基础训练：一元二次不等式及其解法

【第397期】一元二次不等式的解法滴水穿石，不是因为力量，而是在于坚持！一元二次不等式的解法一元二次不等式是“三个二次”的中间力量，它承上启下，在函数和方程的转化中起到桥梁作用.求解一元二次不等式，本质就是对一元二次函数的特殊化处理，同时也是对一元二次方程的求解考察.对于一元二次不等式的求解在高中阶段主要掌握以下四类基本模型.一、解一元二次不等式一元二次不等式的解方法相对固定，具体为以下三个步骤：1.解不等式对应的一元二次方程，求得其根；2.作出不等式对应的一元二次函数的函数图像（草图）；3.利用图像结合一元二次函数性质写出不等式的解集.这是常规的一元二次不等式解题步骤，实际问题中题目会发生变化，但是其解题的原理不变，只需要抓住问题的本质或者进行简单的换元即可实现问题的求解.二、含参一元二次不等式含参一元二次不等式的关键在于参数影响了对应方程的根，使得一元二次函数的图像不易确定，进一步影响了不等式的解集.对此一般来说可从以下几个角度进行逐层分类：首先是二次项系数，它影响到函数的开口方向；其次是判别式，它决定方程是否有解，即函数图像与坐标轴的交点情况；三是方程根的大小，这点决定解集的范围.具体问题中的参数的含义不同，需要结合题意进行分析转化.三、高次不等式高次不等式实际上是一元二次不等式解法的推广，在此基础上适当的总结，得出了“穿针引线”的方法，实质就是数轴标根法,其步骤为:1.移项整理化为标准型，即保证最高项系数为正；2.求根，即求出不等式所对应方程的所有根；3.标根，在数轴上按从左到右依次标出各根；4.穿根引线，从右至左，从上到下，奇穿偶不穿；5.写出不等式的解集，注意对含有等号的根的取舍.四、恒成立问题一元二次函数的图像恒在坐标系中横轴上方或下方，对应了一元二次不等式的恒成立问题.在此基础上，通过换元变换等方法将一元二次不等式的求解变成了新的问题，即所谓的恒成立.此类问题可采用化归转化变化为我们熟悉的模型.解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数.【经典回顾】【第43期】初高中知识衔接——一元二次不等式【第45期】初高中知识衔接——分式不等式与高次不等式【第132期】同步复习篇——不等式的性质【第133期】同步复习篇——一元二次不等式【第134期】同步复习篇——基本不等式【第225期】一轮复习篇——不等关系与不等式【第226期】一轮复习篇——不等式的解法【第227期】一轮复习篇——线性规划【第228期】一轮复习篇——基本不等式以上内容，纯属个人观点，只为抛砖引玉，让学习更高效！由于才疏学浅，难免有不足之处，欢迎大家批评指正，不胜感激！此外，公众号内容仅供学习交流，不得他用！。

C.
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4.已知关于x的不等式ax+b＞0的解集为(1,+∞)，则关
于x的不等式(ax-b)(x-2)＜0的解集是
{x|-1＜x＜2} .
【解析】由题设，得a＞0，b=-a， ∴不等式(ax-b)·(x-2)＜0， 可化为(x+1)(x-2)＜0，解得-1＜x＜2.
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5.不等式(x+3)(x+1)2(x-1)(x-2)(x2+x+1)≤0的解集是
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3.如果kx2+2kx-(k+2)＜0恒成立，则实数k的取值范 围是 (
C
)
A．-1≤k≤0
C．-1＜k≤0
B．-1≤k＜0
D．-1＜k＜0
【解析】若k=0时,不等式为-2＜0，对x∈R成立, ∴k=0. 若k≠0时，则k＜0,Δ＜0，-1＜k＜0.
故-1＜k≤0
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根为x1，x2且x1＜x2.
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3 7 故a、b的取值范围分别为［- ，-2］，［-3, ］. 2 2
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【小结】关于二次不等式的求解问题， 要注意利用“三个二次”之间的联系(如一 元二次不等式的解区间端点是对应二次方 程的根)，结合二次函数的图象、数轴和韦
达定理等知识灵活求解.
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基 础 训 练
1．设集合A={x|x2-5x+4≤0},B={x|x2-5x+6≥0}， 则A∩B= ( A) A．{x|1≤x≤2或3≤x≤4} B．{1，2，3，4} C．{x|1≤x≤4} D．R 【解析】∵A={x|1≤x≤4}， B={x|x≤2或x≥3}， ∴A∩B= {x|1≤x≤2或3≤x≤4}.

解一元二次不等式的基本方法一元二次不等式是指只含有一个变量的二次函数不等式。

解一元二次不等式的基本方法是通过化简、分析和绘制函数图像来确定不等式的解集。

一、化简不等式首先，将一元二次不等式化简为标准形式：ax^2+bx+c<0或ax^2+bx+c>0，其中a、b、c都是实数。

二、分析不等式1. 求解方程将不等式转化为等式，即将不等式中的大于号或小于号改为等号。

求解方程得到函数的零点，即找到函数的极值点。

2. 确定开口方向根据二次函数的系数a的正负来确定函数的开口方向。

- 当a>0时，函数的图像开口向上，代表抛物线在x轴的上方；- 当a<0时，函数的图像开口向下，代表抛物线在x轴的下方。

3. 分析不等式符号根据开口方向来分析不等式的符号：- 当开口向上时，不等式为大于号(>)；- 当开口向下时，不等式为小于号(<)。

4. 找出不等式的解集根据方程的解和函数的开口方向，找出不等式的解集：- 当不等式为大于号(>)时，解集为x满足x<x1或x>x2，其中x1和x2是方程的两个解。

- 当不等式为小于号(<)时，解集为x满足x1<x<x2，其中x1和x2是方程的两个解。

三、绘制函数图像通过绘制函数的图像，可以更直观地理解不等式的解集。

1. 绘制坐标轴确定横轴和纵轴的范围，并绘制出坐标轴。

2. 绘制函数图像根据一元二次函数的标准形式，通过计算并标出关键点，如顶点、x轴交点等，来绘制函数的抛物线图像。

3. 确定不等式解集根据抛物线的开口方向和不等式符号，确定不等式的解集在图像上的位置。

四、解决实际问题将一元二次不等式应用于实际问题时，需要将问题转化为数学模型，然后通过解不等式来得出问题的解集。

总结：解一元二次不等式的基本方法包括化简不等式、分析不等式、绘制函数图像和解决实际问题。

通过这些方法，我们可以准确地确定一元二次不等式的解集，帮助我们理解和解决数学和实际问题。

等价形式
一元二次不等式也可以通过因式分解或配方法转换为 (x - x1)(x - x2) ≥ 0 或 (x - x1)(x - x2) ≤ 0 的形式，其中 x1 和 x2 是方程 ax^2 + bx + c = 0 的根。
02 一元二次不等式的解法
配方法
总结词
通过配方将一元二次不等式转化为完全平方形式，从而求解。
05 一元二次不等式的扩展
一元高次不等式
一元高次不等式是指形如 ax^n > b (n ≥ 2) 的不等式，其中 a、b 是常数 且 a ≠ 0。
解一元高次不等式时需要注意不等式 的符号和临界点，确保解集的准确性。
解一元高次不等式需要利用因式分解、 不等式的性质以及数轴等方法，逐步 化简不等式，最终得到解集。
二元一次不等式组的解集可以通过平 面区域来表示，通过确定临界点和约 束条件来确定区域的边界。
一元二次不等式的解集可以通过抛物 线的开口方向和顶点坐标来表示，一 元高次不等式的解集可以通过相应函 数的图像来表示。
利用几何意义可以更加直观地理解不 等式的解集，有助于解决复杂的不等 式问题。
THANKS FOR WATCHING
函数分析
通过一元二次不等式，可以对一元二次函数进行全面的分析，包括函数的单调性、极值点、零点等。
在物理领域的应用
力学问题
在解决物理中的力学问题时，常常需要用到 一元二次不等式。例如，在解决碰撞、落体 等问题时，可以通过一元二次不等式来描述 物理量的变化范围。
波动问题
在研究波动问题时，如声波、电磁波等，一 元二次不等式可以用来描述波的传播范围以 及某些物理量的变化范围。
因式分解法
总结词
通过因式分解将一元二次不等式转化为 两个一次不等式的乘积形式，从而求解 。