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线性代数考试题及答案3

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《线性代数》试卷 （A） 第 1 页 共 10 页

2009－2010学年第一学期期末考试

《线性代数》试卷 答卷说明：1、本试卷共6页，五个大题，满分100分，120分钟完卷。 2、闭卷考试。

题号 一 二 三 四 五 总分

分数 评阅人:_____________ 总分人：______________ 一、单项选择题。(每小题3分,共24分)

【 】1.行列式3111131111311113 (A)0 (B) 1 (C) 2 (D)3 【 】2.设A为3阶方阵，数2，3A，则A (A) 24 (B) 24 (C) 6 (D) 6 【 】3.已知,,BA为n阶方阵，则下列式子一定正确的是

(A)BAAB (B)2222B)(ABABA (C)BAAB (D) 22))((BABABA 【 】4.设A为3阶方阵, 0aA，则A (A) a （B) 2a (C) 3a (D) 4a 【 】5.设矩阵A与B等价，则有 (A) )()(BRAR (B) )()(BRAR

(C) )()(BRAR (D) 不能确定)(AR和)(BR的大小

得分 __________________系__________专业___________班级 姓名______

_________ 学号_______________

………………………………（密）………………………………（封）………………………………（线）…………………………

…

… 《线性代数》试卷 （A） 第 2 页 共 10 页 【 】6.设n元齐次线性方程组0Ax的系数矩阵A的秩为r，则0Ax有非零解的充分必要条件是 (A) nr (B) nr (C) nr (D) nr

【 】7. 向量组)2(,,,21maaam

线性相关的充分必要条件是

(A) maaa,,,21

中至少有一个零向量

(B) maaa,,,21

中至少有两个向量成比例

(C) maaa,,,21

中每个向量都能由其余1m个向量线性表示

(D) maaa,,,21

中至少有一个向量可由其余1m个向量线性表示

【 】8. n阶方阵A与对角阵相似的充分必要条件是 (A)nAR)( (B)A有n个互不相同的特征值 (C)A有n个线性无关的特征向量 (D)A一定是对称阵

二、填空题。(每小题3分,共15分) 1.已知3阶行列式D的第2行元素分别为1,2,1，它们的余子式分别为2,1,1，则D 。

2.设矩阵方程12640110X，则X 。

3.设x是非齐次线性方程组bAx的一个特解，21,为对应齐次线性方程组0Ax的基础解系，则非齐次线性方程组bAx的通解为 .

4.设nm矩阵A的秩rAR)(，则n元齐次线性方程组0Ax的解集S的最大无

关组0S的秩0sR 。 5.设是方阵A的特征值，则 是2A的特征值 三、计算题(每小题8分,共40分).

得分 得分 《线性代数》试卷 （A） 第 3 页 共 10 页

1．计算行列式2431101231215201。 2.已知矩阵814312201A，求其逆矩阵1A。 3.设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知321,,是它的三个解向量且 《线性代数》试卷 （A） 第 4 页 共 10 页

54321，

43

2

1

32，求该方程组的通解。

4.求矩阵2112A的特征值和特征向量。

5.用配方法化二次型32312123222162252xxxxxxxxxf成标准型。 《线性代数》试卷 （A） 第 5 页 共 10 页

四、综合体(每小题8分,共16分) 1. 解下列非齐次线性方程组 12222412432143214321xxxxxxxxxxxx

2. 已知向量组

得分 《线性代数》试卷 （A） 第 6 页 共 10 页

1613,132,321321aaa 求)1(向量组的秩；)2(向量组的一个最大无关组，并把不属于最大无关组的向量用该最大无关组线性表示。

五、证明题（5分） 证明：设n阶方阵A满足022EAA，证明A及EA2都可逆，并

求1A及1)2(EA。

一、单项选择题。(每小题3分,共24分 1 A 2 B 3 C 4 B 5 C 6 C 7 D 8 C 二、填空题。(每小题3分,共15分)

1. 4 2.6412 3. ),(212211Rccccx 4. rn 5.

2

得分 《线性代数》试卷 （A） 第 7 页 共 10 页

三、计算题(每小题8分,共40分). 1.

解：2431101231215201=72301141023205201………………（2分）

=40100020500114105201………………（2分） =000020500114105201………………（2分） =0………………（2分） 2.已知矩阵814312201A，求其逆矩阵1A。

解：100814010312001201),(EA ………………（2分）



1161001040102211001~r ………………（4分）

则11610422111A………………（2分） 3.设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知321,,是它的三个解向量且

54321，

43

2

1

32，求该方程组的通解。 《线性代数》试卷 （A） 第 8 页 共 10 页

解：由已知可得：对应的齐次线性方程组0Ax的解集S的秩为134，因此齐次线性方程组0Ax的任意非零解即为它的一个基础解系。………………（3分）

令)(2321

则022)](2[321321bbbAAAAA 所以0)6,5,4,3(T为齐次线性方程组0Ax的一个基础解系。………（3分） 由此可得非齐次线性方程组bAx的通解为：

)(54326543Rkkkx

………………（2分）

4.求矩阵2112A的特征值和特征向量。 解：A的特征多项式为： )3)(1(2112EA

所以A的特征值为3,121。………………（4分） （1）当11时，对应的特征向量满足



001111

21

x

x

，解得：21xx

则11对应的特征向量可取111p………………（2分） （2）当31时，对应的特征向量满足 

001111

21

x

x

，解得：21xx

则31对应的特征向量可取1121p………………（2分） 5.用配方法化二次型32312123222162252xxxxxxxxxf成标准型。

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线性代数期末考试题及答案

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线性代数期末考试题及答案一、选择题1. 下列哪个不是线性代数的基本概念？A. 矩阵B. 向量C. 函数D. 行列式答案：C. 函数2. 矩阵A的转置记作A^T，则（A^T）^T等于A. AB. -AC. A^TD. 2A答案：A. A3. 对于矩阵A和B，满足AB = BA，则称A和B是A. 相似矩阵B. 对角矩阵C. 线性无关D. 对易矩阵答案：D. 对易矩阵4. 行列式的性质中，不能成立的是A. 行列式交换行B. 行列式某一行加上另一行不变C. 行列式等于数乘其中某一行对应的代数余子式的和D. 行列式的某一行的系数乘以另一行不变答案：D. 行列式的某一行的系数乘以另一行不变5. 给定矩阵A = [3, -1; 4, 2]，则A的秩为A. 0B. 1C. 2D. 3答案：C. 2二、填空题1. 给定矩阵A = [2, 1; -3, 5]，则A的行列式为______答案：132. 设矩阵A的逆矩阵为A^-1，若AA^-1 = I，其中I是单位矩阵，则A的逆矩阵为______答案：I3. 若矩阵的秩为r，且矩阵的阶数为n，若r < n，则该矩阵为______矩阵答案：奇异三、简答题1. 解释什么是线性相关性和线性无关性？答案：若存在不全为零的数k1, k2，...，kn，使得方程组中的向量k1v1 + k2v2 + ... + knvn = 0成立，则称向量组{v1, v2, ..., vn}线性相关；若该方程仅在k1 = k2 = ... = kn = 0时成立，则称向量组{v1, v2, ..., vn}线性无关。

2. 如何判断一个矩阵是对称矩阵？答案：若矩阵A的转置等于自身，即A^T = A，则称矩阵A是对称矩阵。

四、计算题1. 给定矩阵A = [1, 2; 3, 4]，求A的逆矩阵。

答案：A的逆矩阵为1/(-2)[4, -2; -3, 1]2. 求向量v = [1, 2, 3]的模长。

线性代数期末考试试题及答案

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线性代数期末考试试题及答案 一、单项选择题（每题3分，共30分） 1. 矩阵A的行列式为0，则A（ ）。 A. 可逆 B. 不可逆 C. 可逆或不可逆 D. 以上都不对

答案：B 2. 向量组α1，α2，…，αn线性无关，则（ ）。 A. 它们中任何一个向量都不能由其余向量线性表示 B. 它们中任何一个向量都能由其余向量线性表示 C. 它们中至少有一个向量能由其余向量线性表示 D. 它们中至多有一个向量能由其余向量线性表示 答案：A 3. 对于n阶方阵A，下列命题不正确的是（ ）。 A. 若A可逆，则|A|≠0 B. 若|A|=0，则A不可逆 C. 若A可逆，则A^T可逆 D. 若A^T可逆，则A可逆

答案：D 4. 矩阵A和B等价的充分必要条件是（ ）。 A. |A|=|B| B. A和B的秩相等 C. A和B的行向量组等价 D. A和B的列向量组等价

答案：B 5. 设A为n阶方阵，若A^2=0，则（ ）。 A. A=0 B. |A|=0 C. A可逆 D. A不可逆

答案：D 6. 设A为3×3矩阵，且|A|=2，则|2A|等于（ ）。 A. 4 B. 8 C. 16 D. 64

答案：C 7. 设A为n阶方阵，若A^T=A，则A称为（ ）。 A. 对称矩阵 B. 正交矩阵 C. 斜对称矩阵 D. 反对称矩阵

答案：A 8. 设A为n阶方阵，若A^TA=E，则A称为（ ）。 A. 对称矩阵 B. 正交矩阵 C. 斜对称矩阵 D. 反对称矩阵

答案：B 9. 设A为n阶方阵，若A^T=-A，则A称为（ ）。 A. 对称矩阵 B. 正交矩阵 C. 斜对称矩阵 D. 反对称矩阵 答案：D 10. 设A为n阶方阵，若A^T=A^-1，则A称为（ ）。 A. 对称矩阵 B. 正交矩阵 C. 斜对称矩阵 D. 反对称矩阵

答案：B 二、填空题（每题4分，共20分） 11. 设矩阵A=\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{bmatrix}，则|A|=________。

线性代数期末考试试题及答案

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线性代数期末考试试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 若矩阵A是可逆的，则下列哪个选项是正确的？A. A的行列式为0B. A的行列式不为0C. A的逆矩阵不存在D. A的逆矩阵是其转置矩阵答案：B2. 线性方程组有唯一解的充分必要条件是：A. 系数矩阵的行列式为0B. 系数矩阵的行列式不为0C. 增广矩阵的秩等于系数矩阵的秩D. 增广矩阵的秩大于系数矩阵的秩答案：B3. 设A是n阶方阵，若A的特征值均为1，则A可能是：A. 零矩阵B. 单位矩阵C. 任意对角矩阵D. 任意方阵答案：B4. 向量空间中，若两个向量组等价，则它们：A. 包含相同数量的向量B. 包含相同数量的线性无关向量C. 可以相互线性表出D. 具有相同的维数答案：D二、填空题（每题5分，共20分）1. 设矩阵A的秩为r，则矩阵A的行向量组和列向量组的最大线性无关组包含的向量数量均为______。

答案：r2. 若向量组α1, α2, ..., αn线性无关，则向量组α1+β,α2+β, ..., αn+β线性相关，其中β为非零向量，这说明向量组α1, α2, ..., αn的线性相关性与向量β的______有关。

答案：选择3. 设A是3×3矩阵，且A的行列式|A|=2，则矩阵A的逆矩阵的行列式|A^(-1)|等于______。

答案：1/24. 若线性方程组的系数矩阵A和增广矩阵B具有相同的秩，则该线性方程组的解集的维数为n-r，其中n是矩阵A的阶数，r是矩阵A的秩，则该线性方程组的解集的维数为______。

答案：n-r三、解答题（每题15分，共40分）1. 已知矩阵A=\[\begin{pmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{pmatrix}\]，求矩阵A的特征值和特征向量。

答案：特征值λ1 = 5，对应的特征向量为\[\begin{pmatrix}-2 \\1\end{pmatrix}\]；特征值λ2 = 1，对应的特征向量为\[\begin{pmatrix}1 \\1.5\end{pmatrix}\]。

线性代数期末考试题及答案

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线性代数期末考试题及答案一、单项选择题（每题3分，共30分）1. 向量组的线性相关性是指（）。

A. 至少有一个向量可以由其他向量线性表示B. 所有向量都为零向量C. 所有向量线性无关D. 向量组中存在非零向量答案：A2. 矩阵A的行列式为0，则矩阵A（）。

A. 可逆B. 不可逆C. 行向量线性无关D. 行向量线性相关答案：B3. 齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是（）。

A. 系数矩阵的行列式为0B. 系数矩阵的秩小于未知数的个数C. 系数矩阵的秩等于未知数的个数D. 系数矩阵的秩大于未知数的个数答案：B4. 矩阵A和矩阵B相乘，结果为零矩阵，则（）。

A. A和B中至少有一个是零矩阵B. A和B都是零矩阵C. A和B的行列式都为0D. A和B的行列式乘积为0答案：A5. 向量组的秩是指（）。

A. 向量组中线性无关向量的最大个数B. 向量组中向量的最大个数C. 向量组中向量的最小个数D. 向量组中向量的平均个数答案：A6. 矩阵A的转置矩阵记作（）。

A. A'B. A^TC. A^HD. A^答案：B7. 矩阵A的特征值是指（）。

A. 矩阵A的对角线元素B. 矩阵A的非零特征向量C. 满足|A-λI|=0的λ值D. 矩阵A的行列式答案：C8. 矩阵A和矩阵B相似的充分必要条件是（）。

A. A和B的行列式相等B. A和B的秩相等C. A和B的特征值相同D. A和B的迹相等答案：C9. 矩阵A的逆矩阵记作（）。

A. A'B. A^TC. A^-1D. A^H答案：C10. 向量组的正交性是指（）。

A. 向量组中任意两个向量的数量积为0B. 向量组中任意两个向量的长度相等C. 向量组中任意两个向量的长度之和为1D. 向量组中任意两个向量的长度之积为1答案：A二、填空题（每题4分，共20分）11. 矩阵A的秩是指矩阵A的______。

答案：行向量或列向量线性无关的最大个数12. 矩阵A的迹是指矩阵A的______。