2014-2015学年线性代数试题及答案

内蒙古大学 2014-2015 学年第 1 学期线性代数 期末考试（A 卷）姓名 学号 专业 年级重修标记 □ （闭卷 120分钟）一、填空题（本题满分 30 分，每小题 3 分）1．n 阶行列式0100002000100n n =- 。

2. 设123234A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，使得PA 为行最简的可逆矩阵P = 。

3. A 是3阶方阵，12||A =，则1|(2)7|A A -*-= 。

4. 1400021053-⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭________________________。

5．二次型21213233246+2f x x x x x x x =-++的矩阵A = 。

6．设向量(1,2,3,4)(0,,2,1)T Tx αβ=-=-和正交，那么x =____________。

7. 设3阶矩阵A 的特征值为1,2，-1，则行列式2|2|A A E -+=_____________。

8. 5元齐次线性方程组123450x x x x x ++++=,则它的基础解系包含______个向量。

9．n 元非齐次线性代数方程组Ax b =有无穷解的充分必要条件是 。

10. n 阶方阵A 可对角化的充分必要条件是 。

二、计算下列各题（本题满分20分，每小题10 分）(1) 设3112513421111233D---=---，求D的代数余子式的和11213141A A A A+++(2) 求非齐次线性方程组12341234123421363251054x x x xx x x xx x x x++-=⎧⎪+--=⎨⎪++-=⎩的通解，并求所对应的齐次线性方程组的基础解系。

三、计算题（本题满分20分，每小题 10 分）(1) 求解矩阵方程AX B =,其中21311122,2013225A B --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-= ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭。

(2) 求向量组1234(2,1,4,3),(1,1,6,6),(1,1,2,7),(2,4,4,9)T T T Tαααα==--=-=的秩和一个最大无关组，并把不属于最大无关组的列向量用最大无关组线性表示。

2014-2015-1线性代数参考答案及评分标准一（每小题3分，共15分）1、32 2 、3 3 、1 4、2 5、0二（每小题3分，共15分）1 B2 B3 C4 A5 D三（5分）0321103221036666=D ……………………………………………………（2分） 40000400121011116---=…………………………………………… （2分）96-=……………………………………………………………（1分）四（10分）1-=A ，A 可逆…………………………………………………（1分） 121)(---=-=A A E A A B ……………………………………………………（4分）()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→100100110010211001,E A⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-1001102111A ……………………………………………………………（4分） ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000000120B …………………………………………………………………（1分） 五（15分）()211111211112-=-----λλλλλλλ………………………………………………（5分） 0≠λ且2≠λ时，有唯一解…………………………………………………（2分）2=λ时()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=100051103111111111133111,b A3),(2)(=<=b A R A R ，方程组无解…………………………………………（3分）0=λ时，()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000000001111111111111111,b A3),(1)(<==b A R A R 方程组有无穷多解，1321+--=x x x 取2312,c x c x ==得方程组通解为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=00110101121321c c x x x x ………………………（5分）六（12分）()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=0000010000712100230102301085235703273812,,,,54321a a a a a ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→00000100000121002301……………………………………（4分） 向量组秩为3，……………………………………………………………（2分） 一个最大无关组为：521,,a a a ……………………………………………（2分） 21323a a a +=………………………………………………………………（2分） 2152a a a -=…………………………………………………………………（2分） 七（10分）证明：设存在数1k ，2k ，3k ，使0332211=++βββk k k ………………（2分） 将1β，2β，3β带入并整理得0)32()()2(33212321131=+-+-+-++αααk k k k k k k k …………………（2分）由1α，2α，3α线性无关知⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-+-=+03200232132131k k k k k k k k ， 因0312111201=---，故齐次线性方程组有非零解，…………………（4分）从而存在1k ，2k ，3k 不全为零，使0332211=++βββk k k ，从而1β，2β，3β是线性相关的。

考试课程：班级：姓名：学号：-------------------------------------------------密----------------------------------封-----------------------------线---------------------------------------------------------第1页(共1页)3、设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100152321A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=141B ，利用初等变换求1-A ，并求解求矩阵方程B AX =。

4、设有向量组TTTT---=--=-==)1,1,3,4(,)3,1,0,3(,)7,1,3,2(,)0,0,1,1(4321αααα，（1）求此向量组的秩和一个极大无关组；（2）将其余向量用极大无关组线性表示。

5、设四元非齐次线性方程组b Ax =的系数矩阵A 的秩为3，已知4321,,,ηηηη是它的四个解向量，且T )2,2,0,1(1=η，T )8,2,5,1(432=++ηηη，求其通解。

6、λ为何值时，线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=++-=++-=++223321321321x x x x x x x x x λλλλ有唯一解？无解？有无穷多组解？7、设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1010111a a A 与⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=b B 10相似，求b a ,的值。

8、求一个正交变换，将二次型2123222132142),,(x x x x x x x x f -+-=化为标准形。

9、设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=30201t t t t A ，且A 为正定矩阵，求t 的取值范围。

三、证明题（每小题6分，共12分）1、设向量组321,,ααα线性无关，321αααβ++=，证明：1αβ-、2αβ-、3αβ-线性无关。

2、设A 是正交矩阵，证明：A 的特征值为1或1-。

考试课程：班级：姓名：学号：-------------------------------------------------密----------------------------------封-----------------------------线---------------------------------------------------------满分8分得分4、满分8分得分5、满分8分得分满分8分得分7、满分8分得分8、满分8分得分满分8分得分三、证明题1、满分6分得分2、满分6分得分。

2014-20152 线性代数 (A 卷)数理学院 全校相关专业一、填空题（每小题3分，共15分）1. 已知10312122D -=-，则11121322M M M ++=_______________； 2. 设A 为3阶矩阵，且2A =，则1*1(3)3A A --=___________； 3. 向量组(1,1,0),(1,3,1),(5,3,)TTTt αβγ==-=线性相关，则t =____________；4. 设矩阵13333664A a -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦的特征值分别为2-、2-和4，则a =___________； 5. 设二次型2221231231223(, , )322f x x x tx x x x x x x =++-+是正定二次型，则实数t 的取值范围是______________。

二、选择题（每小题3分，共15分） 1.下列等式正确的是________；)A a x b y a b x y c z d w c d z w ++=+++ )B 2123434a a a a a = )C0x y x y x y z z a z a =+- )D 22123434a a a a a = 2.设A ，B 都是n 阶矩阵，且AB O =，则下列成立的是________；)A A O B O =或= )B A ，B 都不可逆 )C A ，B 中至少有一个不可逆 )D A B O +=3.设Ax b =有无穷多组解，则0Ax = ；)A 必有唯一解 )B 必定没有解 )C 必有无穷多组解 )D A 、B 、C 都不对课程考试试题 学期 学年 拟题学院（系）: 适 用 专 业:4.A 是n 阶可逆矩阵，则与A 必有相同特征值的矩阵是 ；)A 1A - )B T A )C *A )D 2A5．n 阶矩阵A 的n 个特征值互异是A 与对角阵相似的 。

)A 充分条件 )B 必要条件 )C 充分必要条件 )D 既非充分又非必要条件 三、计算题(每小题10分，共20分)1. 计算行列式100110011001a b c d---；2．已知111011001A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，且满足2A AB E -=，其中E 为单位矩阵，求矩阵B 。

广州大学2014-2015学年第一学期考试卷课 程：《线性代数Ⅱ》 考 试 形 式：闭卷考试学院:____________ 专业班级:__________ 学号:____________ 姓名:___________一、填空题（每空3分，本大题满分18分）1．设A ,B 都为3阶方阵,且5||1=-A ,54|3|=B ,则=-||1AB .2.若对三阶阵A 先交换第一,三行,然后第二行乘2后再加到第三行,则相当于在A 的 边乘三阶阵 .3．若阵A 为3阶方阵,且秩1)(=A R ，则=)(*AA R .4．设向量组),1,1(1a =α,)1,,1(2a =α,)1,1,(1a =α所生成的向量空间为2维的,则=a .5．已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=333231*********a a a a a a A ,其特征值为3,2,1-,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=333231232221131211a a a a a a a a a B ,则B 的行列式中元素的代数余子式=++232221A A A .二、选择题（每小题3分，本大题满分15分）1．若AB 为n 阶单位阵，则必有（ ）.（A ）BA 也n 阶为单位阵；（B ）BA 可能无意义；（C ）n BA R =)(；（D ）以上都不对.2．齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++0003213213221x x x x x x x x x λλλλ的系数矩阵记为A 。

若存在三阶阵O B ≠，使得O AB =，则（ ）.（A ）2-=λ，且0||=B ； （B ）2-=λ，且0||≠B ；（C ）1=λ，且0||=B ； （D ）1=λ，且0||≠B .3．对含n 个未知数, 1+n 个方程的线性方程组b Ax =,行列式0|),(|=b A 是它有解的（ ）.（A ）充分条件； （B ）必要条件； （C ）充要条件； （D ）非充分非必要条件.4．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1100c ζ,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2210c ζ,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=3311c ζ,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=4411c ζ,其中4321,,,c c c c 为任意常数,则下列向量组线性相关的为( ).(A) 321,,ζζζ; (B) 421,,ζζζ; (C) 431,,ζζζ; (D) 432,,ζζζ.5．设},,{321ααα分别为同维无关向量组,而},,,{1321βαααα+为相关向量组,则有( )成立.(A) },,,{2321βαααα+为相关向量组; (B) },,{132βααα+为无关向量组;(C) 1}),,({}),,,({321321+=αααβαααR R ;(D)1}),,({}),,,({321321-=αααβαααR R三、（本题满分12分）设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=321011330A ，且A 满足矩阵方程X A AX 2+=,求X .四、（本题满分8分） 计算行列式6741212060311512-----.五、（本题满分6分）设PB AP =,其中⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1121P ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1002B ,求10A .六、（本题满分10分）求齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++-=+-+=-+-0830********43214321x x x x x x x x x x x x 的所有解.设⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----==43333320126624220121),,,,(54321αααααA . 1) 求矩阵A 的行最简形和秩; 2) 求向量组4321,,,αααα的一个最大无关组, 再把其余向量用该最大无关组线性表示.八、（本题满分9分） 设A 为2阶方阵，且存在正整数)2(≥l l ,使得O A l =,证明: 1) A 的秩1≤. 2) O A =2.求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=122212221A 的特征值和特征向量.。

5．5．已知3阶方阵A 的特征值分别为1，－2，3则|A|＝（ ） A ． 2 B ．6 C ．-6D ． 06.若方程组 02020kx z x ky z kx y z +=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩有非零解，则k =( D )A. -2B. -1C. 0D. 2二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）1．设A ＝［1，2，4］，B ＝［－2，－1，1］，则AB T ＝ 0 .2．设矩阵A ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛--4321，则矩阵A 的伴随矩阵A *＝ ⎪⎪⎭⎫⎝⎛1324 3．设向量α＝（－1，2，－2，4），则其单位向量的是______________. 4. 设方阵A 满足A 3-2A+E=0，则21(A 2E)-- = -A . 5．已知向量)2,1,1(-=α与向量),2,2(x -=β正交，则=x -2.6.设线性方程组⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡211111111321x x x a a a 有无穷多个解，则a = 1 . 三、计算题（1,2,3,4每小题8分；5，6每题12分。

共56分）1.求行列式11213513241211111----。

解：11213513241211111----=1122051504111111----- (2)=145008130032101111--- ……4=342002030032101111---- (6)=14203410032101111---=-142 (8)2.已知⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=432122102101a a A 且R(A)<3，求R(A)及数a 。

解：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=432122102101a a A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+-→a a a 4622202102101 ……2 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→a a a 6622002102101 (4)由于R(A)<3，所以066022=-=-a a ,, (6)故21==)(,A R a (8)3.设向量组)7,3,1,2(1=α )0,1,0.1(2-=α，)7,1,1,4(3=α)3,0.1,3(4---=α)3,1,3,4(5--=α求其一个最大无关组，并将其他向量用此最大无关组线性表示。

东莞理工学院（本科）试卷（ A 卷参考答案）2014 --2015学年第二学期《 线性代数 》试卷开课单位： 计算机学院数学教研室 ，考试形式：闭卷，允许带 入场每题或每空3分,共36分）、设n 元线性方程组Ax b =，其中()(,)R A R A b n ==，则该方程组( B )A ．有无穷多解B ．有唯一解C ．无解D ．不确定、设P 为正交矩阵，则P 的列向量（ C ） ．可能不正交 B. 有非单位向量 C. 组成单位正交向量组 C. 必含零向量 、设A 是m n ⨯型矩阵，B 是s m ⨯型矩阵，则TTA B 是（ B ）型矩阵 A ．m s ⨯ B ．n s ⨯ C ．m n ⨯ D ．s n ⨯ 、如果A 、B 均为n 阶方阵，则下列命题正确的是（ D ）若0=A ,则必有0A = B.若AX BX =,则A B =( X 也是n 阶方阵)C. 若0AB =,则0A =或0B =D.2B -2（E+B ）(E-B)=E (E 为n 阶单位阵) 、已知α=T（1，-1，-1，1），则α=2 ,其单位化向量是()11,1,1,12T-- 、设12,ξξ是线性方程组Ax b =的两个解，则12ξξ-是线性方程组__0Ax =__的解，12ξξ-是线性方程组Ax b =的解.7、12a b A c d λλ⎛⎫=⎪⎝⎭，，是A 的两个特征值，则12λλ+=a d +8、已知二次型()12,3121323,226f x x x x x x x x x =+-，则二次型的矩阵011103130A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭9、 矩阵A 与B 相似， 111021003B ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则A = 610、矩阵11t A t ⎛⎫=⎪⎝⎭，正定时，t 就满足的条件是 0t > 二、解答题（共37分）1、（10分）设A 为5阶方阵，且3A =，求1A -；A *解：30A =≠ ,A ∴可逆， (1)111,1A A E A A A A E ---=∴=== 又 (2)1113A A--∴== (1)111,A A A A A A-**-=∴= 又 …………….2 511A A A A A -*-== (3)=4A =81 (1)2、（8分）已知⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=102111A ，,201112⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=B求(1)2;(2).T A B A B -解：(1).5003332⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=-B A (4)(2) 1241321110211.10211113T A B --⎛⎫⎛⎫-⎛⎫ ⎪ ⎪==- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭ (4)3、（7分）设,100210321⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=A 求.1-A解：构造矩阵()=E A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100100010210001321 (2)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→100100010210021101 ……………………2 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→100100210010121001 ……………………2 所以，.1002101211⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=-A ………………………….1 4、（6分）已知矩阵52002100,0012011A ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪- ⎪⎝⎭求.A解：将矩阵化为分块矩阵12,A O A OA ⎛⎫=⎪⎝⎭ (1)则12.A A A =⋅ (2)52121332111-=⋅=⨯= (3)5、（6分）判定向量组()()()1231,0,1,0,1,1,1,0,1T T T ααα===-的线性相关性解：3132101101101010010010111012002A γγγγ-----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=−−−→−−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ (3)即： ()3n R A == ，则矩阵A 有唯一的0解 .................2 所以向量组是线性无关的 . (1)三、应用题（共27分）1、（12分）求非齐次线性方程组1234123412342142 2221x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪+-+=⎨⎪+--=⎩的通解解：对曾广矩阵施行初等行变换，则有：3121123222211112111121101422120001000010,211110002000000A γγγγγγγγ--+----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=-−−−−−→-−−−→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 22110100010,0000γ--⎛⎫ ⎪−−→⎪ ⎪⎝⎭ ………………………4 可见：()()24R A R A ==<, 故此线性方程组有无穷多解， (2)基础解系中有4-2=2个解， (2)与之同解的方程组是123421x x x x +-=⎧⎨=⎩选取1,3x x 为自由变量，并令1,13212,,x c x c c c R ==∈，则方程组的通解是11213334120x x x x x x x x =⎧⎪=-+⎪⎨=⎪⎪=⎩ 向量形式为：121234010121001000x x c c x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ (4)2、（15分）设二次型322322213214332),,(x x x x x x x x f +++=，求一个正交变换化此二次型为标准型,并写出标准型．解：二次型的矩阵,320230002⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=A (1)特征多项式：).5)(2)(1(3223002----=---=-λλλλλλλE A特征值.5,2,1321===λλλ (3)当11=λ时，解0)(=-x E A ，,000110001220220001⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-E A 得⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=1101ξ ． (2)当21=λ时，解0)2(=-x E A ， ,1000100001202100002⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-E A 得⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0012ξ ． (2)当53=λ时，解0)5(=-x E A ， ,0001100012202200035⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-E A 得⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1103ξ ． (2)将上述三个两两正交的特征向量321,,ξξξ单位化,得 ,21210,001,21210321⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=p p p (1)则在正交变换⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3213212102121021010y y y x x x (2)二次型的标准形为23222152y y y f ++=． (2)。

中南大学考试试卷20014——2015学年第二学期 时间：100分钟《线性代数》课程 32 学时 2 学分 考试形式：闭卷 总分：100分一、填空题（每小题3分，共15分）1、设3阶矩阵A 的特征值互不相同，若行列式0A =，则秩()R A = ．2、设向量123(1,2,1,0),(1,1,0,2),(2,1,1,)T T Ta ααα=-==，若由123,,ααα生成的向量空间的维数为2，则a = ．3、已知(1,1,1)T ξ=-是2125312A a b -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭的一个特征向量，则=a ⎽⎽⎽， b =⎽⎽⎽.4、设,A B 为3阶矩阵，且3A =，2B =，12A B -+=,则1A B -+= .5、设实二次型()312123222132122,,x tx x x x x x x x x Q ++++=是正定的，则t 的取值范围是 .二、选择题（每小题3分，共15分）1、若矩阵A 、B 可逆，则矩阵00A B⎛⎫⎪⎝⎭也可逆，且10A B-⎛⎫⎪⎝⎭=（ ）. （A ）1100A B--⎛⎫⎪⎝⎭. （B ）1100B A--⎛⎫⎪⎝⎭. （C ）1100A B --⎛⎫ ⎪⎝⎭. （D ）1100B A --⎛⎫⎪⎝⎭. 2、设A 是n 阶方阵，则0||=A 的必要条件是（ ）.（A ）A 中两行（列）元素对应成比例. （B ）A 中有一行元素全为零. （C ）任一行元素为其余行的线性组合.（D ）必有一行元素为其余行的线性组合. 3、设向量组I ：12,,,r αααL 可由向量组II: 12,,,S βββL 线性表示.下列命题正确的是（）.（A ）若向量组I 线性无关，则r s ≤. （B ）若向量组I 线性相关，则r s >. （C ）若向量组II 线性无关，则r s ≤. （D ）若向量组II 线性相关，则r s >. 4、设A 为m n ⨯矩阵，B 为n m ⨯矩阵，E 为m 阶单位矩阵，若AB E =,则（ ）.（A ）秩()R A m =，秩()R B m =. （B ）秩()R A m =，秩()R B n =.（C ）秩()R A n =，秩()R B m =. （D ）秩()R A n =，秩()R B n =.5、设1234(,,,)A αααα=是4阶矩阵，*A 为A 的伴随矩阵，若(1,0,1,0)T 是方程组0Ax =的一个基础解系，则*0A x =的基础解系可为（）.（A ）13αα，.（B ）12αα，. （C ）123ααα，，. （D ）234ααα，，.三（本题满分10分）设123221(, , )212122A ααα-⎛⎫ ⎪==- ⎪ ⎪-⎝⎭，1214(, )0342B ββ⎛⎫⎪== ⎪⎪-⎝⎭，证明123, , ααα是3维空间3R 的一个基，并把12, ββ用这个基线性表示.四（本题满分10分）设矩阵010101010A ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭,若矩阵X 满足 22X XA AX AXA E --+=,其中E 为3阶单位矩阵，求X .五（本题满分16分） 设n 元线性方程组Ax b =，其中2222212121212n a a a a a A a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪=⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭O O O ，12n x x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭M ，100b ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭M . （1） 证明行列式(1)n A n a =+；（2） 当a 为何值时，该方程组有唯一解，并求1x ； （3） 当a 为何值时，该方程组有无穷多解，并求通解.六（本题满分8分）已知4元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，又123,,ααα是它的3个解向量，其中1223(1,1,0,2),(1,0,1,3)T T αααα+=+=，求该非齐次线性方程组的通解.七（本题满分14分）设矩阵02313312A a -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭与矩阵12000031B b -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭相似，（1）求,a b 的值； （2）求可逆矩阵P ,使1P AP -为对角阵.八（本题满分12分）已知1010111001A a a ⎛⎫⎪⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭，二次型123(,,)()T T f x x x x A A x =的秩为2，（1）求实数a 的值；（2）求正交变换x Qy =，将f 化为标准形.参考答案一、填空题（每小题3分，共15分）1、2；2、6；3、-3，0；4、3；5、22t -<<. 二、选择题（每小题3分，共15分） BDAAD 三（本题满分10分）解 要证123, , ααα是3R 的一个基，即证123, , ααα线性无关，即证()3R A =或0A ≠或A ～E ，12321311()322211411113(,)21203030231224203355r r r r r r r A B ++-+--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=-−−−−→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭132332(3)31002411113330102101021330115500112333r rr r r r-÷-÷-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−−−→−−−→-- ⎪ ⎪⎪⎪- ⎪ ⎪-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因有A ～E ，故123, , ααα为3R 的一个基，且1212324332(, )(, , )13213ββααα⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭. 四、（本题满分10分）解 由 22X XA AX AXA E --+=，得2()()E A X E A E --=,因2110001111,010011102E A E A -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭都可逆，故121211201312()()111010111110100211X E A E A -----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪=--=-=- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭.五（本题满分16分）（1） 证法一（用数学归纳法）：记n D A =， 当1n =时，12D a =；2n =时，2222132a D a a a==，结论都成立， 假设结论对小于n 的情况成立，将n D 按第1行展开得222112221122110221222122(1)(1)n n n n n n n na a a a D aD aD a D a a a a ana a n a n a ------=-=-=--=+O OO故(1)n A n a =+. 证法二22132221213102211223212213102411(1).31011n n n a a a a r ar r ar Aa aa aa a a n r ar n a nn a n n a n-----=+-+O OO L LO O O（2）解 当0a ≠时，方程组系数行列式0n D ≠，故方程组有唯一解，由克莱姆法则，将n D 第1列换成b ，得行列式为22112222111210212*********n n n na a a aa aD na a a aa a a a a ---===OO O O OO ，所以，11(1)n n D nx D n a-==+. （3）解 当0a =时，方程组为12110100100100n n x x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭M M OO， 此时方程组系数矩阵的秩和增广矩阵的秩均为1n -，所以方程组有无穷多解，其通解为(0,1,0,,0)(1,0,0,,0)T T x k =+L L ，其中k 为任意常数. 六、（本题满分8分）解 因4元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，故其导出组的基础解系只含 一个解向量，即可为312312()()(0,1,1,1)T αααααα-=+-+=-, 非齐次特解可为1211(,,0,1)222T αα+=,或23113(,0,,)2222T αα+=， 所以非齐次线性方程组的通解为(0,1,1,1)T k -11(,,0,1)22T +或(0,1,1,1)T k -113(,0,,)222T +，其中k 为任意常数.七、（本题满分14分）解（1）由,A B 相似知，,A B 有相同的特征值，故 迹()(),tr A tr B A B ==,于是 32,23,a b a b +=+-= 解得 4,5,a b == （2）由（1）知，023133124A -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭，120050031B -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，因,A B 相似，所以2(1)(5)E A E B λλλλ-=-=--，故A 的特征值为1231,5λλλ===，当121λλ==时，解()0E A X -=，得线性无关的特征向量12231,001ξξ-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当35λ=，解()50E A X -=，得特征向量为3111ξ-⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，令()123231,,101011P ξξξ--⎛⎫ ⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭，则P 为所求可逆矩阵，使1100010005P AP -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.八、（本题满分12分）解 （1）1011010110111000101000A aa a ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪-+ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，因秩()()T R A A R A ==2，所以1a =-.（2）因1a =-，所以202022224T A A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则特征多项式为(2)(6)T E A A λλλλ-=--， 于是T A A 的特征值为1232,6,0λλλ===.当12λ=时，由(2)0T E A A x -=，可得属于2110⎛⎫⎪-⎪⎪⎭， 当26λ=时，由(6)0T E A A x -=，可得属于6112⎛⎫⎪⎪⎪⎭，当30λ=时，由0T A Ax =，可得属于0111⎛⎫⎪⎪⎪-⎭，令0Q ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎝，则f 在正交变换x Qy =下的标准形221226f y y =+.。

线性代数练习题（答案）一、填空题：1. 五阶行列式中，项a 21 a 32 a 53 a 15a 44 的符号为 负 。

2. 行列式某两行（列）元对应成比例，则行列式的值 0 。

3. 已知⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=162131A ,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=4113095B ,则AB 等于 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--42146 . 4. 若⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=t A 31322013,且秩(A)=2,则t = 6 .5. 已知方阵A 满足02=++cE bA aA (c b a ,,为常数0≠c ),则=-1A c bE aA )(+6.4阶行列式4713482475010532--中（3，2）元素的代数余子式A 32是 -223 . 7.向量组（Ⅰ）α1 , α 2 ,…, αr 与向量组（Ⅱ）β1，β2，…, βs 等价，且组（Ⅰ）线性无关，则r 与s 的大小关系为 s r ≤ .8. 设A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡500030201，A *为A 的伴随矩阵，则| A *|= 225 .9. 排列4 6 7 1 5 2 3的逆序数是 13 .10.四阶行列式44434241343332312423222114131211a a a a a a a a a a a a a a a a D =是 24 项的代数和，其中含11a 的项共 6项。

11. 任意一个数域都包含 有理 数域.12. 设λ1, λ 2 ,…, λn 是矩阵A 的n 个特征值，则λ1 λ2…λn= | A| 。

13. 设矩阵A =100220340⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭，那么矩阵A 的列向量组的秩为 2 .14．设向量α=（1，2，3，4），则α的单位化向量为 30)4,3,2,1( .15．设A ，B 均为三阶方阵，且｜A ｜= -3，｜B ｜=6，则｜AB ｜= 18 ． 16. 设)0,1,1(),1,1,0(),1,0,1(321===βββ是3F 的一个基,则3F 的自然基321,,εεε到321,,βββ的过渡矩阵为 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛011110101 .16. 在欧氏空间4R 中，()1,0,0,1=α，()0,1,0,1=β，则α与β的夹角等于3π. 17．已知⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=710321A ,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=4113095B ,则A-2B 等于⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---12163209 . 18. 与矩阵101032120-⎛⎫⎪=- ⎪⎪-⎝⎭A 对应的二次型是x x x x x x x x x f 32312221321423),,(-++-= ．19. 二次型f(x 1,x 2,x 3)=323121232221x x 4x x x x 4x 3x 2x +--+-的对称矩阵为___⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---322220201_____ . 20. 若二次型f(x 1,x 2,x 3, x 4)的正惯性指数为3，符号差为2，则f(x 1,x 2,x 3 ,x 4)的规范型为yy y y 24232221-++二、单项选择题：1. 设2阶方阵A 可逆，且A=⎪⎭⎫ ⎝⎛--2173，则A -1=（ A ）。

2014-2015-2线性代数A 卷答案及评分标准—————————————————————————————一、单项选择题（每小题3分，共15分）1. 设D C B A ,,,是同阶方阵，E ABCD =，则（，则（ B ）（A ）E ABDC = （B ）E CDAB = （C ）E ACBD = （D ）E BACD = 2. 设向量组I ：321,,a a a 可由向量组II ：21,b b 线性表示，则（线性表示，则（ C ） （A ）向量组II 必线性相关必线性相关 （B ）向量组II 必线性无关必线性无关（C ）向量组I 必线性相关必线性相关 （D ）向量组I 必线性无关必线性无关3. 设A 是 n (3³n ) 阶可逆矩阵，*A 是A 的伴随矩阵，则（的伴随矩阵，则（ C ）（A ）A A A n 1**||)(-= （B ） A A A n 1**||)(+= （C ）A A A n 2**||)(-= (D) A A A n 2**||)(+=4. 设A 是n 阶方阵，且1)(-=n A R ，21,a a 是非齐次方程b Ax =的两个不同的解，的两个不同的解， 则b Ax =的通解是（的通解是（ A ）（A ）121)(a a a +-k （B ）21a a +k （C ）121)(a a a ++k （D ） 221)(a a a --k5. 设A 是n 阶矩阵，P 是n 阶正交矩阵，且AP P B T=，则下列结论错误的是（，则下列结论错误的是（ D ） （A ）A 与B 相似相似 （B ）A 与B 等价等价 （C ）A 与B 有相同的特征值有相同的特征值 （D ）A 与B 有相同的特征向量有相同的特征向量二、填空题（每小题3分，共15分）6．设三阶方阵A 的三个特征值是1,1,2，则=--|6)2(|1*A A 4 . 7. 设矩阵A 满足E A =3，则1)(-+E A =_____22EA A +-____. 8. 设三阶矩阵),,(321a a a =A ，且1||=A ，则|),,(|13321a a a a a -+=____1___. 9. 已知矩阵A=÷÷÷øöçççèæ--1 1 31 42 2 1a 的列向量组线性相关，则a =_____1-___. 10. 10. 设设21,l l 是实对称阵A 的两个不同的特征值，T 2T 1),2,1(,)1,1,1(a ==x x 为 对应的特征向量，则对应的特征向量，则a =___3-______.三、判断题,对的打√，错的打×（每小题2分，共10分）11. 11. 若矩阵若矩阵AB 是可逆矩阵, 则矩阵B A ,均是可逆矩阵（均是可逆矩阵（ × ）. 12. 12. 若n 阶行列式中元素为0的个数大于n n -2，则此行列式必为0（ √ ）. 13. 13. 若同阶矩阵若同阶矩阵B A ,均是正交矩阵，则矩阵AB 必为正交矩阵（必为正交矩阵（ √ ）. 14. 若向量组321,,a a a 线性相关，则向量组133322211 , ,a a b a a b a a b +=+=+= 无关（无关（ × ）. 15. 若A 是23´矩阵，且非齐次方程组b Ax =对应齐次方程组0=Ax 仅有零解，仅有零解， 则b Ax =有唯一解（有唯一解（ × ）四、计算题（每小题10分，共50分）16．求行列式a ba a ab a a a aa b a ab a D =的值的值. .解；原行列式把第二行，第三行，第四行均加到第一行得a b a a a b a a a a a b a a b a D ==ba a a ab a a a ab a b a b a b a b a ++++3333-------------------5分 b a a a a b a a a aa b b a 1111)3(+==3))(3( 0000 000 001111)3(a b b a ab a ba bb a -+=---+---10分17. 17. 利用初等变换求矩阵利用初等变换求矩阵÷÷÷øöçççèæ--=5 2 30 1 21 0 1A 的逆矩阵的逆矩阵. .解：÷÷÷øöçççèæ--=1 0 0 5 2 30 1 0 0 1 20 0 1 1 0 1),(E A ÷÷÷øöçççèæ-----1 0 0 5 2 30 1 2 2 1 00 0 1 1 0 12~12r r ---4分÷÷÷øöçççèæ---+1 0 3 2 2 00 1 2 2 1 00 0 1 1 0 13~13r r ÷÷÷øöçççèæ----1 2 7 2 0 00 1 2 2 1 00 0 1 1 0 12~23r r÷÷÷øöçççèæ--+1 2 7 2 0 01 1 5 0 1 00 0 1 1 0 1~32÷÷÷øöçççèæ-----¸1/2 1 7/2 1 0 01 1 5 0 1 01/2 1 5/2 0 0 12~313 所以的逆矩阵是÷÷÷øöçççèæ----1/2 1 7/2 1 1 5 1/2 1 5/2 .---------------------------------10分18．设线性方程组ïîïíì=++=++=++040203221321321与方程12321-=++有公共解，有公共解，求的值及所有公共解解：两个方程组有公共解即合起来的大方程组ïïîïïíì-=++=++=++=++1204023213221321321有解, 即),()(=.---------------------------------------------------------------------------3分 ÷÷÷÷÷øöçççççèæ-112104102101112 ÷÷÷÷÷øöçççççèæ-----110)2)(1(0001100111~÷÷÷÷÷øöçççççèæ-----)2)(1(001 10001100111~当1=或2=时有公共解.----------------------------------------------------------------6分（1）当1=时，,2),()(==对应的方程组的通解为Î÷÷÷øöçççèæ-=,1 0 1（2）当2=时，,3),()(==对应的方程组的唯一解为÷÷øöççèæ-=1 1 0.---10分 19. 求向量组T 3T 2T 1)7,6,9(,)1,0,3(,)3,2,1(-==-=a a a ，T 4)2,2,4(-=a 的秩，的秩， 并求出一个极大无关组. 解：对÷÷÷øöçççèæ---==2 7 1 32 6 0 24 9 3 1),,,(4321a a a a 施加初等行变换，化成行阶梯型得----3分 ÷÷÷øöçççèæ---==2 7 1 32 6 0 24 9 3 1),,,(4321a a a a ÷÷÷øöçççèæ÷÷÷øöçççèæ---0 0 0 0 1 2 1 04 9 3 1~10 20 10 0 6 12 6 04 9 3 1~ 所以向量组的秩为2.------------------------------------------------------------------------------7分又因为任意两个向量都是线性无关的，所以我们可以选取21,a a 为一个极大无关组.--------------------------------------------------------------------------10分20. 20. 设三阶实对称阵设三阶实对称阵的秩为的秩为22，621==l l 是的二重特征值的二重特征值..若,)0,1,1(T 1=a T 2)1,1,2( =a 都是的属于的属于66的特征向量的特征向量. .(1) (1) 求求的另一个特征值及所有对应特征向量的另一个特征值及所有对应特征向量 （（2）求矩阵.解：( 1 )因为三阶实对称阵的秩为2，所以332136||0l l l l ===，所以03=l .----2分 不妨设对应的特征向量为÷÷÷øöçççèæ=3213a ，则由于属于不同特征值的特征向量正交，所以 îíì=++=+02032121，其非零解是0,111¹÷÷÷øöçççèæ-=--------------------------------5分 （2）取,1113÷÷÷øöçççèæ-=a 令),,(321a a a ==÷÷÷øöçççèæ- 1 1 01 1 11 2 1,则÷÷÷øöçççèæ=÷÷÷øöçççèæ=-0 6 63211所以÷÷÷øöçççèæ---÷÷÷øöçççèæ÷÷÷øöçççèæ-=÷÷÷øöçççèæ=- 1/3 1/3 1/32/3 1/3 1/31 1 00 6 6 1 1 01 1 11 2 10 6 61=÷÷÷øöçççèæ--4 2 22 4 22 2 4.------10分五、证明题（每小题分，共分）21. 已知为阶矩阵，且=2，证明.)()(=-+证明：证明： 令-=，所以0=从而£-+)()(--------------------------3分又因为)()())((+£-+，从而)()()(-+£=. 因此.)()(=-+------------------------------------------------------------5分22. 已知矩阵+,,均是可逆矩阵，证明矩阵11--+必可逆. 证明：因为1111111111)(----------+=+=+=+--------------4分所以矩阵11--+必可逆.--------------------------------------------------------------5分。

课程模拟考核参考答案及评分标准考试课程：线性代数 学年学期：2014-2015-1 试卷类型：A 考试时间：120分钟适用专业：13级机械设计制造及其自动化师范职教师资本科、13级生物工程非师范本科层次：本科一、选择题(每小题2分，共20分）1. 设0333231232221131211≠=a a a a a a a a a D , ij A 是D 的元素ij a 的代数余子式, 若∑=313i ij i A a ≠0, 则 ( C ) .(A) 1=j (B) 2=j (C) 3=j (D) 1=j 或3=j2. 在函数xxx x x f ----=231112)(中，3x 的系数是( B ) . (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 3. =⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++c b b a z y y x ( C ) . (A)⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡00b y c a z x (B)⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++⎥⎦⎤⎢⎣⎡c b z y a x (C)⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡c b z y b a y x (D)⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡b c y z b a y x 4. 设A,B,C 均为n 阶方阵，且|A|≠0, 则必有( B ) .(A) AB=CA ⇒ B=C; (B) AB=AC ⇒ B=C; (C) BC=0 ⇒ C=0; (D) AB=C ⇒ B=E. 5. 向量组α1, α2, … αn 线性无关的充要条件是( D ) . (A) α1, α2, … αn 均不为零向量(B) α1, α2, … αn 中任意两个向量的对应分量不成比例 (C) α1, α2, … αn 中有一个部分向量线性无关(D) α1, α2, … αn 中任意一个向量都不能由其余1-n 个向量线性表示 6. 矩阵A 经行初等行变换化为阶梯形矩阵后( C ) .(A) 秩变大 (B) 秩变小 (C) 秩不变 (D) 化为单位方阵 7. 设A 是2阶可逆矩阵, λ为实数, 如果 |λA|=4|A|, 则 ( A ) . (A) λ=±2; (B) λ=±1; (C) λ=±3; (D) λ=4.8. 设n 元齐次线性方程组Ax=0的系数矩阵A 的秩为r ，则Ax=0有非零解的充分必要条件是( B ) . (A) r=n; (B) r<n; (C) r≥n ; (D) r>n.9. 设A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡43503362a ，且矩阵A 的秩R(A)=2, 则a=( B ) . (A) 9; (B) 18; (C) 0; (D) 任何数.10. 若方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-=+=++02003131321x x ax x x x ax 仅有零解, 则a ≠ ( A ) .(A) 21-; (B) 21; (C) 41; (D) 41-.二、判断题 (每小题2分，共20分)1. n 阶行列式中, 若0元素多于n 2-n 个, 则行列式的值为0. （ √ ）2. n 阶方阵A 可逆的充分必要条件是|A|=0. （ × ）3. 设A,B 都是n 阶方阵, 若AB=0, 则B=0. （ × ）4. 333333222222111111d c c b b a d c c b b a d c c b b a +++++++++333222111c b a c b a c b a =333222111d c b d c b d c b +. （ × ） 5. 设A 与B 为n 阶方阵，则|AB|=|A||B|. （ √ ） 6. 设A,B 都是m ×n 矩阵, 则A+B=B+A. （ √ ） 7. 两个n 阶可逆矩阵之和一定是可逆矩阵. （ × ）8. 元素a ij 的代数余子式A ij 与不仅与a ij 所在有行、列有关, 而且与a ij 的值有关. （ × ）9.010100001111010001100111001111100010111100010001d c b a d c b a+++=. （ √ ） 10. 如果A 与B 可交换, 且A 可逆, 则1-A 与B 可交换. （ √ ）三、填空题(每小题2分，共20分) 1. 排列36715284的逆序数为 13 .2. 若010100≠---abb a，则a,b 满足的条件是 a≠0 或b≠0 .3. 行列式=cb fe da 0002101030 -3abc . 4. 设|A|=2, 且A 为三阶方阵，则|3A|= 54 . .5. 设行列式96330221a中，余子式321=M ，则=a 5/2 . 6. 设()()TT2,3,1,1,1,221-=-=αα, 若()T5,,13λα=可由21,αα线性表示，则=λ -8 .7. 设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=101010101,10010101B x A , 且A=B, 则x= 1 . 8. 设⎥⎦⎤⎢⎣⎡=101a A ，则=nA ⎥⎦⎤⎢⎣⎡101na .9. 设)0(,≠-⎥⎦⎤⎢⎣⎡=cb ad d c b a A , 则A -1= ⎥⎦⎤⎢⎣⎡---a c b d bc ad 1 . 10. 行列式=-000010020100nn !)1(2)1(n n n -- .四、计算题 (每小题5分共30分)1.计算行列式20031001541121---- 解：原式=4121-0231- (2分) = 6∙6= 36. (3分)2. 解方程 013011132=x x解：按第一列展开, x 2-2x-3=0, (2分) 解为 x= -1, 3. (3分) 3. 计算 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-103110021212321 解：原式=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---1341410 (5分)4. k 为何值时，行列式k2002k 0001k 10011≠0. 解：原行列式=(k-1)(k 2-4), (2分) 故 k ≠1且k ≠±2. (3分) 5. 解线性方程组 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-+=+-=+-=-+-0x 3x 2x x 0x 8x 14x 40x 4x 7x 20x x 5x x 43214324324321.解：经过初等行变换，原方程的矩阵化为 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-0000000022/71012/301, (2分) 故其解为 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-=--=2413212211cx c x c 2c 27x c c 23x . (3分)6. k 为何值时，方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-+=-+0z y x 20z ky x 0z y kx 仅有0解.解：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---1121111k k −−−−→−+⨯-...,)3()2(2R⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----3210111102k k k k (2分) −−−−−→−+⨯-...,)1()3(3/)1(k R ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----32101103/)2(02k k k k , k 2+k-2≠0即 k≠1, -2. (3分) 五、证明题(每小题5分共10分)1. 设A 可逆, 试证明 (A*)-1 = (A -1)* .证明：∵AA*=|A|E, (2分) ∴(A*)-1 = A/|A|=(A -1)-1/|A| = (A -1)*/(|A -1|·|A|) = (A -1)*. (3分) 2. 证明向量组α1=(1,2,0,1), α2=(1,3,0,−1), α3=(−1,−1,1,0),线性无关。

电光 计控学院本科生2014—2015学年第一学期线性代数课程期末考试试卷（A 卷）专业： 年级： 学号： 姓名： 成绩:说明：A T 表示矩阵A 的转置矩阵，A *表示矩阵A 的伴随矩阵，E 是单位矩阵，O 是零矩阵,A −1表示可逆矩阵A 的逆矩阵, |A |表示方阵A 的行列式, 〈α, β〉表示向量α, β的内积。

一 .客观题：1−3小题为判断题，在对的后面括号中填“√”，错的后面括号中填“×”，4−8为单选题，将正确选项前的字母填在括号中. (每小题2分，共16分)。

1. 若n 阶矩阵A 可逆，则其伴随矩阵*A 满足()11*A AA −−=。

( )2. 若非齐次线性方程组(0)AX b b =≠有解，则它的解集合构成一个线性空间。

( )3. 若T 是欧氏空间V 中的一个正交变换，V 中向量123,,ααα线性相关，则必有123,,T T T ααα线性相关。

( ) 4. R (10)n n >中一组非全零向量123,,ααα线性相关，则123,,ααα生成的子空间的维数为( )（A ）0或1或2或3. （B ）0或1或2 （C ）1或2. （D ）1或2或3 5. n 阶方阵A 具有n 个线性无关的特征向量是A 与对角矩阵相似的 ( ) 条件。

（A ）充分 (B) 必要 (C) 充分必要 (D) 既不充分也不必要 6. 设n 阶矩阵A 与B 相似，则 ( ) （A ）A EB E λλ−=−； （B ）A 与B 有相同的特征值和特征向量;（C ）A 与B 都相似于一个对角阵； （D ）对任意实数t ，A tE −与B tE −相似。

7. 若方阵n n A ×不可逆，则A 的列向量中 ( ) （A ）必有一个向量为零向量； (B) 必有二个向量对应分量成比例； (C) 必有一个向量是其余向量的线性组合；(D) 任一列向量是其余列向量的线性组合。

8. 设齐次线性方程组0AX =的通解为12100121X c c=+ −，则系数矩阵A 为 ( ) （A ）()211− (B) 201011− (C) 102011−− (D) ()211−−二 、行列式计算 （第1小题6分，第2小题8分，共14分）1．计算四阶行列式112233440000000a b a b b a b a .2. 计算n 阶行列式121121121121121n n n n n n nn n a a a a a a a a d a a a n a a a a a n−−−−++=+−+，其中2n >。