第10讲---图形的位似

第10讲 图形的位似
【学习目标】1、熟记位似图形的概念及性质；知道利用位似的性质可以将一个图形放大或缩小；
2、位似图形坐标的变化规律
【学习过程】

一： 问题一：位似图形的有关概念
1、观察下图，有相似多边形吗？如果有，这种相似图形有什么特征？

二、归纳总结：
知识点1、位似多边形的概念：
如果两个相似多边形任意一组对应顶点P，P’所在的直线都经过同一点O，且有OP’=k·OP（k≠0），那么
这样的两个多边形叫做位似多边形，点O叫做位似中心，k就是相似比。例如下图：

知识点2、位似多边形的性质：
位似多边形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比；
位似多边形上对应点和位似中心在同一条直线上；
位似多边形上的对应线段平行或在同一条直线上；
位似多边形是特殊的相似图形，因此位似图形具有相似图形的一切性质。
注意：对某一图形进行放大（或缩小），使得放大（或缩小）前后的两个图形是位似图形。
【例题解析】
例1、△ABC与'''CBA△关于点O位似，BO=3，6'OB
(1)若AC=5，求''CA的长；
(2)若△ABC的面积为7，求'''CBA△面积。
知识点3、位似多边形的画法：
步骤：（1）确定位似中心；
（2）确定原图形的关键点。通常是多边形的顶点；
（3）确定相似比；
（4）找出新图形的对应关键点；
（5）顺次连接各点，得到放大或缩小的图形。

例2、把图1中的四边形ABCD缩小到原来的21．

作法一：（1）在四边形ABCD外任取一点O；
（2）过点O分别作射线OA，OB，OC，OD；
（3）分别在射线OA，OB，OC，OD上取点A′、B′、C′、D′，

使得21ODDOOCCOOBBOOAAO；

顺次连接A′B′、B′C′、C′D′、D′A′，得到所要画的四边形A′B′C′D′，

作法二：（1）在四边形ABCD外任取一点O；
（2）过点O分别作射线OA， OB， OC，OD；

（3）分别在射线OA， OB， OC， OD的反向延长线上取点A′、B′、C′、D′，

使得21ODDOOCCOOBBOOAAO；
（4）顺次连接A′B′、B′C′、C′D′、D′A′，得到所要画的
四边形A′B′C′D′，如图3．

作法三：（1）在四边形ABCD
内任取一点O；

二、尝试应用
1．画出所给图中的位似中心．
′
A
B
C

A
B

C
′

′

2
4
6
8
2 4 6 8 -2 -4 -6 -8 -2 -4 -6 -8
A

B
C

D

2、如图，指出下列各图中的两个图形是否是位似图形，如果是位似图形，请指出其位似中心．
3．（2009年广西南宁）三角尺在灯泡O的照射下在墙上形成影子.现测得20cm50cmOAOA，，这个三角尺的
周长与它在墙上形成的影子的周长的比是 ．

4.（2010丹东市）如图，ABC△与ABC△是位似图形，且位似比是1:2，若AB=2cm，则AB cm，并在
图中画出位似中心O．

5．把右图中的五边形ABCDE扩大到原来的2倍．
四、自主探究
问题一：

（1）如图，在平面直角坐标系中，有两点A(6,3)，B(6,0)．以原点O为位似中心，相似比为31，把线段AB缩小．观
察对应点之间坐标的变化，你有什么发现？

A
A′
O

灯
三角尺

投影
y
x
O

A
B
C

A

B

C


1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 112
1
2
3
4

5
6
7
8
9
10
11

（2）如图，△ABC三个顶点坐标分别为A(2,3)，B(2,1)，C(6,2)，以点O为位似中心，相似比为2，将△ABC放大，
观察对应顶点坐标的变化，你有什么发现？

问题二：
1、如图，四边形ABCD的坐标分别为A（－6，6），B（－8，2），C（－4，0），D（－2，4），画出它的一个以原点
O

为位似中心，相似比为 12的位似图形．

知识点4、平面直角坐标系中的位似变换：
1、位似多边形对应点的坐标变化规律
在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横纵坐标都乘以同一个数k（k≠0），所对应的图形与原图形

位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比是k。

注意：（1）这是以原点为位似中心的位似变换中图形的变化规律；
（2）当位似图形在原点同侧时，其对应顶点的坐标的比为k；当位似图形在原点两侧时，其对应顶点的坐标
的比为-k；
（3）当k＞1时，图形扩大为原来的k倍；当0＜k＜1时，图形缩小为原来的k

1．（2009年福州）如图，正五边形FGHMN是由正五边形ABCDE经过位似变换得到的，若AB:FG=2:3，则下列结论正
确的是（ ）
A．2DE=3MN， B．3DE=2MN， C．3∠A=2∠F D．2∠A=3∠F
2. (2010年福建省德化县)如图，小“鱼”与大“鱼”是位似图形，如果小“鱼”上一个“顶点”的坐标为()ab，，
那么大“鱼”上对应“顶点”的坐标为 （ ）
Ａ、(2)ab，Ｂ、(2)ab，
Ｃ、(22)ab，Ｄ、(22)ba，

六、补偿提高
1．（2009年山西省）如图，ABC△与ABC△是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是 ．

2、如图，图中的小方格都是边长为l的正方形，
△ ABC与△''AB'C是关于点0为位似中心的位似图形，

E
D
C
N

M
H
G

F
B
A
它们的顶点都在小正方形的顶点上．
(1)画出位似中心点0；

(2)求出ABC与△''AB'C的相似比；
(3)以点0为位似中心，再画一个△111ABC，使它与ABC的相似比等于l．5．

例3、画图，将图中的△ABC作下列运动，画出相应的图形．
（1）沿y轴正向平移2个单位；
（2）关于y轴对称；
（3）以B点为位似中心，放大到2倍．

2、位似与平移、轴对称、旋转三种变换的联系与区别
位似、平移、轴对称、旋转都是图形变换的基本形式，它们的本质区别在于：平移、轴对称、旋转三种图形
变换都是全等变换，而位似变换是相似（扩大、缩小或不变）变换。
3、平移、轴对称、旋转、位似变换的坐标变化规律
（1）平移变换：对应点的横、纵坐标加上或减去平移的单位长度；
（2）轴对称变换：以x轴为对称轴，则对应点的横坐标相等，纵坐标互为相反数；以y轴为对称轴，则对
应点的纵坐标相等，横坐标互为相反数；
（3）旋转变换：一个图形绕原点旋转180°，则旋转前后两个图形对应点的横、纵坐标都互为相反数；
（4）位似变换：当以原点为位似中心时，变换前后两个图形对应点的横、纵坐标之比的绝对值等于相似比。

【经典练习】
1．用作位似形的方法，可以将一个图形放大或缩小，位似中心（ ）
A．只能选在原图形的外部； B．只能选在原图形的内部；
C．只能选在原图形的边上； D．可以选择任意位置。

2．已知：E（－4，2），F（－1，－1），以O为位似中心，按比例尺1∶2，把△EOF缩小，则点E的对应点E′的坐
标为（ ）
A．（2，－1）或（－2，1） B．（8，－4）或（－8，4）
C．（2，－1） D．（8，－4）
3．如图，△DEF是由△ABC经过位似变换得到的，点O是位似中心，D，E，F分别是OA，OB，OC的中点，则△DEF
与△ABC的面积比是（ ）
A．1︰2 B．1︰4 C．1︰5 D．1︰6

4.（2014•武汉，第6题3分）如图，线段AB两个端点的坐标分别为A（6，6），B（8，2），以原点O为位似中心，

在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，则端点C的
坐标为（ ）

5、（2013•遵义）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm．动点M，N从点C同时出发，均以每秒1cm
的速度分别沿CA、CB向终点A，B移动，同时动点P从点B出发，以每秒2cm的速度沿BA向终点A移动，连接
PM，PN，设移动时间为t（单位：秒，0＜t＜2.5）．
（1）当t为何值时，以A，P，M为顶点的三角形与△ABC相似？
6、（2013福建省福州21）如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=45°，P是BC边上一点，△PAD的面积为1/2，
设AB=x，AD=y
（1）求y与x的函数关系式；
（2）若∠APD=45°，当y=1时，求PB•PC的值；