高二数学必修5导学案：1.1 正弦定理和余弦定理

1．1.1 正弦定理(一) 明目标、知重点 1.通过对任意三角形边长和角度关系的探究，把握正弦定理的内容及其证明方法.2.能运用正弦定理与三角形内角和定理解决简洁的解三角形问题．

1．在Rt△ABC中的有关定理

在Rt△ABC中，C＝90°，则有：

(1)A＋B＝90°，0°

(2)a2＋b2＝c2(勾股定理)；

(3)asin

A＝c，bsin

B＝c，csin C＝c.

2．正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即asin A＝bsin B＝csin C，这个比值是三角形外接圆的直径2R.

3．解三角形

一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．

[情境导学]

如图，固定△ABC的边CB及∠B，使边AC围着顶点C转动．∠C的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系？能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？这就是本节我们要一起争辩的问题．

探究点一 正弦定理的推导

思考1 在学校，我们已学过直角三角形，那么在直角三角形中，你能探究出角与边的等式关系吗？

答 如图，在Rt△ABC中，

设BC＝a，AC＝b，AB＝c，

依据锐角三角函数中正弦函数的定义，有ac＝sin A，bc＝sin B，

又sin C＝1＝cc，

则asin A＝bsin B＝csin C＝c，

从而在直角三角形ABC中，asin A＝bsin B＝csin C.

思考2 在锐角三角形中，以上关系式是否照旧成立？

答

设边AB上的高是CD，

依据三角函数的定义，有CD＝asin B＝bsin A，

则asin A＝bsin B，同理可得csin C＝bsin B，

从而asin A＝bsin B＝csin C.

思考3 在钝角△ABC中，以上关系式是否照旧成立？

答 如图，过C作CD⊥AB，垂足为D，D是BA延长线上一点，

人教版高中数学必修五

1 1.1.1正弦定理

学习目标

1．熟记正弦定理的内容；

2．能够初步运用正弦定理解斜三角形．

3．熟记正弦定理的有关变形公式；

4．能够运用正弦定理进行简单的推理与证明．

学习过程

一、课前预习

1．在△ABC中，A＋B＋C＝π，222ABC＝π2.

2．在Rt△ABC中，C＝π2，则ac＝sinA，bc＝sinB.

3．一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．

4．正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即sinsinsinabcABC，这个比值是三角形外接圆的直径2R.

二、学习新知

1．正弦定理：sinsinsinabcABC＝2R的常见变形：

(1)sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c；

(2)sinsinsinabcABC＝sinsinsinabcABC＝2R；

(3)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；

(4)sinA＝a2R，sinB＝b2R，sinC＝c2R.

2．三角形面积公式：S＝12absin C＝12bcsin A＝12casin B.

三、例题解析

例1在△ABC中，a＝5，B＝45°，C＝105°，解三角形． 人教版高中数学必修五

2

例2 在△ABC中，a＝23，b＝6，A＝30°，解三角形．

例3 不解三角形，判断下列三角形解的个数．

(1)a＝5，b＝4，A＝120°；

(2)a＝9，b＝10，A＝60°；

(3)c＝50，b＝72，C＝135°.

四、拓展训练

选择题

1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若A∶B∶C＝1∶2∶3，则

a∶b∶c等于( )

A．1∶2∶3 B．2∶3∶4

C．3∶4∶5 D．1∶3∶2

高中数学必修五《正弦定理和余弦定理》教学设计范文

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高中数学必修五《正弦定理和余弦定理》教学设计1

教学准备

教学目标

进一步熟悉正、余弦定理内容，能熟练运用余弦定理、正弦定理解答有关问题，如判断三角形的形状，证明三角形中的三角恒等式.

教学重难点

教学重点：熟练运用定理.

教学难点：应用正、余弦定理进行边角关系的相互转化.

教学过程

一、复习准备：

1. 写出正弦定理、余弦定理及推论等公式.

2. 讨论各公式所求解的三角形类型.

二、讲授新课：

1. 教学三角形的解的讨论：

① 出示例1：在△ABC中，已知下列条件，解三角形.

分两组练习→ 讨论：解的个数情况为何会发生变化?

②用如下图示分析解的情况. （A为锐角时）

② 练习：在△ABC中，已知下列条件，判断三角形的解的情况.

2. 教学正弦定理与余弦定理的活用：

① 出示例2：在△ABC中，已知sinA∶sinB∶sinC=6∶5∶4，求最大角的余弦.

分析：已知条件可以如何转化?→ 引入参数k，设三边后利用余弦定理求角.

② 出示例3：在ΔABC中，已知a=7，b=10，c=6，判断三角形的类型.

分析：由三角形的什么知识可以判别? → 求最大角余弦，由符号进行判断

③ 出示例4：已知△ABC中，，试判断△ABC的形状.

分析：如何将边角关系中的边化为角? →再思考：又如何将角化为边?

3. 小结：三角形解的情况的讨论;判断三角形类型;边角关系如何互化.

三、巩固练习：

3. 作业：教材P11 B组1、2题.

1.1正弦定理 余弦定理

一、一周知识概述

本周主要学习了正弦定理、余弦定理的推导及其应用，正弦定理是指在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．即余弦定理是指三角形任何一边的平方等于其它两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即a2=b2＋c2－2bccosA，b2=c2＋a2－2cacosB, c2=a2＋b2－2abcosC．通过两定理的学习，掌握正弦定理和余弦定理，并能利用这两个定理去解斜三角形，学会用计算器解决解斜三角形的计算问题，熟悉两定理各自解决不同类型的解三角形的问题．认识在三角形中，已知两边和其中一边的对角解三角形，产生多解的原因，并能准确判断解的情况．

二、重点知识讲解

1、三角形中的边角关系

在△ABC中，设角A、B、C的对边分别为a、b、c，则有

（1）角与角之间的关系：A＋B＋C＝180°；

（2）边与角之间的关系：

正弦定理：_______________________

余弦定理：_______________________

_______________________

_______________________

2、正弦定理的另三种表示形式：

3、余弦定理的另一种表示形式：

4、正弦定理的另一种推导方法——面积推导法

在△ABC中，易证明再在上式各边同时除以在此方法推导过程中，要注意对面积公式的应用．

例1、在△ABC中，ab=60, sinB=cosB．面积S=15，求△ABC的三个内角．

例2、在△ABC中，a、b、c分别是内角A、B、C的外边，若b=2a，B=A＋60°，求A的值．

例3、在△ABC中，若tanA︰tanB＝a2︰b2，试判断△ABC的形状．

5、利用正弦定理和余弦定理判定三角形形状，此类问题主要考查边角互化、要么同时化边为角，要么同时化角为边，然后再找出它们之间的关系，注意解答问题要周密、严谨．