2014-2015学年线性代数试题及答案

内蒙古大学 2014-2015 学年第 1 学期线性代数 期末考试（A 卷）姓名 学号 专业 年级重修标记 □ （闭卷 120分钟）一、填空题（本题满分 30 分，每小题 3 分）1．n 阶行列式0100002000100n n =- 。

2. 设123234A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，使得PA 为行最简的可逆矩阵P = 。

3. A 是3阶方阵，12||A =，则1|(2)7|A A -*-= 。

4. 1400021053-⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭________________________。

5．二次型21213233246+2f x x x x x x x =-++的矩阵A = 。

6．设向量(1,2,3,4)(0,,2,1)T Tx αβ=-=-和正交，那么x =____________。

7. 设3阶矩阵A 的特征值为1,2，-1，则行列式2|2|A A E -+=_____________。

8. 5元齐次线性方程组123450x x x x x ++++=,则它的基础解系包含______个向量。

9．n 元非齐次线性代数方程组Ax b =有无穷解的充分必要条件是 。

10. n 阶方阵A 可对角化的充分必要条件是 。

二、计算下列各题（本题满分20分，每小题10 分）(1) 设3112513421111233D---=---，求D的代数余子式的和11213141A A A A+++(2) 求非齐次线性方程组12341234123421363251054x x x xx x x xx x x x++-=⎧⎪+--=⎨⎪++-=⎩的通解，并求所对应的齐次线性方程组的基础解系。

三、计算题（本题满分20分，每小题 10 分）(1) 求解矩阵方程AX B =,其中21311122,2013225A B --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-= ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭。

(2) 求向量组1234(2,1,4,3),(1,1,6,6),(1,1,2,7),(2,4,4,9)T T T Tαααα==--=-=的秩和一个最大无关组，并把不属于最大无关组的列向量用最大无关组线性表示。

2014-2015-1线性代数参考答案及评分标准一（每小题3分，共15分）1、32 2 、3 3 、1 4、2 5、0二（每小题3分，共15分）1 B2 B3 C4 A5 D三（5分）0321103221036666=D ……………………………………………………（2分） 40000400121011116---=…………………………………………… （2分）96-=……………………………………………………………（1分）四（10分）1-=A ，A 可逆…………………………………………………（1分） 121)(---=-=A A E A A B ……………………………………………………（4分）()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→100100110010211001,E A⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-1001102111A ……………………………………………………………（4分） ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000000120B …………………………………………………………………（1分） 五（15分）()211111211112-=-----λλλλλλλ………………………………………………（5分） 0≠λ且2≠λ时，有唯一解…………………………………………………（2分）2=λ时()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=100051103111111111133111,b A3),(2)(=<=b A R A R ，方程组无解…………………………………………（3分）0=λ时，()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000000001111111111111111,b A3),(1)(<==b A R A R 方程组有无穷多解，1321+--=x x x 取2312,c x c x ==得方程组通解为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=00110101121321c c x x x x ………………………（5分）六（12分）()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=0000010000712100230102301085235703273812,,,,54321a a a a a ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→00000100000121002301……………………………………（4分） 向量组秩为3，……………………………………………………………（2分） 一个最大无关组为：521,,a a a ……………………………………………（2分） 21323a a a +=………………………………………………………………（2分） 2152a a a -=…………………………………………………………………（2分） 七（10分）证明：设存在数1k ，2k ，3k ，使0332211=++βββk k k ………………（2分） 将1β，2β，3β带入并整理得0)32()()2(33212321131=+-+-+-++αααk k k k k k k k …………………（2分）由1α，2α，3α线性无关知⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-+-=+03200232132131k k k k k k k k ， 因0312111201=---，故齐次线性方程组有非零解，…………………（4分）从而存在1k ，2k ，3k 不全为零，使0332211=++βββk k k ，从而1β，2β，3β是线性相关的。

考试课程：班级：姓名：学号：-------------------------------------------------密----------------------------------封-----------------------------线---------------------------------------------------------第1页(共1页)3、设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100152321A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=141B ，利用初等变换求1-A ，并求解求矩阵方程B AX =。

4、设有向量组TTTT---=--=-==)1,1,3,4(,)3,1,0,3(,)7,1,3,2(,)0,0,1,1(4321αααα，（1）求此向量组的秩和一个极大无关组；（2）将其余向量用极大无关组线性表示。

5、设四元非齐次线性方程组b Ax =的系数矩阵A 的秩为3，已知4321,,,ηηηη是它的四个解向量，且T )2,2,0,1(1=η，T )8,2,5,1(432=++ηηη，求其通解。

6、λ为何值时，线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=++-=++-=++223321321321x x x x x x x x x λλλλ有唯一解？无解？有无穷多组解？7、设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1010111a a A 与⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=b B 10相似，求b a ,的值。

8、求一个正交变换，将二次型2123222132142),,(x x x x x x x x f -+-=化为标准形。

9、设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=30201t t t t A ，且A 为正定矩阵，求t 的取值范围。

三、证明题（每小题6分，共12分）1、设向量组321,,ααα线性无关，321αααβ++=，证明：1αβ-、2αβ-、3αβ-线性无关。

2、设A 是正交矩阵，证明：A 的特征值为1或1-。

考试课程：班级：姓名：学号：-------------------------------------------------密----------------------------------封-----------------------------线---------------------------------------------------------满分8分得分4、满分8分得分5、满分8分得分满分8分得分7、满分8分得分8、满分8分得分满分8分得分三、证明题1、满分6分得分2、满分6分得分。

2014-20152 线性代数 (A 卷)数理学院 全校相关专业一、填空题（每小题3分，共15分）1. 已知10312122D -=-，则11121322M M M ++=_______________； 2. 设A 为3阶矩阵，且2A =，则1*1(3)3A A --=___________； 3. 向量组(1,1,0),(1,3,1),(5,3,)TTTt αβγ==-=线性相关，则t =____________；4. 设矩阵13333664A a -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦的特征值分别为2-、2-和4，则a =___________； 5. 设二次型2221231231223(, , )322f x x x tx x x x x x x =++-+是正定二次型，则实数t 的取值范围是______________。

二、选择题（每小题3分，共15分） 1.下列等式正确的是________；)A a x b y a b x y c z d w c d z w ++=+++ )B 2123434a a a a a = )C0x y x y x y z z a z a =+- )D 22123434a a a a a = 2.设A ，B 都是n 阶矩阵，且AB O =，则下列成立的是________；)A A O B O =或= )B A ，B 都不可逆 )C A ，B 中至少有一个不可逆 )D A B O +=3.设Ax b =有无穷多组解，则0Ax = ；)A 必有唯一解 )B 必定没有解 )C 必有无穷多组解 )D A 、B 、C 都不对课程考试试题 学期 学年 拟题学院（系）: 适 用 专 业:4.A 是n 阶可逆矩阵，则与A 必有相同特征值的矩阵是 ；)A 1A - )B T A )C *A )D 2A5．n 阶矩阵A 的n 个特征值互异是A 与对角阵相似的 。

)A 充分条件 )B 必要条件 )C 充分必要条件 )D 既非充分又非必要条件 三、计算题(每小题10分，共20分)1. 计算行列式100110011001a b c d---；2．已知111011001A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，且满足2A AB E -=，其中E 为单位矩阵，求矩阵B 。

广州大学2014-2015学年第一学期考试卷课 程：《线性代数Ⅱ》 考 试 形 式：闭卷考试学院:____________ 专业班级:__________ 学号:____________ 姓名:___________一、填空题（每空3分，本大题满分18分）1．设A ,B 都为3阶方阵,且5||1=-A ,54|3|=B ,则=-||1AB .2.若对三阶阵A 先交换第一,三行,然后第二行乘2后再加到第三行,则相当于在A 的 边乘三阶阵 .3．若阵A 为3阶方阵,且秩1)(=A R ，则=)(*AA R .4．设向量组),1,1(1a =α,)1,,1(2a =α,)1,1,(1a =α所生成的向量空间为2维的,则=a .5．已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=333231*********a a a a a a A ,其特征值为3,2,1-,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=333231232221131211a a a a a a a a a B ,则B 的行列式中元素的代数余子式=++232221A A A .二、选择题（每小题3分，本大题满分15分）1．若AB 为n 阶单位阵，则必有（ ）.（A ）BA 也n 阶为单位阵；（B ）BA 可能无意义；（C ）n BA R =)(；（D ）以上都不对.2．齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++0003213213221x x x x x x x x x λλλλ的系数矩阵记为A 。

若存在三阶阵O B ≠，使得O AB =，则（ ）.（A ）2-=λ，且0||=B ； （B ）2-=λ，且0||≠B ；（C ）1=λ，且0||=B ； （D ）1=λ，且0||≠B .3．对含n 个未知数, 1+n 个方程的线性方程组b Ax =,行列式0|),(|=b A 是它有解的（ ）.（A ）充分条件； （B ）必要条件； （C ）充要条件； （D ）非充分非必要条件.4．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1100c ζ,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2210c ζ,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=3311c ζ,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=4411c ζ,其中4321,,,c c c c 为任意常数,则下列向量组线性相关的为( ).(A) 321,,ζζζ; (B) 421,,ζζζ; (C) 431,,ζζζ; (D) 432,,ζζζ.5．设},,{321ααα分别为同维无关向量组,而},,,{1321βαααα+为相关向量组,则有( )成立.(A) },,,{2321βαααα+为相关向量组; (B) },,{132βααα+为无关向量组;(C) 1}),,({}),,,({321321+=αααβαααR R ;(D)1}),,({}),,,({321321-=αααβαααR R三、（本题满分12分）设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=321011330A ，且A 满足矩阵方程X A AX 2+=,求X .四、（本题满分8分） 计算行列式6741212060311512-----.五、（本题满分6分）设PB AP =,其中⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1121P ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1002B ,求10A .六、（本题满分10分）求齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++-=+-+=-+-0830********43214321x x x x x x x x x x x x 的所有解.设⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----==43333320126624220121),,,,(54321αααααA . 1) 求矩阵A 的行最简形和秩; 2) 求向量组4321,,,αααα的一个最大无关组, 再把其余向量用该最大无关组线性表示.八、（本题满分9分） 设A 为2阶方阵，且存在正整数)2(≥l l ,使得O A l =,证明: 1) A 的秩1≤. 2) O A =2.求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=122212221A 的特征值和特征向量.。

5．5．已知3阶方阵A 的特征值分别为1，－2，3则|A|＝（ ） A ． 2 B ．6 C ．-6D ． 06.若方程组 02020kx z x ky z kx y z +=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩有非零解，则k =( D )A. -2B. -1C. 0D. 2二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）1．设A ＝［1，2，4］，B ＝［－2，－1，1］，则AB T ＝ 0 .2．设矩阵A ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛--4321，则矩阵A 的伴随矩阵A *＝ ⎪⎪⎭⎫⎝⎛1324 3．设向量α＝（－1，2，－2，4），则其单位向量的是______________. 4. 设方阵A 满足A 3-2A+E=0，则21(A 2E)-- = -A . 5．已知向量)2,1,1(-=α与向量),2,2(x -=β正交，则=x -2.6.设线性方程组⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡211111111321x x x a a a 有无穷多个解，则a = 1 . 三、计算题（1,2,3,4每小题8分；5，6每题12分。

共56分）1.求行列式11213513241211111----。

解：11213513241211111----=1122051504111111----- (2)=145008130032101111--- ……4=342002030032101111---- (6)=14203410032101111---=-142 (8)2.已知⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=432122102101a a A 且R(A)<3，求R(A)及数a 。

解：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=432122102101a a A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+-→a a a 4622202102101 ……2 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→a a a 6622002102101 (4)由于R(A)<3，所以066022=-=-a a ,, (6)故21==)(,A R a (8)3.设向量组)7,3,1,2(1=α )0,1,0.1(2-=α，)7,1,1,4(3=α)3,0.1,3(4---=α)3,1,3,4(5--=α求其一个最大无关组，并将其他向量用此最大无关组线性表示。