巧用隐含条件 妙解数学习题

◇重厌黄璐　

隐含条件是指题目中含而不露的条件．解题时，　

不把这些隐含条件挖掘出来，往往会导致解题困难或　

者思维不严谨，从而可能出现漏解或者错解．但如果　

能将其挖掘　来，不仅可以迅速找到解题的突破口，　

而且能使解题过程更加简单．因此，学生在审题时挖　

掘题中的隐含条件是至关重要的步骤．只有让学生在　

解题过程中运用已知数学知识，认真研题、仔细分析，　

充分理解题意，深挖隐含条件，熟练运用各种解题方　

法和技巧，才能真正解决问题．　

１　认真剖析已知条件，从类比中挖掘隐含条件　

一般而言，在初中阶段的数学题中给出的已知条　

件是与公式的定义性质及形式一样的数值，学生只要　

掌握公式就可以解题，但是在高中数学中，它的题目　

设置却是截然不同的，如对一些公式进行变形与扩　

展，需要学生联系已知条件与所学知识进行类比，寻　

找其相同之处，做进一步转化，发现隐含条件．　

例１　已知奇函数／（　）的定义域为Ｒ，若，’（ｚ＋　

２）一一厂（　）成立，则，（６）一　．　

上述例题多次出现在往年的高考中，教师可引导　

学生向函数的奇偶性、单调性、周期性方面考虑，思考　

它们之间有哪些异同点．通过类比方法提高学生剖析　

问题、挖掘题目隐含条件的能力．　

２掌握定义与性质，从概念中挖掘隐含条件　

数学解题或证明的最根本ｍ发点是要掌握定义　

与性质，尽管它只是题目中浅层次的隐含条件，但是　

不经意间也会变成深层次的隐藏条件，因此，学生不　

应该忽略它的重要性，而要通过公式变形或扩展使隐　

含条件凸显．　

例２　在无穷数列｛　｝中，ｎ　一　

ｆ（１／３）”Ｊ．＂≠３ｋ～１：　Ｉａ一（１／３）　１　，　一３志　１．求证：当是∈Ｎ＋时，此数列　

的各项和为２１／２６．　

仔细审题，我们可以得出以下几项隐含条件：　

１）数列通项是一个分段函数；２）数列是一个以　

自然数为自变量的函数，它的值域也是由自然数组成　

的分数，当　一３ｋ—ｌ时，数列值可由（１／３）　表示，反　

之ｎ≠３是一ｌ时，数列值由一（１／ｓ）”表示；３）此无穷　

例说挖掘隐含条件，提高解题能力

例说挖掘隐含条件，提高解题能力论文关键词：隐含条件,解题能力

笔者曾在所带的一个班中给学生布置了这样一道题：[2008湖北黄石中考题]

若实数a、b满足a+b2=1，则2a2+7b2的最小值是 ；调查中发现65%的同学望而却步，25%的同学答案是 ，其余的同学的答案是2。我对此进行了点评，25%的同学是这样做的：∵a+b2=1

∵2a2+7b2=2a2+7（1-a）=2a2-7a+7=2(a-7/4)2+

∵2a2+7b2的最小值是

这个时候有几个同学忍不住开口了，“错了，错了”，此时25%的同学齐声说，“哇，明白了”。见到这个情景，我因势利导，究其原因，告诉同学们如何挖掘题目中隐含的条件，迅速准确解决疑难问题的一点体会：

一、只有充分挖掘题目中的隐含条件，才能准确地找出问题的解题途径。如上题：∵实数a+b2=1则b2=1-a（这里a≤1），可设2a2+7b2=y，则y=2a2-7a+7=2(a- )2+ ，由二次函数的知识可知，抛物线y=2a2-7a+7=2(a- )2+ 在a≤1中，只有a=1时才有最小值2。

读者练习：①化简：

②（2008苏州市）若x2-x-2=0,则

的值等于

A、 B、 C、 D、 或

析解：若先解方程求出x值，代入所求式，计算相当繁琐，仔细观察要求式，整体考虑x2-x=2。

二、只有充分挖掘题目中的隐含条件，才能对有关的选择题的答案作出合理的取舍。

例：（湖北省教研室编九年级（上）数学练习册）

已知实数x满足x2+ +x+ =0，那么x+ 的值是 。

A、1或-2 B、-1或2 C、1 D、-2

解：化简得x2+ +x+ =0

（x+ ）2+（x+ ）-2=0

∵（x+ +2）（x+ -1）=0

∵x+ =-2或x+ =1

●　．　．　●．－Ｉ，●　●　解题技巧与方法　郴　攀　题　座薰　鑫　◎李巧云　（新疆生产建设兵团第十二师五一农场中学，新疆乌鲁木齐８３００８８）　【摘要】隐含条件就是隐含于题目中的比较隐蔽的而解　题又需要的条件．由于它具有一定的隐蔽性，不易发现．因　此常被学生所忽视，从而造成解题过程中容易出现错误．在　初中数学教学中，教师应重视分析题中隐含的条件．　【关键词】数学；解题；隐含条件　常常容易被我们所忽视的隐含条件，主要表现在以下　几个方面：　一、由分式的值为零，求未知数的值时，应注意分子的　值为零但分母的值不能为零　例１　若分式￡　的值为零，求　的值．　本题看上去没有条件限制，但却隐含着本题成立时必　须具备的两个条件，其一是分子的值等于零；其二是分母的　值不能等于零．而且这两个条件应同时具备，缺一不可．　ｒ　一４ｘ一５＝０　解依题意得｛解方程组得　＝一１．　１　一５≠０　二、分母有理化时，要注意分母的有理化因式不能为零　例２化简　ｎ＋　ｂ　题目似乎相当简单，只要分子，分母同乘分母的有理化　因式（￣／　一　）即可．但要知道，当ａ＞０，ｂ＞０且ａ＝ｂ时，分　母的有理化因式（　一√　）＝０．这就使得这种解法与分式的　基本性质相矛盾．显然这种解法是错误的．其正确的解法　应是：　解　：　：Ａ－一　０口＋０ｂ　０８＋０ｂ　三、在二次根式的化简中。一定要记住被开方数大于或　等于０　例３　已知ｍ－Ｃ０，ｎ＃０且ｌｍｌ：一／７７，，化简，／－￣ｍｎ３＇　此题虽有一些条件，但这些条件却是残缺不全的．因　此，解题前需认真分析，考察ｍ，　的取值的范围，然后在所　取值的范围内化简该式．　解‘．‘ｍ≠０且Ｉ　Ｉ＝一ｍ，．‘．ｍ＜０．　・．　ｍｎ　＞ｉ０且ｎ＃Ｏ，．・．ｎ＜０，　．・．，／２２ｍ．￣：ｆｎｆ　＝一ｎ　四、把二次根号外的因式移到根号内，移进根号内的因　式一定是非负数　厂——　一　例４把根号外的因式移到根号内：（　一　）√一　＿『・　学生做此题时，一般会忽略一个条件，从二次根式的定　义来看，被开方数一定是非负数．因此：一÷≥０，所以　一　１＜０．根号外的因式（　一１）是负数，把负数移进根号时，一　定要把负号留在根号外．正确的解法如下：　解（　一　）√一　１一√（　－１）　（一　）＝　一、　－＝＝　五、解方程时，不能把方程两边含有未知数的相同因式　约去　例５解方程　（　一１）＝　．　若方程两边同除以　，则　＝０时，这一解法显然违背了　方程的性质，并会造成漏根．其正确的解法应是：　解移项得　（　一１）一　＝０，．’．　（　一２）＝０，　．‘．　＝０或　一２＝０，．‘．　ｌ＝０或　２＝２．　六、要切记一元二次方程（或二次函数）的二次项系数　不能为零，一次函数、正比例函数、反比例函数的比例系数　不能为零　例６　已知方程（ｍ一１）　一√　（ｍ一１）　＋１＝０有两个　相等的实数根，求ｍ的值．　方程有两个相等的实数根，其意有二：一是方程关于　的一元二次方程（即二次项系数不能为零）；二是此方程的　判别式△＝０．　ｒｍ一１≠０　解依题意得ｉ［　ｍ－１）］１：一４（ｍ一１）　１：０　【【一√２（　一）Ｊ一（ｍ一）×　＝　解这个方程组得ｍ＝３．　例７　已知函数Ｙ＝（ｍ＋１）　“为反比例函数，那　么此函数的两个分支分别在哪个象限内？　函数为反比例函数，其意有二：一是自变量　的次数为　一１；二是比例系数ｍ＋１≠０即ｍ≠一１．　ｒｍ　＋ｍ一１＝一】　解依题意得｛　（下转１５１页）　数学学习与研究

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巧妙利用隐含条件解题

作者：丁丽萍

来源：《考试周刊》2013年第19期

摘 要： 隐含条件是指题目中没有给出的条件，需要从题设、结论或相关知识的联系上体现出来.在初中数学解题中，常常会因为学生没有注意到题目中的隐含条件，而出现解题错误，影响学生解题能力的提高.因此，本文通过一些题例来阐明隐含条件中的分析及应用，旨在寻找巧妙的解题思路，优化解题过程，培养和提高学生的数学解题能力.

关键词： 隐含条件 初中数学解题 分析 应用

1.引言

数学问题中的已知条件是分析和解题的依据，但很多问题往往蕴藏着“隐含条件”，解题时，常因未能发掘题中的隐含条件，使求解陷入困境，或是得到错误的结论，隐含条件的合理运用直接关系到数学问题的顺利解决.因此，在解题过程中要充分挖掘这些隐含条件，化隐为显；或根据题设把隐含在题意中的条件挖掘出来，化未知为已知.让学生找到解题的突破口，使学生产生“柳暗花明又一村”的畅快.

从总体上说，数学问题难度的标志之一也是隐含条件的深度与广度.学生要想挖掘隐含条件，需要具有扎实的基础知识，熟练的基本技能，灵活的思想方法，严谨的思维能力，通过分析、比较、观察、联想等方法，逐步探索和转化.隐含条件存在的形式多种多样，因而发现隐含条件的途径也是多样的.下面，就结合教学实践对隐含条件的发现和运用进行探讨.

2.挖掘命题中隐含条件的途径

2.1从关键词句中挖掘隐含信息

数学题目中常用一些关键词，这些词语背后隐藏着一些数学信息和思考途径.审题就是要以阅读题目为基础，边读边想，扣住关键词，从语义信息中挖掘隐含信息.

2.2从数学公式中挖掘隐含信息

2.3从结构特征中挖掘隐含信息

有些数学题，已知条件由这样或那样的关系式给出，部分条件巧妙地隐含于这些关系式之中.这时，注意观察关系式中字母、数字、算式等在结构上的特征，从已知条件中发掘出隐含信息，找到解题方法.