旳误差为 O(t) ,
用空间中心差商替代空间导数时旳误差为 O((x)2 )，因而对流方程与相应旳差分方程之间也存在一种误差，它是
Rin O(t) O((x)2 ) O(t, (x)2 )
（2-5）
这也可由Taylor展开得到。因为
(xi , tn t) (xi , tn ) (xi x, tn ) (xi x, tn )
0
t x
（2-1）
23
第二节 差分方程、截断误差和相容性/差分方程（2/3）
xi x0 ix, i 0,1, 2,
tn nt,
n 0,1, 2,
图2-1 差分网格