2018年秋新课堂高中数学人教B版选修2-1学案：第2章 2.3 2.3.2 双曲线的几何性质 Word版含答案

2.4.2 抛物线的几何性质(一)学习目标：1.了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等几何性质．(重点)2.会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题．(重点、难点)[自 主 预 习·探 新 知]1．抛物线的几何性质[提示] 参数p (p ＞0)对抛物线开口大小有影响，因为过抛物线的焦点F 且垂直于对称轴的弦的长度是2p ，所以p 越大，开口越大．2．焦点弦设过抛物线焦点的弦的端点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则：1．思考辨析(1)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．( )(2)AB 为抛物线y 2＝2px (p >0)的过焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2，弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p .( )(3)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫作抛物线的通径，那么抛物线x 2＝－2ay (a >0)的通径长为2a .( )[提示] (1)× 抛物线是轴对称图形，但不是中心对称图形． (2)√ (3)√2．顶点在原点，对称轴为y 轴，顶点到准线的距离为4的抛物线方程是 ( )A ．x 2＝16yB ．x 2＝8yC ．x 2＝±8yD ．x 2＝±16yD [顶点在原点，对称轴为y 轴的抛物线方程有两个：x 2＝－2py ，x 2＝2py (p >0)．由顶点到准线的距离为4知p ＝8，故所求抛物线方程为x 2＝16y ，x 2＝－16y .]3．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F ，点P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)、P 3(x 3，y 3)在抛物线上，且2x 2＝x 1＋x 3，则有( )【导学号：33242183】A ．|FP 1|＋|FP 2|＝|FP 3|B ．|FP 1|2＋|FP 2|2＝|FP 3|2C ．|FP 1|＋|FP 3|＝2|FP 2|D ．|FP 1|·|FP 3|＝|FP 2|2C [由抛物线定义知|FP 1|＝x 1＋p 2，|FP 2|＝x 2＋p 2，|FP 3|＝x 3＋p 2，∴|FP 1|＋|FP 3|＝2|FP 2|，故选C.][合 作 探 究·攻 重 难]直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，求抛物线的方程及抛物线的准线方程．[思路探究] 解答本题可先确定椭圆的短轴，从而确定抛物线的焦点位置，再写出标准方程即可．[解] 椭圆的方程可化为x 24＋y 29＝1， 其短轴在x 轴上， ∴抛物线的对称轴为x 轴，∴设抛物线的方程为y 2＝2px 或y 2＝－2px (p >0)． ∵抛物线的焦点到顶点的距离为3， 即p2＝3，∴p ＝6，∴抛物线的标准方程为y 2＝12x 或y 2＝－12x ， 其准线方程分别为x ＝－3和x ＝3.1．已知双曲线方程是x 28－y 29＝1，求以双曲线的右顶点为焦点的抛物线的标准方程及抛物线的准线方程．[解] 因为双曲线x 28－y 29＝1的右顶点坐标为(22，0)，所以p2＝22，且抛物线的焦点在x 轴正半轴上，所以，所求抛物线方程为y 2＝82x ，其准线方程为x ＝－2 2.(1)求出该抛物线的顶点、焦点、准线、对称轴、变量x 的范围．(2)以坐标原点O 为顶点，作抛物线的内接等腰三角形OAB ，|OA |＝|OB |，若焦点F 是△OAB 的重心，求△OAB 的周长.【导学号：33242184】[思路探究] (1)利用抛物线对应性质的公式求解；(2)利用抛物线的对称性即重心的性质求解．[解] (1)抛物线y 2＝8x 的顶点、焦点、准线、对称轴、变量x 的范围分别为(0,0)，(2,0)，x ＝－2，x 轴，x ≥0.(2)如图所示．由|OA |＝|OB |可知AB ⊥x 轴，垂足为点M ，又焦点F 是△OAB 的重心，则|OF |＝23|OM |.因为F (2,0)，所以|OM |＝32|OF |＝3， 所以M (3,0)，故设A (3，m )． 代入y 2＝8x 得m 2＝24， 所以m ＝26或m ＝－26， 所以A (3,26)，B (3，－26)， 所以|OA |＝|OB |＝33，所以△OAB 的周长为233＋4 6.2．正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y 2＝2px (p >0)上，求这个正三角形的边长.[解] 如图所示，设正三角形OAB 的顶点A ，B 在抛物线上，且坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 21＝2px 1，y 22＝2px 2.又OA ＝OB ，所以x 21＋y 21＝x 22＋y 22， 即x 21－x 22＋2px 1－2px 2＝0，整理得(x 1－x 2)(x 1＋x 2＋2p )＝0. ∵x 1＞0，x 2＞0,2p ＞0， ∴x 1＝x 2，由此可得|y 1|＝|y 2|， 即线段AB 关于x 轴对称． 由此得∠AOx ＝30°，所以y 1＝33x 1，与y 21＝2px 1联立， 解得y 1＝23p .∴|AB |＝2y 1＝43p .[以抛物线y 2＝2px (p ＞0)为例，回答下列问题：问题1：过焦点F 的弦长|AB |如何表示？还能得到哪些结论？ [提示] (1)|AB |＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋p 2(焦点弦长与中点关系)．(2)|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2θ(θ为AB 的倾斜角)．(3)A ，B 两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即x 1·x 2＝p 24，y 1·y 2＝－p 2. (4)S △AOB ＝p 22sin θ. (5)1|AF |＋1|BF |＝2p (定值)． (6)∠A 1FB 1＝90°.问题2：以AB 为直径的圆与直线l 具有怎样的位置关系？ [提示] 如图，AB 是过抛物线y 2＝2px (p >0)焦点F 的一条弦，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点M (x 0，y 0)，相应的准线为l . 所以以AB 为直径的圆必与准线l 相切．已知抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于A ，B 两点，且|AB |＝52p ，求AB 所在直线的方程.【导学号：33242185】[思路探究] 根据弦长求出直线斜率，进而求得直线方程． [解] ∵过焦点的弦长|AB |＝52p ∴弦所在的直线的斜率存在且不为零设直线AB 的斜率为k ，且A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． ∵y 2＝2px 的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0.∴直线方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，y 2＝2px ，整理得k 2x 2－(k 2p ＋2p )x ＋14k 2p 2＝0(k ≠0)， ∴x 1＋x 2＝k 2p ＋2pk 2，∴|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝k 2p ＋2pk 2＋p ， 又|AB |＝52p ，∴k 2p ＋2p k 2＋p ＝52p ，∴k ＝±2.。

2.2.2椭圆的几何性质(一)学习目标：1.根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形.2.根据几何条件求出曲线方程，并利用曲线的方程研究它的性质、图形．(重点、难点)[自主预习·探新知]椭圆的简单几何性质[提示]最大距离：a＋c；最小距离：a－c.(2)椭圆方程x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)中a，b，c的几何意义是什么？[提示]在方程x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)中，a，b，c的几何意义如图所示．即a，b，c正好构成了一个以对称中心，一个焦点、一个短轴顶点构成的直角三角形．[基础自测]1．思考辨析(1)椭圆离心率越大，椭圆越圆．( )(2)x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)与y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的焦距相等．( ) (3)已知椭圆x 2k ＋8＋y 29＝1的离心率e ＝12，则k 的值为4或－54.( )[提示] (1)× 离心率越大，椭圆越扁；离心率越小，椭圆越圆． (2)√(3)√ 由e 2＝1－b2a 2；又因椭圆的焦点在x 轴或在y 轴上，所以有两个值．当a ＞1时，焦点在x 轴上，a 2＝k ＋8，c 2＝k －1，又e ＝12，所以14＝k －1k ＋8，解得：k＝4；当k ＜1时，焦点在y 轴上，a 2＝9，c 2＝1－k ，又e ＝12，所以14＝1－k9，解得k ＝－54.2．椭圆6x 2＋y 2＝6的长轴端点坐标为( ) A ．(－1,0)(1,0) B ．(－6,0)，(6,0) C ．(－6，0)，(6，0)D ．(0，－6)，(0，6)D [x 2＋y 26＝1焦点在y 轴上，长轴端点坐标为(0，－6)，(0，6)．]3．椭圆x 2＋4y 2＝4的离心率为( ) A ．32 B ．34 C ．22D ．23A[x24＋y2＝1，a＝2，b＝1，c＝a2－b2＝3，e＝ca＝32.][合作探究·攻重难]坐标．[思路探究]化为标准方程，确定焦点位置及a，b，c的值，再研究相应的几何性质．[解]把已知方程化成标准方程x252＋y242＝1，可知a＝5，b＝4，所以c＝3.因此，椭圆的长轴和短轴的长分别是2a＝10和2b＝8，离心率e＝ca＝35，两个焦点分别是F1(－3,0)和F2(3,0)，椭圆的四个顶点是A1(－5,0)，A2(5,0)，B1(0，－4)和B2(0,4)．1．求椭圆9x2＋y2＝81的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率．[解]椭圆的标准方程为x29＋y281＝1，则a＝9，b＝3.c＝a2－b2＝62，长轴长2a＝18，短轴长2b＝6，焦点坐标为(0,62)，(0，－62)，顶点坐标(0,9)，(0，－9)，(3,0)，(－3,0)，离心率e＝ca＝223.(1)长轴长是10，离心率是4 5；(2)在x 轴上的一个焦点，与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6.【导学号：33242125】[思路探究] 先判断焦点位置并设出标准方程，再利用待定系数法求参数a ，b ，c .[解] (1)设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)或y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)． 由已知得2a ＝10，a ＝5.e ＝c a ＝45，∴c ＝4.∴b 2＝a 2－c 2＝25－16＝9.∴椭圆方程为x 225＋y 29＝1或x 29＋y 225＝1. (2)依题意可设椭圆方程为 x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．如图所示，△A 1F A 2为一等腰直角三角形，OF 为斜边A 1A 2的中线(高)，且|OF |＝c ，|A 1A 2|＝2b ，∴c ＝b ＝3，∴a 2＝b 2＋c 2＝18， 故所求椭圆的方程为x 218＋y 29＝1.2．求满足下列各条件的椭圆的标准方程．(1)已知椭圆的中心在原点，焦点在y 轴上，其离心率为12，焦距为8. (2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为3.[解] (1)由题意知，2c ＝8，c ＝4， ∴e ＝c a ＝4a ＝12，∴a ＝8， 从而b 2＝a 2－c 2＝48，∴椭圆的标准方程是y 264＋x 248＝1. (2)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2c ，a －c ＝3，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23，c ＝ 3.从而b 2＝9， ∴所求椭圆的标准方程为x 212＋y 29＝1或x 29＋y 212＝1.[1．求椭圆离心率的关键是什么？[提示] 根据e ＝c a ，a 2－b 2＝c 2，可知要求e ，关键是找出a ，b ，c 的等量关系．2．a ，b ，c 对椭圆形状有何影响？[提示] (1)e ＝ca ＝a 2－b 2a 2＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2.已知F 1，F 2是椭圆的两个焦点，过F 1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A ，B 两点，若△ABF 2是正三角形，求该椭圆的离心率.【导学号：33242126】[思路探究] 由题设求得A 、B 点坐标，根据△ABC 是正三角形得出a ，b ，c 的关系，从而求出离心率．[解] 设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，焦点坐标为F 1(－c,0)，F 2(c,0)． 依题意设A 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a ，则B 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，－b 2a ，所以|AB |＝2b 2a .由△ABF 2是正三角形得2c ＝32×2b 2a ，即3b 2＝2ac ， 又∵b 2＝a 2－c 2， ∴3a 2－3c 2－2ac ＝0，两边同除以a 2得3⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＋2c a －3＝0，解得e ＝c a ＝33.。

2．2.2　双曲线的几何性质学习目标　1.了解双曲线的几何性质，如范围、对称性、顶点、渐近线和离心率等.2.能用双曲线的简单性质解决一些简单问题.3.能区别椭圆与双曲线的性质．知识点一　双曲线的几何性质类比椭圆的几何性质，结合图象得到双曲线的几何性质如下表：标准方程－＝1x 2a 2y 2b 2(a ＞0，b ＞0)－＝1y 2a 2x 2b 2(a ＞0，b ＞0)图形范围对称性对称轴：________对称中心：________对称轴：________对称中心：________顶点坐标渐近线y ＝±xb a y ＝±xa b 性质离心率e ＝，e ∈(1，＋∞)ca 知识点二　双曲线的离心率思考1　如何求双曲线的渐近线方程？思考2　椭圆中，椭圆的离心率可以刻画椭圆的扁平程度，在双曲线中，双曲线的“张口”大小是图象的一个重要特征，怎样描述双曲线的“张口”大小呢？梳理　双曲线的半焦距c 与实半轴a 的比叫做双曲线的 ，其取值范围是________．e 越大，双曲线的开口________．类型一　已知双曲线的标准方程求其简单性质例1　求双曲线9y 2－4x 2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程反思与感悟　由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤(1)把双曲线方程化为标准形式是解决本题的关键．(2)由标准方程确定焦点位置，确定a ，b 的值．(3)由c 2＝a 2＋b 2求出c 值，从而写出双曲线的几何性质．跟踪训练1　求双曲线9y 2－16x 2＝144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程．类型二　由双曲线的几何性质确定标准方程例2　求适合下列条件的双曲线的标准方程．(1)虚轴长为12，离心率为；54(2)顶点间距离为6，渐近线方程为y ＝±x ；32(3)求与双曲线x 2－2y 2＝2有公共渐近线，且过点M (2，－2)的双曲线方程．反思与感悟　(1)求双曲线的标准方程的步骤：①确定或分类讨论双曲线的焦点所在的坐标轴；②设双曲线的标准方程；③根据已知条件或几何性质列方程，求待定系数；④求出a ，b ，写出方程．(2)①与双曲线－＝1共焦点的双曲线方程可设为－＝1(λ≠0，－b 2<λ<a 2)．x 2a 2y 2b 2x 2a 2－λy 2b 2＋λ②与双曲线－＝1具有相同渐近线的双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0)．x 2a 2y 2b 2x 2a 2y 2b 2③渐近线为ax ±by ＝0的双曲线方程可设为a 2x 2－b 2y 2＝λ(λ≠0)．跟踪训练2　求适合下列条件的双曲线的标准方程．(1)一个焦点为(0,13)，且离心率为；135(2)双曲线过点(3,9)，离心率e ＝；2103(3)渐近线方程为y ＝±x ，且经过点A (2，－3)．12 类型三　与双曲线有关的离心率问题例3　分别求适合下列条件的双曲线的离心率．(1)双曲线的渐近线方程为y ＝±x ；32(2)双曲线－＝1(0<a <b )的半焦距为c ，直线l 过(a,0)，(0，b )两点，且原点到直线l 的距x 2a 2y 2b 2离为c .34 反思与感悟　求双曲线的离心率，通常先由题设条件得到a ，b ，c 的关系式，再根据c 2＝a 2＋b 2，直接求a ，c 的值．而在解题时常把或视为整体，把关系式转化为关于或的c a ba c a ba 方程，解方程求之，从而得到离心率的值．在本题的(2)中，要注意条件0<a <b 对离心率的限制，以保证题目结果的准确性．跟踪训练3　已知F 1，F 2是双曲线－＝1(a >0，b >0)的两个焦点，PQ 是经过F 1且垂直于x 2a 2y 2b 2x 轴的双曲线的弦，如果∠PF 2Q ＝90°，求双曲线的离心率． 类型四　直线与双曲线的位置关系例4　已知直线y ＝ax ＋1与双曲线3x 2－y 2＝1.(1)如果直线与双曲线有两个公共点，求a 的取值范围；(2)如果直线与双曲线只有一个公共点，求a 的取值范围；(3)如果直线与双曲线没有公共点，求a 的取值范围．反思与感悟　直线与双曲线的位置关系问题的求解要注意常用方法的应用，即将直线方程代入双曲线的标准方程，得到一元二次方程，这个方程的根就是直线与双曲线交点的横(纵)坐标．利用根与系数的关系可以解决有关弦长、弦中点、轨迹等问题．(1)直线与双曲线的位置的判断方法直线与双曲线位置关系的判定有时通过联立方程组求解，有时也要结合图形进行求解．联立Error!消去y ，得(b 2－a 2k 2)x 2－2a 2kmx －a 2m 2－a 2b 2＝0.①当b 2－a 2k 2＝0时，①式为一次方程，仅有一解，此时直线与双曲线的渐近线平行，与双曲线有一个公共点，相交；当b 2－a 2k 2≠0时，若Δ>0，直线与双曲线有两个公共点，相交；若Δ＝0，直线与双曲线有一个公共点，相切；若Δ<0，直线与双曲线没有公共点，相离．(2)对于弦长的问题，通常结合两点间的距离公式或弦长公式求解．跟踪训练4　设双曲线C ：－y 2＝1(a >0)与直线l ：x ＋y ＝1相交于不同的两点A ，B ，求双x 2a 2曲线C 的离心率e 的取值范围．1．双曲线2x 2－y 2＝8的实轴长是( )A ．2 B ．22C ．4D ．422．设双曲线＋＝1的渐近线方程为3x ±2y ＝0，则a 的值为( )x 2a y 29A ．－4 B ．－3C ．2D ．13．已知双曲线－＝1(a ＞0)的右焦点为(3,0)，则双曲线的离心率等于( )x 2a 2y 25 A. B.3414324C.D.32434．设双曲线－＝1(a ＞0，b ＞0)的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为x 2a 2y 2b 23____________．5．若双曲线的顶点在坐标轴上，两顶点的距离为8，离心率是，求双曲线的标准方程．54　1．渐近线是双曲线特有的性质，两方程联系密切，把双曲线的标准方程－＝1(a >0，b >0)右x 2a 2y 2b 2边的常数“1”换为“0”，就是渐近线方程．反之由渐近线方程ax ±by ＝0变为a 2x 2－b 2y 2＝λ，再结合其他条件求得λ就可得双曲线方程．2．准确画出几何图形是解决解析几何问题的第一突破口．对圆锥曲线来说，渐近线是双曲线特有的性质．利用双曲线的渐近线来画双曲线特别方便，而且较为精确，只要作出双曲线的两个顶点和两条渐近线，就能画出它的近似图形．答案精析问题导学知识点一x ≥a 或x ≤－a y ≥a 或y ≤－a 坐标轴　原点　坐标轴　原点A 1(－a,0)，A 2(a,0)A 1(0，－a )，A 2(0，a )知识点二思考1　将方程－＝1(a >0，b >0)右边的“1”换成“0”，即由－＝0得±＝0，如图，x 2a 2y 2b 2x 2a 2y 2b 2x a yb 作直线±＝0，在双曲线－＝1的各支向外延伸时，与两直线逐渐接近，把这两条直线x a yb x 2a 2y 2b 2叫做双曲线的渐近线．思考2　双曲线－＝1的各支向外延伸逐渐接近渐近线，所以双曲线的“张口”大小取x 2a 2y 2b 2决于的值，设e ＝，则＝＝.ba ca ba c 2－a 2ae 2－1当e 的值逐渐增大时，的值增大，双曲线的“张口”逐渐增大．ba 梳理　离心率　(1，＋∞)　越开阔题型探究例1　解　将9y 2－4x 2＝－36变形为－＝1，即－＝1，x 29y 24x 232y 222所以a ＝3，b ＝2，c ＝，13因此顶点坐标为(－3,0)，(3,0)；焦点坐标为(－，0)，(，0)；1313实轴长是2a ＝6，虚轴长是2b ＝4；离心率e ＝＝；ca 133渐近线方程为y ＝±x ＝±x .b a 23跟踪训练1　解　把方程9y 2－16x 2＝144化为标准方程－＝1.y 242x 232由此可知，实半轴长a ＝4，虚半轴长b ＝3；c ＝＝＝5，焦点坐标是(0，－5)，(0,5)；a 2＋b 242＋32离心率e ＝＝；c a 54渐近线方程为y ＝±x .43例2　解　(1)设双曲线的标准方程为－＝1或－＝1(a >0，b >0)．x 2a 2y 2b 2y 2a 2x 2b 2由题意知2b ＝12，＝，ca 54且c 2＝a 2＋b 2，∴b ＝6，c ＝10，a ＝8.∴双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.x 264y 236y 264x 236(2)设以y ＝±x 为渐近线的双曲线方程为－＝λ(λ≠0)．32x 24y 29当λ>0时，a 2＝4λ，∴2a ＝2＝6⇒λ＝；4λ94当λ<0时，a 2＝－9λ，∴2a ＝2＝6⇒λ＝－1.－9λ∴双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.x 29y 2814y 29x 24(3)设与双曲线－y 2＝1有公共渐近线的双曲线方程为－y 2＝λ(λ≠0)．x 22x 22将点M (2，－2)代入双曲线方程，得λ＝－(－2)2＝－2，222∴双曲线的标准方程为－＝1.y 22x 24跟踪训练2　解　(1)依题意可知，双曲线的焦点在y 轴上，且c ＝13，又＝，∴a ＝5，b ＝＝12，c a 135c 2－a 2故所求双曲线的标准方程为－＝1.y 225x 2144(2)由e 2＝，得＝，109c 2a 2109设a 2＝9k (k >0)，则c 2＝10k ，b 2＝c 2－a 2＝k .∴设所求双曲线方程为－＝1①或－＝1②.x 29k y 2k y 29k x 2k 将(3,9)代入①，得k ＝－161，与k >0矛盾，无解；2将(3,9)代入②，得k ＝9.2故所求双曲线方程为－＝1.y 281x 29(3)方法一　∵双曲线的渐近线方程为y ＝±x ，12若焦点在x 轴上，设所求双曲线的标准方程为－＝1(a >0，b >0)，则＝.①x 2a 2y 2b 2ba 12∵A (2，－3)在双曲线上，∴－＝1.②4a 29b 2联立①②，无解．若焦点在y 轴上，设所求双曲线的标准方程为－＝1(a >0，b >0)，则＝.③y 2a 2x 2b 2ab 12∵A (2，－3)在双曲线上，∴－＝1.④9a 24b 2联立③④，解得a 2＝8，b 2＝32.∴所求双曲线的标准方程为－＝1.y 28x 232方法二　由双曲线的渐近线方程为y ＝±x ，可设双曲线方程为－y 2＝λ(λ≠0)．12x 222∵A (2，－3)在双曲线上，∴－(－3)2＝λ，即λ＝－8.2222∴所求双曲线的标准方程为－＝1.y 28x 232例3　解　(1)若焦点在x 轴上，则＝，b a 32∴e ＝ ＝；b 2a 2＋1132若焦点在y 轴上，则＝，ab 32即＝，b a 23∴e ＝ ＝.b 2a 2＋1133综上可知，双曲线的离心率为或.132133(2)依题意，直线l ：bx ＋ay －ab ＝0.由原点到l 的距离为c ，34得＝c ，aba 2＋b 234即ab ＝c 2，∴16a 2b 2＝3(a 2＋b 2)2，34即3b 4－10a 2b 2＋3a 4＝0，∴3()2－10×＋3＝0.b 2a 2b 2a 2解得＝或＝3.b 2a 213b 2a 2又∵0<a <b ，∴＝3，b 2a 2∴e ＝＝2.1＋b 2a 2跟踪训练3　解　设F 1(c,0)，将x ＝c 代入双曲线的方程得－＝1，那么y ＝±；c 2a 2y 2b 2b 2a ∴|PF 1|＝.b 2a 由双曲线对称性，知|PF 2|＝|QF 2|.又∠PF 2Q ＝90°，∴|F 1F 2|＝|PQ |＝|PF 1|，12∴＝2c ，则b 2＝2ac .b 2a ∴c 2－2ac －a 2＝0，∴()2－2×－1＝0.ca ca 即e 2－2e －1＝0，∴e ＝1＋或e ＝1－(舍去)．22∴所求双曲线的离心率为1＋.2例4　解　把y ＝ax ＋1代入3x 2－y 2＝1，整理得(3－a 2)x 2－2ax －2＝0.(1)∵直线与双曲线有两个公共点，∴判别式Δ＝4a 2＋8(3－a 2)＝24－4a 2>0，且3－a 2≠0，得－<a <且a ≠±.663故当－<a <且a ≠±时，直线与双曲线有两个公共点．663(2)∵直线与双曲线只有一个公共点，∴Error!或3－a 2＝0，故当a ＝±或a ＝±时，63直线与双曲线只有一个公共点．(3)∵直线双曲线没有公共点，∴Error!∴a >或a <－.66故当a >或a <－时，直线与双曲线没有公共点．66跟踪训练4　解　(1)将y ＝－x ＋1代入双曲线－y 2＝1(a >0)中，得(1－a 2)x 2＋2a 2x －2a 2＝0.x 2a 2因为双曲线C 与直线l 相交于不同两点，所以Error!解得0<a <且a ≠1.2又双曲线的离心率e ＝＝ ，1＋a 2a1a 2＋1所以e >且e ≠.622当堂训练1．C 2.A 3.C 4.y ＝±x225．解　由题设，①当焦点在x 轴上时，设双曲线的标准方程为－＝1(a >0，b >0)．x 2a 2y 2b 2∵2a ＝8，∴a ＝4，由e ＝＝，54c a 得c ＝5，∴b 2＝c 2－a 2＝52－42＝9.此时双曲线标准方程为－＝1.x 216y 29②当焦点在y 轴上时，设双曲线标准方程为－＝1(a >0，b >0)，y 2a 2x 2b 2同理可求得a ＝4，b 2＝9.此时双曲线标准方程为－＝1.y 216x 29因此所求双曲线标准方程为－＝1或－＝1.x 216y 29y 216x 29。

（2）如图，线段 A1A2 叫做双曲线 的实轴，它的长为2a,a叫做
实半轴长；线段 B1B2 叫做双
曲线的虚轴，它的长为2b,b
y
叫做双曲线的虚半轴长.
（见教材P.56)
b B2
（3）实轴与虚轴等长的双曲线 叫等轴双曲线
x2 y 2 m(m 0)
A1 -a o a A2
x
-b B1
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2.3.2 双曲线简单的几何性质 (一)
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定义 图象
| |MF1|-|MF2| | =2a（０ < 2a<|F1F2|）
y
M
y
M F2
F1 o F2 x
x
F1
方程
焦点
a.b.c 的关系
x2 a2
y2 b2
1
y2 x2 a2 b2 1
F ( ±c, 0)
F(0, ± c)
c2 a2 b2
(x,-y)
x以轴-x、代yx轴方是程不双变曲，线故的图对像称关轴于，原轴y点对是称对；称中心，
又 以-叫y代做y方双程曲不线变的，中故心图像。关于 轴对x 称；。
以-x代x且以-y代y方程不变，故图像关于 原点对称
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3、顶点
（1）双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点
顶点是A1(a,0)、A2 (a,0)
P( 1,－3 ) 且离心率为 的2双曲线标准方程.
y2 x2 1 88
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学习小结:
渐近线方程为 y b x 的双曲线的方程可写 a
成
x2 a2
y2 b2
y b x a
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