ky5第4章一元函数积分学§1 不定积分

9 csc2x dx cotx C ;
10
dx arcsinx C ;
1 x2
11
dx arctanx C ; 1 x2
例4.1.2 求
x2
x
1 x2
dx
。
解 根据基本积分表中的公式(2)及不定积分的性质(4)得：
x2
x
1 x2
dx
x2
1
x2
1 x2
dx
例4.1.1 求 cosxdx 。
解 因为sinx' cosx，所以 cosxdx sinx C
如果忘记写常数 C，那就意味着你只找到了cosx 的一个原函数。
4.1.2不定积分的性质
根据不定积分的概念，可以推得如下性质：
(1)
d dx
f
x
dx
f x ；
(2) f ' x dx f x C
4.1.3 不定积分的几何意义
由 f x 的原函数族所确定的无穷多条曲线 y F x C 称为f x 的积 分曲线族。在 f x 的积分曲线族上，对应于同一 x 的点，所有曲线都
有相同的切线斜率，这就是不定积分的几何意义。 例如
2xdx x2 C
被积函数 2x 的积分曲线族就是 y x2 C ，即一族抛物线。对 应于同一 x 的点，这些抛物线上的切线彼此平行且具有相同的斜 率2x，如图4-1所示。
(由性质(1)和(2)可知，求导与求积是两个互逆的运算)；
(3) k f x dx k f x dxk为常数
(4) f x g x dx f x dx g x dx ； (5) d f x dx f x dx ； (6) df x = f ' x dx f x C 。

第四章 不定积分§4.1不定积分的概念与性质1.填空选择（1）若在区间上)()(x f x F ='，则F (x )叫做)(x f 在该区间上的一个 ,)(x f 的所有原函数叫做)(x f 在该区间上的 。

（2）F (x )是)(x f 的一个原函数，则y = F (x )的图形为f (x )的一条 。

（3）下列各式中（ ）是||sin )(x x f =的原函数。

A .||cos x y -=； B .|cos |x y -=； C .;0,2cos 0,cos ⎩⎨⎧<-≥-=x x x x y D .⎩⎨⎧<+≥+-=.0,cos ,0,cos 21x c x x c x y 1c 、2c 为任意常数。

（4）若c e x dx x f x +=⎰22)(，则=)(x f （ ） A .x xe 22 B .x e x 222 C .x xe 2 D .()x xe x +122（5）下列等式中正确的是（ ）A .)()(x f dx x f d =⎰B .c x f dx x f +='⎰)()(C .⎰=dx x f x df )()(D .c x f dx x f dx d+=⎰)()(2.求下列不定积分：（1）⎰xx dx 2（2）dx x 22)2(+⎰（3）dx x x x ⎰+++1133224（4）dx e x x ⎰3（5）dx x⎰⋅⋅32532x－ｘ（6）⎰-dx x x x )tan (sec sec（7）⎰+xdx2cos 1（8）dx xx x⎰⋅22sin cos 2cos（9）dx xe e x x)1(⎰--（10）dx x x x ⎰-)11(23.若曲线y =ƒ (x )上点(x, y )的切线斜率与3x 成正比例，并且通过点A(1,6)和B(2,-9),求该 曲线方程。

4.若x x f 22cos )(sin '=，求)(x f 。

第四章 一元函数积分学不定积分部分一．原函数的概念例1.下列等式成立色是（ ）()()().;A f x dx f x '=⎰ ()()().;B df x dx f x =⎰()()().;dC f x dx f x dx=⎰ ()()()..D d f x dx f x =⎰ 例2．下列写法是否有误，为什么？()1.ln c dx e e xx +=⎰（c 为任意正常数）()2 ).0(1332≠+=⎰c cdx xx ()3 .arccos arcsin 12c x c x dx dx x+-=+=-⎰例3.下列积分结果正确吗？()211sin .cos sin ;2x xdx x C =+⎰√ ()212sin .cos cos ;2x xdx x C =-+⎰√()13sin .cos cos 2.2x xdx x C =-+⎰√例3说明不定积分的结果具有形式上的多样性。

二.直接积分法利用不定积分的性质及基本积分表，我们就可以计算较简单的函数的积分，这种方法称做直接积分法. 例4．求().arctan 31111113222424c x x dxdx dx dx xxx xx xx ++-=++-=++-=+⎰⎰⎰⎰例5．求.sin 212cos 212cos 12sin2c x x xdx dx dx x dx x +-=-=-=⎰⎰⎰⎰ 例6．求.tan 44422csc sin cos sin 2222c x c xdx x dx xx dx +-===⎰⎰⎰ 例7．已知某个函数的导数是x x cos sin +，又知当2π=x 时，这函数值为2，求此函数.解：因为().sin cos cos sin c x x dx x x ++-=+⎰， 所以，可设().sin cos c x x x f ++-=又因为1212=⇒=+=⎪⎭⎫⎝⎛c c f π.所以，().1sin cos ++-=x x x f 例8．设())0.(12/>=x xx f，求()x f .解：()())0(11/22/>=⇒=x xx f xx f ， ()).0(2121>+===⎰⎰-x c x dx dx xx f x 二．不定积分的第一换元法利用直接积分法所能求得的不定积分是非常有限的.为了求出一般函数 的不定积分，还需要使用各种专门的方法和技巧.下面先回顾第一换元积分公 式.这种方法是通过适当的变量替换，把所求的不定积分化为较易积分的形式. 若已知()()C u F du u f +=⎰，()x u ϕ=可微，则有换元公式： ()[]()()[]./C x F dx x x f +=⎰ϕϕϕ例9.求()c x x x d x dx ++=++=+⎰⎰|23|ln 3123233123. 例10.求()c xd x dx x xe x e e +-=--=---⎰⎰22221212.例11．求()()()()c x d dx x x x x +==⎰⎰ln ln ln 32231ln . 例12．求()()()()()()c x f x f x f d dx x f x f +==⎰⎰||ln /.例13．求()c x x x d dx x x xdx +-=-==⎰⎰⎰|cos |ln cos cos cos sin tan . 例14．求()c x x x d dx x x xdx c +===⎰⎰⎰|sin |ln sin sin sin cos tan . 例15．c a x a a x ad dx dx a x a a x a a x +=+⎪⎭⎫⎝⎛=+=+⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛arctan 1111111222222.例16．求c axa x ad a dx a dxa x a x xa+=-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-=-⎰⎪⎭⎫⎝⎛⎰⎰⎪⎭⎫⎝⎛arcsin 11112222.例17.()()2211111ln ||.22dxx adx dx C x a x a a x a x a a x a xa-⎡⎤==-=+⎢⎥-+-++⎣⎦-⎰⎰⎰例18．c ax ax a dx xa +-+=-⎰||ln 21122. 22212sec cos 21222sec cos secxdx dxxdx dx x xx ===--⎰⎰⎰⎰ 22tan tan 122ln ||1tan 122tan x x d c xx ⎛⎫+ ⎪⎝⎭==+--⎰. 注意：进一步化简可得到c x x xdx ++=⎰|tan sec |ln sec . 例19．⎰+-=c x c x xdx |tan csc |ln csc 。

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例11 解
1 dx 求积分 1 cos 2 x
1 1 1 cos 2 x dx 1 2 cos 2 x 1 dx
1 1 1 dx tan x C . 2 2 cos x 2
说明：以上几例中的被积函数都需要进行恒等变

形，才能使用基本积分表. 使用基本积分表和运算性质求积分的方法 称为直接积分法。
#
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3.1.4 换元积分法
我们知道
(sin2 x C ) cos2 x
解决方法
cos 2 xdx sin2 x C ,
cos xdx sin x C

利用复合函数，设置中间变量. 1 1 2x t dx d 2 x dt 令 2 2 1 1 cos t dt cos t dt cos 2 xdx 2 2
dx
1 1 3 dx 2 dx 2 2 1 x 1 x 3 arctan x 2 arcsin x C
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e x 3cos x dx 例6 求积分
解
e x dx 3 cos xdx
e x 3cos x dx
x
பைடு நூலகம்
e 3 sin x C
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例4 求积分 x 解
2
xdx .
5 2
x 2 xdx x dx
根据积分公式（2） x dx
7 x 2 2 C x C. 5 7 1 2

x
1
1
C
5 1 2
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3.1.3 不定积分的性质
性质3-1 [ f ( x) g ( x)]dx f ( x)dx g ( x)dx; 证 f ( x)dx g ( x)dx