北京市西城区2016 - 2017学年度第二学期期末试卷
高一数学 2017.7
试卷满分：150分 考试时间：120分钟
题号
一
二
三
本卷总分
17
18
19
20
21
22
分数
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
要求的.
1. 已知数列{}n a 满足13a =,12n n a a +=，那么4a =（ ）
（A ）24 （B ）18 （C ）16 （D ）12
2. 不等式1
2x
≤的解集为（ ）
（A ）1[,)2+∞
（B ）1
(,0)[,)2
-∞+∞ （C ）1(,]2-∞
（D ）[2,)+∞
3. 执行如图所示的程序框图，则输出的i 值为（ ） （A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7
4. 设直线l 经过两点(2,1),(1,3)A B -，则直线l 下方的半平面（含直线l ）可以用不等式表示为（ ）
（A ）2370x y +-≥ （B ）2370x y +-≤ （C ）2310x y ++≥
（D ）2310x y ++≤
5. 在区间[1,3]-上随机取一个实数x ，则x 使不等式||2x ≤成立的概率为（ ）
（A ）
14 （B ）13 （C ）12 （D ）3
4
6. 下表是某校120名学生假期阅读时间(单位: 小时)的频率分布表，现用分层抽样的方法从[10,15)，
[15,20)，[20,25)，[25,30)四组中抽取20名学生了解其阅读内容，那么从这四组中依次抽取的人数
是（ ）
开始
S = 0，i =0 S >20
i =i +1
结束
输出i 是
否
（A ）2，5，8，5 （B ）2，5，9，4 （C ）4，10，4，2 （D ）4，10，3，3 7. 在ABC ?中，若3a =，2c =，1
cos 3
B =
，则ABC ?的面积为（ ） （A ）
33 （B ）233 （C ）263 （D ）
46
3
8. 以下茎叶图记录了甲、乙两个篮球队在3次不同比赛中的得分情况．乙队记录中有一个数字模糊，无法确认，假设这个数字具有随机性，并在图中以m 表示．那么在3次比赛中，乙队平均得分超过甲队平均得分的概率是（ ）
（A ）3
5
（B ）45
（C ）710 （D ）910
9. 若关于x 的不等式2
21
x a x +
-≥对于一切(1,)x ∈+∞恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） （A ）(,4]-∞ （B ）[4,)+∞ （C ）(,6]-∞ （D ）[6,)+∞
10. 在ABC ?中，角,,A B C 对边的边长分别为,,a b c ，给出下列四个结论：
○1 以111
,,a b c
为边长的三角形一定存在；
○
2 以,,a b c 为边长的三角形一定存在；
○
3 以222
,,a b c 为边长的三角形一定存在； ○
4 以,,222
a b b c c a
+++为边长的三角形一定存在. 那么，正确结论的个数为（ ） （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上. 11. 函数2()4f x x =-_______.
12. 在等差数列{}n a 中,245a a +=，则3a =_______.
13. 随机抽取某班6名学生，测量他们的身高（单位：cm ），获得身高数据依次为：162，168，170，171，
179，182，那么此班学生平均身高大约为 cm ；样本数据的方差为 .
甲队
乙队
7 8
3
m
8 2
3
14. 设x ，y 满足约束条件2,1,10,y x x y y ++??
???
≤≤≥ 则3z x y =+的最大值是_______.
15. 有4张卡片，上面分别写有0，1，2，3. 若从这4张卡片中随机取出2张组成一个两位数，则此数
为偶数的概率是_______.
16. 在数列{}n a 中，312a =，115a =-，且任意连续三项的和均为11，则2017a =_______；设n S 是数列
{}n a 的前n 项和，则使得100n S ≤成立的最大整数n =_______.
三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分13分）
在等差数列{}n a 中,12a =,3516a a +=. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）如果2a ，m a ，2m a 成等比数列，求正整数m 的值. 18．（本小题满分13分）
北京是我国严重缺水的城市之一.为了倡导“节约用水，从我做起”，小明在他所在学校的
2000名同学中，随机调查了40名同学家庭中一年的月均用水量（单位：吨），并将月均用水量分为6组：[2,4)，[4,6)，[6,8)，[8,10)，[10,12)，[12,14]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.
（Ⅰ）给出图中实数a 的值；
（Ⅱ）根据样本数据，估计小明所在学校2000名同学家庭中,月均用水量低于8吨的约有多少户； （Ⅲ）在月均用水量大于或等于10吨的样本数据中，小明决定随机抽取2名同学家庭进行访谈，求这2名同学中恰有1人所在家庭的月均用水量属于[10,12)组的概率. 19．（本小题满分13分）
在ABC ?中，角,,A B C 的对边分别为
,,a b c ，且2a =,1
cos 4
C =-.
（Ⅰ）如果3b =,求c 的值； （Ⅱ）如果26c =sin B 的值. 20．（本小题满分13分）
已知数列{}n a 的前n 项和
4
8
6
10 14 2
吨
0.070.02
0.22
0.1012 a
24n S n n =-，其中*
n ∈N .
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）设21n a n b =+，求数列{}n b 的前n 项和n T ； （Ⅲ）若对于任意正整数n ，都有1223
1
111
n n a a a a a a λ++++
≤，求实数λ的最小值. 21．（本小题满分14分）
已知函数2
()(21)f x ax a x b =+++，其中a ，b ∈R . （Ⅰ）当1a =，4b =-时，求函数()f x 的零点；
（Ⅱ）如果函数()f x 的图象在直线2y x =+的上方，证明：2b >； （Ⅲ）当2b =时，解关于x 的不等式()0f x <． 22．（本小题满分14分）
在无穷数列{}n a 中，1a p =是正整数，且满足1
, ,
2
5, .
n
n n n
n a a a a a +??=??+?当为偶数当为奇数 （Ⅰ）当39a =时，给出p 的值；（结论不要求证明） （Ⅱ）设7p =，数列{}n a 的前n 项和为n S ，求150S ；
（Ⅲ）如果存在*m ∈N ，使得1m a =，求出符合条件的p 的所有值.
北京市西城区2016-2017学年度第二学期期末试卷
高一数学参考答案及评分标准
2017.7
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.
1. A
2. B
3. B
4. B
5. D
6. A
7. C
8. D
9. C
10. C
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.
11. [2,2]-； 12.
5
2
； 13. 172，45； 14. 73； 15. 5
9
； 16. 4，29.
注：一题两空的题目，第一空2分，第二空3分. 三、解答题：本大题共6小题，共80分. 17.（本小题满分13分）
（Ⅰ）解：设等差数列{}n a 的公差为d ,
则3512616a a a d +=+=, ………………………3分 又因为12a =，
解得2d =. ………………………5分 所以1(1)2n a a n d n =+-=. ………………………7分 （Ⅱ）解：因为2a ，m a ，2m a 成等比数列，
所以2
22m m a a a =?， ………………………10分 即2(2)44m m =?，m *∈N ，
解得4m =. ………………………13分 18.（本小题满分13分）
（Ⅰ）解：因为各组的频率之和为1，所以月均用水量在区间[10,12)的频率为 1(0.02520.0750.1000.225)20.1
-?+++?=，
所以，图中实数0.120.050a =÷=. ………………………3分 （Ⅱ）解：由图可知, 样本数据中月均用水量低于8吨的频率为 (0.0250.0750.225)20.65
++?=， ………………………5分
所以小明所在学校2000名同学家庭中,月均用水量低于8吨的约有
0.6520001300?=(户). ……………………
…7分
（Ⅲ）解：设“这2名同学中恰有1人所在家庭的月均用水量属于[10,12)组”为事件A ，
由图可知, 样本数据中月均用水量在[10,12)的户数为0.0502404??=.记这四名同学家庭分别为
,,,a b c d ,
月均用水量在[12,14]的户数为0.0252402??=.记这两名同学家庭分别为,e f , 则选取的同学家庭的所有可能结果为：(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),a b a c a d a e a f b c b d
(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),b e b f c d c e c f d e d f e f 共15种， ………………………9分
事件A 的可能结果为：(,),(,),(,),(,),a e a f b e b f (,),(,),(,),(,),c e c f d e d f 共8种， ………………………11分 所以8
()15
P A =
. ………………………13分 19.（本小题满分13分）
（Ⅰ）解：由余弦定理2222cos c a b ab C =+-， ………………………3分 得2149223()164
c =+-???-=，
解得4c =. ………………………5分 （Ⅱ）解：（方法一）由1cos 4C =-
，(0,π)C ∈，得215sin 1cos 4
C C =-=
.
……7分 由正弦定理
sin sin a c A C =，得sin 10
sin a C A c ==
. ……………………10分 所以2
36
cos 1sin 8
A A =-=. 因为πA
B
C ++=，
所以sin sin()B A C =+sin cos cos sin A C A C =+ ………………………12分
1013615()4=
-10= ………………………13分
（方法二）由1cos 4C =-
，(0,π)C ∈，得215
sin 1cos 4
C C =-=
. …………7分 由余弦定理2222cos c a b ab C =+-，
得21
24422()4
b b =+-???-，
解得4b =，或5b =-（舍）. ………………………10分 由正弦定理
sin sin b c B C =，得sin 10
sin 4
b C B
c ==
. ………………………13分 20.（本小题满分13分）
（Ⅰ）解：当1n =时，113a S ==-； ………………………1分 当2n ≥时，125n n n a S S n -=-=-， ………………………3分 因为13a =-符合上式，
所以25n a n =-*()n ∈N . ………………………4分
（Ⅱ）解：由（Ⅰ），得2521n n b -=+. ………………………5分 所以12n n T b b b =++
+
3125(222)n n ---=++++ ………………………6分
1(41)24
n
n =
-+. ………………………9分
（Ⅲ）解：
1223
1111111
1
131335
(25)(23)
n n a a a a a a n n +=-++++
??--+++
11
646n =--
-， ………………………11分 当1n =时，
1211
3
a a =，（注：此时
1046n <-） 由题意，得1
3
λ≥； ………………………12分 当2n ≥时， 因为1
046
n >-， 所以
1223
11111
6n n a a a a a a +<-+++
.
因为对于任意正整数n ，都有
1223
1
11
1
n n a a a a a a λ++++
≤， 所以λ的最小值为13
. ………………………13分 21.（本小题满分14分）
（Ⅰ）解：由2
()340f x x x =+-=，解得4x =-，或1x =.
所以函数()f x 有零点4-和1. ………………………3分 （Ⅱ）解：（方法1）因为()f x 的图象在直线2y x =+的上方，
所以2
(21)2ax a x b x +++>+对x ∈R 恒成立.
即2220ax ax b ++->对x ∈R 恒成立. ………………………5分
所以当0x =时上式也成立，代入得2b >. ………………………8分
（方法2）因为()f x 的图象在直线2y x =+的上方， 所以2(21)2ax a x b x +++>+对x ∈R 恒成立.
即2220ax ax b ++->对x ∈R 恒成立. ………………………5分 当0a =时，显然2b >. 当0a ≠时，
由题意，得0a >，且2(2)4(2)0a a b ?=--<， ………………………6分 则24(2)40a b a ->>， 所以4(2)0a b ->，即2b >.
综上，2b >. ………………………8分 （Ⅲ）解：由题意，得不等式2
(21)20ax a x +++<，即(1)(2)0ax x ++<. …………9分
当0a =时，不等式化简为20x +<，解得2x <-； ………………………10分 当0a ≠时，解方程(1)(2)0ax x ++=，得根12x =-，21x a
=-. 所以，当0a <时，不等式的解为：2x <-，或1
x a
>-； ………………………11分 当1
02
a <<时，不等式的解为：12x a -<<-； ………………………12分
当1
2a =
时，不等式的解集为?； ………………………13分 当12a >时，不等式的解为：1
2x a
-<<-. ………………………14分
综上，当0a <时，不等式的解集为{|2x x <-，或1
}x a
>-；当0a =时，不等式的解集为
{|2}x x <-；当1
02
a <<时，不等式的解集为1{|2}x x a -<<-；当12a =时，不等式的解集为?；
当12a >时，不等式的解集为1{|2}x x a
-<<-.
22.（本小题满分14分）
（Ⅰ）解：36p =，或13. ………………………3分 （Ⅱ）解：由题意，17a =，
代入，得212a =，36a =，43a =，58a =，64a =，72a =，81a =，96a =，
所以数列{}n a 中的项，从第三项起每隔6项重复一次（注：39a a =）， ………5分 故150123483456
24()S a a a a a a a a a =+++++++++
616=.
………………………8分
（Ⅲ）解：由数列{}n a 的定义，知*n a ∈N .
设t 为数列{}n a 中最小的数，即min{}i t a i =∈N *， 又因为当n a 为偶数时，12
n
n a a +=
， 所以t 必为奇数. ………………………9分 设k a t =，则15k a t +=+，25
2
k t a ++=， 所以5
2
t t +≤
，解得5t ≤. 所以{1,3,5}t ∈. ………………………10分
如果3k a t ==，
那么由数列{}n a 的定义，得18k a +=，24k a +=，32k a +=，41k a +=， 这显然与3t =为{}n a 中最小的数矛盾，
所以3t ≠. ………………………12分 如果5k a t ==， 当1k =时，5p =；
当2k ≥时，由数列{}n a 的定义，得1k a -能被5整除，…，得1a p =被5整除； 所以当且仅当*15()a p r r ==∈N 时，5t =. ………………………13分 这与题意不符.
所以当*15()a r r ≠∈N 时，数列{}n a 中最小的数1t =， 即符合条件的
p 值的集合是*{|r r ∈N ，且r 不能被5整除}. …………………14分