材料力学刘冯文第五版6.弯曲变形

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§6-1 工程中的弯曲变形问题
桥式起 重机的横 梁变形过 大,则会 使小车行 走困难， 出现爬坡 现象。
7-1
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§6-1 工程中的弯曲变形问题

摇臂钻床的摇臂或车床的主轴变形过大，就会影响零件的
加工精度，甚至会出现废品。
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但在另外一些情况下，有时却要求构件具有较大的弹
性变形，以满足特定的工作需要。例如，车辆上的板弹簧，
光滑连续条件
x1 x2 a, 1(a) 2 (a)
x1 x2 a, w1(a) w2 (a)
代入求解，得
C1

C2


1 6
Fbl

Fb3 6l
D1 D2 0
y
A
A
FAy x1
x2
a
F
C
B B x
FBy
b
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§6-3 用积分法求弯曲变形
5）确定转角方程和挠度方程
角和挠度可由表查得
Fa2 θC1 2EIz
wC1


Fa3 3EIz
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解 2．再只考虑AB 段变形
此时BC段不变形，由于C点的集 中力F作用，使AB段引起变形， 与将F向B点简化为一个集中力F 和一个集中力偶Fa (图c)，使AB
wc1 段引起的变形是完全相同的。
这样，我们只需讨论图 (c)所示
16EI

ql 3 3EI
11ql3 ( ) 48EI
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§6-4 用叠加法求弯曲变形
wC
例4 已知：悬臂梁受力
如图示，q、l、EI均为已
知。求C截面的挠度wC和

3
结论
深入研究弯曲应变能对于实际工程设计和结构的完善非常重要。我们相信，在学 习本章内容之后，大家会对弯曲应变能的计算和应用有更深入的认识。
总结
重要性和应用
弯曲应变能是研究物体弯曲 变形和内应力分布的重要机 制，对于工程师和设计师来 说至关重要。
计算方法的优缺点
弯曲应变能的计算方法有许 多种，每种方法都有各自的 优缺点，需要灵活运用。
物理意义பைடு நூலகம்
弯曲应变能是物体弯曲变 形的内在机制，对于研究 物体受力后的变形状态和 内应力分布具有重要的意 义。
梁的弯曲
1
基本概念
梁是一种经常被工程师用来支撑重量的结构。梁的形状和尺寸取决于所需的支撑 和跨度。
2
受力分析
在弯曲的情况下，内力主要包括弯矩和剪力。弯曲应变能的计算需要考虑这两个 因素。
3
应用
巩固与拓展
了解弯曲应变能的相关知识 点是设计和工程领域的基础， 我们需要不断学习和探索。
为了提高计算效率和精度，一 些简化的计算公式也可以用于 计算弯曲应变能。
示例分析
1
实际工程中的应用
弯曲应变能在桥梁、车辆和建筑物的设计和构造中起着重要作用。对于这些特殊 结构的设计，精确计算弯曲应变能是非常必要的。
2
桥梁、车辆和建筑物中的案例分析
我们可以通过一些实例来了解弯曲应变能的具体应用。这些案例可以帮助我们深 入了解弯曲应变能对实际结构的影响。
弯曲应变能可用于预测梁的强度和刚度，有助于提高梁的设计效率和经济性。
梁内弯曲应变能的计算
梁的截面和形状
梁的截面和形状对它的弯曲应 变能有较大的影响。对于不同 的截面形状，弯曲应变能的计 算方法也会有所不同。

由此可见，M
与
d 2w dx2
始终保持同号，（d）式左边取“+”号，即有
6.1 引 言
d2w dx2
M(x) EI
〔6－2〕
式(6－2)称为梁挠曲线的近似微分方程。根据这个近似 微分方程所得的解，在工程中，已足够准确。
对于等截面梁，抗弯刚度EI为常量，式(6－2)可改写为
d2w EI dx2
M(x)
CB段:
E(I x) Fx2 b F (x a )2 F(b b 2 l2)
2 l 2
6 l
(g) 〔h〕
〔i〕
E(I x) w Fx3 b F (x a )3 F(b b 2 l2)x 〔j〕
6 l 6
6 l
6.1 引 言 〔5〕求梁的最大转角与最大挠度。
将x=0代入式〔g〕可得梁左端面的转角为
6.1 引 言
〔3〕分段建立梁的挠曲线近似微分方程。写出挠曲线
的近似微分方程分别为
AC段:
d2w b
EI dx2
l
Fx
CB段:
EIdd2xw 2 bl FxF(xa)
6.1 引 言
〔4〕积分法求变形。分别积分两次，可得
AC段:
EIdwFbx2 dx 2l
C1
(a)
EIwF6lbx3C1xD1
(b)
图6－3
6.1 引 言
解 选取坐标系如图6－3所示。距梁左端为x处截面的弯
矩为
M x W l x W W x l
代入式〔6－3〕，得挠曲线的近似微分方程为
EIdd2xw2 WxWl
将式〔a〕积分一次，得
EIdwW2xWlxC dx 2
再积分一次，得 W3x Wl2x

q
A l/2
C l
B
解：此梁上的荷载可视为 正对称和反对称荷载的叠加， 正对称和反对称荷载的叠加， 如图所示。 如图所示。 正对称荷载作用下：
q/2
5(q / 2)l 4 5ql 4 wC1 = − =− 384 EI 768 EI
B
(q / 2)l 3 ql 3 θ A1 = −θ B1 = =− 24 EI 48EI
w P A a D
a
A C a H a B
EI
Pl 3 wB = − 3 EI
P
B
l
Pl 2 θB = − 2 EI
P A a 2a 2a C B
P/2
P/2 B
P/2
=
A
+
P/2
力分解为关于中截面的对称和反对称力( )之和的形式。 解：将P力分解为关于中截面的对称和反对称力(P/2)之和的形式。 力分解为关于中截面的对称和反对称力 显然，在反对称力( / )作用下， 显然，在反对称力(P/2)作用下，wc=0 对称力作用的简支梁， 对称力作用的简支梁，可以等效为悬臂梁受到两个力的作用 的问题。 的问题。
wA=0 θA=0
B
②、变形连续条件 变形连续条件： 连续条件
P A C θC左 wC左= wC右， =θ C右 B
的悬臂梁， 例1：图示一弯曲刚度为 的悬臂梁，在自由端受一集中力 作 ：图示一弯曲刚度为EI的悬臂梁 在自由端受一集中力F 试求梁的挠曲线方程，并求最大挠度及最大转角。 用，试求梁的挠曲线方程，并求最大挠度及最大转角。 解：① 建立坐标系并写出弯矩方程 ①
在小变形情况下， 曲线弯曲平缓， 在小变形情况下，挠曲线弯曲平缓，
∴ w′ ≪ 1
2