高一下学期开学考试(第一次测试)数学试题

2026届高一年级寒假验收考试数学试题（答案在最后）命题人：宋德霞考生注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．3．考生作答时，请将答案答在答题卡上，选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写．．．．．．．．的答案无效，在试题卷，草稿纸上作答无效．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4．本卷命题范围：人教B 版必修第一册，必修第二册，必修第三册7.1．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合则{}02A x x =<<，{}0,1,2B =，则A B = （）A ．{}1B ．{}0,1C ．{}1,2D ．{}02．角2024°的终边在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知幂函数()f x 的图象过点14,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，则（）A ．()18f x x=B ．()12f x x-=C ．()72f x x =-D ．()2132f x x =4．在ABC △中，D 为BC 的中点，E 为AC 边上的点，且3AE EC =，则ED = （）A ．1124AB AC-+B ．1223AB AC-C ．1223AB AC-+D ．1124AB AC-5．已知正实数a ，b ，设甲：11a a b b +<+>，则甲是乙的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．去年4月，国内猪肉，鸡蛋，鲜果、禽肉、粮食，食用油、鲜菜价格同比（与前年同期相比）的变化情况如图所示，则下列说法正确的是（）A ．猪肉、鸡蛋、鲜果、禽肉、粮食、食用油这6种食品中，食用油价格同比涨幅最小粮食、食用油、鲜菜价格同比变化情况B ．猪肉价格同比涨幅超过禽肉价格同比涨幅的5倍C ．前年4月鲜菜价格要比去年4月低D ．这7种食品价格同比涨幅的平均值超过7%7．已知函数()231x f x x =++，()2log 31g x x x =++，()331h x x x =++的零点分别是a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a c b >>B ．b c a>>C ．b a c>>D ．a b c>>8．函数()()2445f x x x x x =--）A ．4B ．2C ．4120D ．2110二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．下列各组向量中，不能作为基底的是（）A ．()10,0e = ，()21,1e =B ．()11,2e = ，()22,1e =-C ．()13,4e =- ，234,55e ⎛⎫=-⎪⎝⎭D ．()12,6e = ，()21,3e =--10．某射击运动员射击10次，中靶环数分别是7．8，9，7，6，5，10．9，5，7（单位：环），则（）A ．这组数据的中位数与众数相等B ．这组数据的30%分位数与极差相等C ．若有放回地抽取两个数，则“一个小于8一个大于8”和“两个数都大于7”是互斥事件D ．若不放回地抽取两个数，则“两个数都小于8”和“两个数都大于7”是对立事件11．已知()10y x x=>．则（）A x y 的最小值为2B ．28x y的最大值为34C ．229x y +的最小值为23D ．y y x -的最小值为14-12．已知函数()f x ，()g x 的定义域均为R ，()()()11f x f x f x ++-=，()3g x -是偶函数，且()()32f x g x +-=，若()31g -=则（）A ．()112f =B ．()f x 的图象关于点3,02⎛⎫⎪⎝⎭中心对称C ．()()6f x f x =+D ．()f x 为奇函数三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知扇形OAB 的圆心角为2rad ，其弧长是1cm ，则该扇形的面积是______2cm ．14．已知()2,1a =-，()1,2b =- ，()()22a b a b m +- ∥，则m =______．15．甲、乙两个篮球队进行比赛，获胜队将代表所在区参加市级比赛，他们约定，先赢四场比赛的队伍获胜．假设每场甲、乙两队获胜的概率均为12，每场比赛不存在平局且比赛结果相互独立，若在前三场比赛中，甲队赢了两场，乙队赢了一场，则最终甲队获胜的概率为______．16．已知函数()()13mx f x an a +=+-其中m ，n ∈R ，0a >且1a ≠）的图象恒过定点()2,1，()1f =，则()2f m n +=⎡⎤⎣⎦______．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）已知集合{}22150M x x x =--<，{}237N x m x m =-<<+．（1）当4m =-时，求()R M N ð；（2）若x N ∈是x M ∈的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．18．（本小题满分12分）设两个非零向量a 与b不共线．（1）若b A a B =+，28a b BC =+，()3b CD a =-，求证：A ，B ，D 三点共线；（2）试确定实数k ，使ka b + 和a kb +反向共线．19．（本小题满分12分）已知函数()2221f x x x -=-+，函数()()1g x f x x=⋅．（1）求函数()g x 的解析式；（2）试判断函数()g x 在区间()1,+∞上的单调性，并证明；（3）求函数()g x 的值域．20．（本小题满分12分）某校倡议七年级学生利用双休日在各自社区参加义务劳动，为了解学生们的劳动情况，学校随机抽查了部分学生的劳动时间，并用得到的数据绘制成不完整的统计图表，如图所示：劳动时间（时）频数（人数）频率[)0,1120.12[)1,2300.3[)2,3x 0.4[]3,418y 合计m1（1）统计表中的x =______，y =______，补全频率分布直方图；（2）估计所有被调查学生劳动时间的平均数；（3）针对被调查的学生，用分层抽样的方法从劳动时间在[)0,1和[]3,4的两组中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人．求这2人全部来自劳动时间在[]3,4的概率．21．（本小题满分12分）已知不等式()214k x k k +≤++，其中x ，k ∈R ，（1）若3x =，解上述关于k 的不等式；（2）若不等式对[)4,k ∀∈-+∞恒成立，求x 的取值范围．22．（本小题满分12分）已知函数()42log 6x f x x -=-，且()31f =-，()44221x x x xg x m m --=+-⋅-⋅+．（1）解不等式()1f x >；（2）设不等式()1f x >的解集为集合A ，若对任意1x A ∈，存在[]20,1x ∈，使得()12x g x =，求实数m 的取值范围．2026届高一年级寒假验收考试·数学试题参考答案，提示及评分细则1．A 由()()2,00,2A =- ，{}0,1,2B =，则{}1A B = ，故选A ．2．C 20242245360︒=︒+⨯︒，因为224°的终边在第三象限，所以角2024°的终边在第三象限．故选C ．3．B 设幂函数()af x x =，将点14,2⎛⎫ ⎪⎝⎭代入ay x =得142a=，所以12a =-．所以幂函数的解析式为()12f x x-=．故选B ．4．D 如图，因为D 为BC 的中点，所以()12AD AB AC =+ ，又3AE EC =，所以34AE AC = ，所以()13112424ED AD AE AB AC AC AB AC =-=+-=- ．故选D ．5．C 由0a >，0b >及()1011a a a bb b b b +--=<++，得0a b <<，所以11a b >，显然>>可知110a b>>，则0b a >>，所以()1011a a a b b b b b +--=<++，即11a ab b +<+，所以甲是乙的必要条件．综上可知，甲是乙的充要条件．故选C ．6．D 由图可知，猪肉，鸡蛋，鲜果，禽肉，粮食，食用油这6种食品中，粮食价格同比涨幅最小，所以A 错误；因为34.4%58.5%<⨯，所以B 错误；前年4月鲜菜价格要比去年4月高．所以C 错误；因为()121.2%7.6%3%8.5%9.6%10.4%34.4%7⨯-++++++()122%7%3%8%9%10%34%7>⨯-++++++⎡⎤⎣⎦149%7%7=⨯=，所以D 正确．故选D ．7．B 令()0f x =，()0g x =，()0h x =得231xx =--，2log 31x x =--，331x x =--，则a 为函数2xy =与31y x =--交点的横坐标，b 为函数2log y x =与31y x =--交点的横坐标，c 为函数3y x =与31y x =--交点的横坐标，在同一直角坐标系中，分别作出2xy =，2log y x =，3y x =和31y x =--的图象，如图所示，由图可知，b c a >>，故选B ．8．C 由解析式易知()f x 的定义域为[]0,4，令)0t t =+>，所以24t =+2122t =-，由y =04x ≤≤，可知0y ≤≤248t ≤≤，则2t ≤≤所以()()(222114225255f x g x t t t t ⎛⎫==--=-++≤≤ ⎪⎝⎭，则()()2154141522020f xg t t ⎛⎫==--+≤⎪⎝⎭，所以()f x 的最大值为4120．故选C ．9．ACD A ，C ，D 中向量1e 与2e x 共线，不能作为基底；B 中1e ，2e不共线，所以可作为一组基底．故选ACD ．10．AC由题知，这组数从小到大排列为5，5，6，7，7，7，8，9，9，10，所以这组数据的众数为7，中位数是()7727+÷=，所以这组数据的中位数与众数相等，故A 正确；因为100.33⨯=，所以这组数据的30%分位数为()672 6.5+÷=，极差为1055-=，不相等，故B 错误；若有放回地抽取两个数，则“一个小于8一个大于8”和“两个数都大于7”是互斥事件，故C 正确；若不放回地抽取两个数，则“两个数都小于8”和“两个数都大于7”是互斥事件，但不是对立事件，故D 错误．故选AC ．11．AD 对于A ，因为0x >，0y >2≥=，当且仅当1x y ==时，等号成立，A 正确；对于B ．因为0x >，0y >，由基本不等式得328222x xx y+=≥==当且仅当3,1,x y xy =⎧⎨=⎩即x =3y =时，等号成立，故28x y 的最小值为B 错误；对于C ，由基本不等式得22966x y xy +≥=，当且仅当x =3y =时，等号成立，故229x y +的最小值为6，C 错误；对于D ，因为()10,0y x y x=>>，所以22111244y y y y y x ⎛⎫-=-=--≥-⎪⎝⎭，当12y =时，等号成立，故y y x -的最小值为14-，D 正确．故选AD 12．ABC因为()3g x -是偶函数，所以()()()()()()3323f x g x f x g x f x g x -+--=-+-==+-，所以()()f x f x =-．当0x =时，()()032f g +-=，又()31g -=，所以()01f =，所以()()()1101f f f +-==，所以，()112f =，故A 正确；由()()()11f x f x f x ++-=，得()()()21f x f x f x +-=-，两式相加得()()12f x f x -+=-，所以()()3f x f x =-+，又()()f x f x =-，所以，()()3f x f x -=-+，即()()30f x f x -++=，所以()f x 的图象关于点3,02⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，故B 正确；()()()36f x f x f x =-+=+，故C 正确；由()()f x f x =-可知()f x 为偶函数；D 不正确．故选ABC ．13．14设扇形的半径为R ，则12R =，所以12R =，所以扇形的面积为21111cm 224⨯⨯=．14．－6因为()2,1a =-，()1,2b =- ，所以()425,a b +=- ，()323,6a b m m m -=--，由()()23a b a b m +-∥，得()()564230m m -+-=，解得6m =-．15．1116由题意得甲、乙两队获胜的概率均为12，且最多再进行四场比赛，最少再进行两场比赛，则再进行两场比赛甲队获胜的概率为111224⨯=；再进行三场比赛甲队获胜的概率为11111112222224⨯⨯+⨯⨯=；再进行四场比赛甲队获胜的概率为111111111111322222222222216⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯=，所以最终甲队获胜的概率为11311441616++=．16．22由题意，函数()()13mx f x an a +=+-恒过定点()2,1，可得210,30,m n +=⎧⎨-=⎩解得12m =-，3n =，所以15322m n +=-+=，()()1123x mx f x a n a a -++=+-=，()121f a ==2a =．则511445222f -+-⎛⎫==⎪⎝⎭，()221245222f m n f -⎛⎫⎡⎤⎛⎫+===⎡⎤ ⎪ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦⎝⎭．17．解：{}{}2215035M x x x x x =--<=-<<．（1）当4m =-时，{}113N x x x =-<<，则{}R 113N x x x =≤-≥或ð，所以(){}R 35M N x x =≤< ð．（2）若x N ∈是x M ∈的必要不充分条件，则M N Ü，所以233,75,m m -≤-⎧⎨+≥⎩（等号不同时取得），解得20m -≤≤，故实数m 的取值范围为[]2,0-．18．（1）证明：∵b A a B =+ ，28a b BC =+，()3b C a D =- ，∴()()832833552a b a b a b BD B D a C b a b A C B ===++-=++-++=．∴AB 、BD共线，又∵它们有公共点B ，∴A 、B 、D 三点共线．（2）解：∵ka b - 与a kb +向共线，∴存在实数()0λλ<，使即()bka b a k λ+=+即b ka b a k λλ+=+，∴()()1bk a k λλ=--∵a ，b是不共线的两个非零向量，∴10k k λλ-=-=，∴210k -=，∴1k =±，∵0λ<，∴1k =-．19：解：（1）令2t x =-，则2x t =+，∴()()()22221f t t t =+-++，∴()221f t t t =++，即()221f x x x =++，∴()()12f x g x x xx==++．（2）函数g （x ）在区间()1,+∞上单调递增．证明：任取121x x >>，则()()()()12121212121211122x x x x g x g x x x x x x x --⎛⎫⎛⎫-=++-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又120x x ->，1210x x ->，120x x >，∴()()120g x g x ->，即()()12g x g x >，∴函数()g x 在区间()1,+∞上是增函数．（3）当0x >时，()1224g x x x =++≥=，当且仅当1x =时．等号成立．当0x <时，()()112220g x x x x x ⎡⎤⎛⎫=++=--+-+≤-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，当且仅当1x =-时，等号成立．∴()g x 的值域为(][),04,-∞+∞ ．20．解：（1）由题意120.12100m m =⇒=，故0.440x m ==，180.18y m==，频率分布直方图如图所示：（2）平均劳动时间120.530 1.540 2.518 3.5214 2.14100100t ⨯+⨯+⨯+⨯===（时）．（3）由题意，劳动时间在[)0,1应抽取的人数为0.12520.120.18⨯=+（人），分别记为A ，B ；劳动时间在[]3,4应抽取的人数为0.18530.120.18⨯=+（人），分别记为a ，b ，c ．则该试验的样本空间()()()()()()()()()(){},,,,,,,,,,,,,,,,,,,A B A a A b A c B a B b B c a b a c b c Ω=，()10n Ω=．设事件M =“抽取的2人均来自[]3,4”，则()()(){},,,,,M a b a c b c =，()3n M =，所以()310P M =，故所求概率为310．21．解：（1）若3x =，则不等式()214k x k k +≤++变形为2210k k -+≥，即()210k -≥，解得k ∈R ，故不等式的解集为R ．（2）不等式()214k x k k +≤++对[)4,k ∀∈-+∞恒成立．当1k =-时，()()20114≤-+-+，即04≤，x ∈R ；当1k >-时，241k k x k++≤+恒成立．∵24441113111k k k k k k k ++=+=++-≥=+++（当且仅当41,11,k k k ⎧+=⎪+⎨⎪>-⎩即1k =时，等号成立）∴3x ≤；当41k -≤<-时，241k k x k++≥+时恒成立．∵()()244411115111k k k k k k k ⎡⎤++=++-=--++-≤-⎢⎥++-+⎣⎦（当且仅当41,141,k k k ⎧+=⎪+⎨⎪-≤<-⎩即3k =-时，等号成立），∴5x ≥-．综上，x 的取值范围为[]5,3-．22，解：（1）由条件()2log 6ax f x x -=-可知，206x x ->-，解得26x <<，故函数()f x 的定义域为()2,6，由()31f =-，可知1log 13a=-，得到3a =，即()32log 6x f x x -=-，解不等式()1f x >，即236x x ->-，解得56x <<，所以不等式()1f x >的解集为{}56x x <<．（2）由（1）可知{}56A x x =<<．设22x x t -=+，则当[]0,1x ∈时，[]21,2x∈，对于函数1y x x =+，[]1,2x ∈时为增函数，故5222,2x x t -⎡⎤=+∈⎢⎣⎦，则()()()22222211xx x x g x m t mt --=+-+-=--，设()21h t t mt =--，由题意知()5,6A =为52,2t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时()h t 的值域的子集，当22m ≤，即4m ≤时，()h t 在52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，故()2325,5215 6.242h m h m =-≤⎧⎪⎨⎛⎫=-≥ ⎪⎪⎝⎭⎩即得3110m -≤≤-；当5222m <<，即45m <<时，()h t 在52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为()2h ，52h ⎛⎫ ⎪⎝⎭中的较大者，令()2326h m =-≥，∴32m ≤-；令52156242h m ⎛⎫=-≥ ⎪⎝⎭，则316m ≤-，不合题意；当522m ≤，即5m ≥时，()h t 在52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则()2326,52155,242h m h m =-≥⎧⎪⎨⎛⎫=-≤ ⎪⎪⎝⎭⎩解得m ∈∅．综合上述，实数m 的取值范围为31,10⎡⎤--⎢⎥⎣⎦．。

A。 B.
C。 D。
【答案】D
【解析】
【分析】
依次判断每个函数的单调性和奇偶性得到答案。
【详解】 ,则 ，函数为偶函数，在区间 上单调递增，故A不满足；
，则 ,函数为偶函数，在区间 上有增有减，故B不满足；
是非奇非偶函数，故C不满足；
， ，函数为偶函数，当 时， ，函数单调递减，满足。
故选：D。
【点睛】本题考查了函数的单调性和奇偶性,意在考查学生对于函数性质的灵活运用。
【详解】解：由题意可知函数 的最小正周期 ，
∴ ,解得 ，
∴ ，
由 得 ，
当 时，得 ，故A错；
当 时，得 ，故B错、C对;
当 时,得 ，故D错；
故选：C．
【点睛】本题主要考查正切函数的周期性与单调性，考查数学想象能力，属于基础题．
7.已知函数 是定义在 上的奇函数,当 时， ，若 ，则 为（)
A。 B。
④当 ,则 ，可得 ，解得 ，
综上可得,实数 的值为 或 。
故选：D.
【点睛】本题主要考查了分段函数的解析式的应用,以及函数的奇偶性的应用，其中解答中熟练应用函数的解析，结合函数的奇偶性合理转化是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.
8。已知函数 ，则 的最小值为( )
A。4B。5C. 6D。
【答案】B
13.已知向量 ， ，若 ，则实数 的值是______.
【答案】
【解析】
【分析】
直接利用向量垂直公式计算得到答案。
【详解】 ，则 ，解得 .
故答案为: .
点睛】本题考查了根据向量垂直求参数，属于简单题.
14。已知等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 ______。
【答案】

湖南省长沙市长郡中学2023-2024学年高一下学期寒假检测（开学考试）数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________二、多选题下列结论正确的是（ ）A ．()00f =B ．函数()y f x =是偶函数C ．函数()y f x =是周期函数D ．()()sin g x f x x =-，()1,1x Î-，若1211x x -<<<，则()()12g x g x ³四、解答题15．化简求值：则函数()p t 的图象是开口向下的拋物线，又()010p =>，()11p a -=--，()11p a =-，当1a >时，函数()p t 有一个零点()11,0t Î-（另一个零点21t >，舍去），()F x 在(]0,2π上有两个零点1x ，2x ，且1x ，()2π,2πx Î；当1a <-时，函数()p t 有一个零点()10,1t Î（另一个零点21t <-，舍去），()F x 在(]0,2π上有两个零点1x ，2x ，且1x ，()20,πx Î；当11a -<<时，函数()p t 有一个零点()11,0t Î-，另一个零点()20,1t Î，()F x 在()0,π和()π,2π上分别有两个零点．由正弦函数的对称性，可知当1a ¹±时，函数()F x 在()0,πn内总有偶数个零点，从而不存在正整数n 满足题意．当1a =时，函数()p t 的一个零点()11,0t Î-，另一个零点21t =；当1a =-时，函数()p t 的一个零点11t =-，另一个零点()20,1t Î，从而当1a =或1a =-时，函数()F x 在(]0,2π上有3个零点，由正弦函数的周期性，20133671=´，所以依题意得67121342n =´=．综上，当1a =，1342n =或1a =-，1342n =时，函数()()()F x f x ag x =+在()0,πn 内恰有2013个零点．【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数，解题关键是合理换元与分类讨论，然后依据不同情况讨论函数值，得到所要求情况的参数值即可．。

云天化中学2021-2021学年高一数学下学期开学考试试题〔含解析〕制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日第I 卷一、选择题〔本大题一一共7小题，每一小题5分，一共35分.每一小题只有一个．．．．选项符合题意.〕1.设在ABC ∆中,角,A B C ，所对的边分别为,a b c ，, 假设cos cos sin b C c B a A +=, 那么ABC ∆的形状为 〔 〕A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不确定【答案】B【解析】【分析】利用正弦定理可得()2sin sin B C A +=，结合三角形内角和定理与诱导公式可得sin 1,2A A π==，从而可得结果.【详解】因为cos cos sin b C c B a A +=，所以由正弦定理可得2sin cos sin cos sin B C C B A +=，()22sin sin sin sin B C A A A +=⇒=， 所以sin 1,2A A π==，所以是直角三角形.【点睛】此题主要考察正弦定理的应用，属于根底题. 弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下几种：〔1〕知道两边和一边的对角，求另一边的对角〔一定要注意讨论钝角与锐角〕；〔2〕知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；〔3〕证明化简过程中边角互化；〔4〕求三角形外接圆半径.2.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．4505S a ==，，那么A. 25n a n =-B. 310n a n =-C. 228n S n n =-D. 2122n S n n =- 【答案】A【解析】【分析】等差数列通项公式与前n 项和公式．此题还可用排除，对B ，55a =，44(72)1002S -+==-≠，排除B ，对C ，245540,25850105S a S S ==-=⨯-⨯-=≠，排除C ．对D ，24554150,5250522S a S S ==-=⨯-⨯-=≠，排除D ，应选A ． 【详解】由题知，41514430245d S a a a d ⎧=+⨯⨯=⎪⎨⎪=+=⎩，解得132a d =-⎧⎨=⎩，∴25n a n =-，应选A ． 【点睛】此题主要考察等差数列通项公式与前n 项和公式，浸透方程思想与数学计算等素养．利用等差数列通项公式与前n 项公式即可列出关于首项与公差的方程，解出首项与公差，在适当计算即可做了判断．3.在ABC ∆中，60A =︒，45B =︒，BC =AC =〔 〕C.D. 【答案】C【解析】【分析】在三角形中，利用正弦定理可得结果.【详解】解：在ABC ∆中，可得sin sin BC AC A B=, 即2sin 60sin 45AC，即2AC， 解得AC =应选C.【点睛】此题考察了利用正弦定理解三角形的问题，解题的关键是纯熟运用正弦定理公式.4.在ABC ∆中，cos 2C =，那么AB= A.D. 【答案】A【解析】分析：先根据二倍角余弦公式求cosC,再根据余弦定理求AB. 详解：因为223cos 2cos 12()1,255C C =-=⨯-=-所以22232cos 125215()325c a b ab C c =+-=+-⨯⨯⨯-=∴= A.点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合条件灵敏转化边和角之间的关系，从而到达解决问题的目的.5.ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a ，b ，c ，假设ABC 的面积为2224a b c +-，那么C = A. π2 B. π3 C. π4 D. π6【答案】C【解析】分析：利用面积公式12ABC S absinC =和余弦定理2222a b c abcosC +-=进展计算可得． 详解：由题可知222124ABC a b c S absinC +-== 所以2222absinC a b c +-=由余弦定理2222a b c abcosC +-=所以sinC cosC =()C 0,π∈C 4π∴=应选C.点睛：此题主要考察解三角形，考察了三角形的面积公式和余弦定理．6.如图，在ABC ∆中，D 是边AC 上的点，且AB AD =，23AB BD =，2BC BD =，那么sin C 的值是〔 〕3 B. 36 6 6【答案】D【解析】【分析】在ABD ∆中，利用余弦定理可求cos A ，根据同角的三角函数的根本关系式求出sin A 后在ABC ∆中利用正弦定理可求sin C .【详解】设AB a ，∴AD a =，3BD =，23BC BD == 在ABD ∆中，2222224213cos 223a a AB AD BD A AB AD a -+-===⋅，因为A 为三角形的内角， ∴222sin 1cos 3=-=A A . 在ABC ∆中，由正弦定理知3226sin sin 436AB C A BC =⋅=⨯=. 应选：D.【点睛】在解三角形中，我们有时需要找出不同三角形之间相关联的边或者角，由它们沟通分散在不同三角形的几何量．7.如图，一辆汽车在一条程度的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30的方向上，行驶600m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，那么此山的高度CD =( )m .A. 2B. 6C. 3003D. 1002【答案】B【解析】【分析】设此山高h 〔m 〕，在BCD ∆中，利用仰角的正切表示出BC ，进而在ABC ∆中利用正弦定理求得h ．【详解】设此山高h 〔m 〕，那么3BC h =，在ABC ∆中，30BAC ︒∠=，105CBA ︒∠=，45BCA ︒∠=，600AB =，60045sin ︒=，解得h =〔m 〕，应选：B .【点睛】此题考察正弦定理在实际中的应用，考察识图才能，属于常考题.第二卷二、填空题〔本大题一一共3小题，每一小题5分，一共15分〕8.在等差数列{}n a 中，假设3456725a a a a a ++++=，那么28a a +=__________.【答案】10【解析】因为{}n a 是等差数列，所以37462852a a a a a a a +=+=+=，345675525a a a a a a ++++==即55a =，所以285210a a a +==，故答案为10．9.ABC ∆中，120A ︒=，4AC =，5AB =，那么ABC ∆的面积为____.【答案】【解析】【分析】根据正弦定理，易得ABC ∆的面积为1sin 2S AC AB A =⨯⨯∠，然后代入相关数据计算可得答案. 【详解】在ABC ∆中，120A ︒=，4AC =，5AB =，∴ABC ∆的面积为11sin 45222S AC AB A =⨯⨯∠=⨯⨯⨯= ∴ABC ∆的面积为.【点睛】此题考察正弦定理的应用，解题关键是纯熟掌握三角形面积公式，属于常考题.10.在ABC 中，60,B AC ==，那么AB BC +的最大值为___________．【答案】【解析】 由余弦定理：222cos 2a c b B ac +-= ，即：221322a c ac+-= ， 整理可得：()2233332a c a c ac +⎛⎫+=+≤+⨯ ⎪⎝⎭ ，解得：a c +≤，当且仅当a c ==时等号成立，那么AB BC +，即a+c 的最大值为三、解答题〔本大题4小题，第11--12小题每一小题12分；第13-14小题，每一小题13分，一共50分.解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．〕 11.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，17a =-，315S =-．〔1〕求{}n a 的通项公式；〔2〕求n S ，并求n S 的最小值．【答案】〔1〕a n =2n –9，〔2〕S n =n 2–8n ，最小值为–16．【解析】分析：〔1〕根据等差数列前n 项和公式，求出公差，再代入等差数列通项公式得结果，〔2〕根据等差数列前n 项和公式得n S 的二次函数关系式，根据二次函数对称轴以及自变量为正整数求函数最值.详解：〔1〕设{a n }的公差为d ，由题意得3a 1+3d =–15．由a 1=–7得d =2．所以{a n }的通项公式为a n =2n –9．〔2〕由〔1〕得S n =n 2–8n =〔n –4〕2–16．所以当n =4时，S n 获得最小值，最小值为–16．点睛：数列是特殊的函数，研究数列最值问题，可利用函数性质，但要注意其定义域为正整数集这一限制条件.12.在ABC ∆中，60A ∠=，3.7c a = ()1求sin C 的值；()2假设7a =，求ABC ∆的面积．【答案】〔1〕14；〔2〕【解析】【分析】()1由37c a =，根据正弦定理可得3sin sin 7C A =，从而可求出答案；()2根据同角的三角函数的关系求出cos C ，再根据诱导公式以及两角和正弦公式求出sin B ，利用三角形面积公式计算即可．【详解】〔1〕60A ∠=，37c a =，由正弦定理可得33sin sin 77214C A ==⨯=. 〔2〕假设7a =，那么3c =，C A ∴<，22sin cos 1C C +=，又由()1可得13cos 14C =，()131sin sin sin cos cos sin 142B A C A C A C ∴=+=+=+=11sin 7322ABC S ac B ∆∴==⨯⨯= 【点睛】此题考察了正弦定理、两角和的正弦公式以及三角形的面积公式，属于根底题. 正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下三种：〔1〕知道两边和一边的对角，求另一边的对角〔一定要注意讨论钝角与锐角〕；〔2〕知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；〔3〕证明化简过程中边角互化；〔4〕求三角形外接圆半径.13.a ，b ，c 分别为ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，cos sin 0a C C b c +--=． 〔1〕求A ．〔2〕假设2a =，ABC b ，c ．【答案】(1)60A =︒；(2)2b c ==.【解析】试题分析：〔1〕由题意利用正弦定理边化角可得()sinAcosC sinB sinC sin A C sinC =+=++，化简可得()1302sin A -︒=，那么60A =︒．〔2〕由题意结合三角形面积公式可得12S bc sinA =⋅=4bc =，结合余弦定理计算可得4b c +=，那么2b c ==．试题解析：〔1〕∵在ABC 中，0acosC b c --=，利用正弦定理可得()sinAcosC sinB sinC sin A C sinC =+=++，1cosA -=，即()1302sin A -︒=， ∴3030A -︒=︒，∴60A =︒．〔2〕假设2a =，ABC 的面积为3， 那么13324S bc sinA bc =⋅==， ∴4bc =，又由余弦定理可得()2222234a b c bccosA b c bc =+-=+-=，∴4b c +=，故2b c ==．14.ABC ∆中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC，ABD ∆面积是ADC ∆面积的2倍． (1)求sin sin B C； (2)假设AD ＝1，DC ＝22，求BD 和AC 的长． 【答案】〔1〕12；〔2〕1 【解析】 试题分析：〔1〕借助题设条件运用三角形的面积公式求解；〔2〕借助题设余弦定理立方程组求解.试题解析：〔1〕，1sin 2ACD S AC AD CAD ∆=⋅⋅∠， ∵2ABD ACD S S ∆∆=，BAD CAD ∠=∠，∴2AB AC =．由正弦定理可知sin 1sin 2B AC C AB ∠==∠. 〔2〕∵::2:1ABD ACD BD DC S S ∆∆==，22DC =，制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日 制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日∴BD =．设AC x =，那么2AB x =，在△ABD 与△ACD 中，由余弦定理可知，2222cos 2AD BD AB ADB AD BD +-∠==⋅22223cos 2x AD CD AC ADC AD CD -+-∠==⋅ ∵ADB ADC π∠+∠=，∴cos cos ADB ADC ∠=-∠，223x -=1x =， 即1AC =．考点：三角形的面积公式正弦定理余弦定理等有关知识的综合运用．制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日。