数列的递推公式练习
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课时作业5 数列的递推公式(选学)
时间：45分钟 满分：100分
课堂训练
1．在数列{an}中，a1＝13，an＝(－1)n·2an－1(n≥2)，则a5＝( )
A．－163 B.163
C．－83 D.83
【答案】 B
【解析】 由an＝(－1)n·2an－1知a2＝23，a3＝－2a2＝－43，a4＝2a3＝－83，a5＝－2a4＝163.
2．某数列第一项为1，并且对所有n≥2，n∈N，数列的前n项之积为n2，则这个数列的通项公式是( )
A．an＝2n－1 B．an＝n2
C．an＝n2n－12 D．an＝n＋12n2
【答案】 C
【解析】 ∵a1·a2·a3·…·an＝n2，a1·a2·a3·…·an－1＝(n－1)2，∴两式相除，得an＝n2n－12.
3．已知数列{an}满足：a4n－3＝1，a4n－1＝0，a2n＝an，n∈N＋，则a2 009＝________，a2 014＝________.
【答案】 1 0 【解析】 考查数列的通项公式．
∵2 009＝4×503－3，∴a2 009＝1，
∵2 014＝2×1 007，∴a2 014＝a1 007，
又1 007＝4×252－1，∴a1 007＝a4×252－1＝0.
4．已知数列{an}，a1＝0，an＋1＝1＋an3－an，写出数列的前4项，并归纳出该数列的通项公式．
【解析】 a1＝0，a2＝1＋a13－a1＝13，a3＝1＋a23－a2＝1＋133－13＝12，a4＝1＋a33－a3＝1＋123－12＝35.
直接观察可以发现，把a3＝12写成a3＝24，
这样可知an＝n－1n＋1(n≥2，n∈N＋)．
当n＝1时，1－11＋1＝0＝a1，
所以an＝n－1n＋1(n∈N＋)．
课后作业
一、选择题(每小题5分，共40分)
1．已知数列{an}满足：a1＝－14，an＝1－1an－1(n≥2)，则a4＝( ) A.45 B.14
C．－14 D.15
【答案】 C
【解析】 ∵a1＝－14，an＝1－1an－1(n≥2)，
∴a2＝1－1a1＝1－1－14＝5，
a3＝1－1a2＝1－15＝45，
a4＝1－1a3＝1－145＝1－54＝－14.
2．数列{an}满足a1＝13，an＝－1an－1(n≥2，n∈N＋)，则a2 013＝( )
A.13 B．－13
C．3 D．－3
【答案】 A
【解析】 由已知得，a2＝－3，a3＝13，a4＝－3，所以an＝ 13，n为奇数，－3，n为偶数，故a2 013＝13，选A.
3．数列1,3,6,10,15，…的递推公式是( )
A. a1＝1an＋1＝an＋nn∈N＋ B. a1＝1an＝an－1＋nn∈N＋，n≥2
C. a1＝1an＋1＝an＋n＋1n∈N＋，n≥2
D. a1＝1an＝an－1＋n－1n∈N＋
【答案】 B
【解析】 代入验证得B.
4．一个数列{an}，其中a1＝3，a2＝6，an＋2＝an＋1－an，那么这个数列的第5项是( )
A．6 B．－3
C．－12 D．－6
【答案】 D
【解析】 an＋2＝an＋1－an，an＋3＝an＋2－an＋1＝an＋1－an－an＋1＝－an，故a5＝a2＋3＝－a2＝－6.
5．观察下图，并阅读图形下面的文字，像这样10条直线相交，交点的个数最多是( )
A．40个 B．45个
C．50个 D．55个
【答案】 B 【解析】 交点个数依次组成数列为1,3,6，即
2×12，2×32，3×42，由此猜想an＝nn－12(n≥2，n∈N＋)，
∴a10＝10×92＝45.
6．在数列{an}中，a1＝5，an＋1＝an＋4n－1(n∈N＋)，则通项an等于( )
A．2n2－3n B．2n2－3n＋6
C．n2－3n＋6 D．2n2－3n＋9
【答案】 B
【解析】 ∵an＋1－an＝4n－1，
∴a2－a1＝4×1－1，a3－a2＝4×2－1，a4－a3＝4×3－1，…，an－an－1＝4(n－1)－1，累加上述各式，得an－a1＝4(1＋2＋…＋n－1)－(n－1)，∴an＝2n2－3n＋6.
7．已知{an}中，a1＝1，anan－1＝an－1＋(－1)n(n≥2)，则a3a5的值为( )
A．－3 B．－4
C.34 D.43
【答案】 C
【解析】 由递推公式逐个求解．
8．已知数列{an}满足a1＝0，an＋1＝an－33an＋1(n∈N＋)，则a2 013等于( )
A．0 B．－3
C.3 D.32
【答案】 C
【解析】 a1＝0，a2＝－3，a3＝3，a4＝0，…，T＝3，∴a2 013＝a3＝3.
二、填空题(每小题10分，共20分)
9．设数列{an}满足a1＝1，an＝2＋1an－1(n>1)，则a4＝________.
【答案】 177
【解析】 由递推公式a2＝2＋1a1＝3，a3＝2＋1a2＝73，a4＝2＋1a3＝177.
10．已知数列{an}对任意p，q∈N＋，有ap＋aq＝ap＋q，若a1＝19，则a36＝________.
【答案】 4
【解析】 由已知得，a2＝a1＋1＝2a1＝29；
a4＝a2＋2＝2a2＝49；a8＝a4＋4＝2a4＝89；
a9＝a1＋8＝a1＋a8＝19＋89＝1，a36＝4a9＝4.
三、解答题(每小题20分，共40分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 11．已知数列{an}的前n项和Sn分别是：(1)Sn＝n2＋n＋1；(2)Sn＝2n－1，求通项an.
【解析】 (1)当n＝1时，a1＝S1＝3.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n.
∵a1不适合an，
∴an＝ 3，n＝12n，n≥2.
(2)当n＝1时，a1＝S1＝1.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n－1)－(2n－1－1)＝2n－1.
∵a1适合an，
∴an＝2n－1(n≥1)．
12．求满足下列条件的数列{an}的通项公式．
(1)已知{an}满足an＋1＝an＋14n2－1，且a1＝12，求an；
(2)已知{an}满足an＋1＝3nan，且a1＝3，求an.
【解析】 (1)由已知条件有
an＋1－an＝14n2－1＝12(12n－1－12n＋1)，
∴an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝12＋12[(1－13)＋(13－15)＋…＋(12n－3－12n－1)]＝12＋12·(1－12n－1)＝4n－34n－2. (2)由an＋1＝3nan，得an＋1an＝3n，
∴an＝a1·a2a1·a3a2·…·anan－1
＝3·3·32·…·3n－1
＝31＋1＋2＋…＋n－1
＝3n2－n＋22 .
