北师大版2020七年级数学下册期末综合复习优生训练题D(附答案详解

北师大版2020七年级数学下册期末综合复习优生训练题B （附答案详解1．如图，ABC V 中，BAC 90,AC AB ︒∠==，BE 平分ABC ∠交AC 于D ，BD 的延长线垂直于过C 点的直线于E ，直线CE 交BA 的延长线于F 。

下列说法：①BD CF =；②AD AF =：③CE AF =；④2BD CE =；⑤AB AD BC +=；其中正确结论的个数是（ ）A ．2 B ．3 C ．4 D ．52．如图是小希同学跳远时沙坑的示意图，测量成绩时先用皮尺从后脚印的点A 处垂直拉至起跳线l 的点B 处，然后记录AB 的长度，这样做的理由是（ ）A ．两点之间，线段最短B ．过两点有且只有一条直线C ．垂线段最短D ．过一点可以作无数条直线3．小强同学从1-，0，1，2，3，4这六个数中任选一个数，满足不等式12x +<的概率是（）A ．15B ．14C ．13D ．124．计算（﹣2x 2y ）3的结果是（ ）A ．8x 2yB ．﹣8x 6yC ．﹣8x 6y 3D ．8x 6y 35．10m ＝2，10n ＝3，则103m +2n ﹣1的值为( )A ．7B ．7.1C ．7.2D ．7.46．计算（25x 2y -5xy 2）÷5xy 的结果等于（ ）A ．-5x +yB ．5x -yC ．-5x +1D ．-5x -1 7．计算()32x x -⋅的结果是（ ）A ．5xB ． 5x -C ． 6xD ． 6x -8．下列事件是必然事件的是（ ）A ．明天太阳从西边升起B ．掷出一枚硬币，正面朝上C ．打开电视机，正在播放2018俄罗斯世界杯足球赛D ．任意画一个三角形，它的内角和为180°9．下列计算正确的是（ ）A ．2a+3b=5abB ．a 2·a 4=a 8C ．（-2a 2b ）3=-8a 6b 3D ．a 6÷a 3+a 2=2a 2 10．计算：324m m ÷=________．11．如图，在Rt △ABC 与Rt △DEF 中，∠B=∠E=90°，AC=DF ，AB=DE ，∠A=50°，则∠DFE= ________12．如图，边长为4的等边三角形ABC 中，E 是对称轴AD 上的一个动点，连接EC ，将线段EC 绕点C 逆时针旋转60°得到FC ，连接DF ，则在点E 运动过程中，DF 的最小值是______.13．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠ABC=30°，点D 是BC 边上的点，CD=1，将△ACD 沿直线AD 翻折，使点C 落在AB 边上的点E 处，若点P 是直线AD 上的动点，则PB+PE 的最小值是________．14．已知m+n=12,m-n=2,则m 2-n 2=________.15．计算:()()2m m m -⋅⋅-=__________；16．在Rt △ABC 中，∠C ＝Rt ∠，∠A =3∠B ＋10°，则∠B 等于_______度．17．()()43223523x x x x -++÷+所得的余式为______.18．计算：()()2332x x ---=_______ ；19．若2,6m m n a a +==，则n a =_____________.20．如图所示，已知AD ，AE 分别是ABC ∆的高和中线，8AB cm =，15CA cm =，17BC cm =，90CAB ∠=︒，试求：(1)AD 的长；(2)ACE ∆和ABE ∆的周长的差.21．计算（1）22010212+(1)+4( 3.1415)()2π----⨯---． （2）（2a +1）2﹣（2a +1）（﹣1+2a ）22．如图，直线a 、b 被直线c 、d 所截，且∠1=∠2，∠3=115°，求∠4的度数．23．先化简，再求值：（x+1）（x ﹣2）﹣（x ﹣3）2，其中x ＝﹣2．24．(1)计算:2201820192017-⨯；(2)已知2x 5y 50--=，且x y 、均为整数,求x y 432-⋅的值.25．如图，B 、F 、C 、E 在同一条直线上，90A D ∠=∠=︒，AB DE =，BF CE =.求证：B E ∠=∠.26．如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，点A ，B 的坐标分别为()4,0A ，()0,4B -，点P 为y 轴上点B 下方一点，()0PB m m =>，以AP 为直角边作等腰直角三角形APM .其中PM PA =，点M 落在第四象限.（1）求直线AB 的解析式.（2）用含m 的代数式表示点M 的坐标.（3）若直线MB 与x 轴交于点Q ，判断点Q 的坐标是否随m 的变化而变化，写出你的结论并说明理由.27．已知：如图，A ，F ，C ，D 在同一直线上，AF=DC ，AB ∥DE ，且AB=DE ．求证：BF=EC ．28．已知：如图，，试说明：。

北师大版2020七年级数学下册期末模拟测试题4（培优 附答案） 1．下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ） A ．3, 4, 6B ．6， 9，17C ．5， 12， 18D ．2， 2， 42．如图，将一副直角三角板摆放，点C 在EF 上，AC 经过点D ，已知∠A =∠EDF =90°，AB =AC ，∠E =30°，∠BCE =40°，则∠CDF =（ ）A ．20oB ．25oC ．30oD ．35o3．如图，直线AB 、CD 相交于点O ，OE CD ⊥，垂足为O ，若射线OF 在AOE ∠的内部，EOF 25∠=︒，2AOF BOD 3∠∠=，则BOC ∠的度数为（ ）A ．120︒B ．135︒C ．141︒D ．145︒4．如图，AB CD ∥ ，点E 在CA 的延长线上若50BAE ∠=︒，则ACD ∠的大小为( )A ．100°B ．120°C ．130°D ．110°5．如图，把一块含有45°角的直角三角板的两个顶点分别放在直尺的一组对边上.如果∠1=22°，那么∠2的度数是（ ）A ．21°B ．22°C ．23°D ．25°6．泰勒斯是古希腊哲学家，相传他利用三角形全等的方法求出岸上一点到海中一艘船的距离．如图，B 是观察点，船A 在B 的正前方，过B 作AB 的垂线，在垂线上截取任意长BD ，C 是BD 的中点，观察者从点D 沿垂直于BD 的DE 方向走，直到点E 、船A 和点C 在一条直线上，那么△ABC ≌△EDC ，从而量出DE 的距离即为船离岸的距离AB ，这里判定△ABC ≌△EDC 的方法是（ ）A ．SASB ．ASAC ．AASD ．SSS7．下列四个算式中，可以直接用平方差公式进行计算的是（ ） A ．（﹣a +b ）（﹣a ﹣b ） B ．（2a +b ）（a ﹣2b ） C ．（a ﹣b ）（b ﹣a ）D ．（a +b ）（﹣a ﹣b ）8．如图，点E, F 在直线AC 上，DF=BE ， ∠AFD=∠CEB,下列条件中不能判断△ADF ≌△CBE 的是( )A ．∠D=∠B B ．AD=CBC ．AE=CFD ．AD// BC9．如图，把△ABC 纸片沿DE 折叠，当A 落在四边形BCDE 内时，则∠A 与∠1+∠2之间有始终不变的关系是（ ）A ．∠A =∠1+∠2B ．2∠A =∠1+∠2C ．3A =∠1+∠2D ．3∠A =2（∠1+∠2）10．下列运算正确的是（ ） A ．3a 2b 5ab +=B ．325a a a ⋅=C ．824a a a ⋅=D ．236(2a )6a =-11．如图，直线a ，b 被直线c 所截，若a ∥b ，∠1=40°，∠2=60°，则∠3=____.12．用简便方法计算：20192－2019×38＋361＝________．13．在Rt ABC ∆中，90C ∠=°，10AC cm =，5BC cm =，某线段PQ AB =， P ，Q 两点分别在AC 和AC 的垂线AX 上移动，则当AP =__________.时，才能使ABC∆和APQ ∆全等.14．如图，AD 是△ABC 的中线，E ，F 分别是AD 和AD 延长线上的点，且DE=DF ，连接BF ，CE ．下列说法：①△BDF ≌△CDE ；②CE=BF ； ③BF ∥CE ；④△ABD 和△ACD 周长相等．其中正确的有___________（只填序号）15．计算：()20202019133⎛⎫-⋅-= ⎪⎝⎭_____.16．已知|x-2|+y 2+2y+1=0，则x y 的值为__________________17．“国际半程马拉松”的赛事共有三项：A ．“半程马拉松”、B ．“10公里”、C ．“迷你马拉松”．小明和小刚参与了该项赛事的志愿者服务工作，组委会随机将志愿者分配到三个项目组．小明和小刚被分配到不同项目组的概率______；18．如图，已知△ABC ≌△DEC ，∠E ＝40°，∠ACB=110°，则∠D 的度数为________．19．如图所示，是一块三角形木板，量的100A ∠=o ，40B ∠=o 则这块三角形木板的另外一个角的度数是___.20．若a m ＝4，a n ＝8，则a m +n ＝_____．21．已知ABC V 中，90BAC ∠=o ，AB AC =，点D 为直线BC 上的一动点(点D 不与点B 、C 重合)，以AD 为边作ADE V ，使90DAE ∠=o ，AD AE =，连接CE ． 发现问题：如图1，当点D 在边BC 上时，()1请写出BD 和CE 之间的位置关系为______，并猜想BC 和CE 、CD 之间的数量关系：______． 尝试探究：()2如图2，当点D 在边BC 的延长线上且其他条件不变时，()1中BD 和CE 之间的位置关系、BC 和CE 、CD 之间的数量关系是否成立？若成立，请证明；若不成立，请写出新的数量关系，说明理由； 拓展延伸：()3如图3，当点D 在边CB 的延长线上且其他条件不变时，若6BC =，2CE =，求线段ED 的长．22．已知，点D 和三角形ABC 在同一平面内.（1）如图1，点D 在BC 边上，DE BA P 交AC 于E ，DF CA ∥交AB 于F .若o（2）如图2，点D 在BC 的延长线上，DF CA ∥，EDF A ∠=∠，证明：DE BA P . （3）点D 是三角形ABC 外部的任意一点，过D 作DE BA P 交直线AC 于E ，DF CA ∥交直线AB 于F ，直接写出EDF ∠与A ∠的数量关系（不需证明）.23．（1）操作思考：如图1，在平面直角坐标系中，等腰Rt △ACB 的直角顶点C 在原点，将其绕着点O 旋转，若顶点A 恰好落在点（1，2）处．则①OA 的长为 ；②点B 的坐标为 （直接写结果）；（2）感悟应用：如图2，在平面直角坐标系中，将等腰R t △ACB 如图放置，直角顶点 C (-1,0)，点A (0，4)，试求直线AB 的函数表达式；（3）拓展研究：如图3，在平面直角坐标系中，点B （4；3），过点B 作BA ⊥y 轴，垂足为点A ；作BC ⊥x 轴，垂足为点C ，P 是线段BC 上的一个动点，点Q 是直线26y x =-上一动点．问是否存在以点P 为直角顶点的等腰R t △APQ ，若存在，请求出此时P 的坐标，若不存在，请说明理由．24．如图，长方形ABCD 表示一块草地，点E ，F 分别在边AB 、CD 上，BF ∥DE ，四边形EBFD 是一条水泥小路，若AD ＝12米，AB ＝7米，且AE ∶EB ＝5∶2，求草地的面积．25．已知：如图，AC ∥DF ，直线AF 分别直线BD 、CE 相交于点G 、H ，∠1=∠2，求证：∠C=∠D ．解：∵∠1=∠2（已知）∠1=∠DGH （_________________） ∴∠2=__________（______________） ∴BD ∥CE （________________） ∴∠C= ________（_______________） 又∵AC ∥DF∴∠D=∠ABG （________________） ∴∠C=∠D （________________）26．已知△ABC 三边长分别为4，2a +1，7，求a 的取值范围． 27．（1）02201820181( 3.14)(0.5)()(3)3π---+⨯-； （2）（﹣3a ）2•（a 2）3÷a 3．28．先化简再求值：x²（x-1）- x （x²+x-1），其中x=1参考答案1．A【解析】【分析】根据三角形的三边关系：三角形任意两边的和大于第三边进行分析判断．【详解】A、3+4=7＞6，能组成三角形；B、9+6＜17，不能组成三角形；C、5+12＜18，不能够组成三角形；D、2+2=4，不能组成三角形．故选A．【点睛】本题考查了三角形的三边关系，在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．2．B【解析】【分析】由AB=AC，∠A=90°，根据等腰直角三角形的性质可得∠ACB=45°，即可求得∠ACE=85°，又因∠ACE=∠F+∠CDF，∠F=60°，由此可得∠CDF=25°.【详解】∵AB=AC，∠A=90°，∴∠ACB=45°，∵∠BCE=40°，∴∠ACE=85°，∵∠ACE=∠F+∠CDF，∠F=60°，∴∠CDF=25°，故选B．【点睛】本题考查了三角形内角和定理，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．3．C【解析】【分析】由ED⊥CD可得∠EOC=∠EOD=90°，根据对顶角的定义可得∠AOC=∠BOD，根据∠AOC+∠AOF+∠EOF=∠EOC=90°，即可求出∠AOC的度数，利用邻补角的定义即可求出∠BOC的度数.【详解】∵ED⊥CD，∴∠EOC=∠EOD=90°，∵∠AOC=∠BOD，∠AOF=23∠BOD，∠EOF=25°，∴∠AOC+∠AOF+∠EOF=∠EOC=90°∴∠AOC+23∠AOC+25°=90°，∴∠AOC=39°，∴∠BOC=180°-∠AOC=180°-39°=141°，故选C.【点睛】本题考查了垂直的定义、对顶角的性质及角的和差运算，认真观察图形是解题关键. 4．C【解析】【分析】本题先运用邻补角定义，得到∠BAC的度数，然后根据平行得到结果.【详解】解：∵∠BAE=50°,∴∠BAC=180°-50°=130°,∵AB CD∥,∴∠ACD=∠BAC=130°.故选择：C.【点睛】本题考查了平行线的性质和邻补角的定义，解题的关键是熟练运用平行线的性质.5．C【解析】【分析】直接利用平行线的性质，求得∠AFE的度数，进而结合等腰直角三角形的性质得出答案．【详解】如图，∵AB∥CD，∴∠AFE=∠2，∵∠GFE=45°，∠1=22°，∴∠AFE=23°，∴∠2=23°，故选：C．【点睛】此题考查平行线的性质，等腰直角三角形的性质，正确运用平行线的性质是解题关键．6．B【解析】【分析】根据题目确定出△ABC和△EDC全等的条件，然后根据全等三角形的判定方法解答即可；【详解】∵C是BD的中点，∴BC＝DC，∵AB⊥BD，DE⊥BD，∴∠ABC＝∠EDC＝90°，∵在△ABC和△EDC中，90ABC EDC BC DCACB ECD ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△ABC ≌△EDC （ASA ）， ∴DE ＝AB ． 故选：B ． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的应用，掌握全等三角形的应用是解题的关键. 7．A 【解析】 【分析】根据平方差公式的结构特点“两数之和与两数之差的乘积等于这两数的平方差”，对各项分析判断即可. 【详解】解：A 、（﹣a +b ）（﹣a ﹣b ）＝（﹣a ）2﹣b 2＝a 2﹣b 2，符合平方差公式的结构特点，正确； B 、（2a +b ）（a ﹣2b ），不是相同的两个数的和与差的积，不符合平方差公式的结构特点，错误；C 、（a ﹣b ）（b ﹣a ），两项互为相反数，不符合平方差公式的结构特点，错误；D 、（a +b ）（﹣a ﹣b ），两项互为相反数，不符合平方差公式的结构特点，错误； 故选：A ． 【点睛】本题考查的是平方差公式的结构特点，熟记公式的结构是解题的关键. 8．B 【解析】 【分析】已知条件有一角和一边，可采用ASA 、AAS 或SAS 判定全等，据此逐项判断即可. 【详解】A. ∠D=∠B ，与已知条件组合可用ASA 判定△ADF ≌△CBE ，不符合题意；B. AD=CB ，与已知条件组合为“SSA ”，不能判定△ADF ≌△CBE ，符合题意；C. 由AE=CF 可得AF=CE ，与已知条件组合可用SAS 判定△ADF ≌△CBE ，不符合题意；D. 由AD// BC可得∠A=∠C，与已知条件组合可用AAS判定△ADF≌△CBE，不符合题意；故选B.【点睛】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握判定定理是关键.9．B【解析】【分析】本题问的是关于角的问题，当然与折叠中的角是有关系的，∠1与∠AED的2倍和∠2与∠ADE的2倍都组成平角，结合△AED的内角和为180°可求出答案．【详解】∵△ABC纸片沿DE折叠，∴∠1+2∠AED=180°,∠2+2∠ADE=180°，∴∠AED=12(180°−∠1),∠ADE=12(180°−∠2)，∴∠AED+∠ADE=12(180°−∠1)+12(180°−∠2)=180°−12(∠1+∠2)在△ADE中,∠A=180°−(∠AED+∠ADE)=180°−[180°−12(∠1+∠2)]=12(∠1+∠2)则2∠A=∠1+∠2，故选择B项.【点睛】本题考查折叠和三角形内角和的性质，解题的关键是掌握折叠的性质.10．B【解析】【分析】根据合并同类项，系数相加字母和字母的指数不变；同底数幂的乘法，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘，对各选项计算后利用排除法求解．【详解】A、不是同类项，不能合并，选项错误；B、正确；C、a8•a2=a10，选项错误；D、（2a2）3=8a6，选项错误．故选B．考查合并同类项，同底数幂的乘法和幂的乘方，解题关键是熟记运算法则．11．100°【解析】【分析】根据两直线平行，内错角相等求出∠4，再根据对顶角相等解答．【详解】如图所示：∵a∥b，∠1=40°，∴∠4=∠1=40°，∴∠3=∠2+∠4=60°+40°=100°．故答案是：100°.【点睛】考查了平行线的性质，对顶角相等的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键．12．4000000【解析】【分析】运用完全平方公式进行计算即可.【详解】20192－2019×38＋361＝20192－2×2019×19＋192＝（2019-19）2=4000000.故答案为：4000000.【点睛】本题考查了完全平方公式.13．5㎝或10㎝【解析】本题要分情况讨论：①Rt△ABC≌Rt△QPA，此时AP=BC=5cm，可据此求出P点的位置；②Rt△ABC≌Rt△PQA，此时AP=AC，P、C重合．【详解】解：∵PQ=AB，∴根据三角形全等的判定方法HL可知，当P运动到AP=BC时，在Rt△ABC和Rt△QPA中PQ AB AP BC=⎧⎨=⎩，∴Rt△ABC≌Rt△QPA（HL），即AP=BC=5cm；当P运动到与C点重合时，在Rt△ABC和Rt△QPA中PQ AB AP AC=⎧⎨=⎩，∴Rt△ABC≌Rt△PQA（HL），即AP=AC=10cm．故答案为：5㎝或10㎝．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法和全等三角形的性质，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．由于本题没有说明全等三角形的对应边和对应角，因此要分类讨论，以免漏解．14．①②③【解析】【分析】根据AD是中线可知BD=CD，结合题意从而可证△BDF≌△CDE，继而可知CE=BF，BF∥CE，由于△ABC的两边AB与AC不一定相等，可判断△ABD和△ACD周长相等的对错，进而可以得出答案.【详解】∵AD 是△ABC 的中线，∴BD=CD在△BDF 和△CDE 中BD CD BDF CDE DF DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BDF ≌△CDE （SAS ）故①正确；∵△BDF ≌△CDE∴BF=CE ，∠FBD=∠ECD故②正确；∵∠FBD=∠ECD∴BF ∥CE （内错角相等两直线平行）故③正确；∵△ABC 中AB 和AC 不一定相等∴△ABD 和△ACD 周长不一定相等故④错误；综上，答案为①②③.【点睛】本题考查的是中线的性质，三角形全等的判定与性质和平行线的判定，能够根据中线得出BD=CD 证得△BDF ≌△CDE 是解题的关键.15．1.3-【解析】【分析】先根据同底数幂的乘法逆运算化简，再根据积的乘方逆运算计算.【详解】解：()20202019133⎛⎫-⋅- ⎪⎝⎭()2019201911333⎛⎫⎛⎫=-⋅-⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()201911333⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-⨯-⨯- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 1.3=- 故答案为1.3-【点睛】 此题重点考察学生对同底数幂的乘法和积的乘方的理解，掌握其计算方法是解题的关键. 16．12． 【解析】【分析】根据非负数的性质列出算式，求出x 、y 的值，计算即可．【详解】解：由题意得，|x-2|+（y+1）2=0，则x-2=0，y+1=0，解得，x=2，y=-1， 则y 1x 2= 故答案为：12 . 【点睛】本题考查的是非负数的性质，掌握当几个非负数相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0是解题的关键．17．23； 【解析】【分析】利用树状图法列出所有的分配情况，再看小明和小刚被分配到不同项目组的情况，根据概率公式求解即可．【详解】解：画树状图如图所示：由图可知，共有9种情况，其中小明和小刚被分配到不同项目组有6种情况，根据概率公式，则可知小明和小刚被分配到不同项目组的概率是：61 =93．【点睛】本题考查了求概率的方法，熟练应用树状图法或列表法求出所求情况数和总情况数是解题的关键．18．30°【解析】【分析】根据全等三角形的性质得到∠DCE=∠ACB=110°，然后利用三角形内角和定理求∠D即可. 【详解】解：∵△ABC≌△DEC，∠E＝40°，∴∠DCE=∠ACB=110°，∴∠D=180°-∠E-∠DCE=180°-40°-110°=30°，故答案为：30°.【点睛】本题考查了全等三角形的性质和三角形内角和定理，熟知三角形内角和为180°是解题关键. 19．40【解析】【分析】直接根据三角形内角和定理解答即可．【详解】∵△ABC中，∠A=100°，∠B=40°，∴∠C=180°−∠A−∠B=180°−100°−40°=40°故答案为：40°【点睛】此题考查三角形内角和定理，难度不大20．32【解析】【分析】根据同底数幂的乘法，底数不变指数相加计算．【详解】解：∵a m ＝4，a n ＝8，∴a m +n ＝a m ×a n ＝4×8＝32． 故答案为：32【点睛】题考查同底数幂的乘法，一定要记准法则才能做题．21．（1）BD CE ⊥；BC CD CE =+；（2）BD CE ⊥成立，数量关系不成立，关系为BC=CE-CD ；（3）DE =【解析】【分析】()1根据条件AB AC =，BAC 90∠=o ，AD AE =，DAE 90∠=o ，判定ABD V ≌()ACE SAS V ，即可得出BD 和CE 之间的关系，根据全等三角形的性质，即可得到CE CD BC +=；()2根据已知条件，判定ABD V ≌()ACE SAS V，得出BD CE =，再根据BD BC CD =+，即可得到CE BC CD =+；()3根据条件判定ABD V ≌()ACE SAS V ，得出BD CE =，在Rt DCE V 中，由勾股定理得22222DE DC CE 8268=+=+=，即可解决问题.【详解】()1如图1，BAC DAE 90∠∠==o Q ，BAD CAE ∠∠∴=，在ABD V 和ACE V中， AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，ABD ∴V ≌()ACE SAS V， BD CE ∴=，B ACE 45∠∠==o ，BCE 454590∠∴=+=o o o ，即BD CE ⊥；由①可得，ABD V ≌ACE V， BD CE ∴=，BC BD CD CE CD ∴=+=+，故答案为BD CE ⊥，BC CD CE =+；()2BD CE ⊥成立，数量关系不成立，关系为BC CE CD =-．理由：如图2中，由()1同理可得，BAC DAE 90∠∠==o Q ，∴BAC CAD DAE CAD ∠∠∠∠+=+即BAD CA ∠∠=E ，∴在ABD V 和ACE V中， AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，ABD ∴V ≌()ACE SAS V， BD CE ∴=，ACE ABC ∠∠=，AB AC =Q ，ABC ACB 45∠∠∴==o ，BD BC CD ∴=+，即CE BC CD =+，ACE ACB 90∠∠+=o ，BC CE CD ∴=-；BD CE ⊥；()3如图3中，由()1同理可得，BAC DAE 90∠∠==o Q ，BAC BAE DAE BAE ∠∠∠∠∴-=-，即BAD EAC ∠∠=，易证ABD V ≌()ACE SAS V， BD CE 2∴==，ACE ABD 135∠∠==o ，CD BC BD BC CE 8∴=+=+=，∵ACB 45∠=oDCE 90∠∴=o ，在Rt DCE V 中，由勾股定理得22222DE DC CE 8268=+=+=，DE ∴=【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质的运用，等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质.解决问题的关键是掌握：两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等.解题时注意：全等三角形的对应边相等．22．（1）85o ；（2）见解析；（3）EDF A ∠=∠或180EDF A ∠+∠=o【解析】【分析】根据题意可知:（1）通过DE BA P 得到两同位角A DEC ∠=∠，DF CA ∥得到两内错角DEC EDF ∠=∠，然后等量代换.（2）通过延长BA ，构造出新的角BGD ∠，再用等量代换找到内错角EDF BGD ∠=∠，从而证明直线平行.（3）直线BA 与直线AC 相交分成四部分，分别考虑这四部分且在三角形ABC 外部的点，可知只有EDF A ∠=∠或180EDF A ∠+∠=o 这两种情况.【详解】（1）∵DE BA P ，DF CA ∥，∴A DEC ∠=∠，DEC EDF ∠=∠，∵85EDF ∠=o ，∴85A EDF ∠=∠=o ；（2）证明：如图1，延长BA 交DF 于G ．∵DF AC P ，∴BAC BGD ∠=∠．又∵EDF BAC ∠=∠，∴EDF BGD ∠=∠．∴DE BA P ．（3）EDF A ∠=∠或180EDF A ∠+∠=o证明如下：①按题意画出图形如上所示：因为DF AE ∥,DE AF P所以四边形AEDF 是平行四边形（两组对边平行的四边形是平行四边形） 所以EDF A ∠=∠（平行四边形对角相等）②按题意画出图形如上所示：因为DF AE ∥,DE AF P所以四边形AEDF 是平行四边形（两组对边平行的四边形是平行四边形）所以 EDF FAE ∠=∠（平行四边形对角相等）又因为180FAE BAC ∠+∠=o所以180EDF BAC ∠+∠=o BAC ∠即为原图中的A ∠BAC ∠即为原图中的A ∠，即180EDF A ∠+∠=o故答案为EDF A ∠=∠或180EDF A ∠+∠=o【点睛】本题运用到两直线平行内错角相等，内错角相等两直线平行的知识点。

北师大版2020七年级数学期末复习综合练习题2（能力达标 含答案）1．已知射线OA ，OB ，OC ，能判定OC 是AOB ∠的平分线的是（ )A ．AOC BOC ∠=∠B ．2AOB AOC ∠=∠．1BOC AOB 2∠=∠ D ．A 、B 、C 都能 2．已知α∠的两边与β∠的两边分别平行，且α∠=20°，则∠β的度数为( )A ．20°B ．160°C ．20°或160°D ．70°3．下列说法中，正确的个数为( )①过一点有无数条直线与已知直线平行；②经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；③如果两条线段不相交，那么它们就平行；④如果两条直线不相交，那么它们就平行.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．已知正方形的边长为a 厘米，如果它的一边长增加3厘米，另一边减少3厘米，那么它的面积（ ）A ．不变B ．减少9平方厘米C ．增加9平方厘米D ．不能确定5．如图，100BAC ︒∠=，点D 在AB 的垂直平分线上，点E 在AC 的垂直平分线上，则DAE ∠的度数是( ).A ．15°B ．20°C ．25°D ．30° 6．计算()232210155a b abab -÷结果是（ ） A ．2ab -3 B ．2a 2b -3C ．2ab 2-3bD ．2ab -3a 7．下列计算正确的是（ ）A ．9a 3·2a 2=18a 5；B ．2x 5·3x 4=5x 9；C ．3x 3·4x 3=12x 3；D ．3y 3·5y 3=15y 98．汽车开始行驶时，油箱内有油40升，如果每小时耗油5升，则油箱内余油量Q （升）与行驶时间t （时）的函数关系用图像表示应为下图中的（ ）A ．B ．C ．D ．9．一枚硬币抛向空中，落地时正面朝上的概率是（ ）A ．0B ．1C ．12D ．1410．下列结果等于46a 的是（ ）A ．2232a a +B ．2232a a •C ．()223aD ．6293a a ÷ 11．如图，AB CD ⊥，且AB CD =.点EF ，是AD 上的两点，CE AD BF AD ⊥⊥，.若543CE BF EF ===，，，则AD 的长为________________.12．有一座锥形小山，如图，要测量锥形小山两端A 、B 的距离，先在平地上取一个可以直接到达A 和B 的点C ，连接AC 并延长到D ，使CD=CA ，连接BC 并延长到E ，使CE=CB ，连接DE ，量出DE 的长为50m ，则锥形小山两端A 、B 的距离为______m ．13．图①中有________个三角形；图②中有________个三角形，图③中有________个正方形.14．在等边三角形、直角三角形、平行四边形、圆、这些图形中是轴对称图形的是________15．计算： 313ab 骣÷ç÷ç÷ç桫＝_____． 16．如图，∠BAC=∠DAC ，要使△ABC ≌△ADC ，要补充的一个条件是_________（写出一个即可）.17．在平面直角坐标系内点P （－3，a ）与点Q （b ,－1）关于x 轴对称，则a +b 的值为_________.18．若()()()()a b c a b c A B A B ++-+=-+，则A =____________，B =____________.19．若一个盒子中有6个白球，4个黑球，2个红球，且各球的大小与质地都相同，现随机从中摸出一个球，得到白球的概率是_____．20．某水果店卖出的香蕉数量(千克)与售价(元)之间的关系如下表：香蕉数量(千克)0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 … 售价(元) 1.5 3 4.5 6 7.5 9 10.5 …上表反映了两个变量之间的关系，其中，自变量是________，因变量是________． 21．如图，ABD V 和ACE V 都是等边三角形，BE 和CD 相交于点F ．()1若6CD =，求BE 的长；()2求证：AF 平分DFE ∠．22．如图，△ABC 中,AC=BC,∠ACB=90°,AE 平分∠BAC 交BC 于E,BD ⊥AE 于D,连CD,下列结论:①AB-AC=CE ；②∠CDB=135°；③S △ACE =2 S △CDB ；④AB=3CD,其中正确的有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个23．（1）已知124x y +=，1273y x -=，求x －y 的值．（2））已知a ＋b ＝5，ab ＝3，求a 2＋b 2和a －b 的值．24．已知：如图，△ABC 和△DEF 的边BC 、EF 在同一直线上，AC 与DE 交于点O ．若BE ＝FC ，OE ＝OC ，∠B ＝∠F ．求证：AB ＝DF ．25．在Rt ABC ∆中，90BAC ∠=o ，,E F 分别是,AB AC 上的点，且//EF BC ，作EG 平分AEF ∠交于点G ，在EF 上取点D ，使ED EA =，连接DG 并延长，交BA 的延长线于点P ，连接PF .（1）求证：PD EF ⊥；（2）若ED DF =，求B Ð的大小（3）在（2）的条件下，若四边形AEDG 的面积为S ，请直接写出PEF ∆的面积（用含S 的式子表示）26．如图，在中，是高，点、、分别在、、上且，，试判断与的位置关系，并说明理由.27．观察下列各个等式的规律:第一个等式:22-12-1=2,第二个等式:32-22-1=4,第三个等式:42-32-1=6…请用上述等式反映出的规律解决下列问题:(1)直接写出第四个等式;(2)猜想第n 个等式(用含n 的式子表示),并证明你猜想的等式是正确的;(3)直接写出20202-20192-2019=28．求证：等腰三角形两底角的角平分线相等. (要求：画出图形，写出已知、求证，并给予证明)29．如图，点D ，E ，F 在ABC ∆的三边上，DE BC ∥，180A ADF ∠+∠=︒，求证B EDF ∠=∠.参考答案1．A【解析】【分析】根据角平分线的定义来解答即可.【详解】A、当∠AOC＝∠BOC时，OC一定在∠AOB的内部且OC是∠AOB的平分线，故本选项正确；B、当∠AOB＝2∠AOC时，OC在∠AOB的外部也成立，故本选项错误；C、当1BOC AOB2∠=∠时，OC在∠AOB的外部也成立，故本选项错误；D、因为A正确，故本选项错误；故答案为：A.【点睛】此题考查角平分线的定义，解题关键在于掌握其定义. 2．C【解析】【分析】分两种情况，画出图形，结合平行线的性质求解即可. 【详解】如图1，∵a∥b；∴∠1=α∠=20°，∵c∥d∴∠β=∠1=20°；如图2，∵a∥b；∴∠1=α∠=20°，∵c∥d∴∠β=180°-∠1=160°；故选C.【点睛】本题考查了平行线的性质：①两直线平行同位角相等，②两直线平行内错角相等，③两直线平行同旁内角互补.在运用平行线的性质定理时，一定要找准同位角，内错角和同旁内角.本题也考查了分类讨论的数学思想.3．A【解析】【分析】根据平行线的定义、公理及推论判断．【详解】①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故错误；②经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，正确；③线段的长度是有限的，不相交也不一定平行，故错误；④应该是“在同一平面内”，故错误.故选：A【点睛】此题考查掌握平行线的定义、公理及推论，并具有一定的判断能力，举反例也是一种方法．4．B【解析】【分析】根据矩形的面积公式进行列示并计算．【详解】依题意得：(a＋3)(a−3)＝a2−9.即：面积减少了9平方厘米.故选：B.【点睛】本题考查的是平方差公式，熟练掌握平方差的性质是解题的关键.5．B【解析】【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到DB=DA ，EC=EA ，根据等腰三角形的性质解答即可.【详解】解：∵AB 的垂直平分线交BC 于点D ，AC 的垂直平分线交BC 于点E ，∴DB=DA ，EC=EA ，∵∠BAC=100°，∴∠B+∠C=80°，∵DB=DA ，EC=EA ，∴∠DAB=∠B ，∠EAC=∠C ，∴∠DAB+∠EAC=80°，∴∠DAE=100°-80°=20°，故选B.【点睛】本题考查了三角形内角和定理，线段垂直平分线性质的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．6．A【解析】【分析】根据多项式除以单项式法则，用多项式的每一项分别除以单项式，然后再把所得的商相加计算后即可选取答案．【详解】解：原式=23210a b 5ab ÷-2215ab 5ab ÷= 2ab-3.故选：A.【点睛】本题主要考查多项式除单项式，熟练掌握运算法则是解题的关键．7．A【解析】【分析】直接利用单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式，进而求出答案．【详解】解：A、9a3•2a2=18a5，正确，符合题意；B、2x5•3x4=6x9，错误，不合题意；C、3x3•4x3=12x6，错误，不合题意；D、3y3•5y3=15y6，错误，不合题意；故选：A．【点睛】此题主要考查了单项式乘以单项式，正确掌握运算法则是解题关键．8．B【解析】【分析】由已知列出函数解析式，再画出函数图象，注意自变量的取值范围．【详解】A.油箱内有油40升，那么余油量最初应是40，排除A；C.随着时间的增多，余油量就随之减少，排除C；D.余油量减少，但不会是负数，排除D；正确的为B．故选B．【点睛】此题主要考查了函数图象中由解析式画函数图象，特别注意自变量的取值范围决定图象的画法．9．C【解析】【分析】掷一枚硬币有2种情况，满足条件的有一种，用1除以2即可得出概率的值．【详解】解：∵掷一枚硬币的情况有2种，满足条件的为：正面一种，∴正面朝上的概率是P12 ；故选：C．【点睛】此题考查了概率公式，考查等可能条件下的概率计算．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．10．B【解析】【分析】直接利用合并同类项法则以及同底数幂的乘除运算法则分别化简得出答案．【详解】解：A、3a2+2a2=5a2，故此选项错误；B、3a2•2a2=6a4，故此选项正确；C、（3a2）2=9a4，故此选项错误；D、9a6÷3a2=3a4，故此选项错误．故选：B．【点睛】此题主要考查了合并同类项以及同底数幂的乘除运算，正确化简各数是解题关键．11．6【解析】【分析】由余角的性质可得∠A=∠C，由“AAS”可证△ABF≌△CDE，可得AF=CE=5，BF=DE=4，可得AD的长．【详解】解：∵AB⊥CD，CE⊥AD，BF⊥AD，∴∠AFB=∠CED=90°，∠A+∠D=90°，∠C+∠D=90°，∴∠A=∠C，∵AB=CD ，∠A=∠C ，∠CED=∠AFB=90°∴△ABF ≌△CDE （AAS ）∴AF=CE=5，BF=DE=4，∵EF=3，∴AD=AF+DF=5+（4-3）=5+4-3=6.故答案为6.【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练运用全等三角形的判定是本题的关键．12．50【解析】【分析】利用“SAS”证明△ABC ≌△EDC ，然后根据全等三角形的性质得AB=DE=50m ．【详解】在△ABC 和△EDC 中CA CD ACB DCE CB CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABC ≌△EDC （SAS ），∴AB=DE=50．答：锥形小山两端A 、B 的距离为50m ．故答案是：50．【点睛】本题考查了全等三角形的应用：一般方法是把实际问题先转化为数学问题，再转化为三角形问题，其中，画出示意图，把已知条件转化为三角形中的边角关系是关键．13．5 12 18【解析】【分析】根据图形直接数出三角形的个数即可.【详解】如图所示，图①有5个三角形，图②有12个三角形，图③有18给正方形.【点睛】本题考查看图求量，根据图形仔细数清楚图例中图形的数量是解题关键.14．等边三角形、圆.【解析】【分析】根据轴对称图形的特点和性质解答即可．【详解】等边三角形和圆是轴对称图形，直角三角形、平行四边形不是轴对称图形.故答案为：等边三角形、圆.【点睛】此题考查轴对称图形，解题关键在于对图形的识别.15．33127a b 【解析】【分析】利用积的乘方计算即可解答.【详解】 原式3333311()327a b a b =创=， 故答案为：33127a b ． 【点睛】 本题考查了积的乘方的运算，熟练掌握积的乘方的运算法则是解题关键.16．AB =AD【解析】【分析】添加AB =AD ，再加上条件∠BAC =∠DAC ，公共边AC ，可利用SAS 定理判定△ABC ≌△ADC ．【详解】添加：AB =AD ．理由如下：在△ABC 和△ADC 中，∵AB AD BAC DAC AC AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABC ≌△ADC （SAS ）．故答案为：AB =AD ．【点睛】本题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．17．－2【解析】【分析】根据关于x 轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得a 、b 的值，然后算出a+b 的值即可．【详解】解：∵点P （-3，a ）与点Q （b ，-1）关于x 轴对称，∴b=-3，a=1，∴a+b=-3+1=-2，故答案为：-2．【点睛】此题主要多边形关于x 轴对称点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．18．a+c ； b【解析】【分析】利用单平方差公式把原式变形，注意a +c 看成是一个整体．【详解】解：()()[()][()]()()a b c a b c a c b a c b A B A B ++-+=+++-=-+．∴A =a +c ；B =b .故填：a +c ；b【点睛】此题主要考查了因式分解的平方差公式的特点：两个数的和乘以两个数的差，此题解题关键是分别找出两个括号的符号相同的和符号不同的项，然后变形就比较简单．19．12【解析】【分析】先求出总球的个数，再用白球的个数除以总球的个数即可得出答案．【详解】解：∵布袋中有6个白球，4个黑球，2个红球，共有12个球，∴摸到白球的概率是61122=； 故答案为：12． 【点睛】本题考查了概率的知识．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．20．香蕉数量 售价【解析】【分析】首先根据表格,可得上表反映了两个变量(香蕉数量和售价)之间的关系;然后根据自变量、因变量的含义,判断出自变量、因变量各是哪个即可.【详解】∵香蕉的售价随着香蕉数量的变化而变化,∴上表反映了两个变量之间的关系,其中,自变量是香蕉数量;因变量是售价.故答案为:香蕉数量，售价.【点睛】本题主要考查了函数的概念，在一个变化过程中，有两个变量x ，y ，对于x 的每一个取值，y 都有唯一确定的值与之对应，则y 是x 的函数，x 叫自变量．21．（1）6BE =；（2）见解析；【解析】【分析】 (1)根据AD AB DAC BAE AC AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，证ADC V ≌()ABE SAS V ，可得6BE CD ==；（2）在BE上截取EG CF =，连接AG ，证AEG V ≌()ACF SAS V ，得AGE AFC ∠=∠，AG AF =，由AGE AFC∠=∠可得AGF AFD∠=∠；由AG AF=可得AGF AFG∠=∠，故AFD AFG∠=∠.【详解】解：()1ABDQV和ACEV都是等边三角形，60DAB o∴∠=，60CAE∠=o，DAB BAC CAE BAC∴∠+∠=∠+∠，即DAC BAE∠=∠，ABDQV和ACEV都是等边三角形，AD AB∴=，AC AE=，Q在ADCV与ABEV中AD ABDAC BAEAC AE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，ADCV∴≌()ABE SASV，6BE CD∴==．()2在BE上截取EG CF=，连接AG，由()1的证明，知ADCV≌ABEV，AEB ACD∴∠=∠，即AEG ACF∠=∠，AE AC=Q，在AEGV与ACFV中AE ACAEG ACFEG CF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，AEG∴V≌()ACF SASV，AGE AFC∴∠=∠，AG AF=，由AGE AFC∠=∠可得AGF AFD∠=∠，由AG AF =可得AGF AFG ∠=∠，AFD AFG ∴∠=∠，AF ∴平分DFE ∠．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质；构造全等三角形是关键.22．B【解析】【分析】①作高线EH ，先根据角平分线定理得：CE=EH ，再证明△ACE ≌△AHE(AAS)可得：AH=AC ，根据线段的和可得结论；②先证明点A ，B ，D ，C 在以AB 为直径的圆上，得∠ADC=∠ABC=45°，所以可得∠BDC=135°；③作辅助线，构建全等三角形，证明△ACE ≌△BCG ，根据等腰三角形三线合一得BD=DG ，知道：△BDC 和△CDG 的面积相等，由此可得：2ACE BCG BDC S S S ==V V V ；④根据③知：AB=AG=AC+CG ，在△CDG 中，可知CD>CG ，从而得结论．【详解】①过点E 作EH ⊥AB 于H ，如图1，∵∠ABC=45°，∴△BHE 是等腰直角三角形，∴EH=BH ，∵AE 平分∠CAB ，∴EH=CE ，∴CE=BH ，在△ACE和△AHE中，∵CAE HAEACB AHEAE AE∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACE≌△AHE(AAS)，∴AH=AC，∴AB−AC=AB−AH=BH=CE，故①正确；②∵∠ACB=90°，BD⊥AE于D，∴∠ACB=∠ADB=90°，∴点A，B，D，C在以AB为直径的圆上，∴∠ADC=∠ABC=45°，∴∠BDC=∠ADB+∠ADC=90°+45°=135°故②正确；③如图2，延长BD、AC交于点G，∵AD平分∠BAG，AD⊥BG，∴BD=DG，∴CD是Rt△BCG的斜边的中线，∴CD=BD，BCD CDGS S=V V，∴∠DBC=∠DCB=22.5°，∴∠CBG=∠CAE=22.5°，∵AC=BC，∠ACE=∠BCG，∴△ACE≌△BCG，∴2ACE BCG BDC S S S ==V V V ，故③正确；④∵AB=AG=AC+CG ，∵BG=2CD>AC ，CD>CG ，∴AB≠3CD ，故④错误，故选：B ．【点睛】本题考查了全等三角形的形判定和性质，以及直角三角形斜边上的中线，掌握辅助线的做法证明三角形全等是解题的关键.23．【解析】【分析】(1) 先都转化为同底数的幂，根据指数相等列出方程，解方程求出x 、y 的值，然后代入x-y 计算即可;(2)将完全平方公式a+b)2=a 2+2ab+b 2变形得到a 2+b 2=(a+b)2-2ab ；将a+b=5，ab=3代入变形后的式子，计算即可.【详解】解：(1)∵122242x y y ++==，312733y y x -== ,∴2231x y y x =+⎧⎨=-⎩， 解得41x y =⎧⎨=⎩， ∴x −y =3.(2) ∵(a+b)2=a 2+2ab+b 2，∴a 2+b 2=(a+b)2-2ab.∵a+b=5，ab=3，∴a 2+b 2=52-2×3=25-6=19;==.【点睛】本题考查代数式的求值，熟练掌握完全平方公式是解题的关键；24．详见解析【解析】【分析】由“ASA”可证△ABC ≌△DFE ，可得AB=DF ．【详解】证明：∵BE ＝CF ，∴BE +EC ＝CF +EC ，∴BC ＝EF ，∵OE ＝OC ，∴在△A BC 和△DFE 中，OCB OEF BC EFB F ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝ ∴△ABC ≌△DFE （ASA ）∴AB ＝DF【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明△ABC ≌△DFE 是本题的关键． 25．（1）见解析；（2）60B ∠=o ；（3）3PEF S S ∆=.【解析】【分析】（1）由已知证明AEG DEG ∆≅∆可得出GAE GDE ∠=∠=90°，即PD EF ⊥ （2）根据已知由中垂线性质可得GE GF =，即GEF GFE AEG ∠=∠=∠，由//EF BC 即可得出60B AEF ∠=∠=o .(3)由已知可推出3PEF S S ∆=.【详解】（1）证明：EG Q 平分AEF ∠，AEG DEG ∴∠=∠，在AEG ∆和DEG ∆中，ED EA AEG DEG EG EG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()AEG DEG SAS ∴∆≅∆GAE GDE ∴∠=∠90EAG ∠=o Q90GDE ∴∠=o ，即PD EF ⊥；（2）,ED DF PD EF =⊥Q ，∴由中垂线性质得：GE GF =，GEF GFE AEG ∴∠=∠=∠∴在Rt AEF ∆中，30,60GEF GFE AEG AEF ∠=∠=∠=∠=o o ，又//EF BC Q ，60B AEF ∴∠=∠=o（3）由已知可得：3PEF S S ∆=.【点睛】本题考查三角形中位线定理，熟练掌握三角形中位线定理的性质及判定是解题关键. 26．DG ∥BC ；证明见解析.【解析】【分析】根据垂直的定义可得∠EFB=∠CDB=90°，根据同位角相等两直线平行可得CD ∥EF ，再根据两直线平行，同位角相等求出∠2=∠BCD ，根据等量代换可得∠1=∠BCD ，再根据内错角相等，两直线平行证明即可．【详解】DG ∥BC ．理由如下：∵CD 是高，EF ⊥AB ，∴∠EFB=∠CDB=90°，∴CD ∥EF ，∴∠2=∠BCD ，∵∠1=∠2，∴∠1=∠BCD ，∴DG ∥BC ．【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，熟记平行线的性质与判定方法是解题的关键．27．（1）225418--=；（2）22(1)12n n n +--=，证明见解析；（3）2020.【解析】【分析】（1）根据所给等式，可直接写出第四个等式；（2）观察所给等式可得：等号左边的第一个数是序号加1的平方，第二个数是序号的平方，第三个数是1，等号右边是序号的二倍，据此写出第n 个等式，然后展开证明即可； （3）利用（2）中等式先求出20202-20192的值，然后即可求出结果.【详解】（1）由题意得，第四个等式为：225418--=；（2）观察所给等式可得：等号左边的第一个数是序号加1的平方，第二个数是序号的平方，第三个数是1，等号右边是序号的二倍，故猜想第n 个等式为：22(1)12n n n +--=，证明：左边＝221221n n n n --=++＝右边，故等式成立；（3）∵22(1)12n n n +--=， ∴22(1)21n n n +-=+，∴20202-20192=2×2019+1，∴20202-20192-2019=2×2019+1-2019=2020.【点睛】本题考查了数字类规律探索以及整式的混合运算，通过观察所给式子，找出变化的部分和不变的部分以及变化部分的变化规律，进而总结出一般性规律是解答此类问题的关键. 28．证明见解析【解析】【分析】由于AB=AC ，BD ，CE 是△ABC 的角平分线，利用等边对等角，角平分线定义，可得∠ABC=∠ACB ，∠DBC=∠ECB ，而BC=CB ，利用ASA 可证△EBC ≌△DCB ，再利用全等三角形的性质可证BD=CE ．【详解】如图，在△ABC 中，AB=AC ，BD ，CE 是△ABC 的角平分线．求证：BD=CE证明：如图所示，∵AB=AC ，BD ，CE 是△ABC 的角平分线．∴∠ABC=∠ACB ，∴∠DBC=∠ECB ，又∵BC=CB ，∴△EBC ≌△DCB （ASA ），∴BD=CE ．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，利用等腰三角形的性质、角平分线的定义、全等三角形的判定和性质．29．见解析【解析】【分析】由DE BC ∥平行线的性质得到AED B ∠=∠，由180A ADF ∠+∠=︒可得AB DF P ，进而可得，AED EDF ∠=∠等量代换即可得出B EDF ∠=∠.【详解】证明：∵180A ADF ∠+∠=︒，∴AB DF P .∠=∠.∴AED EDF∵DE BC∥，∠=∠.∴AED B∠=∠.∴B EDF【点睛】本题主要考查了平行线的性质的运用，解题时注意运用：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等．。

2020年北师大版数学七年级下册期末测试学校________ 班级________ 姓名________ 成绩________一、选择题1.下列运算正确的是（）A. a2•a3＝a6B. 3a﹣a＝3C. （b3）2＝b9D. x6÷x2＝x42.下列每组数分别表示三根木棒的长,将它们首尾连接后,能摆成三角形的一组是( )A. 1,2,1B. 1,2,2C. 1,2,3D. 1,2,43.下列图形中，是轴对称图形的是（）A. B. C. D.4.如图，字母B所代表的正方形的面积是()A. 12B. 144C. 13D. 1945.大肠杆菌的长度平均约为0.0000014米，把这个数用科学记数表示正确的是（）米．A. 1.4×106B. 1.4×10﹣5C. 14×10﹣7D. 1.4×10﹣66.下列整式运算正确的是（）A. （a+b）（a+b）＝a2+b2B. （﹣a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2C. （a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2D. （+a+b）（﹣a﹣b）＝a2+2ab+b27.若x2﹣mx+14是完全平方式，则m的值是（）A. 4B. ﹣4C. ±1D. ±48.如图所示，利用尺规作∠AOB的平分线，做法如下：①在OA、OB上分别截取OD、OE，使OD＝OE；②分别以D、E为圆心，大于12DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内交于一点C；③画射线OC，射线OC就是∠AOB的角平分线．在用尺规作角平分线时，用到的三角形全等的判定方法是（）A. SSSB. ASAC. AASD. SAS9.如图，等腰△ABC中，AB＝AC＝3cm，BC＝5cm，边AC的垂直平分线分别交AC、BC于D、E，则△ABE 的周长是（）A. 7cmB. 8cmC. 9cmD. 10cm10.小明同学放学回家，从校门口步行一段时间到公交车站，在公交车站等一会儿才上了公交车，到终点站后再步行一段时间回到家中，下面几幅图最能刻画这一过程的是（）A. B. C. D. 二、填空题11.计算（2019﹣π）0＝_____．12.如图，AB∥CD，∠BEF＝110°，则∠CDF的度数为_____．13.已知一个等腰三角形两内角度数之比为1∶4，则这个等腰三角形顶角的度数为_______．14.如图，C、D点在BE上，∠1=∠2，BD=EC，请补充一个条件：____________，使△ABC≌△FED.三．解答题15.（1）计算：233112102210-⎛⎫⎛⎫-⨯⨯+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）计算：m（m﹣4n）﹣（m﹣2n）（m+2n）16.先化简再求值：x[（x+y）2﹣（x+y）（x﹣y）﹣2y（2y﹣x）]÷（﹣2y），其中x＝﹣12，y＝﹣217.已知：如图，BD∥AF∥CE，∠ABD＝50°，∠ACE＝36°，AP是∠BAF的平分线，求∠PAC的度数．18.某校某次外出游学活动分为三类，因资源有限，七年级2班分配到25个名额，其中甲类4个、乙类11个、丙类10个，已知该班有50名学生，班主任准备了50个签，其中甲类、乙类、丙类按名额设置、25个空签，采取抽签的方式来确定名额分配，请解决下列问题（1）该班小明同学恰好抽到丙类名额的概率是多少？（2）该班小丽同学能有幸去参加游学活动的概率是多少？（3）后来，该班同学强烈呼吁名额太少，要求抽到甲类的概率要达到20%，则还要争取甲类名额多少个？19.声音在空气中传播的速度简称音速，实验测得音速与气温的一些数据如下表（1）此表反映的是变量随变化的情况．（2）请直接写出y与x的关系式为．（3）当气温为22℃时，某人看到烟花燃放5秒后才听到声响，求此人与烟花燃放所在地的距离．20.如图1，△ABC中，AB＝AC，过B点作射线BE，过C点作射线CF，使∠ABE＝∠ACF，且射线BE，CF交于点D，过A点作AM⊥BD于M．（1）探究∠BDC和∠CAB的数量关系并说明理由；（2）求证：BM＝DM+DC；（3）如图2，将射线BE ，CF 分别绕点B 和点C 顺时针旋转至如图位置，若∠ABE ＝∠ACF 仍然成立，射线BE 交射线CF 的反向延长线于点D ，过A 点作AM ⊥BD 于M ．请问（2）中的结论是否还成立？如果成立，请证明．如果不成立，线段BM ，DM ，DC 又有怎样的数量关系？并证明你的结论．四、填空题21.已知a m ＝3，a n ＝2，则m n a --＝_____．22.如果在△ABC 和△DEF 中，AB ＝DE ，BC ＝EF ，∠A ＝∠D ，那么这两个三角形全等，这个事件是_____事件．（填“随机”“不可能”或“必然”）23.将一矩形纸条按如图所示折叠，若∠1=40°，则∠2=____°．24.已知a n ＝()211n +(n ＝1，2，3，…)，记b 1＝2(1－a 1)，b 2＝2(1－a 1)(1－a 2)，…，b n ＝2(1－a 1)(1－a 2)…(1－a n )，则通过计算推测出表达式b n ＝________ (用含n 的代数式表示)．25.如图，在△ABC 中，AB ＝13，BC ＝14，AC ＝15，点D 在AC 上（可与点A ，C 重合），分别过点A 、C 作直线BD 的垂线，垂足为E ，F ，则AE+CF 的最大值为_____，最小值为_____．五、解答题26.如图①，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，两条直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ．如图②，现将与Rt △ABC 全等的四个直角三角形拼成一个正方形EFMN ．（1）若Rt △ABC 的两直角边之比均为2：3．现随机向该图形内掷一枚小针，则针尖落在四个直角三角形区域的概率是多少？（2）若正方形EFMN的边长为8，Rt△ABC的周长为18，求Rt△ABC的面积．27.有一科技小组进行了机器人行走性能试验，在试验场地有A、B、C三点顺次在同一笔直的赛道上，甲、乙两机器人分别从A、B两点同时同向出发，经过7min同时到达C点，乙机器人始终以60m/min的速度行走，如图是甲、乙两机器人之间的距离y（m）与他们的行走时间x（min）之间的图象，请结合图象，回答下列问题：（1）A、B两点之间的距离是m，甲机器人前2min的速度为m/min．（2）若前3min甲机器人的速度不变，求出前3min，甲、乙两机器人之间的距离y（m）与他们的行走时间r（min）之间的关系式．（3）求出两机器人出发多长时间相距28m．28.在△ABC中，AD是△ABC的角平分线．（1）如图1，过C作CE∥AD交BA延长线于点E，若F为CE的中点，连接AF，求证：AF⊥AD．（2）如图1，在（1）的条件下，若CD＝2BD，S△ABD＝10，求△BCE的面积．（3）如图2，M为BC的中点，过M作MN∥AD交AC于点N，猜想线段AB、AC、AN之间的数量关系？请写出你的猜想，并给予证明．答案与解析一、选择题1.下列运算正确的是（ ）A. a 2•a 3＝a 6B. 3a ﹣a ＝3C. （b 3）2＝b 9D. x 6÷x 2＝x 4【答案】D【解析】【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则以及幂的乘方运算法则和合并同类项法则分别化简得出答案．【详解】A .235a a a ⋅＝，故此选项错误；B .32a a a -＝，故此选项错误；C .326()b b ＝，故此选项错误；D .624x x x ÷＝，正确．故选：D ．【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，熟练掌握整式的相关计算法则是解决本题的关键. 2.下列每组数分别表示三根木棒的长,将它们首尾连接后,能摆成三角形的一组是( )A. 1,2,1B. 1,2,2C. 1,2,3D. 1,2,4 【答案】B【解析】试题分析：根据三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，计算两个较小的边的和，看看是否大于第三边即可．解：A 、1+1=2，不能组成三角形，故A 选项错误；B 、1+2＞2，能组成三角形，故B 选项正确；C 、1+2=3，不能组成三角形，故C 选项错误；D 、1+2＜4，不能组成三角形，故D 选项错误；故选B ．点评：此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形的三边关系定理．3.下列图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据轴对称图形的定义逐项分析即可，一个图形的一部分，沿着一条直线对折后两部分能够完全重合，那么这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴.【详解】A、B、D都不是轴对称图形，故不符合题意；C是轴对称图形，故符合题意.故选C.【点睛】本题考查了轴对称图形的定义，熟练掌握轴对称图形的定义是解答本题的关键.4.如图，字母B所代表的正方形的面积是()A. 12B. 144C. 13D. 194【答案】B【解析】【分析】外围正方形的面积就是斜边和一直角边的平方，实际上是求另一直角边的平方，用勾股定理即可解答．【详解】如图，根据勾股定理我们可以得出：a2+b2＝c2a2＝25，c2＝169，b2＝169﹣25＝144，因此B的面积是144．故选B．【点睛】本题主要考查了正方形的面积公式和勾股定理的应用．只要搞清楚直角三角形的斜边和直角边本题就容易多了．5.大肠杆菌的长度平均约为0.0000014米，把这个数用科学记数表示正确的是（ ）米．A. 1.4×106 B. 1.4×10﹣5 C. 14×10﹣7 D. 1.4×10﹣6 【答案】D【解析】【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为10(110)n a a -⨯≤<(n 为整数)，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【详解】60.0000014 1.410-⨯＝．故选：D ．【点睛】本题主要考查了科学记数法的表示，熟练掌握相关表示方法是解决本题的关键.6.下列整式运算正确的是（ ）A. （a+b ）（a+b ）＝a 2+b 2B. （﹣a+b ）（a ﹣b ）＝a 2﹣b 2C. （a+b ）（a ﹣b ）＝a 2﹣b 2D. （+a+b ）（﹣a ﹣b ）＝a 2+2ab+b 2【答案】C【解析】【分析】利用平方差公式及完全平方公式判断即可．【详解】A .原式＝222a ab b ++，不符合题意；B .原式＝222a ab b -+-，不符合题意；C .原式＝22a b -，符合题意；D .原式＝222a ab b ---，不符合题意，故选：C ．【点睛】本题主要考查了整式的乘法，熟练掌握平方差公式及完全平方公式是解决本题的关键.7.若x 2﹣mx +14是完全平方式，则m 的值是（ ） A. 4B. ﹣4C. ±1D. ±4【答案】C【解析】【分析】 根据完全平方式(a±b)2=a 2±2ab+b 2即可解题. 【详解】∵x 2﹣mx+14是完全平方式， ∴原式=（x 12）2 ∴m=±1． 故选C ．8.如图所示，利用尺规作∠AOB 的平分线，做法如下：①在OA 、OB 上分别截取OD 、OE ，使OD ＝OE ；②分别以D 、E 为圆心，大于12DE 的长为半径画弧，两弧在∠AOB 内交于一点C ；③画射线OC ，射线OC 就是∠AOB 的角平分线．在用尺规作角平分线时，用到的三角形全等的判定方法是（ ）A. SSSB. ASAC. AASD. SAS【答案】A【解析】【分析】 利用基本作图得到OE OD ＝，CE CD ＝，加上公共边线段，则利用“SSS ”可证明△EOC ≌△DOC ，于是有∠EOC ＝∠DOC ．【详解】由作法得OE OD ＝，CE CD ＝，而OC ＝OC ，所以△EOC ≌△DOC (SSS )，所以∠EOC ＝∠DOC ，即射线OC 就是∠AOB 的角平分线，故选：A ．【点睛】本题属于角平分线的尺规作图，熟练掌握三角形的全等判定是解决本题的关键.9.如图，等腰△ABC 中，AB ＝AC ＝3cm ，BC ＝5cm ，边AC 的垂直平分线分别交AC 、BC 于D 、E ，则△ABE的周长是（）A. 7cmB. 8cmC. 9cmD. 10cm【答案】B【解析】【分析】根据线段垂直平分线的性质可得AE＝CE，进而可得AE+BE＝BC＝5，进而可得答案．【详解】∵AC的垂直平分线分别交AC、BC于点D、E，∴AE＝CE，∵BC＝5，∴BE+CE＝5，∵AB＝3，∴△ABE的周长为3+5＝8cm，故选：B．【点睛】本题主要考查了垂直平分线的性质，熟练掌握垂直平分线性质的应用是解决本题的关键.10.小明同学放学回家，从校门口步行一段时间到公交车站，在公交车站等一会儿才上了公交车，到终点站后再步行一段时间回到家中，下面几幅图最能刻画这一过程的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据题意判断出离家距离随时间的变化趋势，然后再结合选项可得答案．【详解】小明从学校回家，从校门口步行一段时间到公交车站，因此离家距离随时间的增长而减小；在公交车站等一会儿才上了公交车，因此时间在增加，离家距离不变；坐上了公交车直至到终点站，因此离家距离随时间的增长而减小；到终点站后再步行一段时间回到家中，速度减小，所以离家距离随时间的增长而减小但此时图象倾斜度变小， 故选：A ．【点睛】本题主要考查了时间距离图象，熟练掌握一次函数图象的应用是解决本题的关键.二、填空题11.计算（2019﹣π）0＝_____． 【答案】1 【解析】 【分析】根据零指数幂：a 0 =1（a≠0），求解即可． 【详解】解：原式＝1． 故答案为1．【点睛】此题考查零指数幂，解题关键在于掌握其定义. 12.如图，AB ∥CD ，∠BEF ＝110°，则∠CDF 的度数为_____．【答案】70° 【解析】 【分析】根据平行线的性质解答即可．【详解】∵//AB CD ，110BEF ∠︒＝， ∴18070CDF AED DEB ∠∠︒-∠︒＝＝＝， 故答案为：70︒．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握相关性质是解决本题的关键.13.已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1∶4，则这个等腰三角形顶角的度数为_______．【答案】120°或20° 【解析】试题分析：根据等腰三角形的特点，可分两种情况：顶角与底角的度数比是1：4或底角与顶角的度数比是1：4，根据三角形的内角和定理就可求解：当顶角与底角的度数比是1：4时，则等腰三角形的顶角是180°×19=20°； 当底角与顶角的度数比是1：4时，则等腰三角形的顶角是180°×46=120°． 即该等腰三角形的顶角为20°或180°． 考点：等腰三角形 14.如图，C 、D 点BE 上，∠1=∠2，BD=EC ，请补充一个条件：____________，使△ABC ≌△FED.【答案】AC=DF （或∠A=∠F 或∠B=∠E） 【解析】 ∵BD=CE ， ∴BD-CD=CE-CD ， ∴BC=DE ，①条件是AC=DF 时， 在△ABC 和△FED 中，12AC DFBC DE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ∴△ABC ≌△FED （SAS ）； ②当∠A=∠F 时，12A F BC DE ∠=∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝ ∴△ABC ≌△FED （AAS ）； ③当∠B=∠E 时，12BC DE B E ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ABC ≌△FED （ASA ）故答案为AC=DF （或∠A=∠F 或∠B=∠E）．三．解答题15.（1）计算：233112102210-⎛⎫⎛⎫-⨯⨯+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）计算：m （m ﹣4n ）﹣（m ﹣2n ）（m+2n ） 【答案】（1）4；（2）﹣4mn+4n 2 【解析】 【分析】（1）先根据负整数指数幂，绝对值，积的乘方进行计算，再求出即可； （2）先算乘法，再合并同类项即可． 【详解】（1）原式＝4224-+＝；（2）原式＝2222422444m mn m mn mn n mn n ---++-+＝．【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算及整式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解决本题的关键. 16.先化简再求值：x[（x+y ）2﹣（x+y ）（x ﹣y ）﹣2y （2y ﹣x ）]÷（﹣2y ），其中x ＝﹣12，y ＝﹣2 【答案】﹣2x 2+xy ，12【解析】 【分析】先算括号内的乘法，合并同类项，算除法，最后代入求出即可． 【详解】2[()()()2(2)](2)x x y x y x y y y x y +-+---÷- ＝22222[242](2)x x xy y x y y xy y ++-+-+÷- ＝2[42](2)x xy y y -÷- ＝22[42](2)x y xy y -÷-＝22x xy -+，当12x ＝-，2y =-时，原式＝21112()()(2)222-⨯-+-⨯-=．【点睛】本题主要考查了整式的化简求值，涉及到整式的加减乘除混合运算，熟练掌握相关计算法则是解决本题的关键.17.已知：如图，BD ∥AF ∥CE ，∠ABD ＝50°，∠ACE ＝36°，AP 是∠BAF 的平分线，求∠PAC 的度数．【答案】61° 【解析】 【分析】利用平行线的性质角平分线的定义求出∠P AF ，∠CAF 即可． 【详解】∵////BD AF CE ，∴50ABD FAB ∠∠︒＝＝，36FAC ACE ∠∠︒＝＝， ∵P A 平分∠BAF ，∴1252PAF BAF ∠∠︒＝＝，∴253661PAC PAF CAF ∠∠+∠︒+︒︒＝＝＝．【点睛】本题主要考查了角平分线的定义及平行线的性质，熟练掌握相关定义及性质证明是解决本题的关键.18.某校某次外出游学活动分为三类，因资源有限，七年级2班分配到25个名额，其中甲类4个、乙类11个、丙类10个，已知该班有50名学生，班主任准备了50个签，其中甲类、乙类、丙类按名额设置、25个空签，采取抽签的方式来确定名额分配，请解决下列问题 （1）该班小明同学恰好抽到丙类名额的概率是多少？（2）该班小丽同学能有幸去参加游学活动的概率是多少？（3）后来，该班同学强烈呼吁名额太少，要求抽到甲类的概率要达到20%，则还要争取甲类名额多少个？ 【答案】（1）15；（2）12；（3）要求抽到甲类的概率要达到20%，则还要争取甲类名额6个【解析】 【分析】（1）直接利用概率公式计算即可得解； （2）直接利用概率公式计算即可得解；（3）设还要争取甲类名额x个，利用概率公式得到420% 50x+=，然后解方程求出x即可．【详解】（1）该班小明同学恰好抽到丙类名额的概率101505P=＝；（2）该班小丽同学能有幸去参加实践活动的概率251502P=＝；（3）设还要争取甲类名额x个，根据题意得420%50x+=，解得x＝6，答：要求抽到甲类的概率要达到20%，则还要争取甲类名额6个．【点睛】本题主要考查了概率的求解，熟练掌握相关概率的求解方法是解决本题的关键.19.声音在空气中传播的速度简称音速，实验测得音速与气温的一些数据如下表（1）此表反映的是变量随变化的情况．（2）请直接写出y与x的关系式为．（3）当气温为22℃时，某人看到烟花燃放5秒后才听到声响，求此人与烟花燃放所在地的距离．【答案】（1）音速、气温；（2）y＝35x+331；（3）此人与烟花燃放所在地的距离为1721米【解析】【分析】（1）由已知可得出此表反映的是变量音速随气温变化的情况；（2）先设函数解析式为y＝kx+b，根据题意取2组x，y的值代入利用待定系数法求解即可；（3）把x的值代入（2）中所求的代数式可求出对应的y值，从而判断此人与烟花燃放所在地的距离．【详解】（1）由已知可得出此表反映的是变量音速随气温变化的情况，故答案为：音速、气温；（2）设y＝kx+b，则331331.6bk b=⎧⎨+=⎩，解得：35331kb⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴y＝35x+331；（3）∵当x＝22时，312233134455y⨯+＝＝，∴距离为11344172155⨯=米， 答：此人与烟花燃放所在地的距离为1721米．【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解决本题的关键.20.如图1，△ABC 中，AB ＝AC ，过B 点作射线BE ，过C 点作射线CF ，使∠ABE ＝∠ACF ，且射线BE ，CF 交于点D ，过A 点作AM ⊥BD 于M ．（1）探究∠BDC 和∠CAB 的数量关系并说明理由； （2）求证：BM ＝DM+DC ；（3）如图2，将射线BE ，CF 分别绕点B 和点C 顺时针旋转至如图位置，若∠ABE ＝∠ACF 仍然成立，射线BE 交射线CF 的反向延长线于点D ，过A 点作AM ⊥BD 于M ．请问（2）中的结论是否还成立？如果成立，请证明．如果不成立，线段BM ，DM ，DC 又有怎样的数量关系？并证明你的结论．【答案】（1）∠BDC ＝∠CAB ，见解析；（2）见解析；（3）不成立，BM ＝DM ﹣DC ，见解析 【解析】 【分析】 （1）由三角形内角和定理得出180CAB ABC ACB∠︒-∠-∠＝，180180()()BDC DBC DCB ABC ABE ACB ACF ∠︒-∠-∠︒-∠-∠-∠+∠＝＝，又∠ABE ＝∠ACF ，则进行计算即可得解；（2）作AN ⊥CF 于N ，连接AD ，易证90AMB ANC ∠∠︒＝＝，由AAS 证得△AMB ≌△ANC 得出BM ＝CN ＝DC +DN ，AM ＝AN ，由HL 证得Rt △AMD ≌Rt △AND 得出DM ＝DN ，即可得出结论； （3）作AN ⊥CF 于N ，连接AD ，易证90AMB ANC ∠∠︒＝＝，由AAS 证得△AMB ≌△ANC 得出BM CN DN DC -＝＝，AM ＝AN ，由HL 证得Rt △AMD ≌Rt △AND 得出DM ＝DN ，即可得出结论．【详解】（1）解：∠BDC ＝∠CAB ；理由如下： ∵180CAB ABC ACB ∠︒-∠-∠＝，180180()()BDC DBC DCB ABC ABE ACB ACF ∠︒-∠-∠︒-∠-∠-∠+∠＝＝，∠ABE ＝∠ACF ，∴180()()BDC ABC ABE ACD ACF ∠︒-∠-∠-∠+∠＝＝180ABC ACB ACF ABE ︒-∠-∠-∠+∠ ＝180ABC ACB CAB ︒-∠-∠∠＝ ∴BDC CAB ∠∠＝；（2）证明：作AN ⊥CF 于N ，连接AD ，如图1所示： ∵AM ⊥BD ，∴90AMB ANC ∠∠︒＝＝， 在△AMB 和△ANC 中，ABM ACNAMB ANC AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△AMB ≌△ANC ()AAS ， ∴BM ＝CN ＝DC +DN ，AM ＝AN ， 在Rt △AMD 和Rt △AND 中，AM ANAD AD =⎧⎨=⎩， ∴Rt △AMD ≌Rt △AND ()HL ， ∴DM ＝DN ， ∴BM ＝DM +DC ；（3）不成立，BM ＝DM ﹣DC ；理由如下： 作AN ⊥CF 于N ，连接AD ，如图2所示： ∵AM ⊥BD ，∴90AMB ANC ∠∠︒＝＝， 在△AMB 和△ANC 中，ABM ACN AMB ANC AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△AMB ≌△ANC ()AAS ，∴BM CN DN DC -＝＝，AM ＝AN ， 在Rt △AMD 与Rt △AND 中，AM ANAD AD=⎧⎨=⎩， ∴Rt △AMD ≌Rt △AND ()HL ， ∴DM ＝DN ， ∴BM DM DC -＝．【点睛】本题主要考查了角的和差倍分及三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解决本题的关键.四、填空题21.已知a m ＝3，a n ＝2，则m n a --＝_____． 【答案】16【解析】 【分析】原式变形后，将已知等式代入计算即可求出值． 【详解】∵3m a ＝，2n a ＝，∴原式＝116m n a a =， 故答案为：16.【点睛】本题主要考查了整式的幂运算，熟练掌握相关幂运算公式是解决本题的关键.22.如果在△ABC 和△DEF 中，AB ＝DE ，BC ＝EF ，∠A ＝∠D ，那么这两个三角形全等，这个事件是_____事件．（填“随机”“不可能”或“必然”） 【答案】随机 【解析】 【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．【详解】如果在△ABC 和△DEF 中，AB ＝DE ，BC ＝EF ，∠A ＝∠D ，那么这两个三角形全等，这个事件是随机事件． 故答案为：随机.【点睛】本题主要考查了事件的定义，熟练掌握事件的区分方法是解决本题的关键. 23.将一矩形纸条按如图所示折叠，若∠1=40°，则∠2=____°．【答案】110． 【解析】【详解】解：∵AB ∥CD ， ∴∠3=∠1=40°，∠2+∠4=180°， ∵∠4=∠5， ∴∠4=∠5=12=70°， ∴∠2=110°， 故答案为110°．【点睛】本题考查平行线及折叠的性质，掌握相关性质正确推理论证是解题关键． 24.已知a n ＝()211n +(n ＝1，2，3，…)，记b 1＝2(1－a 1)，b 2＝2(1－a 1)(1－a 2)，…，b n ＝2(1－a 1)(1－a 2)…(1－a n )，则通过计算推测出表达式b n ＝________ (用含n 的代数式表示)．【答案】21 nn++．【解析】【详解】根据题意按规律求解：b1=2(1-a1)=131221-4211+⎛⎫⨯==⎪+⎝⎭，b2=2(1-a1)(1-a2)=314221-29321+⎛⎫⨯==⎪+⎝⎭，…，所以可得：b n=21nn++．解：根据以上分析b n=2（1-a1）（1-a2）…（1-a n）=21 nn++．“点睛”本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．本题中表示b值时要先算出a的值，要注意a中n的取值．25.如图，在△ABC中，AB＝13，BC＝14，AC＝15，点D在AC上（可与点A，C重合），分别过点A、C 作直线BD的垂线，垂足为E，F，则AE+CF的最大值为_____，最小值为_____．【答案】(1). 15 (2). 12【解析】【分析】设AE＝m，CF＝n，则m+n＝y，用m、n及x表示出△ABD及△CBD的面积，根据S△ABC＝S△ABD+S△CBD即可得到m+n关于x的反比例函数关系式．根据垂直线段最短的性质，当BD⊥AC时，x最小，由面积公式可求得；因为AB＝13，BC＝14，所以当BD＝BC＝14时，x最大．从而根据反比例函数的性质求出y的最大值和最小值.【详解】设BD＝x，AE+CF＝y，AE＝m，CF＝n，则m+n＝y，∵由三角形面积公式，得1122ABDS BD AE xm⋅V＝＝，1122CBDS BD CF xn⋅V＝＝，∴22CBDABDSSm nx x∆∆==，，∴222168CBD ABCABDS SSy m nx x x x∆∆∆++==＝＝，即168yx＝．∵△ABC 中AC 边上的高为216856155ABC S AC ∆==， ∴x 的取值范围为56145x ≤≤． ∵m +n 随x 的增大而减小，∴当565x =时，y 的最大值为15，当x ＝14时，y 的最小值为12． 故答案为：15，12．【点睛】本题主要考查了反比例函数的实际应用，熟练掌握相关等量关系并转化为反比例函数解析式是解决本题的关键.五、解答题26.如图①，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，两条直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ．如图②，现将与Rt △ABC 全等的四个直角三角形拼成一个正方形EFMN ． （1）若Rt △ABC 的两直角边之比均为2：3．现随机向该图形内掷一枚小针，则针尖落在四个直角三角形区域的概率是多少？（2）若正方形EFMN 的边长为8，Rt △ABC 的周长为18，求Rt △ABC 的面积．【答案】（1）1213；（2）9 【解析】【分析】 （1）根据勾股定理得到c ，根据概率公式即可得到结论；（2）根据题意求出c ，得到a +b 的值，根据三角形的面积公式、完全平方公式计算，得到答案．【详解】（1）∵Rt △ABC 的两直角边之比均为23：，∴设23b k a k ＝，＝，由勾股定理得，222a b c +＝，∴13c k =，∴针尖落在四个直角三角形区域的概率是214231221313k k k ⨯⨯⨯=；（2）∵正方形EFMN 的边长为8，即c ＝8，∵Rt △ABC 的周长为18，∴a +b +c ＝18，∴a +b ＝10，则Rt △ABC 的面积＝22211[()()]924ab a b a b =+-+=． 【点睛】本题主要考查了概率的求解及乘法公式求几何图形面积，熟练掌握几何方法求概率及乘法公式的运用是解决本题的关键.27.有一科技小组进行了机器人行走性能试验，在试验场地有A 、B 、C 三点顺次在同一笔直的赛道上，甲、乙两机器人分别从A 、B 两点同时同向出发，经过7min 同时到达C 点，乙机器人始终以60m/min 的速度行走，如图是甲、乙两机器人之间的距离y （m ）与他们的行走时间x （min ）之间的图象，请结合图象，回答下列问题：（1）A 、B 两点之间的距离是 m ，甲机器人前2min 的速度为 m/min ．（2）若前3min 甲机器人的速度不变，求出前3min ，甲、乙两机器人之间的距离y （m ）与他们的行走时间r （min ）之间的关系式．（3）求出两机器人出发多长时间相距28m ．【答案】（1）70，95；（2）y ＝35r ﹣70；（3）两机器人出发1.2或2.8或4.6min 时相距28m【解析】【分析】（1）根据图象结合题意，即可得出A 、B 两点之间的距离是70m ．设甲机器人前2min 的速度为xm /min ，根据2分钟甲追上乙列出方程，即可求解；（2）先求出F 点的坐标，再设线段EF 所在直线的函数解析式为y ＝k r +b ，将E 、F 两点的坐标代入，利用待定系数法即可求解；（3）设(070)(70)D H ，，，，根据图象可知两机器人相距28m 时有三个时刻(0～2，2～3，4～7)分别求出DE 所在直线的解析式、GH 所在直线的解析式，再令y ＝28，列出方程求解即可．【详解】（1）由题意，可得A 、B 两点之间的距离是70m ．设甲机器人前2min 的速度为xm /min ，根据题意，得2(60)70x -＝，解得x ＝95．故答案为70，95；（2）若前3min 甲机器人的速度不变，由（1）可知，前3min 甲机器人的速度为95m /min ，则F 点纵坐标为：(32)(9560)35-⨯-＝，即(335)F ，． 设线段EF 所在直线的函数解析式为y kr b +＝，将(20)(335)E F ，，，代入， 20335k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得k 35b 70=⎧⎨=-⎩， 则线段EF 所在直线的函数解析式为3570y r -＝；（3）如图，设(070)(70)D H ，，，． ∵(070)(20)D E ，，，， ∴线段DE 所在直线的函数解析式为3570y x -+＝，∵(435)(70)G H ，，，， ∴线段GH 所在直线的函数解析式为3524533y x =-+， 设两机器人出发tmin 时相距28m ，由题意，可得357028x -+＝，或357028x -＝，或352452833x -+=， 解得t ＝1.2，或t ＝2.8，或t ＝4.6，即两机器人出发1.2或2.8或4.6min 时相距28m ．【点睛】本题主要考查了一次函数的综合应用，熟练掌握函数图象的分析及函数解析式的确定是解决本题的关键.28.在△ABC 中，AD 是△ABC 的角平分线．（1）如图1，过C 作CE ∥AD 交BA 延长线于点E ，若F 为CE 的中点，连接AF ，求证：AF ⊥AD ． （2）如图1，在（1）的条件下，若CD ＝2BD ，S △ABD ＝10，求△BCE 的面积．（3）如图2，M 为BC 的中点，过M 作MN ∥AD 交AC 于点N ，猜想线段AB 、AC 、AN 之间的数量关系？请写出你的猜想，并给予证明．【答案】（1）见解析；（2）90；（3）AC ＝AB+2AN ，见解析【解析】【分析】（1）角平分线的定义得出∠BAD ＝∠CAD ，由平行线的性质得出∠BAD ＝∠E ，∠CAD ＝∠ACE ，则∠E ＝∠ACE ，由等腰三角形的性质得出AC ＝AE ，AF ⊥EC ，推出90AFE FAD ∠∠︒＝＝，即可得出结论； （2）求出BC ＝3BD ，证出△ABD ∽△EBC ，则ABD EBC S S =V V 21()9BD BC =，即可得出结果； （3）延长BA 与MN 延长线于点E ，过B 作BF ∥AC 交NM 延长线于点F ，则∠MBF ＝∠C ，∠F ＝∠MNC ，由中点得出BM ＝CM ，由AAS 证得△BFM ≌△CNM 得出BF ＝CN ，由MN ∥AD ，得出∠BAD ＝∠E ，∠CAD ＝∠MNC ＝∠ANE ，则∠E ＝∠ANE ＝∠F ，得出AE ＝AN ，BE ＝BF ，推出BF ＝AB +AN ，即可得出结论．【详解】（1）证明：∵AD 为△ABC 的角平分线，∴∠BAD ＝∠CAD ，∵CE ∥AD ，∴∠BAD ＝∠E ，∠CAD ＝∠ACE ，∴∠E ＝∠ACE ，∴AC ＝AE ，∵F 为EC 的中点，∴AF ⊥EC ，∵AD ∥EC ，∴90AFE FAD ∠∠︒＝＝，∴AF⊥AD；（2）解：∵CD＝2BD，∴BC＝3BD，∴AD∥CE，∴△ABD∽△EBC，∴221139ABDEBCS BDS BC⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭VV，∴991090BCE ABDS S⨯V V＝＝＝；（3）解：AC＝AB+2AN；理由如下：延长BA与MN延长线于点E，过B作BF∥AC交NM延长线于点F，如图2所示：∴∠MBF＝∠C，∠F＝∠MNC，∵M为BC的中点，∴BM＝CM，在△BFM和△CNM中，F MNCMNF CBM CM∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BFM≌△CNM(AAS)，∴BF＝CN，∵MN∥AD，∴BAD E∠∠＝，∠CAD＝∠MNC＝∠ANE，∴∠E＝∠ANE＝∠F，∴AE＝AN，BE＝BF，∴BF＝AB+AN，∴2AC AN CN AN BF AB AN+++＝＝＝．【点睛】本题主要考查了角平分线，三角形相似的判定及性质，三角形全等的判定及性质，熟练掌握三角形相关综合问题的求解是解决本题的关键.。