知识讲解（基础）--一元二次方程的应用【学习目标】通过分析具体问题中的数量关系，建立方程模型并解决实际问题，总结运用方程解决实际问题的一1. 般步骤； . 通过列方程解应用题，进一步提高逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力2. 【要点梳理】要点一、列一元二次方程解应用题的一般步骤 1..利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系解决应用题的一般步骤：2.；)审题目，分清已知量、未知量、等量关系等(审；)设未知数，有时会用未知数表示相关的量(设；)根据题目中的等量关系，列出方程(列；)解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰(解验（检验方程的解能否保证实际问题有意义）写出答案，切忌答非所问(答 ). 要点诠释：列方程解实际问题的三个重要环节：一是整体地、系统地审题；二是把握问题中的等量关系； . 三是正确求解方程并检验解的合理性要点二、一元二次方程应用题的主要类型1.数字问题数位从右至左依次分别是：个位、十位、百位、.任何一个多位数都是由数位和数位上的数组成(1) 、……，数位上的数字1000、100、10、1千位……，它们数位上的单位从右至左依次分别为：1、0只能是因此，任何一个多位数，都可用0.之中的数，而最高位上的数不能为9、……、2、其各数位上的数字与其数位上的单位的积的和来表示，这也就是用多项式的形式表示了一个多位，则这个三位数可表示为：c，百位上数为b，十位上数为a如：一个三位数，个位上数为.数 100c+10b+a. 1. 几个连续整数中，相邻两个整数相差 (2) x+1. ，x-1，则另两个数分别为x如：三个连续整数，设中间一个数为)或奇数(中，相邻两个偶数)或奇数(几个连续偶数 2. 相差 x+2. ，x-2，则另两个数分别为x，设中间一个数为)奇数(如：三个连续偶数典型例题】[类型一、数字问题，求这两个数是多少．32，积等于12．已知两个数的和等于 1 【答案与解析】，32＝x(12-x)，依题意得(12-x)，那么另一个数可表示为x设其中一个数为 2 0 ＝-12x+32x整理得，8＝x，4＝ x解得21 ；8＝12-x 时4＝x当当．4＝12-x时8＝x ．8和4所以这两个数是表示出来，然x，那么另一个数便可以用x 数的和、差、倍、分等关系，如果设一个数为【总结升华】后根据题目条件建立方程求解．举一反三：【高清】1例：数字问题关联的位置名称（播放点名称）388525 号：ID . ，求这个两位数2倍，其十位数字比个位数字少3有一个两位数等于其数字之积的变式】【x2)( . ，则十位数字为设个位数字为【答案】由题意，得：2整理，得：4)解方程，得：∴21经检验，舍去（注意根的实际意义的检验）,不合题意时∴当2)∴ 24. 答：这个两位数为平均变化率问题 2.率问题时，要理清原来数、后来数、增长率或降低率，以及增长)降低(列一元二次方程解决增长如果列出的方程是一元二次方程，那么应在原数的基础上增长或降低两.或降低的次数之间的数量关系 . 次增长率问题：(1)为原来数，(a平均增长率公式为 .) 为增长后的量b为增长次数，n为平均增长率，降低率问题：平均降低率公式为 .) 为降低后的量b为降低次数，n为平均降低率，x为原来数，(a 类型二、平均变化率问题月中央召开了新疆工作座谈会，为实现新疆跨越式发展和长治久安，作出了重要战5年2010．2亿元用于城市基础设施维护和建设，以后5略决策部署．为此我市抓住机遇，加快发展，决定今年投入亿元．8.45年当年用于城市基础设施维护与建设资金达到2012逐年增加，计划到(1) 年我市每年投入城市基础设施维护和建设资金的年平均增长率；2012年至2010求从年我市每年投入城市基础设施维护和建设资金的年平均增长率相同，预计我2012年至2010若(2) ? 市这三年用于城市基础设施维护和建设资金共多少亿元【答案与解析】，x年我市每年投入城市基础设施维护和建设资金的年平均增长率为2012年至2010设从(1)2 ．8.45＝5(1+x)由题意得．)不合题意，舍去-2.3(＝x，30%＝x解得212010答：从．30%年我市每年投入城市基础设施维护和建设资金的年平均增长率为2012年至) 亿元19.95(＝5+5(1+0.3)+8.45＝5+5(1+x)+8.45这三年共投资 (2)答：预计我市这三年用于城市基础设施维护和建设资金共亿元．19.95n是n是平均增长率，x是原来的量，a其中b(＝a(1+x)本题是常见的增长率问题，要理解【总结升华】增长的次数，；在这个基础上，a(1+x)的含义．原来的量经过一次增长后达到)是增长到的量b2；在这个基础上，再增长一次即经a(1+x)＝a(1+x)(1+x)再增长一次即经过第二次增长后达到3a(1+x)＝a(1+x)(1+x)(1+x)过三次增长后达到；…；依次类推．举一反三：】3：增长率问题例关联的位置名称（播放点名称）388525 号：ID【高清600】某产品原来每件是变式【元，如果两次降价的百分数相同，384元，由于连续两次降价，现价为 . 求平均每次降价率x，设平均每次降价率为【答案】，降价后价格为：则第一次降价为，，降价后价格为：第二次降价为：22根据题意列方程，得：16225x，∴21不合题意，舍去（注意根的实际意义的检验）2∴015 . 答：平均每次下降率为2000 利息问题3.概念：(1) . 本金：顾客存入银行的钱叫本金 . 利息：银行付给顾客的酬金叫利息 . 本息和：本金和利息的和叫本息和 . 期数：存入银行的时间叫期数 . 利率：每个期数内的利息与本金的比叫利率 : 公式(2) 本金×利率×期数=利息利息×税率=利息税本息和)=利率×期数(1+本金× (本息和)]=税率(1-利率×期数×[1+本金× ) 收利息税时问题)销售(利润 4.问题中常用的等量关系：)销售(利润 ) 成本(进价-售价=利润每件的利润×总件数=总利润类型三、利润（销售）问题件．市场调查反映：每降300元，每星期可卖出60乌鲁木齐）某商品现在的售价为每件•2015（．3元，在顾客得实惠的前提下，商家还想获得40件．已知商品的进价为每件20元，每星期可多卖出1价元的利润，应将销售单价定位多少元？6080 【答案与解析】）件，300+20x）元，销售量为（x﹣60元，则售价为（x 解：降价，=6080）300+20x（）40﹣x﹣60（根据题意得，解得，=4x，=1x21 元，56，级定价为x=4又顾客得实惠，故取元．56答：应将销售单价定位列一元二次方程解应用题往往求出两解，有的解不合实际意义或不合题意．应舍去，必须【总结升华】进行检验．形积问题 5.此类问题属于几何图形的应用问题，解决问题的关键是将不规则图形分割或组合成规则图形，根据图形的面积或体积公式，找出未知量与已知量的内在关系并列出方程. 要点诠释：，然后由数学问题的解决而获得对列一元二次方程解应用题是把实际问题抽象为数学问题（列方程） . 这是在解决实际问题时常用到的数学思想—方程思想.实际问题的解决【类型四、形积问题的住房墙，另外三边12m湖北）如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为•2015（．4所围矩形猪舍的长、宽的门，1m在垂直于住房墙的一边留一个为方便进出，长的建筑材料围成，25m用2宽分别为多少时，猪舍面积为？80m【答案与解析】，m）2x+1﹣25可以得出平行于墙的一边的长为（xm解：设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为由题意得，=80）2x+1﹣25（x2 ，13x+40=0﹣x化简，得，x，=5x解得：821，＞2x=16﹣26时，x=5当，12＜2x=10﹣26时，x=8，当（舍去）12 ．8m、宽为10m答：所围矩形猪舍的长为．结合图形分析数量关系是解决面积等几何问题的关键；1【总结升华】．注意检验一元二次方程的两个解是否符合题意．2一元二次方程的应用—巩固练习（基础）【巩固练习】一、选择题的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示．如果50cm、宽80cm．在一幅长12，那么x cm，设金色纸边的宽为5400cm要使整个挂图的面积是．( )满足的方程是x 2222．0 C＝-65x-350x．0B＝+130x-1400x． A0 ＝+65x-350x．0 D＝-130x-1400x210m将城镇居民的住房面积由现在的人均约为我市计划用未来两年的时间，为了改善居民住房条件，．22 ，若每年的年增长率相同，则年增长率为（12.1m提高到） 12% ．11% D．10% C．9% B． A万个，设该厂五、六月份平均每月的增182万个，第二季度共生产零件50．某农机厂四月份生产零件3x，那么x长率为．( )满足的方程是22 182 ＝50+50(1+x)+50(1+x)．182 B＝50(1+x)． A．182 D＝50(1+2x)． C182 ＝50+50(1+x)+50(1+2x) ．( )则矩形面积是.，它就变成正方形3cm倍，若宽增加3．一个矩形的长是宽的42742222cmcm27cm9cm ．．D．C． B A 432010．为执行“两免一补”政策，某地区5万元．设3600年投入2012万元，预计2500年投入教育经费．( )，则下列方程正确的是x这两年投入教育经费的年平均增长率为22．3600 B＝2500(1+x)．A3600 ＝2500x2 3600 ＝2500(1+x)+2500(1+x)．3600 D＝2500(1+x%)． C240cm咸宁）用一条长为•2014（．6 ）的值不可能为（a的长方形，acm的绳子围成一个面积为．C0 4 ．B20 ．A 120 ．D00 1 二、填空题．________万元，该商场这两个月销售额的平均增长率是25月份5万元，16月份为3．某商场销售额7 ．________，则这两数为74，两数的平方和是2．若两数的和是82，设长方10m的一块长方形绿地，并且长比宽多300m．大连某小区准备在每两幢楼房之间开辟面积为9________，则可列方程为xm形绿地的宽为．2________的周长为ABCD则菱形的一个根，0＝-7x+12x的长是方程AB，6的一条对角线长ABCD菱形．10 ．人的手机上有了该短信，196经过两轮发送后共有有一人发了某内容的短信，启东市月考）•春2015（．11人．则每轮发送中平均一个人发送了小明家为响应节能减排号召，计划用两年时间，将家庭每年人均碳排放量由目前的12.降至3125kg，则小明家未来两年人均碳排放量平均每年需降低的百分率是)全球人均目标碳排放量2000kg( ．________ 三、解答题的一根铁丝围成长方形．12m．用长1322如果长方形的面积为 (1)? 呢8m如果面积是?宽是多少?，那么此时长方形的长是多少5m2 ? 为什么?的长方形10m能否围成面积是 (2) ? 能围成的长方形的最大面积是多少 (3) 60cm，宽80cm从一块长14. 的长方形铁片中间截去一个小长方形，使剩下的长方形四周宽度一样，并且小长方形的面积是原来铁片面积的一半，求这个宽度．82.8年达到2014该镇近几年不断增加绿地面积，公顷，57.5年有绿地面积2012白溪镇珠海）•2015（．15 公顷．年绿地面积的年平均增长率；2014至2012）求该镇1（公顷？100年该镇绿地面积能否达到2015）若年增长率保持不变，2（【答案与解析】一、选择题；D【答案】1. ，化简即可．5400＝(80+2x)(50+2x)【解析】可列方程B【答案】2. ；2 ．0.1＝x，解得12.1＝10(1+x)【解析】；B【答案】3.【解析】四、五、六月份产量之和为．182 ；C【答案】4. ．3x＝x+3，依题意得3xcm，则矩形的长为xcm【解析】设矩形的宽为5. ；A【答案】2为增长次数，n为平均增长率，x为原来数，(a【解析】由平均增长率公式为为增长 . 可列方程)后的量；D【答案】6.2，依题意，得cm）x，则宽为（40÷2﹣xcm的长方形的长为acm【解析】解：设围成面积为，整理，得=a）x（40÷2﹣x2 ，20x+a=0﹣x ∵△=400﹣4a≥0，a≤100，解得故选：．D 二、填空题；25%【答案】．7 ，x【解析】设商场这两个月销售额的平均增长率是2＝16(1+x)则．)不合题意，舍去-2.25(＝x，25%＝0.25＝x解得2521．8 ；7和-5【答案】．2-x，则另一个数为x【解析】设两数中一个数为2274＝+(2-x)x根据题意得．7＝x，-5＝x，解得21；当7时，另一个数为-5＝x当．7和-5，所以这两个数为-5时，另一个数为7＝x ；300＝x(x+10)【答案】．9 ．300＝x(x+10)，可列方程(x+10)m，则长为xm【解析】因为宽为；16【答案】.102 ，6，因为有一条对角线长为3不可能等于AB，4＝x，3＝x的两根为0＝-7x+12x【解析】21 ．16，菱形周长为4＝AB所以；13【答案】．11 人，由题意得：x【解析】设每轮发送中平均一个人发送了，=196）1+x（1+x+x解得：．（不合题意舍去）15﹣=x，=13x21 人．13即每轮发送中平均一个人发送了；20% 【答案】．-x)，则x【解析】设降低的百分率为．，)舍去(，2000＝2155 三、解答题【答案与解析】，，则长为x m设长方形的宽为(1)22＝x(6-x)根据题意，得．)舍去5(＝x，1＝x，0＝-6x+5x，即52121m当长方形的宽为∴．5m时，面积为5m＝6m-1m，长为22 ．)舍去4(＝x，2＝x，0＝-6x+8x，即8＝x(6-x)时，有8m同样，当面积为 122 ．8m时，面积为4m＝6-2，长为2m当长方形的宽为∴ 222 ，0＜-4＝36-40＝-4acb，此时0＝-6x+10x，即10＝x(6-x)时，l0m当面积为(2) 故此方程无实数根，所以这样的长方形不存在．，要使该方程有解，0＝x2-6x+k，即k＝x(6-x)，则有k设围成的长方形的面积为(3)2 ．9≤k，即0≥-4k(-6)必须有2 ．3(m)＝6-x，3m＝x，此时9m，即最大的面积为9只能是k最大的∴这时所围成的图形是正方形．【答案与解析】14. ．2÷60×80＝(80-2x)(60-2x)，根据题意有：xcm设这个宽度为．60＝x，10＝x解这个方程得 21 ，0必须大于60-2x因为截去的小长方形的宽．10＝x，所以30＜x，亦即0＞60-2x即时，截去的小长方形面积是原来铁片面积的一半．10cm答：宽度为【答案与解析】15. ，根据意，得x）设绿地面积的年平均增长率为1（解：2 =82.8）1+x（57.5 （不合题意，舍去）2.2﹣=x，=0.2x解得：12 ；20%答：增长率为）由题意，得2（万元=99.36）1+0.2（82.8 答：公顷．100年该镇绿地面积不能达到2015。
解一元二次方程的应用的综合运用一、引言在数学中，一元二次方程是高中阶段数学学习的重要内容之一。
解一元二次方程的方法包括因式分解法、配方法、求根公式等等。
而一元二次方程的应用则是将这些解法应用于实际问题，解决实际生活和工作中遇到的困扰。
本文将探讨一元二次方程的应用，通过综合运用多种解法，以及具体的实例，帮助读者更好地理解和掌握一元二次方程的应用。
二、利用一元二次方程解决实际问题的方法解一元二次方程的方法有很多种，包括因式分解法、配方法、求根公式等。
在应用中，我们可以根据问题的具体情况选择合适的解法。
下面将介绍常用的解一元二次方程的方法以及其适用情况。
1. 因式分解法当一元二次方程的系数较为简单，并且方程能够进行因式分解时，可以选择因式分解法进行求解。
例如，对于二次方程x^2 - 5x + 6 = 0，可以通过因式分解为(x - 2)(x - 3) = 0，从而得到x的值为2和3。
2. 配方法当一元二次方程无法直接因式分解时，可以选择配方法进行求解。
配方法的基本思想是通过将方程两边进行变形，使得方程能够进行因式分解。
例如，对于二次方程x^2 + 6x + 9 = 25，可以通过将方程两边同时减去25，变形为x^2 + 6x - 16 = 0，然后将方程进行配方，即(x + 8)^2 - 64 = 0，得到x的值为-8和8。
3. 求根公式当一元二次方程的系数比较复杂时，可以选择求根公式进行求解。
一元二次方程的求根公式为x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)，其中a、b、c分别对应方程中的二次项系数、一次项系数和常数项。
通过代入系数的值，可以求出方程的根。
三、实际问题的应用实例1. 求解车辆行驶问题假设一辆汽车以匀速行驶，行驶了一段时间后，总行程距离为100千米。
已知当汽车以每小时40千米的速度行驶时，行驶时间为x小时；当汽车以每小时50千米的速度行驶时，行驶时间为y小时。
