2.1.1合情推理-归纳推理

2.1。

1 合情推理1．归纳推理（1）概念：由某类事物的□01部分对象具有某些特征，推出该类错误!全部对象都具有这些特征的推理,或由错误!个别事实概括出错误!一般结论的推理，称为归纳推理（简称归纳)．(2)特征：归纳推理是由错误!部分到错误!整体、由错误!个别到错误!一般的推理．（3）一般步骤：第一步，通过观察个别情况发现某些错误!相同性质；第二步，从已知的错误!相同性质中推出一个明确表述的一般性命题（猜想)．2．类比推理（1)概念：由两类对象具有某些□，11类似特征和其中一类对象的某些错误!已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比)．(2)特征：类比推理是由错误!特殊到错误!特殊的推理．(3)一般步骤：第一步，找出两类事物之间的错误!相似性或错误!一致性;第二步,用一类事物的错误!性质去推测另一类事物的错误!性质,得出一个明确的命题(猜想）．3．合情推理（1)含义归纳推理和类比推理都是根据已有事实，经过错误!观察、错误!分析、错误!比较、错误!联想，再进行错误!归纳、错误!类比，然后提出错误!猜想的推理，我们把它们统称为合情推理．(2)合情推理的过程错误!→错误!→错误!→错误!归纳推理与类比推理的区别与联系区别：归纳推理是由特殊到一般的推理；类比推理是由个别到个别的推理或是由特殊到特殊的推理．联系：在前提为真时，归纳推理与类比推理的结论都可真或可假．1．判一判(正确的打“√"，错误的打“×”）（1）统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体，这种估计属于类比推理．( )(2）类比推理得到的结论可以作为定理应用. （）(3)归纳推理是由个别到一般的推理．( )答案（1）×（2）×(3）√2．做一做（1)已知数列｛a n}中，a1＝1，a n＋1＝错误!(n∈N＊)，则可归纳猜想｛a n｝的通项公式为__________________．(2)数列5，9,17，33,x，…中的x等于________．(3）等差数列{a n｝中有2a n＝a n－1＋a n＋1（n≥2且n∈N＊）,类比以上结论,在等比数列{b n｝中类似的结论是__________．答案(1）a n＝错误!(n∈N＊) (2)65 （3)b错误!＝b n－1·b n＋1(n≥2且n∈N＊）探究1 数列中的归纳推理例1 已知数列{a n｝的首项a1＝1，且a n＋1＝错误!（n＝1,2,3,…)，试归纳出这个数列的通项公式．[解］当n＝1时，a1＝1，当n＝2时,a2＝错误!＝错误!，当n＝3时，a3＝错误!＝错误!，当n＝4时，a4＝错误!＝错误!,…通过观察可得：数列的前四项都等于相应序号的倒数，由此归纳出数列｛a n}的通项公式是a n＝错误!。

,1,2,3 时 2 n 8 成立，所以对于所有自然数 n,2 n n 2 8
成立。上述推理是归纳推理吗？所得结论正确吗？
【课后巩固】 1 、

2
2 2 3 3 4 4 2 , 3 3 , 4 4 , 若 3 3 8 8 15 15

8
。
b b 8 , ， a a
（ a N , b N ）则 a =
，b =
2、 sin 30 sin 90 sin 150
2 0 2 0 2 0
3 3 2 0 2 0 2 0 ， sin 5 sin 65 sin 125 2 2
观察上述两等式的规律，写出一个一般性的命题，并加以证明。
2 例 1、已知数列｛ an ｝的每一项都是正数， a1 =1,且 a 2 n1 an 1, n 1,2,
试归纳出数列｛ an ｝的一个通项公式。
1
例 2、观察下列式子，归纳出一般的结论： 13 =12 13+23= (1 2) 2 13+23 +33= (1 2 3) 2 13+23 +33+43= (1 2 3 4) 2 结论： … … …
例 3、 观察下面等式,并归纳出一般结论
1 1 2 3 6 1 12 2 2 2 3 5 6 1 12 2 2 3 2 3 4 7 6 1 12 2 2 3 2 4 2 4 5 9 6 12
2 2 2 2 结论： 1 2 3 n
课题：2.1.1 合情推理 班级： 姓名： 学号： 第 学习小组 【学习目标】 （1） 、理解归纳推理的思想； （2） 、能够通过观察一些等式，猜想、归纳出它们的变化规律。 【课前预习】 一、问题情境 1、瑞雪兆丰年：今年下几场大雪，明年就会有大丰收 2、一叶知秋：从一片树叶的凋落，知道秋天将要来到.比喻由细微的迹象看出整体 形势的变化，由部分推知全体 3、统计初步中通过样本估计总体：通过从总体中抽取部分对象进行观测或试验， 进而对整体做出推断。 二、建构新知： 1、前提：当 n=0 时，n2-n+11=11 当 n=1 时，n2-n+11=11 当 n=2 时，n2-n+11=13 当 n=3 时，n2-n+11=17 当 n=4 时，n2-n+11=23 11、11、13、17、23、31 都是质数 结论：对于所有的自然数 n， 的值都是质数 2、前提：

2.1.1合情推理 班级： 姓名： 小组： 学习目标 1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比进行简单的推理. 2.明确归纳推理和类比推理的特征，掌握合情推理的方法和步骤. 学习重点 难点

重点：归纳推理.

难点：类比推理.

学法指导 通过课前自主预习，让学生学会合情推理的思想.

课前预习

1.归纳推理 由某类事物的 具有某些特征，推出该类事物的 都具有这些特征的推理，或者由 概括出一般结论的推理，称为归纳推理. 2.归纳推理是由 到 、由 到 的推理. 3.类比推理 由两类对象具有某些 和其中一类对象的某些已知特征，推出 的推理称为类比推理. 4.类比推理是由 到 的推理. 5.合情推理 归纳推理和类比推理都是根据 ，经过 、 、 、 ，再进行 、 ，然后 的推理，我们把它们统称为合情推理.

预习评价

（学生独立完成，教师通过批改了解掌握情况） 1.由集合,,,,,,321211aaaaaa的子集个数归纳出集合naaaa,,,,321的子集个数为

（ ） A. n B.1n C.n2 D.12n

2.如图①所示的图形有面积关系：PBPABPAPSSPABBAP，则图②所示的图形有体积关系：

ABCPCBAP

V

V

.

课堂学习研讨、合作交流（备注：重、难点的探究问题） 一．课堂互学 1.归纳推理的特点 （1）归纳推理的前提是几个已知的特殊情况，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象，该结论超越了前提所包括的范围. （2）由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否正确，还需经过逻辑证明和实践检验.在一般情况下，如果归纳的个别情况越多，越具有代表性，那么推广的一般性结论就越可靠.

例1. 已知在数列na中，)(,12,111Nnaaann，写出数列前4项，并归纳猜想它的通项公式.

2.类比推理的一般思路： 类比推理的一般原则是根据当前问题的需要选择恰当的类比对象，可以从几何元素的数目、位置关系、度量关系，数式的运算符号、运算结构入手得出相应的结论. 例2.如图所示，在ABC中，射影定理可表示为BcCbacoscos，其中cba,,分别为角CBA,,

为
1 an = n .
我们通过归纳得到了关于数列通项 公式的一个猜想.
类比推理——火星上是否有生命
火星
对比 两者 某些 相似 特征.
围绕绕轴太自阳转运；行；地球
有大气层；
一年中有四季
变更； 温度适合地球 上某些 生物的生存；
火星也可 能有生命 的存在
试着类比球体和圆
圆的概念和性质
球的类比概念和性质
(x - a)2 + y - b2 = r2.
以点(a,b,c)为球心，r为半径 的球的方程为
(x - a)2 + (y - b)2 + (z - c)2 = r 2
“类比是一个伟大的引路人，求解立 体几何问题往往有赖于平面几何中的类 比问题.”
——数学家波利亚
“我珍视类比胜过任何别的东西， 它是我最可信赖的老师，它能揭示自然 界的秘密.”
1 = 21 - 1, 3 = 22 - 1, 7 = 23 - 1,15 = 24 - 1
由此我们猜想：
若把n个金属片从1号针移动到3号针，
最少需要移动 次，an 则数列 的通an项
公式为
an = 2n -1 n N*
探究：
把n个金属片从1号针移动 到3号针，怎样移动才能达到 最少的移动次数呢？
的第n项 an 与序号n之间的对应关系.为此， 我们先根据已知的递推公式，算出数列的 前几项.
解：当n=1时，a1 = 1;
当n=2时，a2
=
1
1 +
1
=
1 2
1
当n=3时，a3
=
2 1+ 1
=
1 3
2
1
当n=4时，a4