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一类对易感者实施脉冲接种的传染病模型

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第３２卷第１期　２０１１年３月　渤海大学学报（自然科学版）　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｂｏｈａｉ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔｕｒａｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　Ｅｄｉｔｉｏｎ）　Ｖ０１．３２　Ｎｏ．１　Ｍａｔ．２Ｏｌｌ　

一类对易感者实施脉冲接种的传染病模型　

张潇，宋燕，宋兴龙，刘　茉　

（渤海大学数理学院，辽宁锦州１２１０１３）　

摘要：研究了具有垂直传染且发生率为非线性ａｉ２ｓ的脉冲接种ＳＩＲ模型，从而得到　了模型的无病周期解是全局渐进稳定的。　关键词：垂直传染；非线性发生率；传染病模型　中图分类号：Ｏ１４２．１　文献标识码：Ａ　文章编号：１６７３—０５１８（２０１１）０１—０１８—０４　

０　引　言　

本文利用动力学的方法建立传染病传播的数学模型，研究某种传染病在某一地区是否会蔓延下去　而成为该地区的流行病，或者这种传染病是否会最终消除。文献［１］研究了具有标准传染率的脉冲免　疫及垂直传染模型。靳祯，马知恩等研究了具有标准传染率的脉冲预防接种ＳＩＲＳ模型　。　对一类具有垂直传染且传染率为非线性发生率　ｓ，实施脉冲接种的ＳＩＲ模型进行了研究和讨论。　

１　建立模型　

Ｍ（１－Ｐ】Ｉ　

、　Ｓ　

ｇｓ　ｌ　

马　Ｊ，　Ｊ，　

其中：ｐ表示出生率和死亡率，卢为接触率，ｙ为恢复率，Ｐ为垂直传染的概率。　对易感者类实施脉冲接种的模型　Ｓ　＝一卢，Ｓ＋　（Ｓ＋Ｒ）一　５＋　（１一Ｐ）Ｉｌ　Ｉｔ＝ｏｒｓ—ｇｔ＋　ＰＩ—ｙＩ　＼ｔ＃ｎｒ　Ｒ　＝ｙＩ一　Ｊ　（盯　）＝（１一ｍ）Ｓ（ｎｒ）　１　，（ｎ　）＝，（ｎｒ）　＝　７－　Ｒ（ｒｔ＇Ｔ　）＝Ｒ（盯）＋，　（ｎｒ）Ｊ　其中：ｓ＋，＋Ｒ＝，，ｍ为脉冲接种的比例，则式（１）变为　

收稿１３期：２０１０—１２—２７．　基金项目：辽宁省教育厅高等学校科学研究资金资助项目（Ｎｏ：２００８００９）．　作者简介：张潇（１９８５一），女，

渤海大学硕士研究生，从事微分方程研究　第１期　张潇，宋燕，宋兴龙，刘茉：一类对易感者实施脉冲接种的传染病模型　ｌ９　

定理１设　（ｔ）＝（．ｓ（ｔ），，（ｔ））是式（２）的满足初始值ｓ（ｏ　）≥０，，（０　）　０的解，则对Ｖｔ＞Ｏ，ｘ（ｔ）　≥０，且如果ｓ（ｏ　）＞０，Ｉ（Ｏ　）＞Ｏ，贝Ｕ　Ｖ　ｚ＞０，　（　）＞０。　证明　因为，　ｌ，０＜ｐ＜１，所以　ｄＳ　Ｉ，＞０，ｓ：。＝　一　＞Ｏ，　ｄＳ　Ｉ，＿０＝Ｏ，因此结论成立。　

２　疾病消失周期解的存在性　

令Ｊ＝０，在这个条件Ｆ，有　ｒＳ　“一ｕＳ　ｔ：≠ｎ　ｉ．ｓ（ｎ　＋）’：（１一ｍ）．ｓ（　）　￡：ｎ　。　（３）　定理２系统（３）存在唯一的丁周期解。　证明　由系统（３）的第一个方程，可解得Ｓ（￡）＝１＋（Ｓ　，一１）ｅ　，ｎ　＜ｔ≤（凡＋１）ｔ，其中：Ｓ　是易感者．ｓ在第凡个脉冲时刻ｎ　发生脉冲后的数量。再利用系统（３）的第二个方程，得到的频闪映　Ｓ（　）　＝（１一ｍ）［１＋（Ｊｓ　一１　ｅ　”　］，这个映射有唯一的正不动点　．ｓ・：　÷　，它意味着易感者Ｓ存在一个相应的以　为周期的解。　十，ｎ—ｌ　ｓ㈤＝ｌ一　。　，　ｆ　（　＋１）ｆ。证毕。　

３　疾病消失周期解的稳定性　

下面我们将考虑系统（２）的疾病消失周期解（Ｓ（　），０）的稳定性。　定理３系统（２）的疾病消失周期解（Ｓ（ｔ），０）是局部渐进稳定的。　证明设　（ｔ）＝Ｓ（ｔ）一Ｓ（ｔ），Ｙ（ｔ）＝，（ｔ），则７’系统（２）变为　

其线性化方程为　＝一　一ｔｘｐｙ一　一　砂　１　：一（ｇｑ＋　）ｙ＋／３Ｓｙ。一　ｚ　盯　

Ｙ　：：：；　Ｙ　‘ｎ．ｒ　）：　（ｎ丁　）＝（ｗ）　Ｊ　。　（４）　

一　一ＰＰＹ　１　．　Ｉｔ≠ｎｒ　ｙ　一（　＋ｙ）ｙＪ　。　（５）　（＃１７　）＝（１一ｍ）　（ｎＴ）１　ｙ（ｎｒ＋）＝ｙ（ｎ　）　ｊ‘：ｎｒ　

记Ａ＝　二　），Ｂ＝（　＿０ｍ　０１　系统（５）的单位矩阵为　

丁　＝　；ｅｆ￣Ａ（ｔ）ｄｔ＝（　－０　ｏ１）（三一　一二＋，，　）＝（　一　ｅ一　－　（／ｚｑ＋　）。其特征值为　，●ＩＩ１ｆＪ　ｃ刍Ｌ　，　盯　一　ｍ　

卜　盯　渤海大学学报（自然科学版）　第３２卷　

Ａ，＝（１一ｍ）ｅ　＜１，Ａ　＝ｅ一‘朋　’　＜１，所以疾病消失周期解（Ｓ（　），０）是局部渐近稳定的。　定理４当Ｒ。＜１时，系统（２）的疾病消失周期解（　（ｆ），０）全局渐近稳定，其中　南　一　。　

证明　由于Ｒｏ＜ｌ，３ｓ　＞ｏ　Ｅ９４、，使得１一Ｒ。一　＞０。　

由系统（２）的第一个方程得　一　，考虑如下的脉冲比较系统　

～一　洋盯　。　（６）　【　（ｎＴ。）　＝（１一ｍ）　（ｎ　）ｔ　ｎＴ　第一个方程的解为　（ｆ）：１＋（　一１）ｅ一‘　一　，ｎ　＜　≤（ｎ＋１）　。　利用第二个方程得到以下差分方程　）　＝（１一ｍ）［１＋（　一１）ｅ一　］其唯一的正不动点为　

二＝　亏　＞０，差分方程也可写为　（川）　＝ｄ＋　，其中：ｄ＝（１一ｍ）（１一ｅ　），　＝（１一　

ｍ）ｅ一，运用迭代的技巧，我们有　

＋　：ｄ（１＋　＋　ｚ＋…＋　ｎ）＋　ｎ＋ｔ　。：ｄ　＋　ｎ＋ｌ　。，　。＝　（０　）＞０。　１——ｄ　由于０＜　＜１，因此ｌｉｍ　（　）　：　：　＿二三　）＿　：　，即　是全局渐近稳定的。这样系统　ｎ一＋∞　１　，　十玎　一１　（６）的周期解二（　）＝１一　ｅ　“　，凡丁＜　＝三；（　＋１）ｒ是全局渐近稳定的。　

设　（ｔ）是系统（６）的以　。＝ｘ（ｏ　）＞０为初值的任意解，由脉冲微分方程的比较定理，我们知道对　系统（２）的以Ｓ。＝ｓ（ｏ　）＝　。，ｔｏ＝，（０　）＞０初值的任一解（．ｓ（　），，（ｆ）），一定存在一个非负整数ｍ，，　使得ｓ（￡）＜二（ｔ）＋８１，ｗ＜ｔｓ（ｎ＋１）７，耵＞ｍｌ丁，即　

Ｉｓ（ｆ）＜　（ｆ）＋占１，ｎ　＜￡　（ｎ＋１）　，，玎＞ｍｌ　。　由系统（２）的第二个方程得　≤　（§（￡）＋　。）一（ｇｑ＋７），，ｆ＞ｎＴ，ｎ．ｒ＞ｒｎ。ｒ。　然后考虑下面的脉冲比较系统　』ｙ（　）＝ＪＢ（ｓ（　）＋　）　一（Ｍ＋　）），‘≠盯　。　（７）　

解第一个方程ｙ（ｔ）＝　ｒ（ｏ、ｅ一‘御　７　‘　～０　１一　（０）　（ｓ（　＋ｓ　）ｅ　ｄｏ＂　

于是有，（ｔ）ｓ—————　———一，ｎ丁＜ｆ　（ｎ＋１）ｒ。　１一　（０）ｆ：（Ｓ（ｔ）＋　１）ｅ　ｙＪ　ｄ　（ｆ）ｅ　ｄ　：荟ｎ』　（　）ｅ　ｄ　＋　（　）ｅ　ｄ　

！；　』　一。　§（ｃｒ）ｅ一（　日十７）　ｄｃｒ＝南［！　一　：　：　：：　；　ｊ　］。　

ＰＪｆＩ２．Ｚ　ｔ（ｔ）＜＿　。

　第１期　张潇，宋燕，宋兴龙，刘　茉：一类对易感者实施脉冲接种的传染病模型　２１　

由占１的仕葸小，口Ｊ知当Ｒ０＜１时，』【ｔ）—　（　∞）ｏ　又因为　ｌｉｍ　，（ｆ）＝０，所以Ｖ　２＞０，３非负整数ｍ２＞ｍ　，使得，（　）＜　２（￡＞ｍ２ｒ＞ｍ－ｒ）。　

由系统（２）第一个方程得　（￡）　一　Ｓ＋　一　一／６ｏ占　＞一　２＋　一　一　２：一（　：＋　）ｓ　＋　一　考虑下面的比较方程　＿＝：／３８￣　＋／Ｗ）、ｅ２，　、一　。　（８）　【　（ｎ下　）＝（１一ｍ）ｚ（ｎ　）ｔ＝凡．ｒ　第一个方程的解为　（ｔ）：１一（ｐ＋　）占：＋［　一（１一（ｐ＋　）　）］。叫…ｒ）　盯＜ｔ　（ｎ＋１）丁，　

有差分方程　（　＋１）　＝（１一ｍ）［１一（ＪＰ＋　）占　＋［ｚ　一１＋（ｐ＋　）　：）ｅ　］。　

一（１一ｍ）［１一（ｐ＋　）ｏ０２］（　一１）　进一步　＝—————　丁————一是系统（８）唯一的正平衡点，它是全局渐进稳定的，　

因此系统（８）的周期解　（ｆ）＝［１一（ｐ＋　）占：］（１一　ｅ　＂’）ｗ＜￡　（ｎ＋１）　是全局渐近　十ｍ—ｌ　稳定的。设ｚ（ｔ）是（８）的以ｚ。＝ｚ（ｏ　）＞０为初值的任意解，由比较定理，对系统（２）的以Ｓｏ＝ｓ（ｏ　）＝　＞０，，０＝Ｉ（Ｏ　）＞０为初值的任意解（Ｓ（ｔ），，（ｔ）），一定存在于一个非负整数ｍ　＞ｍ　＞ｍ。，使得　ｓ（￡）＞；（ｔ）一占２，ｎＴ＜￡　（凡＋１）７Ｉ，凡丁＞ｍ３Ｔ。　因为　，　都充分小，于是§（ｆ）＝１一　ｅ　Ｉ－…，盯＜￡ｓ　ｎ＋１）　，是全局吸引的。这样，　十ｍ—ｌ　疾病消失周期解（§（￡）．０）是全局渐近稳定的　

参考文献：　［１］魏巍，刘少平，舒云星．脉冲接种作用下具有垂直传染的Ｓ／Ｒ模型的定性分析［Ｊ］．大学数学，２００８，２４（３）：８４—８７．　［２］靳祯，马知恩．具有连续和脉冲预防接种的ＳＩＲＳ传染病模型［Ｊ］．华北工学院学报，２００３，２４（４）：２３５—２４３．　［３］Ｍｅｎｇ　Ｘｉｎｚｈｕ，Ｃｈｅｎ　Ｌａｎｓｕｎ．Ｇｌｏｂａｌ　ｄｙｎａｍｉｃａｌ　ｂｅｈａｖｉｏｒｓ　ｆｏｒ　ａｎ　Ｓ／Ｒ　ｅｐｉｄｅｍｉｃ　ｍｏｄｅｌ　ｗｉｔｈ　ｔｉｍｅ　ｄｅｌａｙ　ａｎｄ　ｐｕｌｓｅ　ｖａｃｃｉｎａｔｉｏｎ［Ｊ］．Ｔａｉｗａｎｅｓｅ　Ｊｏｕｒ－　ｎａｌ　ｏｆ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，２００８，１２（５）：１１０７—１１２２．　［４］Ｍｅｎｇ　Ｘｉｎｚｈｕ，Ｃｈｅｎ　Ｌａｎｓｕｎ．Ｔｈｅ　ｄｙｎａｍｉｃｓ　ｏｆ　ａ　ｎｅｗ　Ｓ／Ｒ　ｅｐｉｄｅｍｉｃ　ｍｏｄｅｌ　ｃｏｎｃｅｒｎｉｎｇ　ｐｕｌｓｅ　ｖａｃｃｉｎａｔｉｏｎ　ｓｔｒａｔｅｇｙ［Ｊ］．Ａｐｐｌｉｅｄ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ　ａｎｄ　Ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎ，２００８，１９７（２）：５８２—５９７．　

Ａｎ　ｅｐｉｄｅｍｉｃ　ｍｏｄｅｌ　ｏｆ　ｐｕｌｓｅ　ｖａｃｃｉｎａｔｉｏｎ　

ａｐｐｌｉｄｅ　ｔｏ　ｅａｓｉｌｙ・－－－ｉｎｆｅｃｔｅｄ　ｐｅｏｐｌｅ　

ＺＨＡＮＧ　Ｘｉａｏ，ＳＯＮＧ　Ｙａｎ，ＳＯＮＧ　Ｘｉｎｇ—ｌｏｎｇ，ＬＩＵ　Ｍｏ　

（Ｃｏｌｌｅｇｅ　ｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓ　ａｎｄ　Ｐｈｙｓｉｃｓ，Ｂｏｈａｉ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｊｉｎｚｈｏｕ　１２１０１３，Ｃｈｉｎａ）　

Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅ　Ｓ／Ｒ　ｍｏｄｅｌ　ｉｓ　ｓｔｕｄｉｅｄ　ｏｎ　ｔｈｅ　ｐｕｌｓｅ　ｖａｃｃｉｎａｔｉｏｎ　ａｐｐｌｉｅｄ　ｔｏ　ｐｅｏｐｌｅ　ｗｉｔｈ　ｖｅｒｔｉｃａｌ　ｉｎｆｅｃｔｉｏｎ　ａｎｄ　ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　ｓ　ｉｎｃｉｄｅｎｃｅ．Ｉｔ　ｉｓ　ｃｏｎｃｌｕｄｅｄ　ｔｈａｔ　ｔｈｅ　ｓｏｌｕｔｉｏｎ　ｆｏｒ　ｉｎｆｅｃｔｉｏｎ—ｆｒｅｅ　ｐｅｒｉｏｄ　ｉｓ　ｇｌｏｂａｌｌｙ　ｓｔａｂｌｅ．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：ｖｅｒｔｉｃａｌ　ｉｎｆ

ｅｃｔｉｏｎ；ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　ｉｎｃｉｄｅｎｃｅ；ｅｐｏｄｅｍｉｃ　ｍｏｄｅｌ

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连续接种的具有年龄结构的SIS型传染病模型

连续接种的具有年龄结构的SIS型传染病模型

第ｌ９卷第４期　工　程　数　学　学　报　

２００２年¨月　ＪＯＵＲＮＡＬ　ＯＦ　ＥＮＧＩＮＥＥＲＩＮＧ　ＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＳ　Ｖｏ１．１９　ＮＯ　４　ＮＯＶ　２００２　

文章编号：１００５—３０８５（２００２）０４—００２５—０５　

连续接种的具有年龄结构的ＳＩＳ型传染病模型　

刘汉武　，　徐洁　，　刘启明。　

（１一河北科技大学理学院，石家庄０５００１８；２一西安交通大学理学院，西安７１００４９；　

３　军械技术工程学院，石家庄０５０００３）　

摘要：研究按比例对各年龄的易感者进行接种对传染病传播过程的影响，提出了具有年龄结构的ＳＩＳ型　传染病的接种模型。对模型的动力学性态进行了分析，得到了地方病平衡解唯一存在的条件，平　衡解稳定的条件，还研究了接种率的大小对疾病流行的影响。　

关键词：ＳＩＳ模型；接种；平衡解；稳定性　分类号：ＡＭＳ（２０００）９２Ｄ３０　中图分类号：０２９：Ｒ１８３　文献标识码：Ａ　

１　引　言　

用数学模型定量地描述、研究疾病的传播过程，对预防有重要作用。由于许多疾病的传　

播受年龄的影响很大，于是人们在传染病模型中引人了年龄结构。为了控制传染病的传播，　

人们往往采取预防接种的方法，文［１］研究了具有年龄结构的ＳＩＳ模型，得到了平衡解唯一　

存在，局部和全局稳定的条件。文［２］研究了具有年龄结构的ＳＩＲ模型的接种问题，得到了　

平衡解唯一存在，局部稳定的条件。本文提出了具有年龄结构的ＳＩＳ模型的接种问题。　

２模型的建立　

将有传染病存在的人口分为两类：易感者（Ｓ）和传染者（Ｉ）。分别用Ｓ（ａ，ｔ），ｉ（ａ，ｔ）表　

示在时刻ｔ，年龄为ａ的易感者、传染者人口密度。当易感者和传染者有一定的接触后得病，　

也成为传染者；传染者经过治疗而康复，重新成为易感者。设疾病恢复率ａ为正常数，传染力　

ｒＡ　为　（ｔ）＝ｋ　ｆ　ｉ（口，ｔ）ｄａ，其中ｋ为正常数。设非负函数　（口），　（口）是年龄为口的人口的生　Ｊ　０　ｒ０　育率和死亡率，记丌（口）＝ｅｘｐ（一ｆ　（口）ｄ口），　（口）满足ｌｉｍ／ｌ＂（口）７－０，Ａ为人的最大年　Ｊ　０　口一＾　龄。并且假设新生儿均为易感者。　

sir模型微分方程推导

sir模型微分方程推导

- 1 - sir模型微分方程推导

本文将介绍sir模型的微分方程推导。sir模型是一种基本的传染病模型，它将人群分为三个类别：易感者、感染者和恢复者。通过对这三个群体之间的转化过程建立微分方程模型，可以预测传染病的传播趋势，从而指导疫情防控措施。具体推导过程如下：

首先定义易感者数目为S，感染者数目为I，恢复者数目为R，总人口数为N，因此有：

N = S + I + R

易感者有可能被感染，所以易感者的数目会减少。感染者有可能恢复，也有可能死亡，所以感染者的数目会增加或减少。恢复者不会再次感染，所以恢复者的数目只会增加。因此，易感者、感染者和恢复者的变化率分别为：

dS/dt = -βSI/N

dI/dt = βSI/N - γI

dR/dt = γI

其中，β为感染率，表示一个感染者每天能够将疾病传染给多少易感者；γ为恢复率，表示一个感染者每天能够恢复的比例。这些参数根据具体的传染病和人群特点来确定。

通过求解这三个微分方程，可以得到S、I和R随时间的变化情况，从而预测疾病传播趋势。对于新冠疫情，世界卫生组织(WHO)和各国卫生部门都使用sir模型来预测疫情走势，指导防控措施的制定。

总之，sir模型是一种简单而有效的传染病模型，能够帮助我们 - 2 - 更好地了解和控制疾病的传播。

具有脉冲接种和急慢性阶段的流行病动力学研究

具有脉冲接种和急慢性阶段的流行病动力学研究

信阳师范学院学报：自然科学版　第２３卷第４期２０１０年１Ｏ月　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｘｉｎｙａｎｇ　Ｎｏｒｍａｌ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　Ｎａｔｕｒａ１　Ｓｃｉｅｎｃｅ　Ｅｄｉｔｉｏｎ　Ｖｏ１．２３　Ｎｏ．４　Ｏｃｔ．２０１０　ＤＯＩ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１００３－０９７２．２０１０．０４．００２　具有脉冲接种和急慢性阶段的流行病动力学研究　杨金根　，郭建立　（１．信阳师范学院数学与信息科学学院，河南信阳４６４０００；２．开封市博望高级中学，河南开封４７５１００）　摘要：讨论一类具有脉冲接种和急慢性阶段的流行病模型．证明了系统无病周期解的存在唯一性，并且　得到当阈值Ｒ＜１时，系统无病周期解是全局吸引的．　关键词：脉冲免疫；急慢性阶段；全局吸引　中图分类号：０１７５．２　文献标志码：Ａ　文章编号：１００３－０９７２（２０１０）０４－０４８５－０３　Ａｎ　Ｅｐｉｄｅｍｉｃ　Ｍｏｄｅｌ　ｗｉｔｈ　Ｉｍｐｕｌｓｉｖｅ　Ｖａｃｃｉｎａｔｉｏｎ　ａｎｄ　Ｃｈｒｏｎｉｃ　Ｓｔａｇｅ　ＹＡＮＧ　Ｊｉｎ—ｇｅｎ”．ＧＵ０　Ｊｉａｎ—ｌｉ　（１．Ｃｏｌｌｅｇｅ　ｏｆ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ　ａｎｄ　ｈｆｆｏｒｍａｔｉｏｎ　Ｓｃｉｅｎｃｅ，Ｘｉｎｙａｎｇ　Ｎｏｒｍａｌ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｘｉｎｙａｎｇ　４６４０００，Ｃｈｉｎａ；　２．Ｂｏｗａｎｇ　Ｓｅｎｉｏｒ　Ｍｉｄｄｌｅ　Ｓｃｈｏｏｌ，Ｋａｉｆｅｎｇ　４７５１００，Ｃｈｉｎａ）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ａｎ　ｅｐｉｄｅｍｉｃ　ｍｏｄｅｌ　ｗｉｔｈ　ｉｍｐｕｌｓｉｖｅ　ｖａｃｃｉｎａｔｉｏｎ　ａｎｄ　ｃｈｒｏｎｉｃ　ｓｔａｇｅ　ｉｓ　ｓｔｕｄｉｅｄ，ｔｈｅ　ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ　ａｎｄ　ｕｎｉｑｕｅ—　ｎｅｓｓ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｄｉｓｅａｓｅ—ｆｒｅｅ　ｐｅｒｉｏｄｉｃ　ｓｏｌｕｔｉｏｎ　ａｒｅ　ｄｉｓｃｕｓｓｅｄ，ａｎｄ　ｉｔ　ｉｓ　ｐｒｏｖｅｄ　ｔｈａｔ　ｔｈｅ　ｄｉｓｅａｓｅ—ｆｒｅｅ　ｐｅｒｉｏｄｉｃ　ｓｏｌｕｔｉｏｎ　ｉｓ　ａ　ｇｌｏｂ—　ａｌ　ａｔｔｒａｃｔｏｒ　ｉｆ　ｔｈｅ　ｔｈｒｅｓｈｏｌｄ　ｖａｌｕｅ　Ｒ　ｉｓ　ｌｅｓｓ　ｔｈａｎ　ｏｎｅ．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：ｉｍｐｕｌｓｉｖｅ　ｖａｃｃｉｎａｔｉｏｎ；ｉｎｆｅｃｔｉｏｎ—ａｇｅ；ｇｌｏｂａｌ　ａｔｔｒａｃｔｏｒ　０　引言　目前，已有许多学者对脉冲微分方程的理论进行了研　究“。Ｊ，并证明了对某些传染病脉冲免疫比连续免疫更有　效　Ｊ．但是，这些传统的带脉冲免疫的传染病模型都是在　传染能力和恢复能力与传染年龄无关的假没下进行的．随　着研究的深入，有不少学者开始研究带有传染年龄的脉冲　传染病模型　一　．本文将讨论一类具有脉冲接种和急慢性　阶段的传染病模型．在本文的模型中，假没慢性染病阶段　的传染能力和恢复能力均与传染年龄有关，所有新生儿都　属于易感个体，并假设免疫有一定的期效．　１　模型　我们讨论总人口为常数Ⅳ的传染病模型．把总人口分　为４类：Ｓ（ｔ），，（ｔ），Ｖ（ｔ）分别表示易感者类、急性阶段类和　免疫类的密度，Ｕ（０，ｔ）表示ｔ时刻传染年龄０的慢性阶段　类的密度．出生率和死亡率都没为　，Ｐ为易感者类的免疫　率，　是脉冲周期，即两次连续脉冲免疫屿时问问隔．ｎＴ，ｎ　Ｎ．是第ｎ次脉冲免疫的时刻，ｎＴ一是正好第ｎ次脉冲免　疫之　的时刻．卢。，卢　分别表示易感者类被急性阶段类和　慢性阶段类感染的系数．　（０）为单位时间内一个传染年龄　为０的易感者与染病者的接触率．　（０）为单位时问内一个　传染年龄为０的染病者变为易感者的转移率．　，　分　别为疾病的急性阶段周期和免疫周期．疾病发展过程的模　型可描述为：　ｄＳ　Ｓ＋　ｄ（　）ｕ（　，ｔ）ｄＯ＋Ｔ２　，ｆ≠ｎＴ，０＜ｔ＜∞，　Ｓ（ｎＴ）＝（１一Ｐ）Ｓ（ｎＴ一），ｔ＝ｎＴ，　ｄｌ：卢　Ｓ＋卢：　—　一（　＋７　）Ｊ，　ｔ≠ｎＴ．０＜ｔ＜∞．　，（ｎＴ）＝Ｉ（ｎＴ一），ｔ＝ｎＴ，　＋　一（　≠　０　＜　Ｕ（０，ｔ）＝ｙ１，（ｔ），０≤ｔ＜∞，　Ｕ（ｎ　）＝Ｕ（ｎＴ一），ｔ＝ｎＴ，　＝　￡≠　ｏ＜￡＜　，　Ｖ（ｎＴ）＝Ｖ（ｎＴ一）十ｐＳ（ｎＴ一），ｔ＝ｎＴ，　（１）　收稿日期：２０１０－０３－２２；修订日期：２０１０－０４－２０；｛．通讯联系人，Ｅ—ｍａｉｌ：ｙａｎｇｊｉｎｇｅｎ１２２１＠ｙａｈｏｏ．ｃｏｍ．ｃｎ　基金项目：国家自然科学基金项目（１０７７１１７９）　作者简介：杨金根（１９７９．），男，河南南阳人，助教，硕士，主要从事生物数学研究．　・４８５・

传染病传播模型

传染病传播模型

传染病传播模型

传染病一直是人类面临的严重公共卫生问题之一，了解传染病的传播规律对于控制疫情的蔓延至关重要。在传染病学领域，研究人员提出了各种传染病传播模型，以帮助我们更好地理解疾病的传播过程。本文将介绍几种常见的传染病传播模型。

一、SIR模型

SIR模型是最经典的传染病传播模型之一，模型中将人群划分为易感者(S)，感染者(I)和康复者(R)三个群体。在SIR模型中，易感者被感染后转为感染者，感染者经过一段潜伏期后康复并具有免疫力。该模型适用于传染病传播速度较慢且一旦康复后不再感染的情况。

二、SEIR模型

SEIR模型在SIR模型的基础上增加了潜伏者(E)这一群体，即将易感者感染后先转化为潜伏者，再由潜伏者成为感染者。这样的模型更适用于具有潜伏期的传染病，如流感和艾滋病等。通过引入潜伏者这一群体，SEIR模型可以更准确地反映出疾病的传播过程。

三、SI模型

与SIR模型和SEIR模型不同，SI模型只考虑了易感者和感染者这两类人群，即易感者一旦被感染就无法康复并具有免疫力。SI模型适用于那些一旦感染就无法康复的传染病，比如艾滋病和病毒性肝炎等。

四、SIS模型 SIS模型在SI模型的基础上增加了康复者再次成为易感者这一过程，即感染者可以康复但并没有永久的免疫力。SIS模型适用于那些患者可以反复感染的传染病，如流感和普通感冒等。

五、SEIRS模型

在SEIR模型的基础上，SEIRS模型引入了康复者再次成为易感者这一过程，从而更为贴合实际传染病的传播过程。SEIRS模型适用于那些感染后康复后不具备永久免疫力的疾病。

以上是一些常见的传染病传播模型，每种模型都有其适用的场景和特点。在实际研究和预测传染病传播过程时，我们可以根据病原体的特性和传播规律选择合适的模型来进行分析和预测，从而更好地控制疫情的蔓延。传染病模型的研究为我们提供了有效的工具，帮助我们更好地理解传染病的传播机制，为公共卫生工作提供科学依据。希望在未来的研究中能够进一步完善传染病传播模型，为防控传染病提供更有力的支持。