初中数学圆解题技巧精编版

1 圆的解题技巧总结

一、垂径定理的应用

1、求半径

例1.高速公路的隧道和桥梁最多．图1是一个隧道的横截面，若它的形状是以O为圆心的圆的一部分，路面AB=10米，净高CD=7米，则此圆的半径OA=（ ）

（A）5 （B）7 （C）375 （D）377

2、求弦长

例2.工程上常用钢珠来测量零件上小孔的直径，假设钢珠的直径是10mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，如图2所示，则这个小孔的直径AB＿＿＿＿mm．

3、求弦心距

例3.如图4，圆O的半径为5，弦8AB，OCAB于C，则OC的长等于 ．

4、求拱高（弓形高）

例4.兴隆蔬菜基地建圆弧形蔬菜大棚的剖面如图5所示，已知AB=16m，半径 OA=10m，高度CD为_____m．

5、求角度

例5.如图6，在⊙O中，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠AOC=60º，则∠B= ．

6、探究线段的最小值

DCOAB图3 B A 8mm

图2

图4 COAB图1 O

D A

B C

C O D

A B

图6 DCAOB图5 2 例6.如图，⊙O的半径OA=10cm，弦AB=16cm，P为AB上一动点，则点P到圆心O的最短距离为 cm．

二、与圆有关的多解题

在解有关圆的问题时，常常会因忽视图形的几种可能性而漏解．

1、点与圆的位置关系不唯一

例1.若⊙O所在平面内一点P到⊙O上的点的最大距离为a，最小距离为b（a＞b），则此圆的半径为（ ）。

2、弦与弦的位置关系不唯一

例2.⊙O的半径为5cm，弦AB∥CD，AB=6cm，CD=8cm，则AB与CD之间的距离是（ ）。

（A）7cm （B）8cm （C）7cm或1cm （D1cm

例3．如图，已知AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，AB=2，AC=，在图中画出弦AD，使AD等于1，并求出∠CAD的度数。

圆部分规律88.圆中解决有关弦的问题时，常常需要作出圆心到弦的垂线段（即弦心距）这一辅助线，一是利用垂径定理得到平分弦的条件，二是构造直角三角形，利用勾股定理解题.例：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D二点.求证：AC=BD证明:过O作OE⊥AB于E∵O为圆心，OE⊥AB∴AE=BECE=DE∴AC=BD练习：如图，AB为⊙O的弦，P是AB上的一点，AB=10cm，PA=4cm.求⊙O的半径.

规律89.有等弧或证弧等时常连等弧所对的弦或作等弧所对的圆心角.例：如图，已知AB是⊙O的直径，M、N分别是AO、BO的中点，CM⊥AB,DN⊥AB,求证：AC󰷢=BD󰷢证明：（一）连结OC、OD∵M、N分别是AO、BO的中点∴OM=12AO、ON=12BO∵OA=OB∴OM=ON∵CM⊥OA、DN⊥OB、OC=OD∴Rt△COM≌Rt△DON∴∠COA=∠DOB∴AC󰷢=BD󰷢（二）连结AC、OC、OD、BD∵M、N分别是AO、BO的中点∴AC=OC，BD=OD∵OC=OD∴AC=BD∴AC󰷢=BD󰷢规律90.有弦中点时常连弦心距例：如图，已知M、N分别是⊙O的弦AB、CD的中点,AB=CD，求证：∠AMN=∠CNM，证明：连结OM、ON∵O为圆心，M、N分别是弦AB、CD的中点∴OM⊥ABON⊥CD∵AB=CD∴OM=ONOEDCBA

POBAONMDCBAONMDC

BA∴∠OMN=∠ONM∵∠AMN=90o－∠OMN∠CNM=90o－∠ONM∴∠AMN=∠CNM规律91.证明弦相等或已知弦相等时常作弦心距.例：如图，已知⊙O1与⊙O2为等圆，P为O1、O2的中点，过P的直线分别交⊙O1、⊙O2于A、C、D、B.求证：AC=BD证明：过O1作O1M⊥AB于M,过O2作O2N⊥AB于N，则O1M∥O2N∴1122OMOPONOP∵O1P=O2P∴O1M=O2N∴AC=BD规律92.有弧中点（或证明是弧中点）时，常有以下几种引辅助线的方法：(1)连结过弧中点的半径(2)连结等弧所对的弦(3)连结等弧所对的圆心角例：如图，已知D、E分别为半径OA、OB的中点，C为弧AB的中点，求证：CD=CE证明：连结OC∵C为弧AB的中点∴ABBC∴∠AOC=∠BOC∵D、E分别为OA、OB的中点，且AO=BO∴OD=OE=12AO=12BO又∵OC=OC∴△ODC≌△OEC∴CD=CE规律93.圆内角的度数等于它所对的弧与它对顶角所对的弧的度数之和的一半.规律94.圆外角的度数等于它所截两条弧的度数之差的一半.规律95.有直径时常作直径所对的圆周角，再利用直径所对的圆周角为直角证题.例：如图，AB为⊙O的直径，AC为弦，P为AC延长线上一点，且AC=PC,PB的延长线交⊙O于D，求证：AC=DC证明：连结AD∵AB为⊙O的直径∴∠ADP=90o∵AC=PC∴AC=CD=12APPO2O1NMDCBA

v

圆的鮮题技巧总结

垂役龙理的应用

给出的圖形纸片如图所承，如采柱圖形纸片上任逾西一条垂直于直径CD的孩AB,垂 足为P.再将•纸片沿舟直径CD对折.我们很家易发现A. B而点重合，即有结论AP=BP, 乐AC=^BC.其卖这个结论就是“垂径主理”，准确地叙述为:垂直于弦的直役平分这条 弦，并且平分弦所对的弧.

垂径定理是“ST 这一章走早出现的重要岌理，它说朗的赴S］的直役与弦沒孩所对的弧 之间的垂直戎平分的对应关糸，是解决圖内线段、弧.角的相寻关糸及直线间垂直关糸的重 要依据.同肘，也为我们进行圖的有关计算与作图提供了方出与依据.

例1禁居氏小区一戏圓柱形的输水管道破裂.维修人员为JI换管道，需确岌管道圓形 札而的丰役，下国是水平放王的破裂管道有水部分的範面.

⑴请你补全这个输水管道的圖形範面； A K ___ X

(2)若这个输水管道有水部分的水面宽AB = 16cm,水面来逮地方的為度为4cm,求这个 圖形离面的丰役.

例2 如图，PQ = 3・以PQ为直役的圆与一个以5为丰色的圖相切于点P,正方形ABCD 小圆農.正方形的外部且与CD切于点Q, M AB = ?

例3 如图，己知©O中，直径MN = 10,正方形ABCD的b个顶点分别在半後OM. OP以及0O上，并且ZPOM=45° , fi-j AB的长为多少？

例4 图为小旬行车内於的一部分，如何将它平均分给両个小朋发做玩具？ v

二.与S1有关的多解題

几何幾目一般比较灵活.若西图片而，考虑不周，很汆易漏解，凌成鮮題错谋，疫鮮有 关圆的问題对，常常令因忽视图形的几种可能性而馮鮮.

1•忽视点的可能佞置.

例5 AABC是丰役为2的S］的内接三角形，若BC = 2jJcm, fl-J ZA的度数为 __________________________________________________________________________________________________________

圆的解题技巧总结

一、垂径定理的应用

给出的圆形纸片如图所示，如果在圆形纸片上任意画一条垂直于直径 CD的弦AB,垂足

为P,再将纸片沿着直径 CD对折，我们很容易发现 A B两点重合，即有结论AP=BP弧AC= 弧BC.其实这个结论就是“垂径定理”，准确地叙述为：垂直于弦的直径平分这条弦，并 且平分弦所对的弧.

垂径定理是“圆”这一章最早出现的重要定理， 它说明的是圆的直径与弦及弦所对的弧

之间的垂直或平分的对应关系， 是解决圆内线段、弧、角的相等关系及直线间垂直关系的重 要依据，同时，也为我们进行圆的有关计算与作图提供了方法与依据.

例1某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形 截面的半径，下图是水平放置的破裂管道有水部分的截面.

(1) 请你补全这个输水管道的圆形截面；

(2) 若这个输水管道有水部分的水面宽 AB=16cm水面最深地方的高度为 4cm,求这个圆

形截面的半径.

例3 如图，已知OO 中，直径 MN=10正方形 ABCD的四个顶点分别在半径 OM 0P以

及00上，并且/ POM=4°，贝U AB的长为多少?

例4图为小自行车内胎的一部分，如何将它平均分给两个小朋发做玩具? 例2如图，PQ=3以PQ为直径的圆与一个以 5为半径的圆相切于点 P,正方形ABCD

的顶点A、B在大圆上，小圆在正方形的外部且与 CD切于点Q,贝U AB=? 当题中没有明确直线与圆是否相交时, 可先过圆心作直线的垂线，然后证明圆心到直线 二、与圆有关的多解题

几何题目一般比较灵活，若画图片面，考虑不周，很容易漏解，造成解题错误，在解有 关圆的问题时，常常会因忽视图形的几种可能性而漏解.

1.忽视点的可能位置.

例5 △ ABC是半径为2的圆的内接三角形，若 BC=2/3cm,贝卩/A的度数为 __________________

2.忽视点与圆的位置关系.

例6 点P到O0的最短距离为2 cm，最长距离为6 cm,则O 0的半径是 __________________