任意Bethe树上马尔可夫链场的一类局部强极限定理

GI/G/1排队系统队长的强大数定律和中心极限定理*董海玲(深圳大学数学与计算科学学院,深圳, 518060)摘要：本文首先证明当服务强度小于1时,GI/G/1排队系统的队长是一个特殊的马尔可夫骨架过程——正常返的Doob 骨架过程,然后运用马尔可夫骨架过程的强大数定律和中心极限定理等重要结果,给出了队长的累积过程的期望和方差, 并给出了该累积过程满足强大数定律和中心极限定理的充分条件.关键词：GI/G/1排队系统;队长;马尔可夫骨架过程;强大数定律;中心极限定理Law of Strong Large Numbers and Central Limit Theoremof Queue Length in a GI/G/1 Queueing SystemDong Hailing(School of Mathematics and Computer Science, Shenzhen University, 518060)Abstract First, when service intensity is less than 1, the queue length in a 1GI G // queueing system is proved to be a positive recurrent Doob skeleton process, which is a special case of Markov skeleton processes. Second, the expectation and variance of the cumulative process of the queue length are obtained by using law of strong large numbers, central limit theorem and other important results of Markov skeleton processes. And finally, sufficient conditions for law of strong large numbers and central limit theorem of the accumulated process are given, respectively. Keywords GI/G/1 queueing system; Queue Length; Markov skeleton processes; Law of strong large numbers; Central limit theorem1. 引言近几十年来,随着马尔可夫理论的不断深入和完善,关于排队论的研究得到了很大程度上的丰富和发展,获得了一系列研究成果,代表性文献参见[1]-[6]. 然而,关于 GI/G/1 排队系统,由于其到达时间和服务时间都服从一般的分布,队长过程不再是马尔可夫过程,也无法通过嵌入马尔可夫链的方法来进行研究,因此关于这方面的研究相对较少.侯振挺教授[7]给出了GI/G/1 排队系统队长的瞬时分布,文献[8]给出了队长的极限分布,本文主要研究该队长的累积过程的期望和方差, 大数定律和中心极限定理.2. GI/G/1排队系统本文讨论的1GI G // 排队系统细节如下（参见文献[9]）：(i)顾客到达系统的时间间隔是独立同分布的随机变量,其分布函数是()A x .令00τ=, 12ττ,, 为 0τ 之后顾客陆续到达服务台的时刻, 到达时间间隔1m m m t ττ-=-,于是 ()()(12)m A t P t t m =≤=,,.01()xdA x λ∞=⎰. (ii)每个顾客的服务时间为独立同分布的随机变量,其分布函数是()B x ,并且与{}m t m Z ,∈独立. 令 0v 为 0t = 时系统的所有顾客总的剩余服务时间（即系统的剩余工作负荷）,(12)i v i =,, 为 0t = 之后第 i 个到达系统的顾客的服务时间.于是()()(12)i B t P v t i =≤=,,,01()xdB x μ∞=⎰. (iii) 有一个服务员, 且按先到先服务规则进行服务. 令λμρρ=, 称为系统的服务强度. 假定 (0)0(0)00A B λμ=,=,<,<∞. 基金项目：国家自然科学基金青年基金资助项目 (11001179)3. 队长的强大数定律和中心极限定理设()L t 表示GI/G/1排队系统在时刻 t 的队长（即时刻 t 在服务台前等待的顾客数与正在被服务的顾客数之和）. 令inf{()0}t L t d |=⎧=⎨+∞,,⎩如果上述集合为空 0111inf{()1}0 12n n n t t d L t n γγγγγθγ+|>,=⎧=,=⎨+∞,,⎩=+⋅,=,,如果上述集合为空根据繁忙循环的定义,n γ表示从0开始,第n 个繁忙循环开始的时刻. 令0111i i i Y Y i γγγ+=,=-,≥,, 则i Y 表示第i 个繁忙循环的长度.引理1.[10]如果 1ρ<, 则111[]exp k i k a E Y k λ∞=-=<+∞,∑ (1)其中 ()()0[1()]()k k k a A x dB x ∞-=-⎰. 定理 1. 对于1GI G //排队中的队长()L t , 如果1λμρ=<, ()L t 是正常返的 Doob 骨架过程.证明: (1) 已知n γ表示第n 个繁忙循环开始的时刻,此时,()1n L γ=, 则n γ之后()L t 的取值,仅依赖于n γ时刻()L t 的值,与前面的繁忙周期中 队长的取值完全无关, 即()L t 在1n n γ,≥ 处有马尔可夫性. 于是,()L t 是一个马尔可夫骨架过程,1n n γ,≥ 为其骨架时序列. (2) 对于1n ∀≥, ()1n L γ≡, 即()n L γ服从聚点分布{1}()I x ,根据定义3.1.2[8],()L t 是以{}n γ为更新点的Doob 骨架过程.(3) 如果1λμρ=<, 根据引理3.1,[]i m E Y =<+∞, 于是根据定义3.1.3[8], ()L t 是一个正常返的 Doob 骨架过程.由于()L t 是以 {}n γ 为更新点的 Doob 骨架过程,根据引理3.1.3[8]知i Y , 1i ≥为独立同分布的随机变量序列,设 ()F t 为 1i Y i ,≥ 的分布函数. 令2m m <>,分别表示i Y 的期望和二阶矩.令 1100()()i i i y L s ds y L s ds γγγ+=,=⎰⎰, 1i ≥. 则{1}i y i ,≥表示()L s 在两个更新点之间的累积过程. 由()L s 为正常返的Doob 骨架过程和i Y , 1i ≥为独立同分布的随机变量序列可得, {1}i y i ,≥也为独立同分布的随机变量序列. 令212ασ,分别为i y 的期望和方差, 1122()max max ()012N n n n n t t n n t t t L s ds Z t W t n γγγγγ++≤<≤<∆=,=|∆|,=∆,=,,,⎰,其中t N 表示t 之前更新点的数目.引理2.[6] 设1200T T >,>,为独立同分布的随机变量序列,其共同的分布函数为 ()A x , 期望 A μ<∞.令 1σ≥为一随机变量满足 E σ<∞, 并且对于任意的 n ,1n n T T +,, 与 {}n σ≤独立, 则12C T T T σ=+++ 的分布函数()K x 为非格子分布当且仅当 ()A x 是非格子分布.定理 2. 对于1GI G //中的队长()L t , 如果 1λμρ=<, ()A t 是非格子的, (i) 如果1α<∞,1EV <∞,10()E L s ds γ<∞⎰, 则当t →∞时,有10(())()tE L s ds t o t m α=+⎰ (2)(ii) 如果1α<∞,1EV <∞, 2m <><∞,2α<∞,2()n E W <∞,10()Var L s ds γ<∞⎰,其中2212σσ,分别是i Y 和i y 的方差, 则当t →∞时, 2221210(())(())()t t Var L s ds o t m mασσ=++⎰ (3) 证明: 当()A t 是非格子分布时,根据引理3.2, 1i Y i ,≥的分布函数()F t 也是非格子分布. 如果 1λμρ=<,由定理3.1可知 ()L t 是正常返的Doob 骨架过程.于是,根据定理 3.3.3[8] 可得(2)式和(3)式成立,定理得证.定理 3. (强大数定律) 对于1GI G //中的队长()L t , 如果1λρ=<, ()A t 是非格子的,1α<∞,1EV <∞,10()L s ds γ<∞⎰,则对任意的0ε>,下式几乎必然成立 01()lim t t L s ds t mα→+∞=.⎰ (4)证明: 当()A t 是非格子分布时,根据引理3.2,1i Y i ,≥的分布函数()F t 也是非格子分布. 如果 1λμρ=<,由定理3.1可知 ()L t 是正常返的Doob 骨架过程.于是,根据定理 3.3.2[8] 可得(4)式成立,定理得证.定理 4. (中心极限定理) 对于1GI G //中的队长()L t , 如果1λμρ=<, ()A x 是非格子的, 1α<∞, 1EV <∞, 2m <><∞,10()L s ds γ<∞⎰, 则 1120()lim {}()()t m t t m L s ds t P ααασ→∞-≤=Φ⎰ (5)其中 ()αΦ是一标准正态分布, 12()i i m var y Yασ=-. 证明: 当()A t 是非格子分布时,根据引理3.2,1i Y i ,≥的分布函数()F t 也是非格子分布. 如果 1λμρ=<,由定理3.1可知()L t 是正常返的Doob 骨架过程.于是,根据定理 3.3.4[8]可得(5)式成立,定理得证.参考文献[1] Kendall, G. Some problems in the theory of queues [J]. J. Roy. Statist. Soc. (Series. B), 1951,13,151-185.[2] Kendall, G. Stochastic processes occurring in the theory of queues and their analysis by themethod of imbedded Markov chains [J]. Ann. Math. Statist, 1953, 24,338-354.[3] Kingman, J.F.C. The single server queue in heavy traffic [J]. Proc. Cambridge Phil. Soc, 1961,57,902-904.[4] Kingman, J.F.C. On queues in heavy traffic [J]. J. R. Statist. Soc, 1962, 24,383-392.[5] Assumen, S. Calculation of the steady state waiting time distribution in GI/PH/c andMAP/PH/c Queues [J]. Queueing Systems, 2001, 37, 9-29.[6] Asmussen, S. Applied Probability and Queue (second edition) [M]. New York: Springer, 2003.[7] Hou Zhenting. Markov skeleton processes and application to queueing systems [J]. ActaMathematicae Applicatae Sinica, English Series, 2002, 18(40), 537-552.[8] 董海玲.马尔可夫骨架过程的极限理论[D].长沙：中南大学,2008.[9] Hou Zhengting, Liu Guoxin. Markov skeleton processes and their applications [M]. Beijing:Science Press, and Boston: International Press, 2005.[10] 徐光辉. 随机服务系统[M]. 北京：科学出版社, 1988.。

关于可列非齐次马尔可夫链的一类
强极限定理
可列非齐次马尔可夫链（nonhomogeneous Markov Chains）是一种应用于研究随机过程的工具，它由一系列由当前状态而决定的随机概率变量构成。

强极限定理是可列非齐次马尔可夫链的一个重要的理论，也称为Borel-Cantelli定理。

该定理旨在证明，即使马尔可夫链的各个状态之间的转移概率不相等，但可以实现极限概率下的平均行为。

具体来说，它声称，如果每个状态的转移概率都大于0，则存在一个转移概率矩阵P，它将最终逼近极限状态ω*，使得每个状态在极限状态ω*中的概率为1.。