数学建模-图论

设xij为第i（1,2,3,4）阶段生产在第j(i,2,3,4)阶段交货的交货量。则得到数学规划模型为：
s.t.
编写Lingo程序如下：
sets:
season/ 1..4/: a, b;
routes(season, season) :c,x;
endsets
[obj] min = @sum(routes: c*x);
书是我们时代的生命别林斯基书籍是巨大的力量列宁书是人类进步的阶梯高尔基书籍是人类知识的总统莎士比亚书籍是人类思想的宝库乌申斯基书籍举世之宝梭罗好的书籍是最贵重的珍宝别林斯基书是唯一不死的东西丘特书籍使人们成为宇宙的主人巴甫连柯书中横卧着整个过去的灵魂卡莱尔人的影响短暂而微弱书的影响则广泛而深远普希金人离开了书如同离开空气一样不能生活科洛廖夫书不仅是生活而且是现在过去和未来文化生活的源泉法耶夫书籍把我们引入最美好的社会使我们认识各个时代的伟大智者书籍便是这种改造灵魂的工具
8, 5, 6, 7,
12, 9, 6, 7,
15, 12, 9, 6;
enddata
只列出相关部分，分析结果见xueyunqiang-chapter6-3(1)：
从分析结果可知：
I季度生产13万盒，其中10万盒本季度使用，3万盒II季度使用；
II季度生产15万盒，其中11万盒本季度使用，4万盒III季度使用；
@sum(Flight(j): x(j,i)) = 1;
);
只列出相关的分析结果：
由分析结果可知，每名工人完成工作的最优方案为：
甲做工作D;
乙做工作C;
丙做工作B;
丁做工作A;
总费用为140元。
（2）设决策变量为xij,当第i个人做第j项工作时，决策变量xij=1,否则，决策变量为0.最优该题目的最优指派问题模型为：

该问题可用专门的算法来求解。
其它相关问题
2.5 最短路问题（SPP－shortest path problem）
一名货柜车司机奉命在最短的时间内将一 车货物从甲地运往乙地。从甲地到乙地的公路 网纵横交错，因此有多种行车路线，这名司机 应选择哪条线路呢？假设货柜车的运行速度是 恒定的，那么这一问题相当于需要找到一条从 甲地到乙地的最短路。
现实生活中许多问题都可归结为由点和线组 成的图形的问题，例如，铁路交通图，公路交通 图，市区交通图，自来水管网系统，甚至电路图 在研究某些问题时也可简化为由点和线组成的图 形。
如果我们用点表示这些具体事物，用连接两 点的线段（直的或曲的）表示两个事物的特定的 联系，就得到了描述这个“图”的几何形象。 图论就是研究这些由点和线组成的图形的问题。
2.6旅行商问题（TSP－traveling salesman problem）
一名推销员准备前往若干城市推销产品。 如何为他（她）设计一条最短的旅行路线（从 驻地出发，经过每个城市恰好一次，最后返回 驻地）？这一问题的研究历史十分悠久，通常 称之为旅行商问题。
2.7 指派问题（assignment problem）
能否从某个地点出发经过每个桥一次且仅一次 然后返回出发点？
Euler的做法：
A
B
C
D
图 2.2
A
B
C
D
图 2.1
❖ 建模： 点——陆地 岛屿 边——桥
2.2 Hamilton 周游世界问题
1859年 Hamilton 提出这样一个问题：一个正 十二面体有20个顶点，它们代表世界上20个 重要城市。正十二面体的每个面均为五边形， 若两个顶点之间有边相连，则表示相应的城 市之间有航线相通。 Hamilton 提出 “能否从 某城市出发经过每个城市一次且仅一次然后 返回出发点？”

图论一．最短路问题问题描述：寻找最短路径就是在指定网络中两结点间找一条距离最小的路。

最短路不仅仅指一般地理意义上的距离最短,还可以引申到其它的度量,如时间、费用、线路容量等。

将问题抽象为赋权有向图或无向图G ，边上的权均非负 对每个顶点定义两个标记（()l v ，()z v ），其中：()l v ：表示从顶点到v 的一条路的权 ()z v ：v 的父亲点，用以确定最短路的路线S ：具有永久标号的顶点集1.1Dijkstra 算法：即在每一步改进这两个标记，使最终()l v 为最短路的权 输入：G 的带权邻接矩阵(,)w u v 步骤：（1） 赋初值：令0()0l u =，对0v u ≠，令()l v =∞，0={u }S ，0i =。

（2） 对每个(\)i i i v S S V S ∈=（即不属于上面S 集合的点），用min{(),()()}iu S l v l u w uv ∈+代替()l v ，这里()w uv 表示顶点u 和v 之间边的权值。

计算min{()}iu S l v ∈，把达到这个最小值的一个顶点记为1i u +，令11{}i i i S S u ++=⋃。

（3） 若1i V =-，则停止；若1i V <-，则用1i +代替i ，转（2）算法结束时，从0u 到各顶点v 的距离由v 的最后一次编号()l v 给出。

在v 进入i S 之前的编号()l v 叫T 标号，v 进入i S 之后的编号()l v 叫P 标号。

算法就是不断修改各顶点的T 标号，直至获得P 标号。

若在算法运行过程中，将每一顶点获得P 标号所由来的边在图上标明，则算法结束时，0u 至各顶点的最短路也在图上标示出来了。

理解：贪心算法。

选定初始点放在一个集合里，此时权值为0初始点搜索下一个相连接点，将所有相连接的点中离初始点最近的点纳入初始点所在的集合，并更新权值。

然后以新纳入的点为起点继续搜索，直到所有的点遍历。

以十个向量作为顶点，将可能互相转移的状态 连线，则得10个顶点的偶图。
问题：如何从状态（1,1,1,1）转移到（0,0,0,0）？
方法：从（1,1,1,1）开始，沿关联边到达没有到达 的相邻顶点，到（0,0,0,0）终止，得到有向图即是。

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图论的基本概念
例2、考虑中国象棋的如下问题： （1）下过奇数盘棋的人数是偶数个。 （2）马有多少种跳法？ （3）马跳出后又跳回起点，证明马跳了偶数步。 （4）红方的马能不能在自己一方的棋盘上不重复 的跳遍每一点，最后跳回起点？
……

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图论的基本概念
问题4(关键路径问题): 一项工程任务,大到建造一座大坝,一座体育中心,
小至组装一台机床,一架电视机, 都要包括许多工序.这 些工序相互约束,只有在某些工序完成之后, 一个工序 才能开始. 即它们之间存在完成的先后次序关系,一般 认为这些关系是预知的, 而且也能够预计完成每个工序 所需要的时间.
① 赋初值. 对所有i, j, dij = aij, rij = j. k = 1. 转v向5 ②.
② 更新dij , rij . 对所有i, j, 若dik + dk j＜dij , 则令dij = dik + dkj , rij = k, 转向③;
③ 终止判断. 若k = n终止; 否则令k = k + 1, 转向
径P ( u, v) 的权或长度(距离).
定义 2 若P0 ( u, v) 是G 中连接u, v的路径, 且对 任意在G 中连接u, v的路径P (u, v)都有F ( P0 ) ≤F ( P ), 则称P0 ( u, v) 是G 中连接u, v的最短路.

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