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精心校对完整版 数学人教B必修5第三章3.2 均值不等式
1．探索并了解均值不等式的证明过程，理解均值不等式成立的条件，等号成立的条件及几何意义．
2．会用均值不等式解决简单的问题．
3．掌握运用均值不等式a＋b2≥ab求最值的常用方法及需注意的问题．
1．重要不等式：对于任意实数a，b，有a2＋b2____2ab，当且仅当______时，等号成立．
(1)重要不等式成立的条件是a，b∈R.它既可以是具体的数字，也可以是比较复杂的代数式，因此应用范围较广；
(2)等号成立的条件是当且仅当a＝b，即当a＝b时，等号成立；反之，等号成立时有a＝b.
【做一做1】不等式a＋1≥2a(a＞0)中等号成立的条件是( )．
A．a＝2 B．a＝1
C．a＝12 D．a＝0
2．(1)均值不等式：如果a，b∈R＋，那么__________，当且仅当______时，等号成立．也叫基本不等式．
(2)对任意两个正实数a，b，数a＋b2叫做a，b的______，数ab叫做a，b的________，故基本不等式用语言叙述是____________________________________．
公式变形：(1)a＋b≥2ab，ab≤(a＋b2)2(a，b∈R＋)，当且仅当a＝b时，等号成立．
(2)a＋1a≥2(a∈R＋)，当且仅当a＝1时，等号成立．
(3)ab＋ba≥2(a，b同号)，当且仅当a＝b时，等号成立．
【做一做2－1】若x＞0，则x＋2x的最小值为________．
【做一做2－2】已知0＜x＜13，则函数y＝x(1－3x)的最大值是__________．
3．已知x，y都为正数，则
(1)若x＋y＝S(和为定值)，则当______时，积xy取得最大值________．
(2)若xy＝P(积为定值)，则当______时，和x＋y取得最小值________．
(1)应用上述性质时注意三点：①各项或各因式均为正；②和或积为定值；③各项或各因式能取得相等的值．即“一正二定三相等”． 高中数学-打印版
1 均值不等式
课题 均值不等式 课时 第二课时 课型 习题课
教学
重点 1、利用均值不等式解决有关最值问题。
2、利用均值不等式证明一些简单不等式 依据：数学课程标准
教学
难点 利用均值不等式解决有关最值问题 依据：教参，教材
学习
目标
一、知识目标
1.牢记均值不等式的内容及证明.
2.能熟练运用均值不等式来比较两个实数的大小.
3.能运用均值不等式证明简单的不等式．
二、能力目标
通过运用基本不等式解决实际问题，提高运用数学手段解决问题的意识与能力
理由：
依据本节课重难点制定
教具 多媒体课件、教材，教辅
教学
环节 教学内容 教师行为 学生行为 设计意图 时间
1.
课
前
3
分
钟 1．已知x，y都是正数，若x＋y＝s(和为定值)，那么xy有最大值还是最小值？如何求？
2．已知x，y都是正数，若xy＝p(积为定值)，那么x＋y有最大值还是最小值？如何求？
评价总结预习情况结果
独立完成课前检测
明确本节课学习目标，准备学习。
3
分钟
2.
承
接 1．用均值不等式求最值的结论
(1)设x，y为正实数，若x＋y＝s(和s为定值)，则当x＝y时，积xy有最大值，
1、评价学生的展示结果
8
分钟 2 结
果 且这个值为s24.
(2)设x，y为正实数，若xy＝p(积p为定值)，则当x＝y时，和x＋y有最小值，且这个值为2p.
2．均值不等式求最值的条件
(1)x，y必须是正数；
(2)求积xy的最大值时，应看和x＋y是否为定值；求和x＋y的最小值时，应看积xy是否为定值．
(3)等号成立的条件是否满足
2、巡视学生的完成情况
3、对学生的展示和评价要给予及时的反馈。
1、
组讨论用均值不等式求最值的方法
2、展示讨论的结果 解决学生自主学习中遇到的困惑，加深学生对知识的印象
3.
做
议
讲
评 例1 (1)若x>0，求函数y＝x＋4x的最小值，并求此时x的值；
学必求其心得，业必贵于专精 学习目标 1。理解均值不等式的内容及证明。2.能熟练运用均值不等式来比较两个实数的大小。3.能初步运用均值不等式证明简单的不等式．
知识点一 算术平均值与几何平均值
思考 如图，AB是圆O的直径，点Q是AB上任一点，AQ＝a，BQ＝b,过点Q作PQ垂直AB于Q，连接AP,PB。如何用a,b表示PO,PQ的长度?
梳理 一般地,对于正数a,b，错误!为a，b的________平均值,错误!为a，b的________平均值．两个正数的算术平均值不小于它们的几何平均值，即错误!≤错误!。其几何意义如上图中的|PO|≥｜PQ|。
知识点二 均值不等式及其常见推论
思考 如何证明不等式错误!≤错误!（a〉0，b〉0)?
学必求其心得，业必贵于专精
梳理 错误!≤错误!(a〉0，b〉0)．当对正数a，b赋予不同的值时，可得以下推论:
(1）ab≤(错误!）2≤错误!(a，b∈R);
（2)错误!＋错误!≥2（a，b同号);
（3）当ab>0时，错误!＋错误!≥2；
(4）a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca（a，b，c∈R）．
类型一 常见推论的证明
例1 证明不等式a2＋b2≥2ab（a，b∈R)．
引申探究
证明不等式(错误!）2≤错误!（a，b∈R)．
反思与感悟
(1）本例证明的不等式成立的条件是a，b∈R,与均值不等式不同．
（2)本例使用的作差法与不等式性质是证明中常用的方法．
跟踪训练1 已知a,b，c为任意的实数，求证：a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.
学必求其心得，业必贵于专精
类型二 用均值不等式证明不等式
例2 已知x、y都是正数．
求证：（1）错误!＋错误!≥2;
（2)(x＋y）(x2＋y2）(x3＋y3)≥8x3y3。
反思与感悟 在(1)的证明中把错误!,错误!分别看作均值不等式中的a，b从而能够应用均值不等式；在（2)中三次利用了均值不等式，由于每次应用不等式时等号成立的条件相同，所以最终能取到等号．
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学习目标 1.理解均值不等式的内容及证明.2.能熟练运用均值不等式来比较两个实数的大小.3.能初步运用均值不等式证明简单的不等式．
知识点一 算术平均值与几何平均值
思考 如图，AB是圆O的直径，点Q是AB上任一点，AQ＝a，BQ＝b，过点Q作PQ垂直AB于Q，连接AP，PB.如何用a，b表示PO，PQ的长度？
梳理 一般地，对于正数a，b，a＋b2为a，b的________平均值，ab为a，b的________平均值．两个正数的算术平均值不小于它们的几何平均值，即ab≤a＋b2.其几何意义如上图中的|PO|≥|PQ|.
知识点二 均值不等式及其常见推论
思考 如何证明不等式ab≤a＋b2(a>0，b>0)?
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梳理 ab≤a＋b2(a>0，b>0)．当对正数a，b赋予不同的值时，可得以下推论：
(1)ab≤(a＋b2)2≤a2＋b22(a，b∈R)；
(2)ba＋ab≥2(a，b同号)；
(3)当ab>0时，ba＋ab≥2；
(4)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca(a，b，c∈R)．
类型一 常见推论的证明
例1 证明不等式a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．
引申探究
证明不等式(a＋b2)2≤a2＋b22(a，b∈R)．
反思与感悟
(1)本例证明的不等式成立的条件是a，b∈R，与均值不等式不同．
(2)本例使用的作差法与不等式性质是证明中常用的方法．
跟踪训练1 已知a，b，c为任意的实数，求证：a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.
类型二 用均值不等式证明不等式
例2 已知x、y都是正数．
求证：(1)yx＋xy≥2；
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(2)(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥8x3y3.
反思与感悟 在(1)的证明中把yx，xy分别看作均值不等式中的a，b从而能够应用均值不等式；在(2)中三次利用了均值不等式，由于每次应用不等式时等号成立的条件相同，所以最终能取到等号．
