拓朴学基础试题

拓扑学测试题一一、选择题（每小题2分，共10分）下列拓扑性质中，不满足连续不变性的是（ ） A. 列紧 B. 序列紧 C. 可数紧 D. 紧致 下列拓扑性质中，没有遗传性的是（ ） A.1T 空间 B. 2T 空间 C. 3T 空间 D. 4T 空间下列拓扑性质中，有限积性不成立的是（ ） A.1T 空间 B. 2T 空间 C. 3T 空间 D. 4T 空间设X 多于两点， 21,ττ是X 的两个拓扑，则下列命题不成立的是（ ） (A) 21ττ⋃是X 的某个拓扑的基; (B) 21ττ⋂是X 的一个拓扑; (C) 21ττ⋃是X 的一个拓扑; (D) 21ττ⋂是X 的某个拓扑的基。

设A 为度量空间 ),(d X 的任一非空子集,则下列命题不成立的是（ ） (A) x 为A 的边界点当且仅当 (,)(,)0d x A d x X A =-= (B) x 为A 的聚点当且仅当 (,)0d x A = (C) x 为A 的内点当且仅当 (,)0d x X A ->; (D) A x ∈当且仅当 0),(=A x d .二、 二、判断题（每小题5分，共25分） 三、 仿紧空间是度量空间.（）四、 商映射一定是闭映射或开映射. （）五、 局部道路连通空间不一定是道路连通空间. （） 六、 连通空间一定是局部连通空间. （）七、 若11:f S →连续，则 1t ∃∈，使1()f t -不可数. （） 八、 三、解答题（第1小题10分，第2小题15分，共25分） 九、 举例说明拓扑空间中的有限子集可以有聚点. 十、 设{}0,1,2X =，试写出 X 上的所有拓扑.十一、 四、证明题（每小题10分，共40分） 十二、 若 X 满足1T 公理，则X 中任一子集的导集都是闭集.十三、 证明欧氏平面除去可数个点后仍是道路连通的.十四、 证明至少有两个点的T 4空间的连通子集一定是不可数集.十五、 证明 X 为Hausdorff 空间当且仅当 {(,)|}x x x X ∆=∈是 X X ⨯的闭集.答案一 、 选择题 1、A 2、D 3、D 4、C 5、B二 、 是非题 1、ⅹ 2、ⅹ 3、√ 4、ⅹ 5、√三 、 解答题 1. 举例说明拓扑空间中的有限子集可以有聚点.解 例如 {}0,1X =，{},0,X τ=∅，{}{}01'=.2. 设 {}0,1,2X =，试写出X 上的所有拓扑. 解 2个开集的共有1个：{Φ,{0,1,2}}, 3个开集的共有6个： {Φ,{0},{0,1,2}},{Φ,{1},{0,1,2}},{Φ,{2},{0,1,2}}，{Φ,{1,2},{0,1,2}},{Φ,{0,1},{0,1,2}},{Φ,{0,2},{0,1,2}} 4个开集的共有9个：{Φ,{0},{0,1},{0,1,2}}，{Φ,{0},{0,2},{0,1,2}}，{Φ,{1},{1,2},{0,1,2}}，{Φ,{1},{0,1},{0,1,2}}，{Φ,{2},{0,2},{0,1,2}}，{Φ,{2},{1,2},{0,1,2}}，{Φ,{0},{1},{0,1},{0,1,2}}，{Φ,{0},{2},{0,2},{0,1,2}} {Φ,{1},{2},{1,2},{0,1,2}} 5个开集的共有6个：{Φ,{0},{0,2},{0,1},{0,1,2}}，{Φ,{1},{1,2},{0,1},{0,1,2}}，{Φ,{2},{1,2},{0,2},{0,1,2}} {Φ,{1},{2},{1,2},{0,1,2}}{Φ,{0},{1},{0,1},{0,1,2}} {Φ,{0},{2},{0,2},{0,1,2}} 6个开集的有6个：{Φ,{0},{1},{0,2},{0,1},{0,1,2}},{Φ,{0},{1},{1,2},{0,1},{0,1,2}}，{Φ,{1},{2},{1,2},{0,2},{0,1,2}}, {Φ,{1},{2},{1,2},{0,1},{0,1,2}}，{Φ,{0},{2},{0,1},{0,2},{0,1,2}},{Φ,{0},{2},{1,2},{0,2},{0,1,2}} … 8个开集的有1个：{Φ,{0},{1},{2},{1,2},{0,2},{0,1},{0,1,2}} 因此共有1+6+9+6+6+1＝29个拓扑四 、证明题 1. 若X 满足 1T 公理，则X 中任一子集的导集都是闭集. 证明 设 A X ⊂，只要验证 ()cA '是开集. ()cx A '∀∈，则x 有开邻域U ，使得{}()\U x A =∅，由 1T 公理知， {}\U x 是开集，从而 {}()\cU x A '⊂，于是()cU A '⊂；所以x 是()cA '的内点.2. 证明欧氏平面除去可数个点后仍是道路连通的.证明 设X 是从 2R 除去可数个点后所得到的空间, ,x y X ∀∈，若 x y ≠，设L 是线段xy 的中垂线，设 z L ∈,用(,,)x y z 表示连接 ,,x y z 的折线, 由于这样的折线有不可数多条, 而 X 的余集 Y 是可数集, 所以至少有一条折线 (,,)x y z 不含 Y 中的点, 这表明X 是道路连通的.3. 证明至少有两个点的4T 空间的连通子集一定是不可数集.证明 设X 是至少有两个点的连通的4T 空间 Y 的子集，设 ,x y 是 X 中的两个不同点，令 {},{}A x B y ==，则 A 和B 是子空间 X 中的两个非空不相交的闭集，故由乌里松引理知，存在连续函数 :[0,1]f X →使得， ()0,()1f x f y ==，又因 X 是连通的，故 ()f X 是 [0,1]中的连通集，而 0,1()f X ∈，因此 ()[0,1]f X =，于是 X一定是不可数集.4.证明 X 为Hausdorff 空间当且仅当 {(,)|}x x x X ∆=∈是 X X ⨯的闭集.证明 （必要性）要证 ∆为闭集，只要证它的余集是开集。

拓扑期末试题及答案一、选择题1. 下面哪个选项不是拓扑的基本概念？A. 连通性B. 邻域C. 紧致性D. 可分性答案：B. 邻域2. 拓扑空间的定义中包括以下哪些要素？A. 集合B. 拓扑C. 运算D. 距离答案：A. 集合，B. 拓扑3. 以下哪个定理用于判断一个集合是否为紧致集？A. Heine-Borel定理B. Bolzano-Weierstrass定理C. 单调有界定理D. Cantor定理答案：A. Heine-Borel定理4. 一个空间若每个点都有至少一个可数邻域，则称该空间满足：A. 可分性B. 连通性C. 紧致性D. 完备性答案：A. 可分性5. 以下哪个不是拓扑空间上的基本拓扑？A. 离散拓扑B. 序拓扑C. 紧致拓扑D. Hausdorff拓扑答案：C. 紧致拓扑二、填空题1. 在连通空间中，_________只有一个子集，即空集和整个集合本身。

答案：极大连通子集2. 设X是一个度量空间，如果序列{an}在X中收敛到点x，则它的任意一个子列也在X中收敛到点x，这个定理称为_________定理。

答案：Bolzano-Weierstrass定理3. 设X、Y是两个度量空间，f:X→Y是一个映射，若对X中任意一致收敛的序列{an}都有序列{f(an)}一致收敛于f(a)，则称f是一个_________映射。

答案：连续映射4. 在一个度量空间中，若集合E能被包含在一列开集内，即E⊆∪(n=1)∞O(n)，则E称为_________集。

答案：可分集5. 在度量空间中，_________是指个别的点被聚集成簇，而某个区域内不能含有过多的点。

答案：Hausdorff性三、计算题1. 已知拓扑空间X为实数集R上的子集，其基本拓扑为以区间(a,b)为开集的集合族T，计算X中元素x=1的极限点。

解答：首先，极限点是指一个点周围存在无穷多的序列点。

对于x=1来说，我们可以构造一个序列{a_n}，其中a_n = 1+1/n。

拓扑学的基础概念
当然，请看以下的试题：
选择题：
1. 拓扑学的基础概念主要研究的是：
A. 几何形状
B. 连通性和区域性
C. 点的坐标
D. 函数的性质
2.
拓扑学中的一个基本概念是拓扑空间，它由哪些元素构成？
A. 点和直线
B. 集合和其上的拓扑结构
C. 数字和字母
D. 曲线和曲面
3. 以下哪个不是拓扑空间的例子？
A. 实数集R
B. 二维欧氏空间R^2
C. 三维坐标空间R^3
D. 整数集Z
4.
拓扑学中用来研究拓扑空间之间映射连续性的基本工具是：
A. 求导
B. 极限
C. 开集与闭集
D. 函数
5. 拓扑学中的“连通性”是指：
A. 空间可以被分成两个不相交的部分
B. 空间中的任意两点之间存在路径
C. 空间中的点密集分布
D. 空间中没有孤立的点
填空题：
6.
拓扑学研究的对象主要是________和它们之间的________关系。

7.
一个拓扑空间的基本构成要素包括________和其上的________。

8. 拓扑学中研究连续性的工具是________和________。

9.
一个连通的拓扑空间是指整个空间________被分割成不相交的部分。

10.
拓扑学的基础概念是________，它是指一个集合和该集合上的一组________。

点集拓扑学试题(含答案)work Information Technology Company.2020YEAR三．判断（每题4分，判断1分，理由3分）1、．从离散空间到拓扑空间的任何映射都是连续映射( ) 答案:√理由：设X 是离散空间，Y 是拓扑空间，:f X Y →是连续映射，因为对任意A Y ⊂，都有1)f A X -⊂（,由于X 中的任何一个子集都是开集，从而1()f A -是X 中的开集，所以:f X Y →是连续的.2、设12, T T 是集合X 的两个拓扑，则12 T T ⋂不一定是集合X 的拓扑( )答案:× 理由：因为（1）12, T T 是X 的拓扑，故∈φ,X T 1，∈φ,X T ２，从而∈φ,X 12 T T ⋂； （２）对任意的∈B A ,T 1⋂T ２，则有∈B A ,T 1且∈B A ,T ２，由于T 1, T 2是X 的拓扑，故∈⋂B A T 1且∈⋂B A T 2，从而∈⋂B A T 1⋂T ２；（３）对任意的21T T T ⋂⊂'，则21,T T T T ⊂'⊂'，由于T 1, T 2是X 的拓扑，从而 U ∈T ’U ∈T 1, U ∈T ’U ∈T 2,故 U ∈T ’U ∈ T 1⋂T ２；综上有T 1⋂T ２也是X 的拓扑．3、从拓扑空间X 到平庸空间Y 的任何映射都是连续映射（ ）答案:√ 理由：设:f X Y →是任一满足条件的映射，由于Y 是平庸空间，它中的开集只有,Y φ,易知它们在f 下的原象分别是,X φ,均为X 中的开集，从而:f X Y →连续.4、设A 为离散拓扑空间X 的任意子集，则()d A φ= （ ）答案:√理由：设p 为X 中的任何一点，因为离散空间中每个子集都是开集，所以{}p 是X 的开子集，且有{}{}()p A p φ-=，即()p d A ∉,从而 ()d A φ=.5、设A 为平庸空间X （X 多于一点）的一个单点集，则()d A φ= （ ）答案：× 理由：设{}A y =,则对于任意,x X x y ∈≠,x 有唯一的一个邻域X ，且有()y X A x ∈⋂-,从而()X A x φ⋂-≠，因此x 是A 的一个凝聚点，但对于y 的唯一的邻域X ，有()X A y φ⋂-=,所以有()d A X A φ=-≠.6、设A 为平庸空间X 的任何一个多于两点的子集，则()d A X = （ ）答案：√ 理由：对于任意,x X ∈因为A 包含多于一点，从而对于x 的唯一的邻域X ，且有()X A x φ⋂-≠，因此x 是A 的一个凝聚点，即()x d A ∈，所以有()d A X =.7、设X 是一个不连通空间，则X 中存在两个非空的闭子集,A B ,使得,A B A B X φ⋂=⋃=（ ）答案：√理由：设X 是一个不连通空间，设,A B 是X 的两个非空的隔离子集使得A B X ⋃=,显然A B φ=，并且这时有:()()B B X B A B B B =⋂=⋂⋃⋂=从而B 是X 的一个闭子集，同理可证A 是X 的一个闭子集，这就证明了,A B 满足,A B A B X φ⋂=⋃=.8、若拓扑空间X 中存在一个既开又闭的非空真子集，则X 是一个不连通空间( )√ 理由：这是因为若设A 是X 中的一个既开又闭的非空真子集，令B A '=，则,A B 都是X 中的非空闭子集，它们满足A B X ⋃=，易见,A B 是隔离子集，所以拓扑空间X 是一个不连通空.五．简答题（每题4分）1、设X 是一个拓扑空间，,A B 是X 的子集，且A B ⊂.试说明()()d A d B ⊂. 答案：对于任意()x d A ∈,设U 是x 的任何一个邻域，则有({})U A x φ⋂-≠,由于A B ⊂，从而({})({})U B x U A x φ⋂-⊃⋂-≠，因此()x d B ∈，故()()d A d B ⊂.2、设,,X Y Z 都是拓扑空间.:f X Y →, :g Y Z →都是连续映射，试说明:g f X Z →也是连续映射.答案：设W 是Z 的任意一个开集，由于:g Y Z →是一个连续映射，从而1()g W -是Y 的一个开集，由:f X Y →是连续映射，故11(())f g W --是X 的一开集，因此111()()(())g f W f g W ---=是X 的开集，所以:g f X Z →是连续映射.3、设X 是一个拓扑空间，A X ⊂.试说明：若A 是一个闭集，则A 的补集A '是一个开集. 答案：对于x A '∀∈,则x A ∉，由于A 是一个闭集，从而x 有一个邻域U 使得({})U A x φ⋂-=,因此U A φ⋂=，即U A '⊂,所以对任何x A '∈,A '是x 的一个邻域，这说明A '是一个开集.4、设X 是一个拓扑空间，A X ⊂.试说明：若A 的补集A '是一个开集，则A 是一个闭集.答案：设x A ∉,则x A '∈,由于A '是一个开集，所以A '是x 的一个邻域，且满足A A φ'⋂=,因此x A ∉,从而A A ⊃,即有A A =，这说明A 是一个闭集.Authorware一、判断题1、Authorware 中设计窗口描述2、移动图标制作动画3、擦出图标的内容4、几何画板中的动画5、关于交互结构的描述6、显示图标的工具面板的描述7、8、显示图标层的描述9、10、显示图标的描述11、关于标志旗的描述12、系统变量的描述（计算图标）13、声音图标的描述14、显示图标中的对象排列二、单项选择1、定义的简称（缩写）2、移动图标的使用3、图标功能的描述4、5.、10、图标的操作（创建，编辑）6、交互结构，交互分支7、文本输入交互8、几何画板常见菜单9、计算图标的使用11、群组图标的操作12、显示模式（模式工具）13、图标操作14、显示图标操作15、交互16、交互17、显示图标中工具箱的操作18、图标的操作三、多项原则移动图标、交互四、填空题1、图标的名称（7-8）2、几何画板（几何变换）（移动，旋转）3、显示图标工具箱中的名称4、移动图标5中类型5、计算图标中运算符的使用五、简答题1、关于移动2、交互结构3、集合画板4、编程一、判断题１、如果为视频文件额外配置声音，那么须用声音图标和电影图标。