椭圆内接四边形的四极点共线调和分割定理及其简证(东大徐文平)

从交比到调和点列到Apollonius 圆到极线极点2010年10月17日结束的2010年全国高中数学联赛平面几何题目为：如图1，锐角三角形 ABC 的外心为 O ，K 是边 BC 上一点（不是边 BC 的中点），D 是线段AK 延长线上一点，直线BD 与AC 交于点N ，直线CD 与AB 交于点M ．求证：若OK ⊥MN ，则ABDC 四点共圆．K N M OABCD图 1本题颇有难度，参考答案的反证法让有些人“匪夷所思”，其实这是一系列射影几何中常见而深刻结论的自然“结晶”，此类问题在国家队选拔考试等大赛中屡见不鲜。

本文拟系统的介绍交比、调和点列、完全四边形、Apollonius 圆、极线等射影几何的重要概念及应用，抽丝剥茧、溯本求源，揭示此类问题的来龙去脉，并在文中给出上题的一种简洁明了的直接证明。

知识介绍定义1 线束和点列的交比：如图2，共点于O 的四条直线被任意直线所截的有向线段比称为线束OA 、OC 、OB 、OD 或点列ACBD 的交比。

[1]定理1 线束的交比与所截直线无关。

BCOA D图 2证明：本文用[ABC]表示ABC 面积，则从而可知线束交比与所截直线无关。

定义2调和线束与调和点列：交比为-1，即的线束称为调和线束，点列称为调和点列。

显然调和线束与调和点列是等价的，即调和线束被任意直线截得的四点均为调和点列，反之，调和点列对任意一点的线束为调和线束。

定理2调和点列常见形式：（O为CD中点）（1）、（2）、(3)、 AC*AD=AB*AO(4)、 AB*OD=AC*BD证明：由基本关系式变形即得，从略。

定理3一直线被调和线束中的三条平分当且仅当它与第四边平行（由定义即得，证略）定义3完全四边形：如图3，凸四边形ABCD各边延长交成的图形称为完全四边形ABCDEF，AC、BD、EF称为其对角线（一般的四条直线即交成完全四边形）[2]。

定理4 完全四边形对角线互相调和分割。

即AGCH、BGDI、EHFI分别构成调和点列。

尺规作图五点定椭圆的方法徐文平（东南大学南京210096）摘要：已知椭圆上五点，通过确定椭圆圆心、椭圆主轴方向和椭圆长轴短轴位置等三个步骤，尺规作图完成椭圆作图。

椭圆在开普勒行星运行三定律中扮演了重要角色，在机械制图和土木工程领域中也有重要运用。

利用几何画板和cad软件，依据任意五个点的椭圆尺规作图，具有重要意义。

一、引言在几何画板和cad软件中，任意五个点作椭圆，具有意义。

五点定椭圆在卫星轨道，机械制图和土木工程中是有重要用途。

第一步，通过五点寻找椭圆圆心第二步，确定椭圆坐标P、P主轴方向第三步、确定椭圆的长轴a和短轴b1）大狗熊定理1：二次圆锥曲线内接四边形的对边延伸线两交点调和分割对角线两极点。

如图1，椭圆内接四边形KLMN，对边线KN与LM交于A，对边线KL与NM交于B，对角线KM的极点为C，对角线LN的极点为D，KM与LN交于Q点，则A、B、C、D四点共线，且AB调和分割CD，即1/AC+1/AD＝2/AB。

双曲线和抛物线也具有同样性质。

2）命题1：已知椭圆的斜向割线AB，作一条过椭圆圆心O点的任意割线JK，JA、BK交于E点，JB、AK交于F点，确定EF的中点N点，连线NA、NB就是椭圆的切线。

证明：由于割线JK的切线交点极点在无穷远，利用定理1，可以快速证明这个命题。

定理2：圆锥曲线的内接完全四点形的对边三点形是圆锥曲线的自配极三点形。

命题3（高斯定理）：已知椭圆外一点P，过P点作PAB与PCD二条任意椭圆割线，AD、CB交于Q点，AC、BD延长交于R，连线QR与椭圆交于S、T两点，PS、PT就是椭圆的切线。

图3二、通过五点寻找椭圆圆心原理：通过已知五点，作椭圆切线，获得割线的极点，将割线的极点和割线中点连接并延伸，必定通过椭圆的圆心。

图4问题1：只有五点，没有坐标轴和原点，椭圆斜的，割线PQ的切线极点如何办？切线方法：帕斯卡定理（五点+一个切点二次）做切线，或者如图5方法作切线。

第18讲 平几中的几个重要定理（一）本节主要内容有Ptolemy 、Ceva 、Menelaus 等定理及应用．定理1 (Ptolemy 定理)圆内接四边形对角线之积等于两组对边乘积之和；(逆命题成立)定理2 (Ceva 定理)设X 、Y 、Z 分别为△ABC 的边BC 、CA 、AB 上的一点，则A X 、BY 、CZ 所在直线交于一点的充要条件是AZ ZB ·BX XC ·CYYA=1．定理3 (Menelaus 定理)设X 、Y 、Z 分别在△ABC 的BC 、CA 、AB 所在直线上，则X 、Y 、Z 共线的充要条件是AZ ZB ·BX XC ·CYYA=1．定理4 设P 、Q 、A 、B 为任意四点，则PA 2-PB 2=QA 2-QB 2⇔PQ ⊥AB ． A 类例题例1 证明Ptolemy 定理．已知：如图，圆内接ABCD ，求证：AC ·BD =AB ·CD +AD ·BC ． 分析 可设法把 AC ·BD 拆成两部分，如把AC 写成AE +EC ，这样，AC ·BD 就拆成了两部分：AE ·BD 及EC ·BD ，于是只要证明AE ·BD =AD ·BC 及EC ·BD =AB ·CD 即可．证明 在AC 上取点E ，使∠ADE =∠BDC ， 由∠DAE =∠DBC ，得⊿AED ∽⊿BCD ． ∴AE ∶BC =AD ∶BD ，即AE ·BD =AD ·BC ．⑴又∠ADB =∠EDC ，∠ABD =∠ECD ，得⊿ABD ∽⊿ECD ． ∴AB ∶ED =BD ∶CD ，即EC ·BD =AB ·CD ．⑵ ⑴+⑵，得 AC ·BD =AB ·CD +AD ·BC ．链接 用类似的证法，可以得到Ptolemy 定理的推广(广义Ptolemy 定理)：对于一般的四边形ABCD ，有AB ·CD +AD ·BC ≥AC ·BD ．当且仅当ABCD 是圆内接四边形时等号成立． 例2证明Ceva 定理．分析 此三个比值都可以表达为三角形面积的比，从而可用面积来证明． 证明：设S ⊿APB =S 1，S ⊿BPC =S 2，S ⊿CPA =S 3． 则AZ ZB =S 3S 2，BX XC =S 1S 3，CY YA =S 2S 1， 三式相乘，即得证．说明 用同一法可证其逆正确．链接 本题也可过点A 作MN ∥BC 延长BY 、CZ 与MN 分别交于M 、N ，再用比例来证明．运用此定理可以比较简洁证明三条角平分线、三条中线、三条高等共点问题．ZY XCBAABCPXYZABCDEABCPXYZ例3证明Menelaus 定理．证明：作CN ∥BA ，交XY 于N ， 则AZ CN =CY YA ，CN ZB =XC BX． 于是AZ ZB ·BX XC ·CY YA =AZ CN ·CN ZB ·BX XC ·CY YA =1．本定理也可用面积来证明：如图，连AX ，BY ， 记S ∆AYB =S 1，S ∆BYC =S 2，S ∆CYX =S 3，S ∆XYA =S 4．则 AZ ZB =S 4S 2+S 3；BX XC =S 2+S 3S 3；CY YA =S 3S 4，三式相乘即得证．说明 用同一法可证其逆正确．Ceva 定理与Menelaus 定理是一对“对偶定理”．链接 本定理证明很多，可以运用三角、射影等知识；还可以运用此定理证明Ceva 定理． 例4证明定理4 设P 、Q 、A 、B 为任意四点，则PA 2-PB 2=QA 2-QB 2⇔PQ ⊥AB ． 证明 先证PA 2-PB 2=QA 2-QB 2⇒PQ ⊥AB ．作PH ⊥AB 于H ，则 PA 2-PB 2=( PH 2+AH 2)-(PH 2+BH 2)=AH 2－BH 2=(AH +BH )(AH -BH )=AB (AB -2BH )． 同理，作QH ’⊥AB 于H ’， 则QA 2-QB 2=AB (AB -2AH’)∴H =H ’，即点H 与点H ’重合．2-PB 22-QB 2显然成立．说明 本题在证明两线垂直时具有强大的作用．链接 点到圆的幂：设P 为⊙O 所在平面上任意一点，PO =d ，⊙O 的半径为r ，则d 2－r 2就是点P 对于⊙O 的幂．过P 任作一直线与⊙O 交于点A 、B ，则PA·PB = |d 2－r 2|．“到两圆等幂的点的轨迹是与此二圆的连心线垂直的一条直线，如果此二圆相交，则该轨迹是此二圆的公共弦所在直线”这个结论．这条直线称为两圆的“根轴”．三个圆两两的根轴如果不互相平行，则它们交于一点，这一点称为三圆的“根心”．三个圆的根心对于三个圆等幂．当三个圆两两相交时，三条公共弦(就是两两的根轴)所在直线交于一点．情景再现1.如图，P 是正△ABC 外接圆的劣弧︵BC 上任一点 (不与B 、C 重合)， 求证：P A =PB ＋PC ．2.设AD 是△ABC 的边BC 上的中线，直线CF 交AD E ．求证：AE ED =2AF FB． ZY XCBAS 1S 2 S 3S 4 ZY XC BANA BPQHH'PBCAEABCE3．线交于一点证明：三角形的角平分．B 类例题例5 设A 1A 2A 3…A 7是圆内接正七边形，求证：1A 1A 2=1A 1A 3+1A 1A 4．(1987年第二十一届全苏)分析 注意到题目中要证的是一些边长之间的关系，并且是圆内接多边形， 当然存在圆内接四边形，从而可以考虑用Ptolemy 定理． 证明 连A 1A 5，A 3A 5，并设A 1A 2=a ，A 1A 3=b ，A 1A 4=c ． 本题即证1a =1b +1c．在圆内接四边形A 1A 3A 4A 5中，有A 3A 4=A 4A 5=a ，A 1A 3=A 3A 5=b ，A 1A 4=A 1A 5=c ．于是有ab +ac =bc ，同除以abc ，即得1a =1b +1c ，故证． 说明 Ptolemy 定理揭示了圆内接四边形中线段关系，在数学中应用非常广泛．例6 (南斯拉夫，1983)在矩形ABCD 的外接圆弧AB 上取一个不同于顶点A 、B 的点M ， 点P 、Q 、R 、S 是M 分别在直线AD 、AB 、BC 与CD 上的投影．证明，直线PQ 和RS 是互相垂直的，并且它们与矩形的某条对角线交于同一点． 证明：设PR 与圆的另一交点为L ．则→PQ ·→RS =(→PM +→PA )·(→RM +→MS )=→PM ·→RM +→PM ·→MS +→PA ·→RM +→PA ·→MS =－→PM ·→PL +→PA ·→PD =0．故PQ ⊥RS ．设PQ 交对角线BD 于T ，则由Menelaus 定理，(PQ 交∆ABD )得DP PA ·AQ QB ·BT TD =1；即BT TD =PA DP ·QBAQ； 设RS 交对角线BD 于N ，由Menelaus 定理，(RS 交∆BCD )得BN ND ·DS SC ·CR RB =1；即BN ND =SC DS ·RBCR ；显然，PA DP =RB CR ，QB AQ =SC DS ．于是BT TD =BNND，故T 与N 重合．得证．说明 本题反复运用了Menelaus 定理，解题要抓住哪一条直线截哪一个三角形．情景再现4．在四边形ABCD 中，对角线AC 平分∠BAD ，在CD 上取一点E ，BE 与AC 相交于F ，延长DF 交BC 于G ．求证：∠GAC =∠EAC ．（1999年全国高中数学联赛）5．ABCD 是一个平行四边形，E 是AB 上的一点，F 为CD 上的一点．AF 交ED 于G ，EC 交FB 于H ．连接线段GH 并延长交AD 于L ，交BC 于M ．求证：DL =BM .6．在直线l 的一侧画一个半圆T ，C ，D 是T 上的两点，T 上过C 和D 的切线分别交l 于B 和A ，半圆的圆心在线段BA 上，E 是线段AC 和BD 的交点，F 是l 上的点，EF 垂直l ．求证：EF 平分∠CFD ．16T,NSR QPM A BCDLC 类例题例7以O 为圆心的圆通过⊿ABC 的两个顶点A 、C ，且与AB 、BC 两边分别相交于K 、N 两点，⊿ABC 和⊿KBN 的两外接圆交于B 、M 两点．证明：∠OMB 为直角．(1985年第26届国际数学竞赛）分析 对于与圆有关的问题，常可利用圆幂定理，若能找到BM 上一点，使该点与点Ｂ对于圆O 等幂即可． 证明：由BM 、KN 、AC 三线共点P ，知PM ·PB =PN ·PK =PO 2-r 2． ⑴ 由∠PMN =∠BKN =∠CAN ，得P 、M 、N 、C 共圆，故BM ·BP =BN ·BC =BO 2-r 2． ⑵ ⑴－⑵得， PM ·PB -BM ·BP = PO 2 - BO 2， 即 (PM -BM )(PM +BM )= PO 2 - BO 2，就是PM 2-BM 2= PO 2 - BO 2，于是OM ⊥PB ．例8 (蝴蝶定理)AB 是⊙O 的弦，M 是其中点，弦CD 、EF 经过点M ，CF 、DE 交AB 于P 、Q ，求证：MP =QM ．分析 圆是关于直径对称的，当作出点F 关于OM 的对称点F'后，只要设法证明⊿FMP≌⊿F'MQ 即可．证明：作点F 关于OM 的对称点F ’，连FF ’，F’M ，F’Q ，F’D ．则 MF =MF ’，∠4=∠FMP =∠6． 圆内接四边形F ’FED 中，∠5+∠6=180︒，从而∠4+∠5=180︒， 于是M 、F ’、D 、Q 四点共圆，∴∠2=∠3，但∠3=∠1，从而∠1=∠2， 于是⊿MFP ≌⊿MF ’Q ．∴MP =MQ ．说明 本定理有很多种证明方法，而且有多种推广．例9 如图，四边形ABCD 内接于圆，AB ，DC 延长线交于E ，AD 、BC 延长线交于F ，P 为圆上任意一点，PE ，PF 分别交圆于R ，S . 若对角线AC 与BD 相交于T .求证：R ，T ，S 三点共线．分析 对于圆内接多边形有很多性质，本题涉及到圆内接六边形，我们先来证明两个引理． 引理1:A 1B 1C 1D 1E 1F 1为圆内接六边形，若A 1D 1，B 1E 1，C 1F 1交于一点，则有1111111111111=⋅⋅A F F E E D D C C B B A . 如图，设A 1D 1，B 1E 1，C 1F 1交于点O ，根据圆内接多边形的性质易知 △ OA 1B 1∽△OE 1D 1，△OB 1C 1∽△OF 1E 1， △OC 1D 1∽△OA 1F 1，从而有O D O B E D B A 111111=， O B O F C B F E 111111=， OF OD A F D C 111111=. 将上面三式相乘即得1111111111111=⋅⋅A F F E E D D C C B B A ， 引理2：圆内接六边形A 1B 1C 1D 1E 1F 1，若满足1111111111111=⋅⋅A F F E E D D C C B B A O A C BKN MEBRC TAPSDFB F A E 1OC D 11111A BC D E F MF'123456O PQ则其三条对角线A 1D 1，B 1E 1，C 1F 1交于一点． 该引理的证明，留给读者思考．例9之证明如图，连接PD ，AS ，RC ，BR ，AP ，SD . 由△EBR ∽△EPA ，△FDS ∽△FPA ，知EP EB PA BR =,FDFPDS PA =. 两式相乘，得FDEP FPEB DS BR ⋅⋅=. ① 又由△ECR ∽△EPD ，△FPD ∽△FAS ， 知EP EC PD CR =，FA FPAS PD =. 两式相乘， 得FAEP FPEC AS CR ⋅⋅=② 由①，②得FD EC FA EB CR DS AS BR ⋅⋅=⋅⋅. 故=⋅⋅AB SA DS CD RC BR CEDCFD AF BA EB ⋅⋅. ③ 对△EAD 应用Menelaus 定理，有1=⋅⋅CEDCFD AF BA EB ④由③，④得1=⋅⋅ABSADS CD RC BR .由引理2知BD ，RS ，AC 交于一点，所以R ，T ，S 三点共线．情景再现7．(评委会，土耳其，1995)设∆ABC 的内切圆分别切三边BC 、CA 、AB 于D 、E 、F ，X 是∆ABC 内的一点，∆XBC 的内切圆也在点D 处与BC 相切，并与CX 、XB 分别切于点Y 、Z ，证明，EFZY 是圆内接四边形．习题181．在四边形ABCD 中，⊿ABD 、⊿BCD 、⊿ABC 的面积比是3∶4∶1，点M 、N 分别在AC 、CD 上满足AM ∶AC =CN ∶CD ，并且B 、M 、N 三点共线．求证：M 与N 分别是AC 与CD 的中点．(1983年全国高中数学联赛)2．四边形ABCD 内接于圆，其边AB 与DC 延长交于点P ，AD 、BC 延长交于点Q ，由Q 作该圆的两条切线QE 、QF ，切点分别为E 、F ，求证：P 、E 、F 三点共线．(1997年中国数学奥林匹克）3．若⊿ABC 的边a 、b 、c ，所对的角为1∶2∶4，求证：1a =1b +1c．。

高等几何中的调和共轭调和共轭是高等几何中最重要的概念之一, 有关平面图形与二次曲线的许多重要概念和性质都与此密切相关。

它是联系高等几何中各主要概念的一条主线。

本文系统讨论调和共轭概念在高等几何中的重要应用。

1 调和共轭的概念及其重要应用调和共轭: 已知共线四点A、B、C、D, 如果按此顺序的交比(AB, CD) = - 1, 那么就称C、D 关于A、B 成调和共轭, 或称A、B、C、D 成调和点列。

对偶地, 对于共点的四直线a、b、c、d, 如果按此顺序的交比(ab, cd) = - 1则称c、d 关于a、b 成调和共轭, 或称a、b、c、d 成调和线束。

下面列举出可由调和共轭导引出的一些重要概念, 这里略去了全部结论的证明。

(1) 射影变换: 射影变换是将成调和共轭的任意四元素仍变为调和共轭四元素的点变换或线变换。

(2) 线段的中点: 线段的中点是这直线上无穷远点关于线段两端点的调和共轭点。

角的平分线: 角的内、外角平分线关于角的两边成调和共轭。

( 3) 线段的调和中项: 若A、B、C、D 成调和点列, 则线段CD 是线段CA 和CB 的调和中项。

(4) 关于圆的反演: 平面上(不在圆周上的) 一点P 关于已知圆的反演点P′是点P 关于连线PP′与圆的两交点的调和共轭点。

(5) 对合对应: 对合对应中的任一对对应点关于这对合的两个二重元素成调和共轭。

(6) 完全四点形的调和性质: 完全四点形过每一对角点有一组调和线束, 即过这对角点的对角三角形的两条边关于过这对角点的完全四点形的两条边成调和共轭。

完全四线形的调和性质: 完全四线形的每一条对角线上有一组调和点列, 即这对角线上的对角三角形的两顶点关于这对角线上的完全四线形的两顶点成调和共轭。

(7) 关于二次曲线的共轭点: 给定点P, 若另一点P′使得点P、P′关于它们的连线PP′与二次曲线# 的两交点成调和共轭, 则点P′称为点P 关于二次曲线# 的一个共轭点。