第3节集合的基本运算集合的基本运算并集定义性质交集定义性质补集定义性质数学浪子版权所有禁止用于任何商业用途1．并集的定义由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合，称为A 与B 的并集．即A 与B 的所有部分，记作AB （读作“A 并B ”），即{|}A B x x A x B =∈∈或．2．性质并集的常用结论：（1）A B B A =；（2）AA A =；（3）A A ∅=； （4）AB B A B =⇔⊆．1．交集的定义由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合，叫做A 与B 的交集．即A 与B 的公共部分，记作AB （读作“A 交B ”），即{|}A B x x A x B =∈∈且．A BA B ABA B ABA B例1 {1,3,5}A =，{2,3,4}B =，求A B ．解析：并集是把两个集合中的元素放到同一个集合中，并满足互异性．{1,2,3,4,5}A B =．例2 已知集合{|14}A x x =-<<，集合{|25}B x x =<<，求A B ．解析：由数轴可知，{|15}AB x x =-<<．一、并集二、交集2．性质交集的常用结论：（1）A B B A =；（2）AA A =；（3）A ∅=∅； （4）AB A A B =⇔⊆．1．补集的定义如果一个集合含有我们所要研究问题中所涉及的全部元素，那么就称这个集合为全集，记作U ．A 是U 的一个子集（即A U ⊆），由U 中不属于A 的所有元素组成的集合，叫做U 中集合A 的补集，记作UA ，即{|}UA x x U x A =∈∉且．例3 {3,4,5,6,7}A = ，{1,2,3,4,5}B =求A B解析：A B 所得为两集合中的公共元素，故{3,4,5}A B =．例4 {|14}A x x =<≤{|25}B x x =<< 求A B解析：AB 为两集合中的公共区域，故{|24}A B x x =<≤例5 {1,2,3,4,5,6,7,8}U =，{1,3,5,6,8}A =，求U A ．解析：全集U 中除去A 的元素，即为A 在U 中的补集，所以{2,4,7}UA =三、补集2．性质补集的常用结论： （1）UA A =∅； （2）UAA U =；（3）U U =∅； （4）UU ∅=；（5）()UU A A =；（6）()()()U U UA B A B =；（7）()()()U U UA UB A B =．练习题：题号考点：并集1已知集合{1,0,1}M =-，{0,1,2}N =，则MN =（ ）A ．{0,1}B ．{1,0,1,2}-C ．{1,0,2}-D ．{1,0,1}- 解析：M N 是把两个集合元素放到一个集合中，根据互异性只保留一个相同元素，则{1,0,1,2}M N =-．答案：B2设集合{,}A a b =，{,,}B b c d =，则AB =（ ）A ．{}bB ．{,,}b c dC ．{,,}a c dD ．{,,,}a b c d例6 已知{|12}A x x =-<≤，{|3}B x x =<，求B A ．解析：根据题意，画出数轴，可知{|123}BA x x x =≤-<<或．A B 是把两个集合元素放到一个集合中，相同元素根据互异性只保留一{,,A B a b ={1,2,4}A =B =_______A B 是把两个集合元素放到一个集合中，相同元素根据互异性只保留一{1,2,4,6}AB =1,2,4,6} 1{|2x x =<B =（ 12}x ≤< 21}{x x ≤={|A B x =-答案：A已知{0,1,2}M =N =（ ．{0} D 解析：{N ={0,1,2}，则{0,1,2,4}M N ={1,2,3}B =的个数是（ ）D ．8 {1,2,3}AB =，则A 中共有2个元素，则满足条件的{1,2,3,4,5}B =1,2}{1,2,3,4,5}B=子集个数的问题，N={1,2,3,4}C．4N=，则N{1,2,3,4}子集个数的问题，M中共有2个元素，则满足条件的B=_________A B=．{3,5,13}，则A B=（）C．{1,2}A B=．{1,2},2,3}，则A B=________A B=-．，3，则{1,3}，则A B=（{0,2}DA B=．{0,2}B=（D．{2}-A B=．公共元素为2，则{2}B=（DA B=，1，则{0,1}A=（）U{2,4,7}剩下的部分，{2,4,7}A=UA=（）UC．{1,2,3,4,5}剩下的部分，{3,4,5}A=UM=（）UC．{1,2,4}剩下的部分，{2,4,6}M=UA=（U，则{2}UA =．UM =（ ）,0)(2,)-∞+∞ D [2,)+∞02}a >或，则{|02}UM a =．，那么UP =（ ）1,1] D ．(,(1,)-∞+∞，则{|}UP x x =<．{2}UA =，则集合A 的真子集共有（）个 5个 由{2}UA =可知{0,1}A =，中共有2个元素，{0,1,2,3}=，{2}UM ={0,1,3} B ．{1,3} 解析：UM 是把全集U 中元素，去掉，则{0,1,3}M =． A已知全集{0,1,2,3}U ={0,2}UA =4个 1,3}，共有两个元素，则真子集个数为⎝题型一：二次不等式的交集例 集合{|04}A x x =<<，2{|230}B x x x =--<，求A B ．解析：{|(3)(1)0}{|13}B x x x x x =-+<=-<<，由题意画出数轴，{|03}AB x x =<<．总结：主要考察二次不等式解集的求法，结合集合的知识点出题，比较基础．练习1 集合{|04}A x x =<<，1{|0}3x B x x +=<-，求A B ．解析：{|(3)(1)0}{|13}B x x x x x =-+<=-<<，由题意画出数轴，{|03}A B x x =<<．练习2 已知集合{|(1)(2)0}A x x x =+-≤，集合B 为整数集，则A B =（ ）A ．{1,0}-B ．{0,1}C ．{2,1,0,1}--D ．{1,0,1,2}- 解析：{|12}A x x =-≤≤，B 为整数集，则{1,0,1,2}A B =-．答案：D练习3 已知集合2{|20}A x x x =--≤，集合B 为整数集，则A B =（ ）A ．{1,0,1,2}-B ．{2,1,0,1}--C ．{0,1}D ．{1,0}- 解析：{|12}A x x =-≤≤，B 为整数集，则{1,0,1,2}A B =-．答案：A练习4 设集合{0,1,2}M =，2{|320}N x x x =-+≤，则MN =（ ）重要考试题型题型二：已知交并补集结果求参数值例1 已知{0,2,}A a =，2{1,2,}B a =，{0,1,2,3,9}A B =，求实数a ．当中的两个，很明显变式 已知{1,2}A a a =++，{2,1}B b b =-+，{3,2,0}A B =，求a b +的值．，比对并集中的数字，可知{1,3,5}A =例2 ，{1,5,}B a =-，{3,5}A B =，求a 的取值．，则3a =．2{1,3,31}A a a =-+变式 ，{1,5,}B a =-，{5}A B =，求a 的取值．是两个集合的公共元素，所以23a a -+，违反了集合元素的互异性，舍去；例3 设{1,2,3,4}U =，2{|50}M x U x x p =∈-+=，若{1,4}U M =，那p=________．2x ，令1x =变式 不等式31ax <解集为Q ，{|0}P x x =≤，若R1{|0}6QP x x =<<，那a=________． 解析：R{|P x x =恒成立，此时R Q =，不符合条件舍去，{1,2}M N =1{|}3Q x x a=<，根据题意画出数轴，可得1136a =，解得2a =．练习1 已知集合2{|20}A x x mx =-+=，2{|60}B x x x n =-+=，且{2,1,4}A B =，求m ，n 的值． {2,1,4}AB =中方程2x mx -+，设B 中方程，根据对应关系，2421262x ==⨯+==练习2 已知集合{1,2,}A k =，{2,5}B =，若{1,2,3,5}A B =，则k=______．练习3 已知集合{1,3,}A m =，{3,4}B =，{1,2,3,4}A B =，则m=_______．练习4 已知集合{1,2,3}A =，{2,}B a =，{0,1,2,3}A B =，则a 的值为_______．2{1,3,35}A a a =-+练习5 ，{1,5,}B a =-，{5}A B =，求a 的取值．235a -+={5}A B =，符合题意；{3,5}AB =，不符合条件，舍去；练习6 设集合{1,1,3}A =-，2{2,4}B a a =++，{3}A B =，则实数a=_______．{3}A B =，∴23a +=或21a ==-或1练习7 已知集合{1,2,3}A =，{2,,4}B m =，{2,3}A B =，则m=_______．{2,3}A B =，则3．练习8 若集合{|2}A x x =≤，{|}B x x a =≥满足{2}A B =，则实数a=________．{2}A B =，2=．练习9 设集合{1,0,3}A =-，{3,1}B a a =+-，若{3}A B =，则实数a=_______．{3}AB =，则04a =或；时，{3,B =-{1,3}A B =-不符合题意，舍去； 时，{7,3}B ={3}AB =符合题意；． 练习10 已知集合2{,1,3}A m m =+-，2{1,3,21}B m m m =+--，若{3}A B =-，实数m=______．{3}AB =-3-时，2m 3时，m ={3,1AB =-3-时，m =，{3}A B =-练习11 设集合{1,2,3}A =-，2{2,2}B a a =++，{3}A B =，则实数a=_______．{3}AB =知，时，1a =，此时，不满足元素的互异性，舍去；3时，1(a ={3}A B =符合条件；．练习12 设{0,1,2,3}U =，2{|0}A x U x mx =∈+=，若{1,2}U A =，则实数m=_______．的两个根，∴练习13 若全集{0,1,2}U =，{|10}A x ax =+=且{0,1}U A =，则a=_______．的根，带入可解得练习14 设{1,2,3,4}U =，且2{|50}M x U x x p =∈-+=，若{2,3}U M =，则实数p 的值为（ ）A ．-4B ．4C ．-6D ．6的两个根，带入解得例1 已知集合{|2}A x x =>，{|}B x x m =<，且R A B =，求m 的取值范围．解析：根据条件画出数轴，可知m 需在2的右侧，即2m >．变式1 已知集合{|2}A x x a =-<<，{|26}B x x =<<，{|26}A B x x =-<<，求a 的取值范围．解析：由题目条件，画出数轴，可知a 应在2和6中间，研究端点处的取值，如果2a =，则A 与B 集合均取不到2，不符合题意，∴2a >，如果6a =，则符合题意，综上26a <≤．变式2 已知集合{|33}A x a x a =-<≤+，2{|230}B x x x =-->，若R A B =，求a 的取值范围．解析：{|31}B x x x =><-或，根据题意画出数轴，欲使R A B =，则A 集合需把B 集合取不到的中间区域覆盖，则3a -在1-左侧，3a +在3右侧；再讨论端点处，31a -=-时，两集合都取不到1-，∴31a -<-严格，即2a <，33a +=时，A 集合可取到3，符合条件，∴33a +≥，即0a ≥； 综上02a ≤<．例2 已知集合{|7}A x x =≤，{|}B x x a =≥，若A B =∅，求a 的取值范围．解析：由条件，画出数轴，可知a 在7的右侧，则7a >．变式1 已知集合{|27}A x x =<<，{|21}B x a x a =<<+，若{|47}A B x x =<<，求a 的取值范围．解析：由题意，画出数轴，可知要满足{|47}AB x x =<<，4a =即可．变式2 已知集合{|27}A x x =<<，{|21}B x a x a =<<+，若A B =∅，求a 的取值范围．解析由题意知，两个集合没有交集，可分两种情况讨论： ①B =∅，令21a a ≥+，解得1a ≤-，满足条件； ②B ≠∅，此时1a >-，要使A B =∅，画出数轴，可知B 整体在A 的左侧或者右侧； 在左侧时，212a +≤，解得12a ≤，又1a >-，得112a -<≤； 在右侧时，7a ≥，又1a >-，得7a ≥； 综上12a ≤或7a ≥．练习1 设常数R a ∈，集合{|(1)()0}A x x x a =--≥，{|1}B x x a =≥-，若R A B =，则a的取值范围为（ ）A ．(,2)-∞B ．(,2]-∞C ．(2,)+∞D ．[2,)+∞ R A B =，∴成立，； R AB =，则1≤，即a ≤③1a <时，{|1}A x x a x =≤≥或,要满足R A B =，则应满足1a a -≤，1a a -≤是恒成立的，所以可得1a <符合条件．综上2a ≤． 答案：B练习2 已知集合{|1}A x x =≤，{|}B x x a =≥，且R A B =，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1a ≤B ．13a ≤≤C ．1a ≥D ．3a ≥ 解析：{|1}A x x =≤，{|}B x x a =≥，要使R AB =，结合数轴可知满足1a ≤时命题成立．答案：A练习3 设集合{||2|3}S x x =->，{|8}T x a x a =<<+，R S T =，则a 的取值范围是（ ）A ．31a -<<-B ．31a -≤≤-C ．31a a ≤-≥或D ．31a a <->-或 解析：{||2|3}{|51}S x x x x x =->=><-或，又R ST =，根据数轴可知应满足13185a a a <-⎧⇒-<<-⎨+>⎩． 答案：A练习4 已知{|23}A x a x a =<<+，{|15}B x x x =<->或，若A B =∅，则a 的取值范围是（ ）A ．1322a a <-≤≤或B ．1322a a >≤≤或22解析：分两种情况讨论：①A =∅，即23a a >+时，3a >，此时A B =∅符合题意；②A ≠∅，此时3a ≤，要AB =∅，通过数轴可知需满足2135a a ≥-+≤且，解得122a -≤≤，综上3a >或122a -≤≤．答案：D练习5 集合{|121}A x a x a =-<<+，{|01}B x x =<<，若A B =∅，实数a 的取值范围是（ ）A ．(,3][2,)-∞-+∞B ．(,1][2,)-∞-+∞C ．1(,][2,)2-∞-+∞ D ．1(,][2,)2-∞+∞解析：分两种情况讨论：①A =∅，即121a a -≥+时，2a ≤-，此时A B =∅符合题意；②A ≠∅，此时2a >-，要AB =∅，通过数轴可知需满足21011a a +≤-≥或，解得1222a a -<≤-≥或．综上122a a ≤-≥或．答案：D练习6 已知集合{|}M x x a =≤，{|20}N x x =-<<，若MN =∅，则a 的取值范围是（ ） A ．0a > B ．0a ≥ C ．2a ≤- D ．2a <- M N =∅，画个数轴可以得知练习7 设集合{|2}M x x a =-≤≤非空，{|||,}N y y x x M ==∈，若MN N =，则实数aN N =可知时，{N =时，{N y =练习8 已知2{|1}2xA x x =<+，{|||1}B x x a =-<，且A B ≠∅，则a 的取值范围为（ ）A ．(3,3)-B ．(3,3]-C ．(2,3)-D ．(2,3]- 202<，即AB =∅时，； AB ≠∅时，答案：A练习9 全集R U =，集合{|0}M x x a =+≥，{|21}N x x =-<，若(){|3}U MN x x =≥，则（ ）A ．1a =-B ．1a =-C ．1a =D ．3a ≥- }{|UN x x =(){|3}U MN x =≥说明UN 是M 的子练习10 设集合2{|2240}A x x x m =-++=，{|0}B x x =<，若A B ≠∅，实数m 的取值集合是（ ）A ．(,1)-∞-B ．(,1]-∞-C ．(,2]-∞-D ．(,2)-∞-AB ≠∅的对立面AB =∅时的44(20∆=-，解得m 时，前提为m ≤，要使AB =∅，则在y 轴右侧，两个零点大于等于0，只需A B =∅时2m ≥-，则A B ≠∅时练习11 已知集合2*{|(2)10,R}R x x k x x +++=∈=∅，则实数k 的取值范围是（ ）A ．40k -<<B ．4k >-C ．2k >-D ．0k ≥没有正根，或是空集；题型四：集合的混合运算{1,2,3,4,5,6,7}U =例1 ，{2,4,6}A =，{1,4,5}B =，求()U A B ．解析：{1,35UA =，(){1,5}U A B ={1,2,3,4,5,6,7}U =变式 ，{2,4,6}A =，{1,4,5}B =，求()()U U A B ．解法一：={1,3,5,7}UA ，={2,3,6,7}UB ，则()(){3,7}U U A B =． 解法二：{1,2,4,5,6}AB =，()()(){3,7}U U UA B AB ==．例2 已知集合2{|540}A x x x =-+=，集合2{|40}B x x ax =++=，其中A B A B =，求a 的值．AB A B A B =⇒=变式 1 已知集合2{|540}A x x x =-+=，集合2{|40}B x x ax =++=，其中A B =∅且AB A =，求a 的值．解析：{|(1)(4)A x x x =--=A B =∅⇒A B A =，∴令B 中方程2160a =-<，解得4a -<变式2 已知集合2{|540}A x x x =-+≤，集合{|2}B x a x a =≤≤+，其中()U B A =∅，求a 的值．解析：{|(1)(4)0}{|14}A x x x x x =--≤=<<，()U BA B A =∅⇒⊆，根据题意画出数轴，可得124a a ≥⎧⎨+≤⎩，解得12a ≤≤．总结：关于集合的混合运算，只需要按部就班的求交并补集即可，对于能用快速公式简化计算的，可以用一下()()()U U UA B A B =和()()()U U UA UB A B =这两个公式．由混合运算的结果分析，可以得到原始两个集合的关系，例如：A B A B A B =⇒=① A B A B A A B =∅=⇒=②且()U BA B A =∅⇒⊆③练习1 若全集R U =，{|4}A x x =>，{|2}B x x =>，求()U A B ．解析：{|4}UA x x =≤，画出数轴可知(){|24}U A B x x =<≤．练习 2 设全集{N |110}U n n =∈≤≤，{1,2,3,5,8}A =，{1,3,5,7,9}B =，则()U A B=________．解析：由题意{4,6,7,9,10}UA =(){7,9}U A B =练习3 已知全集{1,2,3,4}U =，集合{1,2}A =，{2,3}B =，则()U A B =（ ）A ．{1,3,4}B ．{3,4}C ．{3}D ．{4} {1,2,3}A B =，则(){4}UA B =．练习4 已知集合{2,3,6,8}U =，{2,3}A =，{2,6,8}B =，则()U A B =________．解析：{6,8}UA =，则(){6,8}U A B =．{6,8}练习5 已知集合A 、B ，全集{1,2,3,4}U =，且(){4}U A B =，{1,2}B =，则UAB =（ ）A ．{3}B ．{4}C ．{3,4}D ．∅ 解析：由(){4}UA B =，{1,2,3}AB =，{3}=或{1,3}{1,2,3}，{3,4}UB ={3}UAB =．练习6 设集合{4,5,7,9}A =，{3,4,7,8,9}B =，全集U A B =，则集合()U A B 中的元素共有（ ）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个 {4,7,9}A B =，则(){3,5,8}UA B =，共有个元素．练习7 设全集为R ，集合2{|90}A x x =-<，{|15}B x x =-<≤，则RAB =（ ）A ．(3,0)-B ．(3,1)--C ．(3,1]--D ．(3,3)- ，R{|B x x =RAB =练习8 设全集为U ，集合A U B U ⊆⊆、，则下列关系中与A B ⊆等价的事（ ）．（1）AB A =（2）A B B =（3）UAB =∅（4）UBA =∅A ．（1）（2）B ．（1）（3）（4）C ．（1）（2）（3）D ．（2）（3）（4） 1）（2）（3A B ⊆是等价关系，（4）与B 等价． C练习9 已知2{|320}A x x x =++≥，2{|410}B x mx x m =-+->，若A B =∅，且AB A =，则m 的取值范围是（ ）A ．117{|}2m m -≤B ．115{|}2m m -≤C ．13{|}2m m -≥D ．17{|}2m m -≥ 解析：{A x =A B A =⇒AB =∅，B 中但它们的交集为空集，只有所以当B =∅0≤，解得． 练习10 已知集合{|21}A x x x =≤-≥-或，{|21}B x m x m =<<-，若A B =∅，且AB A =，则m 的取值范围是（ ）A ．1m ≥-B ．2m ≥C ．2m <D ．5m <- 解析：A B A =⇒A B =∅，B =∅这一种情况；B =∅时，应满足，即1m ≥-题型五：集合之间的关系例1 已知集合{0,2,}A x =，2{2,}B x =，A B A =，求x ．AB A =⇒，分两种情况讨论：{1,2,3,4}M =例2 ，{2,4}N =，则M 和N 的关系是（ ）A ．M N ⊆B ．N M ∈C ．MN N = D ．M N N =N M ⊆，C 选项符合条件． 2{|320}M x x x =-+>例3 ，{|33}N x x =-<<，{|12}M x x x =<>或A ．M N ⊆B ．N M ⊆C ．MN =∅ D ．R M N =解析：{|(1)(2)0}{|21}M x x x x x x =-->=><或，画出数轴看一下关系，可知D 正确．答案：D2{|2,N }A x x a a +==+∈例4 ，2{|23,N }B y y b b b +==-+∈，A 、B 的关系？AB ．总结：通过集合的相关性质，把题目中的条件转化为集合的包含关系，属于简单题型．列举主要通过观察元素来确定尽量两个式子变成同样的构造．练习1 已知集合{1,1}A =-，{|1}B x mx ==且A B A =，则m 的值为（ ）A ．1B ．-1C ．1或-1D ．1或-1或0 AB A =可知的子集，B 中方程至多有时，0m =；练习2 若集合2{|230}A x x x =--=，{|20}B x ax =-=，满足A B B =，则实数a 组成的集合为_______． AB B =可知解，∴{1,3}B ≠-时，0a =；时，a =-时，23a =；的取值为22,0,-练习3 若2{|60}A x x x =+-=，1{|10}B x x m=+=，且A B A =，则实数m=_______．AB A =可知解，∴B ≠时，解得时，解得m 23m -=或23或练习4 已知集合{1,2,3,4}M =，{2,2}N =-，则下列结论成立的是（ ）A ．N M ⊆B ．MN M = C ．M N N = D ．{2}M N =，所以N M ⊄错误；{2,1,2,3,4}M N M =-≠，B 错误；{2}N =≠错误；正确． 答案：D练习5 若{|1}P x x =<，{|1}Q x x =>，则（ ）A ．P Q ⊆B ．Q P ⊆C ．RP Q ⊆ D ．RQ P ⊆解析：R{|P x x =，由集合关系知RQ P ⊆正确，故选D ．D练习6 已知集合{1,2,3}M =，{2,3,4}N =，则（ ）A ．M N ⊆B ．N M ⊆C ．{2,3}M N =D ．{1,4}M N ={2,3}M N =正确，故选练习7 已知集合2{|20}A x x x =->，{|55}B x x =-<<，则（ ）A ．AB =∅ B ．R A B =C ．B A ⊆D ．A B ⊆解析：2{|0}{|A x x x x ==>R A B =，故答案：B练习8 已知集合2{|20}A x x x =--<，{|11}B x x =-<<，则（ ）A ．AB B ．BA C ．AB = D ．A B =∅解析：2{|20}A x x =-<=，由集合关系知B A 成立，故答案：B练习9 设{|4}P x x =<，2{|4}Q x x =<，则（ ）A ．P Q ⊆B ．Q P ⊆C ．RP Q ⊆D ．RQ P ⊆2}，由集合关系可知Q P ⊆正确，故选{(,)|1}A x y x y =-=例1 ，{(,)|3}B x y x y =+=，求A B ．解析：两个集合中的元素均为对应函数上的点，所以两个集合的交集变为两个函数的交点问题，解方程组可得{(2,1)}AB ={(,)|1}A x y y x ==+例2 ，{(,)|1}1yB x y x ==+，求A B ． 解析：A 集合是函数1y x =+上所有点的集合，B 集合是11yx =+上所有点的集合，B 集合可变形为1(1)y x x =+≠-，即B 中取不到点(1,0)-，其余与A 一样，则{(1,0)}A B =-．{(2,1)}AB =尤其是分式存在的情况，练习1 设集合{(,)|0}A x y x y =-=，{(,)|40}B x y x y =++=，则A B =______．{(,AB x y =2,2)}--练习2 已知2{(,)|}A x y y x ==，{(,)|}B x y y x ==，则A B =（ ）A ．RB ．[0,)+∞C ．(1,1)D ．{(0,0),(1,1)}{(,A B x y =练习3 已知集合{(,)|31}M x y y x ==+和集合2{(,)|1}N x y y x x ==++，则MN =（ ）A ．{0,2}B ．∅C ．[1,)+∞D ．{(0,1),(2,7)} {(,A B x y =练习4 设2{(,)|1(2)0}A x y x y =++-=，{1,0,1,2}B =-，则A 、B 两个集合的关系是（ ）A ．AB ⊇ B ．A B ⊆C ．A B ∈D ．以上都不对练习5 设集合2{|}P x y x ==，2{(,)|}Q x y y x ==，则P 与Q 的关系是（ ）A ．P Q ⊆B ．P Q ⊇C ．P Q =D ．以上都不对练习6 若{(,)|1}A x y y ax ==+，{(,)|}B x y y x b ==+，{(2,5)}A B =，则a b +_______．{(2,5)}AB =中的方程，把点(2,5)3b =，则a 练习7 若集合{(,)|6}A x y y ax ==+，集合{(,)|53}B x y y x ==-，若点(1,)()b A B ∈，则a b -=_______．By ：数学浪子 )AB ，可知6a b -=-．{(,)|1}A x y y x ==+练习8 ，32{(,)|}x xC x y y x x-==-，求A C ．解析：A 集合是函数1y x =+上所有点的集合，C 集合是32x xy x x-=-上所有点的集合，C 中分母不为0，即20x x -≠，解得01x x ≠≠且，C 集合可变形为1(01)y x x x =+≠≠且，即C 中取不到点(0,1)(1,2)和，其余与A 一样，则{(0,1),(1,2)}A C =．{(,)|1}1yB x y x ==+练习9 ，{(,)|1}M x y y kx ==-，B M =∅，求k ．解析：B 集合是11yx =+上所有点的集合，B 集合可变形为1(1)y x x =+≠-，即B 是取不到点(1,0)-的函数，要使BM =∅说明两直线没有交点，可分两种情况：①两直线平行时，满足斜率相等，即1k =时，成立； ②直线1y kx =-过(1,0)-，带入可得1k =-，成立； 综上：1k =±．练习10 已知集合3{(,)|1}2y A x y a x -==+-，2{(,)|(1)(1)15}B x y a x a y =-+-=，若AB =∅，则a 的所有取值是________．解析：{(A =集，要使AB =∅，则1a =时，B =∅，满足AB =∅；A B =∅；(1)x a y +-A B =∅；练习11 已知集合{(,)|210}A x y x y =+-=，{(,)|20}B x y x ay a =--=，若A B =∅，则a 的值是_______．12a=的直线，AB =∅，所以答案：1-练习12 设集合3{(,)|2}1y A x y x -==-，{(,)|4160}B x y x ay =+-=，若A B =∅，则a 的值为（ ）A ．4B ．2-C ．42-或D ．24-或 A B =∅，则中两直线没有交点，2-，验证成立； 题型七：用Venn 图计算集合例1 某次考试，数学及格28人，物理及格30人，数学物理都不及格12人，学生总数50人，问数学和物理都及格的多少人？{|7,N}U x x x =≤∈例2 ，(){2,3}U A B =，(){0,6}U B A =，()(){1,7}U U A B =，求A 、B 集合．解析：{0,1,2,3,4,5,6,7}U =，画出Venn 图，可知{2,3,4,5}A ={4,5,0,6}B =．总结：对于比较复杂的数字问题，可以画出Venn 图来辅助解题，通常需要设一个未知数x ，根据条件精确的标出交并补集中各个部分的数据，最后解出x 的值． 注意Venn 图和公式()()()U U UA B A B =以及()()()U U UA UB A B =的综合运用，对于有大量交并补集条件的题目，首先画Venn 图，然后考虑有没有可以用公式的地方，最后把条件标在相应的位置，问题迎刃而解．()()()U U UA B A B ⇔先补后交等于先并后补，反之亦然．练习1 某次考试，数学及格28人，物理及格30人，化学及格25人，数学物理都及格20人，数学化学都及格15人，物理化学都及格18人，数理化都不及格10人，学生总数50人，问数理化都及格多少人？By ：数学浪子练习2 50名学生参加甲、乙两项体育活动，每人至少参加了一项，参加甲项的学生有30名，参加乙项的学生有25名，则仅参加了一项活动的学生人数为（ ）A ．50B ．45C ．40D ．35解析：设两项都参加的人数为x ，则只参加甲的人数为30x -，只参加乙的人数为25x -，总人数为(30+(25)50x x x -+-=），解得5x =，所以仅参加了一项活动的人数为50545-=人．答案：B练习3 某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为_______．解析：设两项运动都喜爱的人数为x ，画出Venn 图，则总人数30(15)(10)8x x x =-++-+，解得3x =，所以喜爱篮球但不喜爱乒乓球人数为1512x -=人．答案：12练习4 某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26,15,13，同时参加数学和物理小组的人有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有_______人．36(20)(9)15x x x =-++-+，解得8x =．答案：8{|7,N}U x x x =≤∈练习5 ，(){2,3}U A B =，(){0,6}U B A =，()(){1,7}U U A B =，求A 、B 集合．解析：{0,1,2,3,4,5,6,7}U =，画出Venn 图，可知{2,3,4,5}A ={4,5,0,6}B =．练习6 设全集{1,2,3,4,5}U M N ==，{2,4}U M N =，则N=（ ）A ．{1,2,3}B ．{1,3,5}C ．{1,4,5}D ．{2,3,4}解析：画出Venn 图，可知U M N 为左侧阴影部分，则N 为剩余空白部分，除去{2,4}后所剩为{1,3,5}．答案：B练习7 设全集{1,2,3,4,5}U M N ==，{2,5}U M N =，则N=________． 图，可知U M N 为左侧阴影部分，则N 为剩余空白部分，除去答案：{1,3,4}练习8 已知A 、B 均为集合{1,3,5,7,9}U =的子集，且{3}A B =，(){9}U B A =，则A 等于（ ）A ．{1,3}B ．{3,7,9}C ．{3,5,9}D ．{3,9}解析：画出Venn 图，根据题意，A 中只有3和9两个元素．答案：D练习9 已知全集R U =，集合{1,2,3,4,5}A =，{|3}B x x =≥，途中阴影部分所表示的集合为（ ）A ．{1}B ．{1,2}C ．{1,2,3}D ．{0,1,2}解析：根据条件，把Venn 图中的数据补全，可知阴影部分表示的集合为{1,2}．答案：B练习10 已知全集{1,2,3,4,5}U =，集合{1,2,3}A =，{3,4,5}B =，图中阴影部分所表示的集合为（ ）A ．{3}B ．{1,2}C ．{4,5}D ．{1,2,3,4,5}答案：B练习11 已知M 、N 为集合I 的非空真子集，且M 、N 不相等，若()I N M =∅，则M N =（ ）A ．MB ．NC ．ID ．∅解析：由()I N M =∅，可知N 为M 的子集，所以M N M =．答案：A练习7 已知全集U A B =中有m 个元素，()()U U A B 中有n 个元素，若A B 非空，则A B 的元素个数为（ ）A ．mnB ．m+nC ．n-mD ．m-n解析：()()()U U U A B A B =，由Venn 图可知()U A B 为图中阴影部分，有n 个元素，总数有m 个元素，则中间白色部分A B 的个数即为m-n 个．答案：D练习8 若集合A 、B 、C 为三个集合，A B B C =，则一定有（ ）A ．A C ⊆B ．C A ⊆ C ．A C ≠D ．A =∅解析：AB BC =可分开看作为AB B =和B BC =，即A B ⊆且B C ⊆，所以A C ⊆． 答案：A 练习9 设全集{,,,}U a b c d =，集合{,}A a b =，{,,}B b c d =，则()()U U A B =_______． 解析：()()()U U U A B A B =，{}A B b =，则(){,,}U A B a c d =． 答案：{,,}a c d练习10 已知全集{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}U =，集合{0,1,3,5,8}A =，集合{2,4,5,6,8}B =，则()()U U A B =（ ）A ．{5,8}B ．{7,9}C ．{0,1,3}D ．{2,4,6}解析：()()()U U U A B A B =，{0,1,2,3,4,5,6,8}A B =，则(){7,9}U A B =．答案：B 练习11 设全集{1,2,3,4,5,6}U =，{2,3}M =，{1,4}N =，则集合{5,6}等于（ ）A ．M NB ．M NC ．()()U U M ND ．()()U U M N解析：观察知，{5,6}为U 中除去M 和N 剩下的元素集合，即{5,6}()U M N =，根据公式()()()U U U M N M N =可知D 正确．答案：D数学浪子版权所有，禁止用于任何商业用途。
