大学量子力学主要知识点复习资料,填空及问答部分
1能量量子化
辐射黑体中分子与原子的振动可视为线性谐振子,这些线性谐振子可以发射与吸收辐射能。这些谐振子只能处于某些分立的状态,在这些状态下,谐振子的能量不能取任意值,只能就是某一最小能量ε 的整数倍εεεεεn ,,4,3,2,⋅⋅⋅ 对频率为ν 的谐振子, 最小能量ε为: νh =ε
2、波粒二象性
波粒二象性(wave-particle duality)就是指某物质同时具备波的特质及粒子的特质。波粒二象性就是量子力学中的一个重要概念。在经典力学中,研究对象总就是被明确区分为两类:波与粒子。前者的典型例子就是光,后者则组成了我们常说的“物质”。1905年,爱因斯坦提出了光电效应的光量子解释,人们开始意识到光波同时具有波与粒子的双重性质。1924年,德布罗意提出“物质波”假说,认为与光一样,一切物质都具有波粒二象性。根据这一假说,电子也会具有干涉与衍射等波动现象,这被后来的电子衍射试验所证实。 德布罗意公式h νmc E ==2
λ
h
m p =
=v
3、波函数及其物理意义
在量子力学中,引入一个物理量:波函数 ,来描述粒子所具有的波粒二象性。波函数满足薛定格波动方程
0),()](2[),(2
2=-∇+∂∂t r r V m
t r t i ρρηρηψψ 粒子的波动性可以用波函数来表示,其中,振幅
表示波动在空间一点(x ,y,z )上的强弱。所以,
应该
表示 粒子出现在点(x,y,z )附件的概率大小的一个量。从这个意义出发,可将粒子的波函数称为概率波。
自由粒子的波函数)](exp[Et r p i A k -⋅=ψ=ψρ
ρ
η
波函数的性质:可积性,归一化,单值性,连续性 4、 波函数的归一化及其物理意义
常数因子不确定性设C 就是一个常数,则 与 对粒子在点(x,y,z )
附件出现概率的描述就是相同的。
相位不定性如果常数 ,则 与 对粒子在点(x,y,z )附件
出现概率的描述就是相同的。
表示粒子出现在点(x,y,z )附近的概率。
表示点(x,y,z )处的体积元 中找到粒子的概率。这就就是波函数的统计诠释。自然要求该粒子在空间各点概率之总与为1
必然有以下归一化条件 5、 力学量的平均值
既然 表示 粒子出现在点 附件的概率,那么粒子2|(,,)|x y z ψ2
|(,,)|x y z x y z ψ∆∆∆x y z τ∆=∆∆
∆2
|(,,)|1
x y z dxdydz ψ∞=⎰
(,,)x y z ψ(,,)c x y z ψαi e C =(,,)i e x y z αψ(,,)x y z ψ22|()||(,,)|
r x y z ψψ=r ),,(z y x r =ρ23*3+∞+∞r r r
坐标的平均值,例如x 的平均值x __
,由概率论,有
又如,势能V 就是 r ρ的函数:)(r V ρ
,其平均值由概率论,
可表示为⎰
+∞
∞
-=
r d r r V r V 3*)()()(ρ
ρρψψ⎰+∞
∞
-=r
d r r V r V 3*)()()(ρ
ρρψψ
再如,动量 的平均值为:
为什么不能写成 因为x 完全确定时p 完全不确定,x 点处的动量没有意义。 能否用以坐标为自变量的波函数计算动量的平均值？ 可以,但需要表示为p __
r d r p r ⎰
+∞
∞
-=
3*)(ˆ)(ρ
ρρψψ
其中 为动量 的算符
6、算符
量子力学中的算符表示对波函数(量子态)的一种运算
如动量算符∇-≡ηϖ
i p
ˆ 能量算符E
t
i E ˆ≡∂∂=η
动能算符22
2ˆ∇-=m
T η
动能平均值r d r T r T ⎰
+∞
∞
-=3*)(ˆ)(ρ
ρψψ 角动量算符p
r l ˆˆ
ρρ
ρ⨯= 角动量平均值r d r l r l ⎰
+∞
∞
-=3*
)(ˆ)(ρρρψψ
薛定谔方程
),()],(2[),(2
2t r t r V m
t r t i ρρηρηψψ+∇-=∂∂
算符 ,被称为哈密顿算符, 7、定态
数学中,形如 的方程,称为本征方程。其中
方程 称为能量本征方程,
被称为能量本征函数, E 被称为能量本征值。 当E 为确定值,),(t r ρψ=)(r E ρψ)exp(Et i
η
-
拨函数所描述的状态称为定态,处于
3d r dxdydz
=*3()(),
p p p p d p ϕϕ+∞-∞
=⎰r r r
⎰
+∞
∞
-=
r
d r r p r p 3*)()()(ρ
ρρψψ∇-≡ηϖi p ˆp ϖ
ˆAf af =ˆA →算符,f →本征函数,a →本征值22ˆ()2H V r m =-∇+h r 22ˆ[()]()()()()2E E E E V r r E r H r E r m ψψψψ-∇+=→=h r r r r r )(r E ρψ
