任意Bethe树上马尔可夫链场的一类局部强极限定理

GI/G/1排队系统队长的强大数定律和中心极限定理*董海玲(深圳大学数学与计算科学学院,深圳, 518060)摘要：本文首先证明当服务强度小于1时,GI/G/1排队系统的队长是一个特殊的马尔可夫骨架过程——正常返的Doob 骨架过程,然后运用马尔可夫骨架过程的强大数定律和中心极限定理等重要结果,给出了队长的累积过程的期望和方差, 并给出了该累积过程满足强大数定律和中心极限定理的充分条件.关键词：GI/G/1排队系统;队长;马尔可夫骨架过程;强大数定律;中心极限定理Law of Strong Large Numbers and Central Limit Theoremof Queue Length in a GI/G/1 Queueing SystemDong Hailing(School of Mathematics and Computer Science, Shenzhen University, 518060)Abstract First, when service intensity is less than 1, the queue length in a 1GI G // queueing system is proved to be a positive recurrent Doob skeleton process, which is a special case of Markov skeleton processes. Second, the expectation and variance of the cumulative process of the queue length are obtained by using law of strong large numbers, central limit theorem and other important results of Markov skeleton processes. And finally, sufficient conditions for law of strong large numbers and central limit theorem of the accumulated process are given, respectively. Keywords GI/G/1 queueing system; Queue Length; Markov skeleton processes; Law of strong large numbers; Central limit theorem1. 引言近几十年来,随着马尔可夫理论的不断深入和完善,关于排队论的研究得到了很大程度上的丰富和发展,获得了一系列研究成果,代表性文献参见[1]-[6]. 然而,关于 GI/G/1 排队系统,由于其到达时间和服务时间都服从一般的分布,队长过程不再是马尔可夫过程,也无法通过嵌入马尔可夫链的方法来进行研究,因此关于这方面的研究相对较少.侯振挺教授[7]给出了GI/G/1 排队系统队长的瞬时分布,文献[8]给出了队长的极限分布,本文主要研究该队长的累积过程的期望和方差, 大数定律和中心极限定理.2. GI/G/1排队系统本文讨论的1GI G // 排队系统细节如下（参见文献[9]）：(i)顾客到达系统的时间间隔是独立同分布的随机变量,其分布函数是()A x .令00τ=, 12ττ,, 为 0τ 之后顾客陆续到达服务台的时刻, 到达时间间隔1m m m t ττ-=-,于是 ()()(12)m A t P t t m =≤=,,.01()xdA x λ∞=⎰. (ii)每个顾客的服务时间为独立同分布的随机变量,其分布函数是()B x ,并且与{}m t m Z ,∈独立. 令 0v 为 0t = 时系统的所有顾客总的剩余服务时间（即系统的剩余工作负荷）,(12)i v i =,, 为 0t = 之后第 i 个到达系统的顾客的服务时间.于是()()(12)i B t P v t i =≤=,,,01()xdB x μ∞=⎰. (iii) 有一个服务员, 且按先到先服务规则进行服务. 令λμρρ=, 称为系统的服务强度. 假定 (0)0(0)00A B λμ=,=,<,<∞. 基金项目：国家自然科学基金青年基金资助项目 (11001179)3. 队长的强大数定律和中心极限定理设()L t 表示GI/G/1排队系统在时刻 t 的队长（即时刻 t 在服务台前等待的顾客数与正在被服务的顾客数之和）. 令inf{()0}t L t d |=⎧=⎨+∞,,⎩如果上述集合为空 0111inf{()1}0 12n n n t t d L t n γγγγγθγ+|>,=⎧=,=⎨+∞,,⎩=+⋅,=,,如果上述集合为空根据繁忙循环的定义,n γ表示从0开始,第n 个繁忙循环开始的时刻. 令0111i i i Y Y i γγγ+=,=-,≥,, 则i Y 表示第i 个繁忙循环的长度.引理1.[10]如果 1ρ<, 则111[]exp k i k a E Y k λ∞=-=<+∞,∑ (1)其中 ()()0[1()]()k k k a A x dB x ∞-=-⎰. 定理 1. 对于1GI G //排队中的队长()L t , 如果1λμρ=<, ()L t 是正常返的 Doob 骨架过程.证明: (1) 已知n γ表示第n 个繁忙循环开始的时刻,此时,()1n L γ=, 则n γ之后()L t 的取值,仅依赖于n γ时刻()L t 的值,与前面的繁忙周期中 队长的取值完全无关, 即()L t 在1n n γ,≥ 处有马尔可夫性. 于是,()L t 是一个马尔可夫骨架过程,1n n γ,≥ 为其骨架时序列. (2) 对于1n ∀≥, ()1n L γ≡, 即()n L γ服从聚点分布{1}()I x ,根据定义3.1.2[8],()L t 是以{}n γ为更新点的Doob 骨架过程.(3) 如果1λμρ=<, 根据引理3.1,[]i m E Y =<+∞, 于是根据定义3.1.3[8], ()L t 是一个正常返的 Doob 骨架过程.由于()L t 是以 {}n γ 为更新点的 Doob 骨架过程,根据引理3.1.3[8]知i Y , 1i ≥为独立同分布的随机变量序列,设 ()F t 为 1i Y i ,≥ 的分布函数. 令2m m <>,分别表示i Y 的期望和二阶矩.令 1100()()i i i y L s ds y L s ds γγγ+=,=⎰⎰, 1i ≥. 则{1}i y i ,≥表示()L s 在两个更新点之间的累积过程. 由()L s 为正常返的Doob 骨架过程和i Y , 1i ≥为独立同分布的随机变量序列可得, {1}i y i ,≥也为独立同分布的随机变量序列. 令212ασ,分别为i y 的期望和方差, 1122()max max ()012N n n n n t t n n t t t L s ds Z t W t n γγγγγ++≤<≤<∆=,=|∆|,=∆,=,,,⎰,其中t N 表示t 之前更新点的数目.引理2.[6] 设1200T T >,>,为独立同分布的随机变量序列,其共同的分布函数为 ()A x , 期望 A μ<∞.令 1σ≥为一随机变量满足 E σ<∞, 并且对于任意的 n ,1n n T T +,, 与 {}n σ≤独立, 则12C T T T σ=+++ 的分布函数()K x 为非格子分布当且仅当 ()A x 是非格子分布.定理 2. 对于1GI G //中的队长()L t , 如果 1λμρ=<, ()A t 是非格子的, (i) 如果1α<∞,1EV <∞,10()E L s ds γ<∞⎰, 则当t →∞时,有10(())()tE L s ds t o t m α=+⎰ (2)(ii) 如果1α<∞,1EV <∞, 2m <><∞,2α<∞,2()n E W <∞,10()Var L s ds γ<∞⎰,其中2212σσ,分别是i Y 和i y 的方差, 则当t →∞时, 2221210(())(())()t t Var L s ds o t m mασσ=++⎰ (3) 证明: 当()A t 是非格子分布时,根据引理3.2, 1i Y i ,≥的分布函数()F t 也是非格子分布. 如果 1λμρ=<,由定理3.1可知 ()L t 是正常返的Doob 骨架过程.于是,根据定理 3.3.3[8] 可得(2)式和(3)式成立,定理得证.定理 3. (强大数定律) 对于1GI G //中的队长()L t , 如果1λρ=<, ()A t 是非格子的,1α<∞,1EV <∞,10()L s ds γ<∞⎰,则对任意的0ε>,下式几乎必然成立 01()lim t t L s ds t mα→+∞=.⎰ (4)证明: 当()A t 是非格子分布时,根据引理3.2,1i Y i ,≥的分布函数()F t 也是非格子分布. 如果 1λμρ=<,由定理3.1可知 ()L t 是正常返的Doob 骨架过程.于是,根据定理 3.3.2[8] 可得(4)式成立,定理得证.定理 4. (中心极限定理) 对于1GI G //中的队长()L t , 如果1λμρ=<, ()A x 是非格子的, 1α<∞, 1EV <∞, 2m <><∞,10()L s ds γ<∞⎰, 则 1120()lim {}()()t m t t m L s ds t P ααασ→∞-≤=Φ⎰ (5)其中 ()αΦ是一标准正态分布, 12()i i m var y Yασ=-. 证明: 当()A t 是非格子分布时,根据引理3.2,1i Y i ,≥的分布函数()F t 也是非格子分布. 如果 1λμρ=<,由定理3.1可知()L t 是正常返的Doob 骨架过程.于是,根据定理 3.3.4[8]可得(5)式成立,定理得证.参考文献[1] Kendall, G. Some problems in the theory of queues [J]. J. Roy. Statist. Soc. (Series. B), 1951,13,151-185.[2] Kendall, G. Stochastic processes occurring in the theory of queues and their analysis by themethod of imbedded Markov chains [J]. Ann. Math. Statist, 1953, 24,338-354.[3] Kingman, J.F.C. The single server queue in heavy traffic [J]. Proc. Cambridge Phil. Soc, 1961,57,902-904.[4] Kingman, J.F.C. 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关于可列非齐次马尔可夫链的一类
强极限定理
可列非齐次马尔可夫链（nonhomogeneous Markov Chains）是一种应用于研究随机过程的工具，它由一系列由当前状态而决定的随机概率变量构成。

强极限定理是可列非齐次马尔可夫链的一个重要的理论，也称为Borel-Cantelli定理。

该定理旨在证明，即使马尔可夫链的各个状态之间的转移概率不相等，但可以实现极限概率下的平均行为。

具体来说，它声称，如果每个状态的转移概率都大于0，则存在一个转移概率矩阵P，它将最终逼近极限状态ω*，使得每个状态在极限状态ω*中的概率为1.。

不可约马氏链极限定理理论说明以及概述1. 引言1.1 概述不可约马氏链极限定理是概率论中重要的一部分，它涉及到马尔可夫过程以及极限定理的概念。

马尔可夫过程是一个具有马氏性质的随机过程，它具有时序上的依赖关系，即下一个状态只与当前状态有关，而与之前的状态无关。

不可约性与遍历性质是马尔可夫过程中的两个重要概念。

不可约性指的是任意两个状态之间都存在一条转移路径，这样的马尔可夫链被称为不可约链；而遍历性质表示在不可约马氏链中，从任意一个状态出发可以到达所有其他状态。

极限定理是概率论中研究随机变量序列极限行为的重要工具。

切比雪夫不等式和中心极限定理是两个基本原理。

切比雪夫不等式给出了随机变量集合上个体与均值之间差异的界限；而中心极限定理则揭示了当随机变量满足一些条件时，其样本均值会收敛于正态分布。

文章旨在介绍不可约马氏链极限定理的基本理论原理，并给出其证明和解读。

本文将首先介绍马尔可夫过程的概念及其马氏性质和平稳分布，然后详细讲解不可约性与遍历性质的定义和特点。

接着，我们将阐述切比雪夫不等式及其在极限定理中的应用，以及中心极限定理及其推广形式。

最后，我们将进行不可约马氏链极限定理的证明，并对其结果进行解读。

通过本文的介绍和讲解，读者将对不可约马氏链极限定理有更深入的了解，并能够应用相关原理解决实际问题。

1.2 文章结构本文共分为五个部分：引言、不可约马氏链相关概念、极限定理的基本原理、不可约马氏链极限定理的证明和解读、总结与展望。

接下来我们将依次介绍这些部分内容。

1.3 目的本文旨在提供一个全面而清晰的关于不可约马氏链极限定理的讲解和说明，使读者能够了解该定理在概率论中的重要性以及它背后所涉及的马尔可夫过程和极限定理的基本原理。

同时，通过详细的证明和解读，读者将能够更好地理解不可约马氏链极限定理，并掌握其应用方法。

最后，文章还会对该定理的研究前景进行展望，为读者提供进一步深入探索的方向。

2. 不可约马氏链相关概念:2.1 马尔可夫过程介绍:马尔可夫过程是一种随机过程，具有马尔可夫性质。

树上路径过程的随机路径条件概率的极限性质石志岩;杨卫国;王蓓【摘要】本文研究了树上路径过程的极限性质.利用构造鞅的方法得到了树上路径过程的条件概率调和平均的极限性质.所得结果推广了树上非齐次马氏链随机转移概率和任意随机变量序列随机条件概率的调和平均极限性质.%In this paper, we study the limit property of path process indexed by a tree. By constructing a nonnegative martingale, we get a limit property of the harmonic mean of random path conditional probability for path process indexed by a tree, which is an extension of the limit property of harmonic mean for random transition probability of a nonhomogeneous Markov chain indexed by a tree and random conditional probability of a sequence of random variables.【期刊名称】《数学杂志》【年(卷),期】2012(032)003【总页数】7页(P499-505)【关键词】路径过程;非齐次马氏链;随机路径条件概率;调和平均【作者】石志岩;杨卫国;王蓓【作者单位】江苏大学理学院,江苏镇江212013;江苏大学理学院,江苏镇江212013;江苏大学理学院,江苏镇江212013【正文语种】中文【中图分类】O211.6设T是一个无限树,σ,t(σ 6=t)是T中任两个顶点,则存在唯一的以σ到t的路径,σ=z1,z2,...,zm=t,其中z1,z2,...,zm互不相同且zi,zi+1为相邻两顶点,m−1称为σ到t的距离.为给T中的顶点编号,我们选定一个顶点作为根顶点(简称根),并记之为o.如果一个顶点t位于根o到顶点σ的唯一路径上,则记σ≤t.若σ,t为T上不同的两个顶点,记σ∧t为同时满足σ∧t≤t和σ∧t≤σ且离根o最远的顶点.本文中T表示任意局部有限无穷树.若t为T中的任一顶点,记|t|为顶点t到根o的距离.若|t|=n,则T位于树的第n层.记T(n)表示从根o到第n层所有顶点的子图,Ln 表示第n层所有顶点的集合,Lnm表示含有T的从层m到n层所有顶点的集合.对于任一个顶点t,从根o到顶点t的路径上存在唯一一个离顶点t最近的顶点称为t 的父代,记为1t,且称t为1t的子代.1t的父代记为2t,(n−1)t的父代记为nt,也称nt 为t的第n代父代.令XA={Xt,t∈A},xA为XA的实现,且记|A|为A中顶点的个数. 定义1设T为局部有限无穷树,且G={1,2,...,N}.令定义2设有限状态空间G={1,2,...,N},X={Xt,t∈T}为定义在概率空间(Ω,F,P)上的G 值变量族.设分别为G上的概率分布和路径条件概率矩阵族.如果对于任何顶点t(t 6=o),则称X={Xt,t∈T}为具有初始分布(1)和路径条件概率矩阵族(2)的树指标G值路径过程.注1对任意顶点t(t 6=o),如果该顶点只与它的父代1t有关,与树T上的其他顶点无关,则树指标路径过程{Xt,t∈T}就是树上非齐次马氏链[11].树模型近年来已引起物理学,概率论及信息论界的广泛兴趣.Benjamini和Peres[1]给出了树指标马氏链的定义并研究了其常返性和射线常返性.Berger和叶中行[2]研究了齐次树图上平稳随机场熵率的存在性.叶中行和Berger[3,4]利用Pemantle在文献[5]中的结果及组合方法,在依概率收敛意义下研究了齐次树图上PPG不变和遍历随机场的Shannon-McMillan定理.杨卫国和刘文[6]研究了齐次树图上马氏链场(这实际上是树指标马氏链和PPG不变随机场的特殊情形)状态发生频率的强大数定律.杨卫国[7]研究了齐次树上齐次马氏链的状态发生频率的强大数定律和Shannon-McMillan定理.杨卫国[8]研究了齐次树上非齐次马氏链的强大数定律和渐进均分割性.近年来,黄辉林和杨卫国研究了一致有界树马氏链的强大数定律和渐进均分割性.石志岩和杨卫国[10]研究了m根树上m阶非齐次马氏链的强大数定律和Shannon-McMillan定理.石志岩和杨卫国[11]研究了树上非齐次马氏链的随机转移概率的调和平均的极限性质.设 Pt(xt|x1t,x2t,...,xo)=Pt(Xt=xt|X1t=x1t,X2t=x2t,...,Xo=xo), 则称Pt(Xt|X1t,X2t,...,Xo)为树上路径过程的随机路径条件概率.刘文[12]研究了随机条件概率的调和平均的a.e.收敛定理.刘文[13]研究了有限状态非齐次马氏链随机转移概率的调和平均的极限性质.本文主要研究了树上路径过程随机路径条件概率的调和平均的极限性质.作为推论，得到文献[11–14]中的结果.定理1 设X={Xt,t∈T}为定义2中的取值于G的树T上路径过程,其初始分布和路径条件概率族分别满足由(22)与(24)式即可以知(9)式成立.对于树T中的除根o外的任意顶点,若该顶点只与它的父代有关,而与树T上其他的顶点无关,则树指标路径过程{Xt,t∈T}就是树上非齐次马氏链,可得文献[11]中的定理.推论1[11]设X={Xt,t∈T}为取值于G的树T上非齐次马氏链,其初始分布和转移概率概率族分别满足若树T中每个顶点的子代只有一个顶点,则树上路径过程就是一般的随机变量序列,这样可得文献[12]中的定理.推论2[12]设{Xn,n≥0}是概率空间(Ω,F,P)上的随机变量序列,其联合分布为其中pk(xk|x0,...,xk−1)=P(Xk=xk|Xo=xo,...,Xk−1=xk−1). 若存在常数 a＞ 0,使得非齐次马氏链是随机变量序列的特殊形式，由推论2可以直接得到文献[13]和[14]中的定理.推论3[13,14]设{Xn,n≥1}是状态空间为G={1,2,...,N}的非齐次马氏链，其初始分布与转移概率分别为p(i)＞0,i∈G,Pk(i,j)＞0,i,j∈G,k=1,2,....令若存在常数a＞0,使得【相关文献】[1]Benjamini I,Peres Y.Markov chains indexed by trees[J].Ann.Probab.,1994,22:219–243.[2]Berger T,Ye Z.Entropic aspects of random fi elds on trees[J].IEEE Trans Inform Theory,1990,36:1006–1018.[3]Ye Z,Berger T.Ergodic,regulary and asymptotic equipartition property of random fi elds on trees[J]bin Inform.System Sci.,1996,21:157–184,.[4]Ye Z,Berger rmation measures for discrete random fi elds[M].Beijing:Science Press,1998.[5]Pemantle R.Antomorphism invariant measure on trees[J].Ann.Probab.,1992,20:1549–1566.[6]Yang W G,Liu W.Strong law of large numbers for Markov chains fi elds on a Bethe tree[J].Statist Probab.Lett.,2000,49:245–250.[7]Yang W G.Some limit properties for Markov chains indexed by a homogeneoustree[J].Statist Probab.Lett.,2003,65:241–250.[8]Yang W G,Ye Z.The Asymptotic Equipartition property for Markov chains indexed by a Homogeneous tree[J].IEEE Trans.Inf.Theory,2007,53(9):3275–3280.[9]Huang H L,Yang W G.Strong law of large numbers for Markov chains indexed by an in fi nite tree with uniformly bounded degree[J].Science in China,2008,51(2):195–202. [10]Shi Z Y,Yang W G.Some limit properties for the mth-order nonhomogeneous Markov chains indexed by an m rooted Cayley tree[J].Statist Probab.Lett.,2010,80:1223–1233. [11]Shi Z Y,Yang W G.A limit property of random transition probability for a nonhomogeneous Markov chains indexed by a tree[J].Acta Mathematicae Applicatae Sinica,2008,31(4):648–653.[12]Liu W.A limit property of random conditional probabilities[J].StatistProbab.Lett.,2000,49:299–304.[13]Liu W.A strong limit theorem for the harmonic mean of the random transition probabilities of fi nite nonhomoge-neous Markov chains[J].Acta Mathematica Scientia,2000,20(1):81–84.[14]Liu W.A limit property of random conditional probabilities and an approach of conditional moment generating function[J].Acta Mathematicae ApplicataeSinica,2000,23(2):275–279.[15]Xi Q L,Yang W G,Shi Z Y.A strong limit theorem for arbitrary stochastic arrays[J].J.of Math.(PRC),2010,30(6):1001–1007.。