2018秋新版高中数学北师大版必修2习题第二章解析几何初步 2.1.1 Word版含解析

思考?日常生活中，还有没有表示倾斜程度的量？
如图3.1-3，日常生活中，我们经常用“升高量与前进量 的比”表示倾斜面的“坡度”（倾斜程度），即
D
C 升
设直线的倾斜程度为K
AB k AC AC BD k AD AD
tan
tan
A

前进量
高 量
B
1、直线斜率的定义：
我们把一条直线的倾斜角 用小写字母 k 表示，即：
直线BC的斜率 kBC 直线CA的斜率 kCA
0 (8) 8 2
C
∵ k AB 0 ∴直线AB的倾斜角为零度角。 ∵ kBC 0 ∴直线BC的倾斜角为钝角。 ∵ kCA 0 ∴直线CA的倾斜角为锐角
2 (2) 4 1 40 4
三、小结：
1、直线的倾斜角定义及其范围： 180 0 2、直线的斜率定义： k tan a (a 90 ) 3、斜率k与倾斜角 之间的关系：
y2 y1 y1 y2 4、斜率公式：k (或k ) x2 x1 x1 x2
a 0 k tan0 0 0 a 90 k tan a 0 a 90 tan a(不存在) k不存在 90 a 180 k tana 0

tan60 3 当α是锐角时， tan( a 135 k tan135 180 135 ) tan( 180 ) tan

tan45 1


180 150 ) a 150 k tan150 tan(
A
y
a
C D
x x o
x
o

4．由点 P(1,3)引圆 x2＋y2＝9 的切线，其切线长是________．
【解析】 点 P 到原点 O 的距离为|PO|＝ 10，∵r＝3，∴切线长为 10－9 ＝1.
【答案】 1
5．已知过点 M(－3，－3)的直线 l 被圆 x2＋y2＋4y－21＝0 所截得的弦长为 4 5，求直线 l 的方程.
直线与圆相切问题
的方程．
若直线 l 过点 P(2,3)，且与圆(x－1)2＋(y＋2)2＝1 相切，求直线 l
【精彩点拨】 设出直线 l 的方程，利用几何法或代数法求 l 的方程，注意 斜率不存在的情况．
【自主解答】 法一：(1)若直线 l 的斜率存在，设 l：y－3＝k(x－2)， 即 kx－y＋3－2k＝0， 因为直线 l 与圆(x－1)2＋(y＋2)2＝1 相切， 所以 |5k－2＋k|1＝1，所以 k＝152. 所以直线 l 的方程为 y－3＝152(x－2)，即 12x－5y－9＝0. (2)若直线 l 的斜率不存在，则直线 l：x＝2 也符合要求． 所以直线 l 的方程为 12x－5y－9＝0 或 x＝2.
[再练一题] 1．已知直线 l：3x＋y－6＝0 和圆心为 C 的圆 x2＋y2－2y－4＝0，判断直线 l 与圆的位置关系；如果相交，求它们交点的坐标．
【解】 法一：由直线 l 与圆的方程， 得x32x＋＋yy2－－62＝y－0，4＝0. 消去 y，得 x2－3x＋2＝0，因为 Δ＝(－3)2－4×1×2＝1>0， 所以，直线 l 与圆相交，有两个公共点，可解得两个公共点的坐标分别为(1,3)， (2,0)．
阶
阶
段
段
一
三
2.3 直线与圆、圆与圆的位置关系
第 1 课时 直线与圆的位置关系

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[小组合作型]
两圆位置关系的判断
已知圆 C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0，圆 C2：x2＋y2＋2x－2my ＋m2－3＝0，则 m 为何值时， (1)圆 C1 与圆 C2 外切？ (2)圆 C1 与圆 C2 内切？
【精彩点拨】 两圆外切时，|C1C2|＝r1＋r2；内切时，|C1C2|＝|r1－r2|.
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[再练一题] 2．求与圆 x2＋y2－2x＝0 外切且与直线 x＋ 3y＝0 相切于点 M(3，－ 3)的 圆的方程．
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【解】
设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)， ① ② ③
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【解析】 圆 x2＋y2＝m 的圆心坐标为(0,0)，半径为 r1＝ m，圆 x2＋y2＋6x －8y－11＝0 的圆心坐标为(－3,4)，半径 r2＝6， 圆心距：d＝ －32＋42＝5，若两圆相交，则圆心距|r1－r2|＜d＜r1＋r2，所 以|6－ m|＜5＜6＋ m，即|6－ m|＜5， 解得 1＜m＜121.
2 2 x － x ＋ y － y 1 2 1 2 ＝ .
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则两圆 C1，C2 有以下位置关系： 位置关系 两圆相离 两圆外切 圆心距与半径之间的关系 图示
d>r1＋r2
d＝r1＋r2
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两圆相交
|r1－r2|< d<r1＋r2
两圆内切
d＝|r1－r2|
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两圆相切时常用的性质有： (1)设两圆的圆心分别为 O1、O2，半径分别为 r1、r2，

第二章 解析几何初步(时间：100分钟，满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．直线ax ＋2y －1＝0与x ＋(a －1)y ＋2＝0平行，则a 等于( ) A.32B ．2C ．－1D ．2或－1解析：选D.由a ·(a －1)－2×1＝0得a 2－a －2＝0，所以a ＝2或－1，经检验均适合题意．2．已知A (－4，2，3)关于xOz 平面的对称点为A 1，A 1关于z 轴的对称点为A 2，则|AA 2|等于( )A ．8B ．12C ．16D ．19解析：选A.A 1(－4，－2，3)，A 2(4，2，3)，所以|AA 2|＝（4＋4）2＋（2－2）2＋（3－3）2＝8.3．直线y ＝x ＋1与圆x 2＋y 2＝1的位置关系是( ) A ．相切 B ．相交但直线不过圆心 C ．直线过圆心 D ．相离解析：选B.圆心(0，0)到直线y ＝x ＋1的距离d ＝12＝22<1，所以直线与圆相交，圆心不在y ＝x ＋1上．4．不论m 为何实数，直线(m －1)x －y ＋2m ＋1＝0恒过定点( ) A ．(－2，3) B ．(2，－3) C ．(1，0) D ．(0，－2)解析：选A.直线(m －1)x －y ＋2m ＋1＝0可化为m (x ＋2)－(x ＋y －1)＝0， 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＝0，x ＋y －1＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝3，所以直线过定点(－2，3)． 5．两圆x 2＋y 2＝1与x 2＋y 2－2x ＝0的公共弦所在直线的方程是( )A ．x ＝1B ．x ＝12C ．y ＝xD ．x ＝32解析：选B.将两圆方程相减可直接求得公共弦所在直线的方程为x ＝12.6．圆x 2＋y 2－2x －1＝0关于直线2x －y ＋3＝0对称的圆的方程是( )A ．(x ＋3)2＋(y －2)2＝12B ．(x －3)2＋(y ＋2)2＝12C ．(x ＋3)2＋(y －2)2＝2D ．(x －3)2＋(y ＋2)2＝2解析：选C.圆x 2＋y 2－2x －1＝0可化为(x －1)2＋y 2＝2. 设圆心(1，0)关于2x －y ＋3＝0的对称点为(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧ba －1×2＝－1，2×a ＋12－b 2＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝2，所以所求圆的方程为(x ＋3)2＋(y －2)2＝2.7．设实数x ，y 满足(x －2)2＋y 2＝3，那么y x的最大值是( ) A.12 B.33C.32D. 3解析：选D.如图所示，设过原点的直线方程为y ＝kx ，则与圆有交点的直线中，k max ＝3，所以y x的最大值为 3.故选D.8．过点P (4，2)作圆x 2＋y 2＝4的两条切线，切点分别为A ，B ，O 为坐标原点，则△OAB 的外接圆方程是( )A ．(x －2)2＋(y －1)2＝5B ．(x －4)2＋(y －2)2＝20C ．(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝5D ．(x ＋4)2＋(y ＋2)2＝20解析：选A.由条件O ，A ，B ，P 四点共圆，从而OP 的中点(2，1)为所求圆的圆心，半径r ＝12|OP |＝5，故所求圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5.9．在圆x 2＋y 2－2x －6y ＝0内，过点E (0，1)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为( )A ．5 2B ．10 2C ．15 2D ．20 2解析：选B.由(x －1)2＋(y －3)2＝10，可知圆心为O (1，3)，半径为10，过E (0，1)的最长弦为圆的直径210，最短弦为以E 为中点的弦，其长为210－OE 2＝2 5.因两条弦互相垂直，故四边形ABCD 的面积为12×210×25＝10 2.10．已知点A (－1，0)，B (0，2)，点P 是圆(x －1)2＋y 2＝1上任意一点，则△PAB 面积的最大值是( )A ．2 B.4＋52C.52D.2＋52解析：选 B.AB 所在直线方程为－x ＋y2＝1，即2x －y ＋2＝0.|AB |＝（－1－0）2＋（0－2）2＝5，圆心(1，0)到直线AB 的距离d ＝45，点P 到直线AB 的最大距离为d ′＝d ＋1＝45＋1.所以△PAB 面积的最大值是12×5×⎝ ⎛⎭⎪⎫45＋1＝4＋52.二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中的横线上)11．l 1，l 2是分别经过A (1，1)，B (0，－1)两点的两条平行直线，当l 1，l 2间的距离最大时，直线l 1的方程是________．解析：当两条平行直线与A ，B 两点连线垂直时两条平行直线的距离最大．因为A (1，1)，B (0，－1)，k AB ＝－1－10－1＝2，所以两平行线的斜率为k ＝－12，直线l 1的方程是y －1＝－12(x －1)，即x ＋2y －3＝0. 答案：x ＋2y －3＝012．若垂直于直线2x ＋y ＝0，且与圆x 2＋y 2＝5相切的切线方程为ax ＋2y ＋c ＝0，则ac 的值为________．解析：已知直线斜率k 1＝－2，直线ax ＋2y ＋c ＝0的斜率为－a2.因为两直线垂直，所以(－2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝－1，得a ＝－1.圆心到切线的距离为5，即|c |5＝5，所以c ＝±5，故ac＝±5.答案：±513．已知两条直线y ＝ax －2与y ＝(2＋a )x ＋1互相垂直，则垂足的坐标为________． 解析：由已知得a ·(2＋a )＝－1，解得a ＝－1，则两条直线的方程分别为y ＝－x －2与y ＝x ＋1，解⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x －2，y ＝x ＋1得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－32，y ＝－12，故垂足的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－1214．直线l 将圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0平分，且不通过第四象限，则直线l 的斜率取值范围是________．解析：方程x 2＋y 2－2x －4y ＝0化为(x －1)2＋(y －2)2＝5，圆心(1，2)，r ＝5，由题意知l 过圆心，又不过第四象限，所以满足条件的直线应位于l 1与l 2之间(包含l 1，l 2，如图)，k 1＝0，k 2＝2－01－0＝2，所以0≤k l≤2.答案：[0，2]15．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－8x ＋15＝0，若直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是________．解析：圆C 的标准方程为(x －4)2＋y 2＝1， 圆心为(4，0)．由题意知(4，0)到kx －y －2＝0的距离应不大于2， 即|4k －2|k 2＋1≤2.整理，得3k 2－4k ≤0，解得0≤k ≤43.故k 的最大值是43.答案：43三、解答题(本大题共5小题，共55分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16．(本小题满分10分)三角形的三个顶点是A (4，0)，B (6，7)，C (0，3)． (1)求BC 边上的高所在直线的方程； (2)求BC 边上的中线所在直线的方程； (3)求BC 边的垂直平分线的方程．解：(1)BC 边所在的直线的斜率k ＝7－36－0＝23，因为BC 边上的高与BC 垂直，所以BC 边上的高所在直线的斜率为－32.又BC 边上的高经过点A (4，0)，所以BC 边上的高所在的直线方程为y －0＝－32(x －4)，即3x ＋2y －12＝0.(2)由已知得，BC 边中点E 的坐标是(3，5)．又A (4，0)，所以直线AE 的方程为y －05－0＝x －43－4，即5x ＋y －20＝0.(3)由(1)得，BC 边所在的直线的斜率k ＝23，所以BC 边的垂直平分线的斜率为－32，由(2)得，BC 边中点E 的坐标是(3，5)，所以BC 边的垂直平分线的方程是y －5＝－32(x－3)，即3x ＋2y －19＝0.17．(本小题满分10分)当m 为何值时，直线(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y ＝4m －1. (1)倾斜角为45°； (2)在x 轴上的截距为1.解：(1)倾斜角为45°，则斜率为1.所以－2m 2＋m －3m 2－m＝1，解得m ＝－1，m ＝1(舍去)，直线方程为2x －2y －5＝0符合题意，所以m ＝－1.(2)当y ＝0时，x ＝4m －12m 2＋m －3＝1，解得m ＝－12，或m ＝2，当m ＝－12，m ＝2时都符合题意，所以m ＝－12或m ＝2.18．(本小题满分10分)在三棱柱ABO ­A ′B ′O ′中，∠AOB ＝90 °，侧棱OO ′⊥平面OAB ，OA ＝OB ＝OO ′＝2.若C 为线段O ′A 的中点，在线段BB ′上求一点E ，使|EC |最小．解：如图所示，以三棱柱的O 点为坐标原点，以OA 、OB 、OO ′所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系O ­xyz .由OA ＝OB ＝OO ′＝2，得A (2，0，0)、B (0，2，0)、O (0，0，0)，A ′(2，0，2)、B ′(0，2，2)、O ′(0，0，2)．由C 为线段O ′A 的中点得C 点坐标为(1，0，1)，设E 点坐标为(0，2，z )，根据空间两点间距离公式得|EC |＝（0－1）2＋（2－0）2＋（z －1）2＝（z －1）2＋5， 故当z ＝1时，|EC |取得最小值，为5， 此时E (0，2，1)为线段BB ′的中点．19．(本小题满分12分)圆x 2＋y 2＝8内有一点P (－1，2)，AB 为过点P 且倾斜角为α的弦，(1)当α＝135 °时，求|AB |；(2)当弦AB 被点P 平分时，求出直线AB 的方程；(3)设过P 点的弦的中点为M ，求点M 的坐标所满足的关系式． 解：(1)过点O 作OG ⊥AB 于G ，连接OA ，当α＝135 °时，直线AB 的斜率为－1，故直线AB 的方程为x ＋y －1＝0，所以|OG |＝d ＝|0＋0－1|2＝22.又因为r ＝22，所以|AG |＝8－12＝152＝302， 所以|AB |＝2|AG |＝30.(2)当弦AB 被P 平分时，OP ⊥AB ，此时k OP ＝－2，所以AB 的点斜式方程为y －2＝12(x ＋1)，即x －2y ＋5＝0.(3)设AB 的中点为M (x ，y )，AB 的斜率为k ，OM ⊥AB ，则⎩⎪⎨⎪⎧y －2＝k （x ＋1），y ＝－1k x ，消去k ，得：x 2＋y 2－2y ＋x ＝0，当AB 的斜率k 不存在时也成立，故过点P 的弦的中点的轨迹方程为x 2＋y 2－2y ＋x ＝0.20．(本小题满分13分)已知圆C 的圆心在直线y ＝－4x 上，且与直线x ＋y －1＝0相切于点P (3，－2)．(1)求圆C 的方程；(2)点M (0，1)与点N 关于直线x －y ＝0对称．是否存在过点N 的直线l ，l 与圆C 相交于E ，F 两点，且使S △OEF ＝22(O 为坐标原点)？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，用计算过程说明理由．解：(1)过切点P (3，－2)且与x ＋y －1＝0垂直的直线为y ＋2＝x －3，即y ＝x －5. 将y ＝x －5与直线y ＝－4x 联立可得圆心坐标为(1，－4)．所以半径r ＝（3－1）2＋（－2＋4）2＝2 2.故所求圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8.(2)设N (a ，b )，因为M (0，1)与N 关于x －y ＝0对称，所以⎩⎪⎨⎪⎧b ＋12＝a2，b －1a＝－1，解得a ＝1，b ＝0，即N (1，0)．①当直线l 的斜率不存在时，其方程为x ＝1，原点到直线的距离d ＝1.将x ＝1代入圆的方程得y ＝－4±22，所以|EF |＝42，于是S △OEF ＝12×1×42＝22，满足题意，此时直线l 的方程为x ＝1.②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x －1)，即kx －y －k ＝0.圆心C (1，－4)到直线l 的距离d ＝|k ＋4－k |k 2＋1＝4k 2＋1，设EF 的中点为D ，连接CD ，则必有CD ⊥EF ，在Rt △CDE 中，|DE |＝8－d 2＝8－16k 2＋1＝22k 2－1k 2＋1，所以|EF |＝42k 2－1k 2＋1.因为原点到直线的距离d 1＝|k |k 2＋1，所以S △OEF ＝12·42k 2－1k 2＋1·|k |k 2＋1＝22|k |k 2－1k 2＋1＝22，整理得3k 2＋1＝0，不存在这样的实数k . 综上所述，所求的直线方程为x ＝1.。