概率问题常见错解剖析
檀立志
【期刊名称】《考试：高考理科版》
【年(卷),期】2006(000)012
【摘要】笔者在教学中发现同学们在解答概率习题时由于审题不够细心,从而导致类型定位不准、情况出现重复或者遗漏等错误现象比较普遍。
今特选几道有代表性的问题予以分析,希望对大家有所启发。
1．主观臆断导致错误[例1]从装有36粒药丸的瓶中,随意倒出若干粒(至少一粒),则倒出奇数粒的概率比倒出偶数粒的概率( )【总页数】3页(P19-21)
【作者】檀立志
【作者单位】
【正文语种】中文
【中图分类】G633.7
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概率问题的易错点分析作者：杨必富来源：《高中生学习·高二文综版》2014年第11期概率的易错点很多，但归纳起来主要有这样几类：一是对概率的相关概念理解不透彻，对其外延与内涵的掌握不准确；二是审题不严谨、不细致，如审题不清、忽视隐含条件、对一些关键语句理解不到位等，导致解题思路不清；三是对概率的相关公式理解和记忆不准确、公式的选择“文不对题”，导致解题出错.问题一对等可能性事件的概念理解不清例1 把三枚硬币一起掷出，求出现两枚正面向上，一枚反面向上的概率.错解三枚硬币掷出所有可能结果有2×2×2=8种，而出现两正一反是一种结果，故所求概率[P=18.]分析上述错解在于对于等可能性事件的概念理解不清，所有8种结果的出现是等可能性的，如果把上述三种结果看作一种结果就不是等可能性事件了，运用求概率的基本公式[P=mn]求解自然就是错误的.正解在所有的8种结果中，两正一反并不是一种结果，而是有三种结果：正、正、反，正、反、正，反、正、正，因此所求概率[P=38.]例2 某种产品100件，其中有次品5件，现从中任抽取6件，求恰有一件次品的概率.错解由题意知，这种产品的次品率为5%，且每次抽取相互独立，由独立重复试验概率公式得，6件产品中恰有1件次品的概率为：[P6（1）=C165100（1-5100）5][=0.2321].分析错解中有两个错误：第一，100件产品，其中有5件次品与次品率为5%是两个不同的概念；第二，该试验不是独立重复试验，从100件产品中任抽6件，可当作抽了6次，每次抽1个，但每次抽到次品还是正品，显然直接影响到下一次抽到次品或正品的概率. 具体地说，如果第一次抽出的是次品，那么次品就少了一个，第二次再抽到次品的概率就小了……这就是说各次试验之间并非独立的，错用了独立重复试验概率公式.正解 [P=C15C595C6100=0.2430].点拨判断一个试验是否为等可能事件的前提条件是试验的环境和条件都相同，同时分清在一个等可能事件中某随机事件包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数.问题二对概率问题审题不仔细例3 一箱磁带最多有一盒次品，每箱装25盒磁带，而生产过程中产生次品磁带的概率是0.01，则一箱磁带最多有一盒次品的概率？错解一箱磁带有一盒次品的概率为[0.01×（1-0.01）24]，一箱磁带中无次品的概率为[（1-0.01）25]，所以一箱磁带最多有一盒次品的概率是[0.01×（1-0.01）24]+[（1-0.01）25].分析由于这一箱磁带共25盒，则一箱磁带有一盒次品的概率应为[C125∙0.01×（1-0.01）24].因而在做文字较多的排列组合或概率题时应仔细审题，读懂题目中的关键词的含义.正解一箱磁带有一盒次品的概率[C125∙0.01×（1-0.01）24]，一箱磁带中无次品的概率[C025∙（1-0.01）25]，所以一箱磁带最多有一盒次品的概率是[C125∙0.01×（1-0.01）24]+[C025∙（1-0.01）25].例4 已知在6个电子元件中，有2个次品，4个合格品，每次任取一个测试，测试完不再放回，直到2个次品都找到为止，求经过4次测试恰好将2个次品全部找出的概率.错解一经过4次测试恰好将2个次品全部找出，表示前4次中有2次取到正品和2次取到次品，故所求概率为[A24A24A46]=[15].错解二经过4次测试恰好将2个次品全部找出表示第4次正好取到次品，故所求概率为[C12C24A33A46]=[15.]分析若仔细审题，我们会发现：经过4次测试恰好将2个次品全部找出，不仅包括4次正好取到次品，前3次中有一次取到次品，还有前4次正好都取到合格品的情况，即此时剩下2个都是次品.正解经过4次测试恰好将2个次品全部找出的概率为[C12C24A33+A44A46=415.]点拨先读懂题意、注意关键词，将具体问题与概率相关问题联系清楚后再解答.三、对概率问题的相关公式选择不准确例5 在一个口袋中装有5个白球和3个黑球，这些球除颜色外完全相同，从中摸出3个球，至少摸到2个黑球的概率？错解总共有[C38]=56种取法，取出2个黑球的有15种. 概率为[1556.]分析求等可能事件的概率，首先明确等可能事件中的基本事件是什么，其次要明确由基本事件组成的一般事件中包含基本事件的可能结果有多少种，最后由定义求概率.正解总共有56种取法，取出2个黑球的有15种，取出3个黑球的有1种. 概率为[15+156=27.]例6 甲、乙两队进行一场排球比赛，根据以往经验，单局比赛甲队胜乙队的概率为0.6.本场比赛采用五局三胜制，即先胜三局为胜，比赛结束.设各局比赛相互之间没有影响，求：（1）前三局比赛甲队领先的概率；（2）本场比赛乙队以3∶2取胜的概率.错解（2）本场比赛乙队以3∶2取胜，则其概率为[P]=[C35（0.6）3（0.4）2]=0.3456.分析第二问中“乙队以3∶2取胜”，并不是五局比赛中乙恰好胜了三次，通过本题，明确比赛中求概率的方法，要结合所学知识，灵活地应用到实际中来，不能盲目地套用公式.正解（1）前三局比赛甲队领先分为两种情况，这两种情况是互斥的. ①前三局比赛中甲队全部获胜，其概率为[P1]=[C33（0.6）3（0.4）0]=0.216；②前三局比赛中甲队两局获胜、一局失败，其概率为[P2]=[C23（0.6）2（0.4）1]=0.432；∴前三局比赛甲队领先的概率为：[P=P1+P2]=0.648.（2）本场比赛乙队以3∶2取胜，则乙队在前四局比赛中乙队获胜两局、在第五局比赛中获胜，其概率为P=[C24（0.6）20.4]=0.13824≈0.138.点拨先审清题意，再联想到具体知识点和相关概念，最后选择相关的公式和方法.问题四对于概率问题不能灵活选用不同方法求解例7 从10位同学（其中6女，4男）中随机选出3位参加测验，每位女同学能通过测验的概率均为[45]，每位男同学能通过测验的概率均为[35]. 试求：（1）选出的3位同学中，至少有一位男同学的概率；（2）10位同学中的女同学甲和男同学乙同时被选中且通过测验的概率.错解（1）随机选出的3位同学中，至少有一位男同学的概率为[C14C26+C24C16C310=12.]分析“至少有一个男生”的情况有三种，容易漏掉且计算量大，通过求对立事件的概率，转化为先求其对立事件的概率，再求所求事件的概率，从而使问题简单化.正解（1）随机选出的3位同学中，至少有一位男同学的概率为[1-C36C310=56].（2）甲、乙被选中且能通过测验的概率为[C18C310×45×35=4125].点拨有些概率问题正面解决比较清晰，有些正面解决比较复杂，可以从对立面入手，正难则反，往往可以取到事半功倍的效果.方法与策略 1.要以课本概念和方法为主，以熟练技能、巩固概念为目标，查找知识缺漏，总结解题规律. 2.相互独立事件首先要概念清楚，善于把所求概率事件划分为几个独立的事件.一般地，解答这类问题往往需要综合运用等可能事件的概率公式. 3.对于互斥事件，首先要搞清概念，然后将一个事件划分为若干个互斥事件的和，能灵活运用公式求概率，还要灵活运用“正难则反”的思想来求复杂事件的对立事件的概率.1. 已知盒子中有散落的黑白棋子若干粒，从中取出2粒都是黑子的概率是[17]，从中取出2粒都是白子的概率是[1235]，现从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是多少？2. 已知射手甲射击一次，命中9环（含9环）以上的概率为0.56，命中8环的概率为0.22，命中7环的概率为0.12.（1）求甲射击一次，命中不足8环的概率；（2）求甲射击一次，至少命中7环的概率.3. 某袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，取到红球的概率为[13]，取到黑球或黄球的概率是[512]，取到黄球或绿球的概率也是[512]，试求取到黑球、黄球、绿球的概率各是多少？4. 袋中有红、黄、白3种颜色的球各1只，从中每次任取1只，有放回地抽取3次，求：（1）“3只球颜色全相同”的概率；（2）“3只球颜色不全相同”的概率.5. 高三某班有两个数学课外兴趣小组，第一组有2名男生，2名女生，第二组有3名男生，2名女生.现在班主任要从第一组选出2人，从第二组选出1人，请他们在班会上和全班同学分享学习心得.（1）求选出的3人均是男生的概率；（2）求选出的3人中有男生也有女生的概率.1. [1735]2. 0.22 0.93. [14]，[16]，[14]4. （1）[19] （2）[89]5. （1）[110] （2）[56]。
