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黎斯-弗瑞歇定理-概述说明以及解释1.引言1.1 概述黎斯-弗瑞歇定理是数学中一个重要的定理，命名自其发现者黎斯和弗瑞歇。
该定理在数学领域有着广泛的应用和影响力。
在本篇文章中，我们将对黎斯-弗瑞歇定理进行详细的介绍和解析。
黎斯-弗瑞歇定理主要涉及到的是某一类特殊函数的性质和行为。
这类函数在数学研究和实际应用中出现频率极高，因此了解和理解该定理对于深入研究这些函数的特点具有重要意义。
本文将从引言开始介绍黎斯-弗瑞歇定理的背景和问题的提出，接着将详细讨论该定理的两个重要要点。
第一个要点将阐述黎斯-弗瑞歇定理的基本原理和相关性质，以及其在数学领域的应用。
第二个要点将进一步探讨该定理在实际问题中的应用案例，以及解决这些问题所带来的影响和意义。
在结论部分，我们将对黎斯-弗瑞歇定理的重要性进行总结，并对其未来的研究方向进行展望。
黎斯-弗瑞歇定理的发现和研究对于推动数学领域的发展和应用具有重要的作用，我们对未来的研究和应用前景充满了期待。
通过本文的解析和讨论，我们将能够更加全面地了解和掌握黎斯-弗瑞歇定理，为深入研究其他相关领域的数学问题提供一定的基础和启示。
同时，我们也希望本文能够引起更多学者对于该定理的关注和研究，推动其在理论和实践中的进一步应用和发展。
1.2文章结构1.2 文章结构本文将按照以下结构进行叙述和讨论黎斯-弗瑞歇定理的相关内容：第一部分为引言，包括概述、文章结构和目的。
在引言部分，我们将介绍黎斯-弗瑞歇定理的背景和基本概念，阐明本文的研究重点和目的。
第二部分是正文，着重阐述黎斯-弗瑞歇定理及其相关要点。
首先，我们将详细介绍黎斯-弗瑞歇定理的基本原理和定义，以及与该定理相关的数学概念和定理。
接着，我们将进一步探讨黎斯-弗瑞歇定理的第一个要点，详细分析其数学推导和证明过程，并给出实例和案例进行说明。
随后，我们将继续讨论黎斯-弗瑞歇定理的第二个要点，探究其与其他定理和领域的关联和应用，解释其价值和意义。
强极值原理霍普夫全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：霍普夫（Hopf）是一位20世纪伟大的数学家，他在数学领域做出了许多贡献，其中著名的强极值原理就是他的杰作之一。
强极值原理是指在微分几何中的一个基本定理，它揭示了曲面上的极值点的性质，为研究曲面的拓扑性质提供了重要的工具。
在数学分析中，极值原理是对函数的最大值和最小值的性质进行研究的一种方法。
在微分几何中，强极值原理是研究曲面上的极值点的性质与拓扑性质的关系。
强极值原理告诉我们，在曲面上局部极值点的附近，曲面的几何和拓扑性质是严格相关的。
具体来说，强极值原理告诉我们，如果一个曲面上的点是极小值点，那么在该点附近的任意曲线上，该点仍然是极小值点。
这意味着在极小值点处，曲率必须是非负的。
同样地，如果一个曲面上的点是极大值点，那么在该点附近的任意曲线上，该点仍然是极大值点。
这意味着在极大值点处，曲率必须是非正的。
霍普夫的强极值原理为微分几何领域的研究提供了重要的工具。
它不仅揭示了极值点的性质，而且还帮助我们理解曲面的整体拓扑性质。
强极值原理的应用范围非常广泛，它在地震学、气象学、生物学等领域都得到了广泛的应用。
第二篇示例：强极值原理，也称为霍普夫定理，是一个数学定理，它关于在随机独立同分布的情况下，极大值和极小值出现的概率。
霍普夫定理是概率论和数理统计中非常重要的定理，它可以帮助我们理解随机事件的规律性和规律性。
强极值原理最早由霍普夫（Emil Julius Gumbel）于1958年提出，在统计学和气象学领域得到了广泛的应用。
霍普夫定理有时也被称为极值定理或Gnedenko-Holshunov定理，是概率论中关于极大值和极小值分布的一个非常重要的结论。
霍普夫定理指出，在独立同分布的情况下，最大值和最小值的极限分布函数具有一定的特殊形式。
具体来说，若一个随机变量序列满足一定的条件，那么这个序列的最大值或最小值在适当归一化下会收敛到极值分布。
在实际应用中，强极值原理可以帮助我们预测自然界中一些罕见而重要的极端事件，比如自然灾害和金融市场的崩溃等。
第一个重要极限的几种证明及其应用
重要极限定理是一个基本而重要的数学概念，它有多种用法，通常用于证明等
式或不等式的结果的极限性质。
现在有几种证明重要极限的方法，特别是应用到生活娱乐中，从而使得我们的生活更加轻松愉快。
首先，有几种常见的证明重要极限的方法，例如基本极限定理、强化极限定理、限制定理等。
首先，基本限定理可以用来证明函数及其无穷序列的极限性质，可以用来求解罚款函数在极限条件下极限值，以及求解瞬态系统的动力学特性。
此外，强化极限定理是基本极限定理的一种更强的证明方法，它可以用来推导
更复杂的函数极限性质，并且可以用来分析一类复杂系统的全局性质，尤其是在复杂系统调控模型方面有着广泛的实际应用。
如果进一步地强化，就可以得出限制定理，它可以用来分析一类问题中的最优解，给复杂系统提供有效的全局解决方案。
最后，如何将这些重要极限定理应用到生活娱乐中呢？首先，在游戏领域，重
要极限定理可以用来计算游戏中的可行解，尤其是复杂的游戏，可以求解出最优的解决方案，使得游戏更加有趣。
另外，它也可以作为一种泛函分析方法，用于寻找图像处理、视频处理等任务中的最优结果。
总之，重要极限定理已经衍生出了多种用法，其应用于生活娱乐中，可以帮助人们更高效地解决问题，使得整个过程更加轻松愉快。
极限与序列的概念及计算方法引言：在数学领域中，极限和序列是非常重要的概念。
它们不仅在微积分、数学分析等学科中有着广泛的应用，而且在实际生活中也有着重要的意义。
本文将深入探讨极限和序列的概念，并介绍一些常用的计算方法。
一、极限的概念1.1 极限的基本定义极限是数学中一个非常重要的概念，它描述了一种趋于无穷大或无穷小的过程。
在数学中，我们通常用符号lim来表示极限。
如果一个数列a1, a2, a3, ...在n趋于无穷大时，其值趋于一个常数L，那么我们就称L为该数列的极限，记作lim(n→∞)an = L。
1.2 极限的性质极限具有一些重要的性质，包括唯一性、保序性和四则运算性质等。
唯一性指的是一个数列的极限是唯一的，即不存在两个不同的极限。
保序性指的是如果一个数列的每一项都大于等于另一个数列的对应项，那么它们的极限也满足这个关系。
四则运算性质指的是如果两个数列分别收敛于L1和L2，那么它们的和、差、积和商的极限分别为L1 + L2、L1 - L2、L1L2和L1/L2。
二、序列的概念2.1 序列的定义序列是数学中一个重要的概念，它是由一系列有序的数所组成的集合。
通常用{an}或(an)来表示序列，其中an表示序列的第n个数。
序列可以是有限的，也可以是无限的。
2.2 序列的分类根据序列的性质，我们可以将序列分为有界序列和无界序列。
有界序列指的是序列的值都在某个范围内，而无界序列指的是序列的值没有上界或下界。
三、极限的计算方法3.1 数列极限的计算方法计算数列的极限是数学中的一个重要问题。
常见的计算方法包括直接计算法、夹逼准则和单调有界原理等。
直接计算法是一种简单直接的计算方法，适用于一些简单的数列。
例如，对于数列an = 1/n，我们可以通过直接计算得到lim(n→∞)1/n = 0。
夹逼准则是一种常用的计算数列极限的方法。
它的基本思想是通过夹逼定理来确定数列的极限。
例如，对于数列an = sin(nπ/4)，我们可以通过夹逼准则得到lim(n→∞)sin(nπ/4) = 0。
序列与序列极限的性质序列是数学中一种重要的数列，可以用来描述一系列按照一定规律排列的数值。
序列极限则是序列中的一种特殊概念，反映了数列的趋势与稳定性。
本文将探讨序列的定义，序列极限的性质以及其在数学中的应用。
一、序列的定义序列可以定义为一连串按照一定规律排列的数值，用数字的无限排列来表示，一般用{an}或(an)来表示。
其中，n表示序列中的第几个数，an表示第n个数的值。
例如，我们可以定义一个简单的序列：1，2，3，4，5，... 。
这个序列的通项公式可以表示为an = n。
在这个序列中，每个数与其前一个数之间的差值恒为1。
二、序列极限的性质序列极限是指当n趋近于无穷大时，序列中的数值将逐渐趋近于某个确定的值。
序列极限具有以下性质：1. 唯一性：一个序列的极限只能是唯一的。
也就是说，当n趋近于无穷大时，序列中的数值只能无限接近于一个确定的值。
2. 有界性：如果一个序列的极限存在，那么该序列是有界的。
有界性可以分为上界和下界，上界是指序列中的数值都小于等于某个值，下界是指序列中的数值都大于等于某个值。
3. 单调性：序列可以分为递增序列和递减序列两种。
当序列单调递增且有上界时，序列的极限存在且为上确界；当序列单调递减且有下界时，序列的极限存在且为下确界。
三、序列极限的应用序列极限在数学中有广泛的应用，尤其在分析、微积分等领域中发挥了重要的作用。
以下是序列极限的一些常见应用：1. 收敛性判断：通过计算序列的极限，可以判断序列是否收敛。
如果极限存在，则称该序列收敛；如果极限不存在，则称该序列发散。
2. 无穷级数：无穷级数是指一个序列的所有项相加得到的无穷和。
通过研究序列的收敛性，可以判断无穷级数的和是否存在。
3. 函数极限：函数极限是指当自变量趋近于某个值时，函数值的极限。
函数的极限可以通过序列的极限来进行定义和计算。
四、总结序列与序列极限是数学中重要的概念，通过研究序列的极限性质，可以推导出许多重要的结论。
大数定律与中心极限定理的实际应用1. 引言在今天的讨论中，我们将深入探讨大数定律与中心极限定理在实际应用中的重要性和影响。
这两个概念是统计学中非常重要的原理，它们不仅对于理论研究有着重要意义，更在现实世界中的各种领域有着广泛的应用。
通过本文的探讨，我们将了解这两个概念的实际意义，并且深入探讨它们在现实中的具体应用。
2. 大数定律的实际应用大数定律是统计学中最重要的定律之一，它表明在独立随机变量的大量观察中，其平均值趋近于总体期望。
这个理论在实际应用中有着广泛的运用，尤其在金融领域。
举个例子，假设我们在股市中观察某只股票的收益率，根据大数定律，随着观察次数的增加，这只股票的平均收益率将会趋近于其总体收益率。
这种理论在风险管理和投资决策中起着至关重要的作用，投资者可以通过大数定律来对市场的波动进行合理的估计，并做出相应的投资策略。
3. 中心极限定理的实际应用中心极限定理是统计学中另一个非常重要的原理，它表明在独立同分布的随机变量加和后，当样本容量足够大时，其分布将接近于正态分布。
这个理论在实际应用中有着广泛的运用，尤其在质量控制和生产过程中。
在工厂生产线上对产品的重量进行抽样检测，根据中心极限定理，这些样本的平均重量将会呈现出接近正态分布的特性，生产线的稳定性和产品质量就可以通过这个理论进行合理的评估和控制。
4. 个人观点和理解对于大数定律与中心极限定理的实际应用，我个人深有体会。
作为一名统计学研究者，我对这两个概念的重要性有着深刻的认识。
在我自己的研究过程中，我经常会利用这两个概念来分析数据，并且在实际应用中取得了非常好的效果。
在我看来，大数定律与中心极限定理不仅是理论工具，更是现实世界中解决问题的重要指导，它们的应用将为各行各业带来更加严谨有效的决策和管理方式。
5. 总结通过本文的探讨，我们了解了大数定律与中心极限定理的实际应用，深入探讨了它们在金融和生产领域的重要性，并且共享了个人对于这两个概念的观点和理解。
关于随机变量序列几何平均的强极限定理本文研究了随机变量序列的几何平均的强极限定理。
我们证明了当随机变量序列满足一些条件时，它们的几何平均会以概率1收敛于非零常数。
具体来说，我们考虑了随机变量序列的独立同分布情形和非独立同分布情形，并给出了相应的证明。
在独立同分布情形下，我们利用了强大数定律和中心极限定理的结果，证明了几何平均的强极限定理成立。
在非独立同分布情形下，我们采用了以前的一些结果，如马尔可夫不等式和切比雪夫不等式，以及一些新的技巧，如Doob不等式和Azuma-Hoeffding不等式，证明了几何平均的强极限定理同样成立。
最后，我们给出了一些例子来说明我们的结果。
我们的研究对于随机变量序列的极限分析有重要的应用。
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三个大数定律的条件和结论【正文】1. 引言在概率论和统计学中，大数定律是一组关于随机变量的定理，描述了随着样本数量的增加，样本平均值趋近于总体平均值的现象。
在这篇文章中，我们将讨论三个重要的大数定律：弱大数定律、强大数定律和中心极限定理。
我们将深入探讨每个定律的条件和结论，以帮助您更全面地理解这些定律在实际中的应用。
2. 弱大数定律弱大数定律（也称为大数法则）是大数定律中最基本的一条。
它规定了当独立同分布随机变量的数量趋于无穷大时，它们的算术平均值趋近于它们的期望值。
如果我们有一组独立同分布的随机变量X1，X2，X3，...，Xn，并且它们的期望值为E(X)，那么随着n的增加，这些随机变量的算术平均值（即样本平均值）X̄将以概率1趋近于E(X)。
3. 弱大数定律的条件和结论要应用弱大数定律，我们需要满足以下两个条件：3.1 独立性：随机变量Xi之间必须是相互独立的，即一个变量的取值对其他变量的取值没有影响。
3.2 同分布性：随机变量Xi必须是相同分布的，即它们具有相同的概率密度函数或累积分布函数。
在满足以上两个条件的情况下，弱大数定律可以得出结论：当n趋于无穷大时，样本平均值X̄趋近于期望值E(X)。
4. 强大数定律除了弱大数定律，我们还有一个更强的定律，即强大数定律。
强大数定律规定了当独立同分布随机变量的数量趋于无穷大时，它们的算术平均值几乎以概率1收敛于它们的期望值。
这意味着样本平均值几乎总是接近于总体平均值。
5. 强大数定律的条件和结论强大数定律相对于弱大数定律，对条件有更严格的要求。
5.1 独立同分布：和弱大数定律一样，随机变量Xi之间必须是相互独立的，并且具有相同的分布。
5.2 方差条件：随机变量的方差必须有限。
这意味着方差不能趋近于无穷大。
在满足以上两个条件的情况下，强大数定律得出结论：当n趋于无穷大时，样本平均值X̄几乎以概率1趋近于期望值E(X)。
6. 中心极限定理中心极限定理是大数定律中最重要的定理之一。
§3 概率1收敛与强大数定律一、以概率1收敛 二、强大数定律 本章补充与注记 本章习题一、以概率1收敛大家知道, 随机变量是定义在概率空间上取值为实数的函数. 因此我们可以像数学分析讨论函数序列逐点收敛性那样去讨论随机变量序列在每个样本点处的值的收敛性. 然而, 由于随机变量取值的随机性, 我们常常不可能期望随机变量序列在所有点处都存在极限. 现在的问题是研究极限是否在一个概率为1的点集上存在.定义1 设ξ和{ξn }是定义在概率空间 (Ω, F , P)上的随机变量序列.1. 如果存在Ω0∈F , P(Ω0)=0, 且对任意ω∈ΩΩ\0，有ξωξωn ()()→，则称ξn 以概率1收敛（converge with probability one ）或几乎处处收敛(almost surely converge)于ξ，记作ξξ→n (a. s. ).2. 如果存在Ω0∈F , P(Ω0)=0, 且对任意ω∈ΩΩ\0，数列{ξn (ω)}是柯西基本列，即n ξ(ω)-m ξ(ω)→0，(n > m →∞), 则称ξn 以概率1是柯西基本列.注ξξ→n (a. s. ) 意味着最多除去一个零概率事件外, n ξ逐点收敛于ξ. 根据柯西基本数列一定存在极限的原则,n ξ以概率1收敛当且仅当n ξ以概率1是柯西基本列.下面给出以概率1收敛的判别准则. 定理1 设ξ和{n ξ}是定义在概率空间 (Ω, F , P)上的随机变量序列.(1)ξξ→n (a. s. ) 当且仅当对任意ε>0,)||sup (lim =≥-≥∞→εξξk nk n P ,或者等价地})||({lim =≥-≥∞→εξξk nk n P Y .(2) {n ξ}以概率1是柯西基本列当且仅当对任意ε>0,)||sup (lim 0=≥-+≥∞→εξξk k n k n P ,或者等价地})|{|({lim 0=≥-+≥∞→εξξk k n k n P Y .证 (1) 对任意ε>0, 令},|{|εξξε≥-=n nA IY ∞=≥=1n nk kA A εε. 那么{ξξ→/n }Y ∞==1/1m mA .由连续性定理（第一章§3）,Y IY nk kn nk n kA P A P A P ≥∞=≥∞→==)(lim )()(1εεε.则下列关系式成立:0 = P(ξξ→/n ))(1/1=⇔∞=Y m m A P0)(/1=⇔mA P , 对任意m ≥1 Y nk m k A P ≥→⇔0)(1, 对任意m ≥1)1||(→≥-⇔≥Y mk k m P ξξ, 对任意m ≥1Y nk k P ≥→≥-⇔0)||(εξξ, 对任意ε>0 .(2). 对任意ε>0, 令IYY ∞=≥≥+=≥-=11,,},|{|m m n k kn n k n k n B B B εεεεξξ, 那么{n ξ不是柯西基本列}=Y 0>εεB .以下类似于(1)即可证明.推论 如果对任意ε>0,∑∞=∞<≥-1)|(|n nP εξξ, 则ξξ→n (a. s. ).证 注意到Y nk k P ≥≤≥-)||(εξξ∑∞=→≥-nk kP 0)|(|εξξ即可.注 定理1表明ξξ→n (a. s. )可推出ξξ−→−P n . 反之, 存在例子表明ξξ−→−Pn 并不能导出ξξ→n (a. s. )（见补充与注记4）.二、强大数定律与以概率1收敛密切相关的是强大数定律. 定义2 设{n ξ}是定义在概率空间(Ω, F , P)上的随机变量序列, 如果存在常数列{}a n 和{}b n 使得∑=→-nk n knb a 11ξ(a. s. ) ,则称{n ξ}服从强大数定律(strong law of large numbers). 由于几乎处处收敛性强于依概率收敛性,故强大数定律也比弱大数定律更深入一步.我们在第二节知道，贝努里通过对二项分布的精确估计得到贝努里弱大数定律，即贝努里随机试验中事件发生的频率依概率收敛于该事件的概率. 直到1909年波雷尔才证明了下面更强的结果.定理2（波雷尔强大数定律） 设{n ξ}是定义在概率空间(Ω, F , P)上的独立同分布随机变量序列，P(n ξ=1)= p, P(n ξ=0)=1-p, 0<p<1. 记∑==nk kn S 1ξ, 则0→-p n S n(a. s. ).(1)定理2进一步表达了“频率稳定到概率”这句话的含义.柯尔莫哥洛夫1930年将上述结果从二项分布的随机变量推广到一般随机变量.定理3（柯尔莫哥洛夫强大数定律） 设{ξn }是定义在概率空间 (Ω, F , P)上的独立同分布随机变量序列，E ||,ξ1<∞μξ=E 1. 记S n kk n==∑ξ1, 则S n n-→μ0 (a. s. ).(2)事实上, 定理3的逆也成立: 如果存在常数μ, 使得(2)式成立, 那么1ξ的数学期望存在且等于μ.这两个定理的证明从略.例1 （蒙特卡罗方法） 令f (x) 是定义在[0, 1]上的连续函数, 取值于[0,1]. 令ξηξη1122,,,,Λ是一列服从于[0, 1]上的均匀分布的独立随机变量序列. 定义⎩⎨⎧=,0,1i ρ .)(,)(i i i i f f ηξηξ<≥如果如果 ,则{ρi }也独立同分布. 而且⎰⎰⎰⎰⎰===≥=≤110)(0)(111)()())((dxx f dx dy dxdy f P E x f x f y ηξρ,由定理3,∑⎰=→nk k dx x f n 110)(1ρ (a. s. ).(3)因此我们可以通过模拟来计算积分值⎰1)(dx x f , 方法是：在xoy 平面的正方形{0≤x ≤1, 0≤y≤1}上随机投点, 统计落在区域{0≤x ≤1, 0≤y ≤f (x)}内的频率（即为(3)式的左边）, 当投点次数充分多时, 此频率可充分接近所求积分.至此, 我们已经介绍了概率论中一些经典的极限定理.补充与注记1. 在18和19 世纪, 极限定理一直是概率论研究的中心课题. 贝努里大数定律是第一个从数学上被严格证明的概率论定律, 它由贝努里在其1713年出版的名著《 推测术》中详细给出. 大数律这个名称则是泊松（Poisson 1781-1840）于1837年提出的. 中心极限定理这个名词1920年由波利亚（lya o o &P ）给出，用于统称随机变量序列部分和的分布渐近于正态分布的一类定理. 它是概率论中最为重要的一类定理, 并有着广泛的实际背景. 最初的中心极限定理是关于n 重贝努里试验的, 1716年，德莫佛对21=p 的情形作了讨论，随后拉普拉斯将其推广到10<<p 的情形. 从19世纪中叶到20世纪初期，一批著名的俄国数学家对概率论的发展做出了重要贡献. 他们运用严格的、强有力的数学分析工具，如富里埃变换等，将贝努里大数律、德莫佛-拉普拉斯中心极限定理推广到一般随机变量和的情形.2. 在18世纪以前，证明贝努里大数律是一件相当困难的事情，它涉及到下列和式的计算：.|):|(∑≥--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛εp nk k kn k q p k n直到德莫佛-拉普拉斯的重要发现以后，贝努里大数律才有了新的、较为简单的证明. 事实上, 德莫佛-拉普拉斯证明了如下的局部和整体中心极限定理：对足够大的n 和n k /∽p ，kn k q p k n -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛～,21)2()(2npq np k npq -λπ∑≥--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ε|):|(p nk k kn k qp k n ～,2122dx pqnpqn x⎰--εεπλ从上述渐近结果，我们不难得到贝努里大数定律. 3. 特征函数的泰勒渐近展开作为第三章结果的一个推论，如果分布函数)(x F 有r 阶有限矩，那么它的特征函数)(t f r 次连续可导. 这样我们可以在0=t处对)(t f 进行泰勒展开.定理 假设随机变量ξ有r 阶有限矩，记这些矩分别为r ααα,,,21Λ. 那么它的特征函数)(t f 在0=t 处有如下形式的泰勒展开：)|(|!)(1)(1r rk kk t o k it t f ++=∑=α )1(≥r=!||!)(111r t k it rrr r k k k θβα++∑-= )1(>r , 其中rr E ||ξβ=, |1|≤r θ.4. 依概率收敛不能推出以概率1收敛, 例如: 令Ω=[0,1], F 为[0,1]上所有波雷尔集构成的σ域，P 为[0,1]上的勒贝格测度（长度）. 定义⎩⎨⎧=,0,1in η ]./,/)1[(],/,/)1[(n i n i n i n i -∉-∈ωω i=1,2,…,n ; n=1,2,….考虑随机变量序列{Λ,,,,,,332313221211ηηηηηη}, 并重新记成{n ξ}. 首先注意到, 对任意ε>0,01)|(|max 1→≤≥≤≤n P in ni εη,即0−→−Pnξ. 另一方面, 对任意ω∈Ω,n ξ(ω), n=1,2,…中有无穷多个1，也有无穷多个0, 因此n ξ(ω)不存在极限.习题1. 下列分布函数列是否弱收敛于分布函数？(1) x <-1/ n 时, F x n ()=0; x ≥-1/n 时, F x n ()=1;(2) F x x n n n (),()/,,=+⎧⎨⎪⎩⎪021.,,n x n x n n x ≥<≤--< 2. 设ξn 的分布列为: P(ξn =0)=1-1/ n, P(ξn =1)=1/ n, n=1,2,…. 求证相应的分布函数列收敛于分布函数, 但E ξn 不收敛于相应分布的期望.3. 设{ξn }为独立同分布随机变量序列, ξn 的分布列为010505..⎛⎝ ⎫⎭⎪,ηξn k kk n==∑/21. 求证ηn 的分布收敛于[0, 1]上的均匀分布.4. 某计算机系统有120个终端.(1)(1) 每个终端有5 %时间在使用，若各终端使用与否是相互独立的, 求有10个或更多终端在使用的概率; (2)(2) 若每个终端有20%时间在使用, 求解上述问题.5. 现有一大批种子，其中良种占1/6. 在其中任取6000粒，问在这些种子中良种所占的比例与1/ 6之差小于1 %的概率是多少？6. 某车间有200台车床，工作时每台车床60 %时间在开动，每台开动时耗电1千瓦. 问应供给这个车间多少电力才能有0. 999的把握保证正常生产？7. 一家保险公司里有10000个同类型人参加某种事故保险，每人每年付12元保险费，在一年中一个人发生此种事故的概率为0. 006，发生事故时该人可向保险公司领得1000元. 问：(1) 对该项保险保险公司亏本的概率有多大？(2) 对该项保险保险公司一年的利润不少于60000元的概率有多大？8.:假设1) 每幢房屋每年一次理赔概率0.04，大于一次理赔概率为0； 2) 各幢房屋是否发生火灾相互独立；3) 如果理赔发生，理赔量服从0到最高保险金额间的均匀分布. 记N 为一年中理赔次数，S 为理赔总量,a . 计算N 的期望值和方差；b . 计算S 的期望值和方差；c . 确定相对保证附加系数θ，即=θ(每份保单保费收入-平均理赔量)/ 平均理赔量，以确保保险公司的保费收入大于理赔总量的概率等于0. 99.9. 某保险公司开办5种人寿险，每种险别（一旦受保人死亡）的赔偿额k b 及投保人数k n 如下表所示.设死亡是相互独立的, 其概率皆为0. 02. 保险公司为安全起见, 对每位受保人寻求再保险. 其机制如下：确定一个自留额，设为2万元；若某人的索赔在2万元以下，则都由该保险公司偿付；若赔偿金超过2万元，则超过部分由再保险公司偿付；再保险率为投保金额的2. 5%. 该保险公司（相对于再保险公司而言，也称为分出公司）希望它的全部费用（即实际索赔总额S+再保险费）不超过825万元，求实际费用突破此限额的概率.10. 设{ξn }独立同分布，其分布分别为 (1) [-a, a] 上的均匀分布；(2) 泊松分布. 记ηξξξn k k kk nk nE Var =-==∑∑()/11. 计算ηn 的特征函数，并求n →∞时的极限, 从而验证林德贝格—勒维定理在这种情况成立.11. 用德莫佛—拉普拉斯定理证明：在贝努里试验中，若0< p <1，则不管k 是多大的常数，总有P(|0)|→<-k np n μ,( n →∞).12. 求证：泊松分布的标准化变量当参数λ→∞时趋近标准正态分布.13. 13. 求证：当n →∞时，en k nk k n-=∑→!012. 14. 14. 设{ξηn n },{}各自独立同分布, 也相互独立. E ξn =0, Var ξn =1，P{ηn =±=112}/. 求证：S nn k kk n==∑11ξη的分布函数弱收敛于N (0,1).15. 15. 设{ξn }为独立随机变量序列，都服从(0,π)上的均匀分布. 记n n n ξηcos A =，其中0>A n且0)/(231213→AA ∑∑==nk kn k k)(∞→n .证明{}n η服从中心极限定理.16. 设ξn 服从柯西分布，其密度为p n (x)=nn x π()122+. 求证：ξn P −→−0. 17. 设{ξn }独立同分布，密度为 p(x)=e x ax a x a --⎧⎨⎩>≤(),,0. 令ηξξξn n =min{,,,}12Λ. 求证：ηn Pa −→−. 18. 18. 求证：(1) (1) 若ξξn P −→−,ηηn P −→−, 则ξηξηn n P±−→−±; (2) (2) 若ξξn P −→−,ηηn P −→−, 则ξηξηn n P −→−; (3) (3) 若ξξn P −→−,ηn P c −→−, c 为常数, ηn 与c 都不为0，则ξηξn n Pc //−→−; (4) (4) 设ξξn d −→−,ηn P c −→−,c 为常数, 则 ξηξn n d c +−→−+;ξηξn n dc //−→−, (c ≠0). 19. 19. 求证下列各独立的随机变量序列{ξk }服从大数定律. (1) P(ξk k ==ln )P(ξk k =-=ln )12;(2) P(ξξξk k k k k k kP P ===-===--+-222012212)(),()();(3) P(ξk =2122nn n)=, n=1, 2, …; (4) P(ξk =n)=cn n 22ln ,n=2, 3, …; c 为常数.20. 设{ξk }服从同一分布，Var ξk <+∞, ξk 与ξk +1相关, k=1,2,…, 但当|k-l|≥2时, ξk 与ξl 独立. 求证这时大数定律成立.21. （伯恩斯坦(Bernstein)定理）设{ξk }的方差有界：Var ξk ≤c, 且当|i-j|→∞时, Cov(ξi ,ξj)→0，则{ξk }服从大数定律. 试证明之.21. 在贝努里试验中，事件A 出现的概率为p ，令ξk =10,,⎧⎨⎩若在第次和第次试验中出现其它k k A +1 ,求证{ξk }服从大数定律.23. 设{ξk }独立同分布，都服从[0, 1]上的均匀分布，令ηξn k nk n==∏()/11, 求证：ηn Pc −→−(常数)，并求出c.24. 设{ξk }独立同分布，E ξk =a, Var ξk <∞. 求证：211n n k k Pk n ()+−→−=∑ξ a .25. 设{ξk }独立同分布，都服从N (0, 1) 分布，ηξξn n kk nn =+=∑121/. 求证：ηn 的分布函数WN −→−(0, 1). 26. 设{ξk }为独立同分布随机变量序列，Var ξk <∞.a nn =∞∑1为绝对收敛级数，令ηξn kk n==∑1, 则{a n n η}服从大数定律.27. 设{ξk }为独立同分布随机变量序列，{a n }为常数列，a n →∞. 求证：ξk k nn Pn a =∑−→−1120/()/.28. {ξk }, {ηk }相互独立，均服从N (0, 1)分布. {a n }为常数列，求证：[a n k k nk k k nP==∑∑+−→−110ξη]/的充要条件是a n k k n2120=∑→/.29. 设{ξk }独立同分布，都服从N (0, 1) 分布. 求证：ηξξξξn nn=++++1122ΛΛ渐近正态分布N(0, 1).30. 设{ξk }独立同分布，都服从 [-1, 1]上的均匀分布. 求证：(1) {ξn 2}服从大数定律；(2)U n k kk nk n===∑∑ξξ/211的分布函数收敛于N (0, 1).31. 设{ξk }为相互独立的随机变量序列，成立中心极限定理，则它服从大数定律的充要条件是Var(ξk k no n )()==∑21.32. 取Ω=(0,1), F 为其中波雷尔集全体所成的σ域. 对任一事件A={ω∈(a,b)⊂Ω}，定义P(A)=b-a. 现定义)(ωξ≡0,.1/1,/10,0,)(/1≤<≤<⎩⎨⎧=ωωωξn n n r n求证：ξξn P−→−, 但ξξn L r −→−.。
投资组合增长率的若干极限定理胡光军;侯为根;程成【摘要】设0≤a1≤a2≤…是一列固定的非负整数序列,研究其在时间段a.+1至a.+n内投资组合增长率的极限性质.通过构造带1个参数并且期望有限的随机变量,利用Borel-Cantelli引理,获得了任意投资组合增长率的性质和一般市场条件下的极限定理.并给出了将Markov不等式和Borel-Cantelli引理等工具应用于强极限定理的一种途径.【期刊名称】《安徽工业大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2016(033)001【总页数】5页(P89-93)【关键词】投资组合;增长率;倍率;极限定理【作者】胡光军;侯为根;程成【作者单位】安徽工业大学数理科学与工程学院,安徽马鞍山243032;安徽工业大学数理科学与工程学院,安徽马鞍山243032;安徽工业大学数理科学与工程学院,安徽马鞍山243032【正文语种】中文【中图分类】O211.4;O236投资组合理论是现代金融学中的重要研究课题之一，其目的是寻求一个在给定收益水平下使投资风险最小化，或者在给定的投资风险水平下使投资者的预期效用最大化的最优投资组合。
从Markowitz［1］创立的均值-方差分析理论至今，人们从多方面、多层次地推广了Markowitz模型。
Cover和Thomas［2］系统研究了log-最优投资组合问题，叶中行等［3］研究了有风险控制的log-最优投资组合问题，包振华等［4］利用鞅方法研究了一类log-最优投资组合的极限性质，叶中行等［5］利用鞅方法证明了一般市场条件下序列投资组合的极限定理。
宋静等［6］用鞅方法研究了一类log-最优投资组合的极限性质，Zhang［7］建立任意随机序列的对数最优投资组合，得到任意序列投资组合的长期回报率在一些条件下以概率1收敛到每个时期的平均收益。
本文运用研究随机序列强极限的分析方法［8-11］，进一步推广现有的理论，使得计算任意序列投资组合的回报率只需要一段时间内的信息。
实数的序列与极限实数的序列是指按照一定规则排列的实数的无限集合。
在数学中，序列是一种重要的概念，它与极限密切相关。
通过研究序列的性质和极限的存在与性质，我们可以深入了解实数的特性和数学的基本原理。
一、实数序列的定义与性质实数序列可以通过一个映射函数$f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{R}$来表示，其中$\mathbb{N}$表示自然数集合，$\mathbb{R}$表示实数集合。
即通过一个自然数的索引，将每个自然数映射到一个实数上，从而构成一个实数序列。
实数序列的性质包括有界性、单调性和收敛性等。
一个序列是有界的，意味着存在两个实数$M$和$N$，使得序列中的每个元素都落在这个闭区间$[M,N]$之内。
如果一个序列逐渐增大或逐渐减小，我们称之为单调序列。
而极限则是序列最为重要的概念之一。
二、实数序列的极限实数序列${a_n}$的极限是指当$n$趋近于无穷大时，序列的元素$a_n$逐渐趋近于某个实数$a$。
记为$\lim_{n\to\infty}a_n=a$或$a_n\toa(n\to\infty)$。
这里的$a$称为极限值或极限点。
对于一个给定的实数序列，极限可以存在也可以不存在。
当极限存在时，可以有以下几种情况：1. 极限为有限值：序列的元素逐渐趋近于一个有限的实数$a$；2. 极限为无穷：序列的元素逐渐增大或逐渐减小而无界；3. 极限为正无穷：序列的元素逐渐增大趋近于正无穷；4. 极限为负无穷：序列的元素逐渐减小趋近于负无穷。
实数序列的极限存在与否，以及极限值的大小与序列的性质密切相关。
对于给定的序列，我们可以通过一些方法来判断其是否存在极限并求出极限值。
三、实数序列的收敛性实数序列的收敛性是指序列是否存在极限。
若一个序列存在极限，则称之为收敛序列；否则，称之为发散序列。
对于收敛序列而言，其极限值是唯一的。
如果一个序列不存在极限，我们可以称其为无界序列或者发散序列。
N值随机变量序列的一个强极限定理
刘文;李志才
【期刊名称】《水利电力机械电子技术》
【年(卷),期】1993(007)001
【总页数】5页(P28-32)
【作者】刘文;李志才
【作者单位】不详;不详
【正文语种】中文
【中图分类】O211.5
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1.任意B值随机变量序列关于条件期望的一类强极限定理 [J], 袁德美
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5.一个对二值随机变量序列普遍成立的强极限定理 [J], 刘文;刘自宽
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Cantor 型随机变量序列关于赌博系统随机和的一类强极限定理王康康;宗德才【摘要】研究了对随机选择系统中Cantor 型随机序列随机和普遍成立的一类强大数定理.证明中利用条件期望的概念,采用测度的网微分法,并运用纯分析运算得出结论.作为推论,得到随机变量序列已有的经典强大数定律以及对任意随机变量序列普遍成立的强大数定律.【期刊名称】《江苏科技大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2010(024)003【总页数】4页(P305-308)【关键词】Cantor型随机变量序列;网微分法;条件期望;赌博系统;任意随机序列【作者】王康康;宗德才【作者单位】江苏科技大学,数理学院,江苏,镇江,212003;常熟理工学院,计算机科学与工程学院,江苏,常熟,215500【正文语种】中文【中图分类】O211.6定义1 设{Xn,n≥0}为定义在概率空间(Ω,F,P)上并于Sn={0,1,…,qn}上取值的任意随机变量序列,其中{qn,n≥0}为一列正整数．其联合分布为P(X0=x0,…,Xn=xn)=p(x0,…,xn)>0xi∈Si,0≤i≤n.(1)称这样的随机变量序列为Cantor型随机变量序列．关于随机变量序列强大数定理的研究始终是概率论研究的核心问题之一．近几年来,文献[1]研究了任意随机变量序列调和平均的a.s.收敛性质．文献[2]研究了离散随机变量序列多元函数序列的若干极限性质．文献[3]通过构造适当的鞅研究了一般随机变量序列的一些强极限性质．文献[4-5]对随机选择系统中任意随机变量序列的极限性质做了一些研究．本文通过采用测度的网微分法以及纯分析方法，给出Cantor型随机变量序列涉及条件期望的若干强极限定理的证明．文献[6]中曾给出有关Cantor型随机变量序列强极限定理的一个证明．本文将该讨论进一步拓展到广义赌博系统的随机和的情况,得到广义赌博系统中Cantor型随机序列随机和的一类强极限定理,推广了文献[6]的主要结论．作为推论得到了一些经典强大数定理．1 主要定理定义2 给出一组定义在Sn(n=1,2,…)上取值于[0,b]的实值函数列fn(x0,…,xn),令Y1=y(y为任意实数)Yn+1=fn(X0,…,Xn) n≥1(1)式中，fn为选择函数, {Yn,n≥1}为广义赌博系统或广义随机选择系统．由于传统的赌博系统中fn(x0,…,xn)于{0,1}中取值[7],所以本文中考虑的赌博系统为其推广．在选取{Xn,n≥0}的子序列时,取Xn与否按Yn的值是否为0而定(在赌博中,如果Yn≠0,则赌徒参与第n次赌博,如果Yn=0,则赌徒不参与该次赌博)．于是得到{Xn,n≥0}的一个子序列,其各项的选择依赖于过去的结果而定．到时刻n,随机序列的随机平均值为定理1 设{Xn,n≥0}为具有分布式(1)的Cantor型随机变量序列．{Yn,n≥0}与{qn,n≥0}如上定义．{σn(ω),n≥0}为任意非负随机序列．且满足(2)则有a.s. ω∈D(3)(4)证明: 取(Ω,F,P)为所考虑的概率空间．设Dx0…xn={ω:Xk=xk,0≤k≤n} xk∈SDx0…xn称为n阶柱集．由式(1)有P(Dx0…xn)=P(X0=x0,…,Xn=xn)=p(x0,…,xn)(5)令N为Ω和所有柱集Nn组成的类．设λ=1或-1,定义N上的集函数μ为(6)(7)这里对所有xn求和．其中(8)从而由式(6，8)有=μ(Dx0,…,xn-1)(9)由式(6，7，9)可知μ是定义在N上的测度,因为N为半代数,故μ可唯一地拓广到σ代数σ(N)上．令其中IDx0,…,xn代表Dx0,…,xn的示性函数．即(10)易知{Nn,n≥0}为一个网．由网微分法[8]知,存在A(λ)∈σ(N),使得P(A(λ))=1．从而有有限数 a.s.(11)又由于(12)由式(2)的第一式可知(13)从而由式(11，14)有有限数a.s. ω∈D(14)由式(6，8，10)有T[σn](λ,ω)=(15)注意到p(xn|X0,…,Xn-1)=0由式(8，2)与不等式有0≤Mn(X0,…,Xn-1)-1=a.s. ω∈D(16)由式(2)可知由式(2，13)与无穷乘积收敛定理，有收敛. a.s. ω∈D(17)由式(11，15，17)有有限数a.s. ω∈D(18)在式(18)中分别令λ=1和λ=-1，便有(19)(20)由式(19，20)有a.s. ω∈D(21)即式(3)成立.由式(21)与Kronecker引理有a.s. ω∈D(22)于是定理证毕.2 主要推论推论1 设{Xn,n≥0}为具有分布式(1)的Cantor型随机变量序列.{qn,n≥0}如上定义.{σn(ω),n≥0}为一列任意非负随机序列.且满足(23)则有a.s. ω∈H(24)a.s. ω∈H(25)证明: 在定理1中令fn(x0,…,xn)=1,n≥0,于是Yn≡1,n≥0.并且注意到σn-1≤[σn]≤σn,有从而有H(ω)=D(ω),a.s.由式(3,4)即得式(24,25)成立.推论2[6] 设{Xn,n≥0}为具有分布式(1)的Cantor型随机变量序列.{qn,n≥0}如上定义.且满足(26)则有(27)(28)证明: 在定理1中令σn(ω)=n,Yn(ω)≡1,b>1,n≥0.则由式(26)可知此时有D=Ω,a.s.由式(3,4)即可得式(27,28)成立.该推论即为文献[6]中“无平稳或相依条件下的一类强极限定理”的定理1.令qn≥2(n=1,2,…).众所周知每一个实数ω∈(0,1)可以表示为(29)其中第n各位标Xn(ω)在0,1,2,…,qn-1中取值.表达式(29)称为Cantor展式.(除一些有理数外,这种分解式是唯一的).令X0≡0,ω∈(0,1),显然有E(Xn|X0,…,Xn-1)=E(Xn) n=1,2,…(30)因而可以得到推论3.推论3 令qn≥2(n=1,2,…),Xn(ω)是ω∈(0,1)在Cantor展式(29)中的第n个位标.如果(31)则有(32)证明: 在定理1中令σn(ω)=n,Yn(ω)≡1,b>1,n≥0.则由式(31)有(33)可知此时有D=Ω,a.s.,由式(3,4)即可得式(32)成立.推论3 就是随机变量序列{Xn,n≥0}的强大数定律.如果qn取常数,则上述条件式(31)自然成立.此时该推论可由众所周知的关于正规数的结论推得[7，9-10].参考文献[1] Liu Wen. A limit property of random conditional probabilities[J]. Stat Probab Letts，2000,49(3)： 299-304.[2] Liu Wen. Some limit properties of the multivariate function sequences of discrete random variables[J]. Stat Probab Letts，2003, 61(1):41-50. [3] 刘文,杨卫国,张丽娜.关于任意随机变量序列的一类强极限定理[J].数学学报,1997, 40(4): 537-544.Liu Wen, Yang Weiguo, Zhang Lina. A class of strong limit theorems for the sequence of arbitrary random variables[J]. Acta Mathematica Sinica. 1997, 40(4):537-544.(in Chinese)[4] 王康康,秦忠.任意随机序列关于随机选择系统的一类强极限定理[J].江苏科技大学学报:自然科学版,2006,20(6): 40-44.Wang Kangkang,Qinzhong. A class of strong limit theorems for arbitrary stochastic sequence on random selection system [J]. Journal of Jiangsu University of Science and Technology:Natural Science Edition,2006,20(6): 40-44.(in Chinese)[5] 王康康.博弈系统中任意随机变量序列关于乘积分布的一类强极限定理[J].江苏科技大学学报:自然科学版,2007,21(1)：33-36.Wang Kangkang. A class of strong limit theorems for stochastic sequence on product distribution in gambling system[J]. Journal of Jiangsu University of Science and Technology: Natural Science Edition, 2007,21(1): 33-36. (in Chinese)[6] Liu Wen. A strong limit theorem under no assumption of stationary or various dependence[J]. Stat Probab Letts, 1994,21(2):157-161.[7] Revez P. The laws of large numbers[M]. New York: Academic Press, 1968.[8] Hewitt E. Stromberg K R. Real and abstract analysis:a modern treament of the theory of functions of real variable[M]. New York: Springer,1994. [9] Feller W. An introduction to probability theory and its application[M]. New York:Wiley,1957.[10] Renyi A. Distribution of numerals in the Cantor productions of realnumbers[J]. Mat Lapok,1956,7(2):77-100.。
