专题4 曲线运动 万有引力与航天剖析

一、曲线运动
1．曲线运动的条件和特点
2.合力方向与轨迹的关系
物体做曲线运动的轨迹一定夹在合力方向与速度方向之间，速度方向与轨迹相切，合力方向指向曲线的“凹”侧．
3．研究曲线运动的方法——运动的合成与分解
(1)合运动与分运动的性质
①独立性：一个物体同时参与几个分运动，各分运动的规律相互独立，作用效果互不干扰．
②等时性：一个物体同时参与几个分运动，合运动与各分运动同时发生、同时进行、同时停止，即经历的时间相同．
③等效性：合运动是由各分运动共同产生的总运动效果，合运动与各分运动总的运动效果可以相互替代．
(2)运动的合成、分解遵循的法则
对运动进行合成和分解，实际上就是对描述运动的物理量，即速度、加速度和位
移进行合成和分解，因为它们都是矢量，因此运动的合成和分解遵循矢量运算法则，即平行四边形定则． 二、平抛运动
1．平抛运动的性质及研究方法
(1)运动性质：平抛运动是加速度为g 的匀变速曲线运动，在任意相等时间间隔Δt 内的速度改变量相同，Δv ＝Δv y ＝g Δt ，方向竖直向下．
(2)研究方法：平抛运动可以分解为水平方向上的匀速直线运动和竖直方向上的自由落体运动． 2．平抛运动的规律
如图所示，一物体从距地面高h 处的O 点以水平初速度v 0抛出，做平抛运动．t 时刻到达A 点，此处的速度偏角为θ，位移偏角为α.落地点为B ，落地速度与水平方向夹角为β.根据此情景，讨论平抛运动的规律如下：
(1)位移关系：x A ＝v 0t ，y A ＝12gt 2，s A ＝x 2A ＋y 2A
，位移偏角α满足tan α＝y A x A ＝gt 2v 0. (2)速度关系：v x ＝v 0，v y ＝gt ，v A ＝v 2x ＋v 2
y ，速度偏角θ满足tan θ＝v y 0＝gt 0.
(3)平抛运动中两个常用的结论
①由位移偏角与速度偏角的表达式可以看出：做平抛运动的物体，在任一位置速度偏角θ与位移偏角α的关系为tan θ＝2tan α.
②做平抛运动的物体在任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，即x 0＝x A
2.推导过程如下：
⎭
⎪⎬⎪⎫tan θ＝y A
x A －x 0tan α＝y A
x A
――→tan θ＝2tan αx 0＝x A
2 三、斜抛运动的规律
斜抛运动的处理方法与平抛运动相似，都是利用运动的合成与分解，不同的是斜抛物体在竖直方向的初速度不为零．如图所示，设斜抛的初速度为v 0，抛出时的方向与水平方向的夹角为θ.可分解为在水平方向上的速度v 0x ＝v 0cos θ
的匀速
直线运动，在竖直方向上的初速度v 0y ＝v 0sin θ的竖直上抛运动． (1)速度：v
x ＝v 0x ＝v 0cos θ，v y ＝v 0sin θ
－gt ；
(2)位移：x ＝v 0cos θ·t ，y ＝v 0sin θ·t －1
2gt 2；
(3)射高：H ＝v 20y 2g ＝（v 0sin θ）
2
2g
；
(4)射程：s ＝v 0x t ＝v 0cos θ·2v 0sin θg ＝v 20sin 2θ
g
.
四、圆周运动
1．描述圆周运动的物理量及关系
(1)向心加速度a 、线速度v 、角速度ω、半径r 、周期T 、转速n ，它们之间的关系为v ＝ωr ，ω＝2πT ，T ＝1
n ，a ＝v 2r .因此，这6个物理量之间环环相扣，一般用连等式表示：a ＝v 2r ＝ω2
r ＝ωv ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT 2r ＝(2πn )2r .
(2)传动装置的两种典型模型
描述圆周运动的状态参量较多，而“传动装置问题”集中反映了各物理量的特点和制约关系．在分析传动装置中各物理量的关系时，要善于抓住对应模型的等量关系，从而建立不等量之间的关系．
①同轴传动：绕同一转轴转动的物体上的各点角速度ω相同，线速度v ＝ωr ，与半径r 成正比；向心加速度a ＝ω2r ，与r 成正比．
②皮带传动：当皮带不打滑时，用皮带连接的两轮边缘上各点的线速度大小相等，两皮带轮上各点的角速度、向心加速度关系可根据ω＝v r 、a ＝v 2
r 确定． 2．匀速圆周运动 (1)特点
②所受合外力全部提供向心力．
(2)条件：初速度不为零，合外力大小不变，方向始终与速度垂直．
(3)向心力：F ＝ma ＝m v 2r ＝mω2
r ＝m 4π2T 2r .方向总指向圆心，时刻变化，是变力． 3．向心力与合力的关系 (1)匀速圆周运动
⇒⎩⎨
⎧①F 合指向圆心，完全充当向心力；②F 合只改变线速度的方向，不改变线速度的大小.
(2)变速圆周运动
五、两类典型曲线运动的分析方法比较
1．对于平抛运动这类“匀变速曲线运动”，我们的分析方法一般是“在固定的坐标系内正交分解其位移和速度”．x 轴方向：x ＝v 0t ，v x ＝v 0；y 轴方向：y ＝1
2gt 2，v y ＝gt .
2．对于匀速圆周运动这类“非匀变速曲线运动”，我们的分析方法一般是“在运动的坐标系内正交分解力和加速度”．切向：F 切＝ma 切＝0；法向：F 法＝F 向＝ma 向＝m v 2
r ＝mω2r ＝m v ω. 六、万有引力与航天 1．开普勒三定律
注意：开普勒第三定律中的k 由中心天体决定，与环绕天体无关．若将椭圆轨道按圆轨道处理，则行星绕太阳做匀速圆周运动，a 为圆轨道的半径r ，即r 3
T 2＝k . 2．万有引力定律的基本应用
(1)基本方法：把天体(或人造卫星)的运动看成匀速圆周运动，其所需向心力由万有引力提供．
(2)解决天体圆周运动问题的两条思路
①在地面附近万有引力近似等于物体的重力(常用于“地上”问题，如赤道上的物体)，即G Mm
R 2＝mg ，整理得GM ＝gR 2(被称为黄金代换式)．利用此关系式可求
得行星表面的重力加速度g ＝GM
R 2.
②天体运动都可以近似地看成匀速圆周运动，其向心力由万有引力提供(常用于“天上”问题，如卫星)，即G Mm r 2＝m v 2r ＝mω2
r ＝m 4π2T 2r ＝ma . 3．万有引力与重力的区别与联系
地球对物体的万有引力F 表示为两个效果：一是重力mg ，二是提供物体随地球自转的向心力F
向，如图所示．
(1)在赤道上：G Mm
R 2＝mg 1＋mω2R .
(2)在两极上：G Mm
R 2＝mg 2.
(3)在一般位置：万有引力G Mm
R 2等于重力mg 与向心力F 向的矢量和．
越靠近南北两极g 值越大．由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为重力和万有引力近似相等，即GMm
R 2＝mg . 4.人造地球卫星 (1)三种宇宙速度
第一宇宙速度(环绕速度)：在人造卫星的发射过程中火箭要克服地球的引力做功，所以将卫星发射到越高的轨道，在地面上所需的发射速度就越大，故人造卫星的最小发射速度对应将卫星发射到贴近地面的轨道上运行的速度．故有：G Mm
R 2
＝m v 21
R ，v 1＝
GM R ＝7.9 km/s ，或mg ＝m v 21
R ，v 1＝Rg ＝7.9 km/s.
注意：第一宇宙速度的两个表达式，不仅适用于地球，也适用于其他星球，只是M 、R 、g 是相应星球的质量、半径和表面的重力加速度．若7.9 km/s ≤v ＜11.2 km/s ，物体绕地球运行．
第二宇宙速度(脱离速度)：物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度．若11.2 km/s ≤v ＜16.7 km/s ，物体绕太阳运行．
第三宇宙速度(逃逸速度)：物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度．若v ≥16.7 km/s ，物体将脱离太阳系在宇宙空间运行． (2)卫星的运行参量
卫星绕地球的运动近似看成圆周运动，万有引力提供向心力，类比行星绕太阳的运动规律，同样可得：G Mm r 2＝m v 2r ＝mω2
r ＝m 4π2T 2r ＝ma ，可推导出：
⎭
⎪⎪⎬⎪⎪⎫v ＝
GM
r
ω＝GM
r
3T ＝
4π2r
3
GM a ＝GM r 2
⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
v 减小
ω减小T 增大a 减小⇒越高越慢 (3)同步卫星的特点
①轨道平面一定：轨道平面与赤道平面共面； ②运行方向一定：自西向东与地球自转同步； ③周期一定：与地球自转周期相同，即T ＝24 h ；
④高度一定：由G Mm
（R ＋h ）2＝m 4π2
T 2(R ＋h )，得同步卫星离地面的高度h ＝3GMT 2
4π
2－R ＝3.6×107
m. 由同步卫星的周期T 和高度h 一定，还可以推导出同步卫星的运行速率v 、角速度ω，向心加速度a 也是确定的．但是，由于不同的同步卫星的质量不同，受到的万有引力不同．。