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函数自变量取值范围的确定方法

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函数自变量取值范围的确定策略金山初级中学 庄士忠 201508函数是初中数学一个十分重要的内容，为保证函数式有意义或实际问题有意义，函数式中的自变量取值通常要受到一定的限制，这就是函数自变量的取值范围。

函数自变量的取值范围是函数成立的先决条件，初中阶段确定函数自变量的取值范围大致可分为三种类型：（1）函数关系式中函数自变量的取值范围；（2）实际问题中函数自变量的取值范围；（3）几何问题中函数自变量的取值范围。

一、 函数关系式中函数自变量的取值范围：初中阶段，在一般的函数关系中自变量的取值范围主要考虑以下四种情况：（1）函数关系式为整式形式：自变量取值范围为任意实数；（2）函数关系式为分式形式：分母≠0；（3）函数关系式含算术平方根：被开方数≥0；（4）函数关系式含0指数：底数≠0。

典型例题：例1：函数y=x 1-的自变量x 的取值范围在数轴上可表示为【 】A ．B ．C ．D ．【分析】根据二次根式有意义的条件，计算出y=x 1-的取值范围，再在数轴上表示即可，不等式的解集在数轴上表示的方法：＞，≥向右画；＜，≤向左画，在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示。

根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，要使y=x 1-在实数范围内有意义，必须x 10-≥ x 1⇒≥。

故在数轴上表示为：。

故选D 。

例2：函数y =1x 2- 中自变量x 取值范围是【 】A ．x =2 B ．x ≠2 C ．x ＞2 D ．x ＜2【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，根据分式分母不为0的条件，要使1x 2-在实数范围内有意义，必须x 20x 2-≠⇒≠。

故选B 。

例3：函数x+2x 的取值范围是【 】A ．x ＞﹣2 B ．x ≥2 C ．x ≠﹣2 D ．x ≥﹣2 【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，根据二次根式被开方数必须是非负数和分式分母不为0的条件，要使x+2在实数范围内有意义，必须x+20x 2x >2x+20x 2≥≥-⎧⎧⇒⇒-⎨⎨≠≠-⎩⎩。

故选A 。

例4：函数1y x x=+ 】象限 A .第一 B .第一、三 C .第二D .第二、四 【分析】∵函数1y x x =0x >，∴0y >，∴根据面直角坐标系中各象限点的特征知图像在第一象限，故选A 。

二、实际问题中函数自变量的取值范围：在实际问题中确定自变量的取值范围，主要考虑两个因素：（1）自变量自身表示的意义，如时间、路程、用油量等不能为负数；（2）问题中的限制条件，此时多用不等式或不等式组来确定自变量的取值范围。

典型例题：例1：某工厂生产一种产品，当生产数量至少为10吨，但不超过50吨时，每吨的成本y （万元/吨）与生产数量x （吨）的函数关系式如图所示．（1）求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域；（2）当生产这种产品的总成本为280万元时，求该产品的生产数量． （注：总成本=每吨的成本×生产数量）【分析】（1）利用待定系数法求出一次函数解析式即可，根据当生产数量至少为10吨，但不超过50吨时，得出x 的定义域。

（2）根据总成本=每吨的成本×生产数量，利用（1）中所求得出即可。

【答案】解：（1）利用图象设y 关于x 的函数解析式为y =kx +b ，将（10，10）（50，6）代入解析式得：10k+b=1050k+b=6⎧⎨⎩，解得：1k=10b=11⎧-⎪⎨⎪⎩。

∴y 关于x 的函数解析式为y =110-x +11（10≤x ≤50）。

（2）当生产这种产品的总成本为280万元时，x （110-x +11）=280，解得：x 1=40，x 2=70（不合题意舍去）。

∴该产品的生产数量为40吨。

例2：某私营服装厂根据2011年市场分析，决定2012年调整服装制作方案，准备每周（按120工时计算）制作西服、休闲服、衬衣共360件，且衬衣至少60件。

已知每件服装的收入和所需工时如下表：设每周制作西服x 件，休闲服y 件，衬衣z 件。

（1） 请你分别从件数和工时数两个方面用含有x ,y 的代数式表示衬衣的件数z 。

（2） 求y 与x 之间的函数关系式。

（3） 每周制作西服、休闲服、衬衣各多少件时，才能使总收入最高？最高总收入是多少？【分析】（1）题目中的已知条件分别从件数和工时数两个方面用含x ，y 的关系式表示z 。

（2）由（1）整理得：y =360－3x 。

（3）由题意得s =3x +2y +z ，化为一个自变量，得到关于x 的一次函数。

由题意得2x 60x 03603x 0≥⎧⎪≥⎨⎪-≥⎩，解得30≤x ≤120，从而根据一次函数的性质作答。

【答案】解：（1）从件数方面：z =360－x －y ， 从工时数方面：由12x +13y +14z =120整理得：z=480－2x－43y。

（2）由（1）得360－x－y=480－2x－43y，整理得：y=360－3x。

（3）由题意得总收入s=3x＋2y＋z=3x＋2（360－3x）＋2x=－x＋720由题意得2x60x03603x0≥⎧⎪≥⎨⎪-≥⎩，解得30≤x≤120。

由一次函数的性质可知，当x=30的时候，s最大，即当每周生产西服30件，休闲服270件，衬衣60件时，总收入最高，最高总收入是690百元。

例3：某科技开发公司研制出一种新型产品，每件产品的成本为2400 元，销售单价定为3000 元．在该产品的试销期间，为了促销，鼓励商家购买该新型产品，公司决定商家一次购买这种新型产品不超过10 件时，每件按3000 元销售；若一次购买该种产品超过10 件时，每多购买一件，所购买的全部产品的销售单价均降低10 元，但销售单价均不低于2600 元．(1)商家一次购买这种产品多少件时，销售单价恰好为2600 元?(2)设商家一次购买这种产品x件，开发公司所获的利润为y元，求y(元)与x(件)之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．(3)该公司的销售人员发现：当商家一次购买产品的件数超过某一数量时，会出现随着一次购买的数量的增多，公司所获的利润反而减少这一情况.为使商家一次购买的数量越多，公司所获的利润越大，公司应将最低销售单价调整为多少元?(其它销售条件不变)【分析】（1）设件数为x，则销售单价为3000－10（x－10）元，根据销售单价恰好为2600元，列方程求解。

（2）由利润y=销售单价×件数，及销售单价均不低于2600元，按0≤x≤10，10＜x≤50，x＞50三种情况列出函数关系式。

（3）由（2）的函数关系式，利用二次函数的性质求利润的最大值，并求出最大值时x的值，确定销售单价。

【答案】解：（1）设件数为x，依题意，得3000－10（x－10）=2600，解得x=50。

答：商家一次购买这种产品50件时，销售单价恰好为2600元。

（2）当0≤x ≤10时，y =（3000－2400）x =600x ；当10＜x ≤50时，y =[3000－10（x －10）－2400]x ，即y =－10x 2+700x ；当x ＞50时，y =（2600－2400）x =200x 。

∴2600x(0x 10x )y 10x 700x(10x 50x )200x(x 50x )<>≤≤⎧⎪=-+≤⎨⎪⎩，且整，且整，且整为数为数为数。

（3）由y =－10x 2+700x 可知抛物线开口向下，当()700x 35210=-=⨯-时，利润y 有最大值，此时，销售单价为3000－10（x －10）=2750元，答：公司应将最低销售单价调整为2750元。

例4：某商品的进价为每件50元，售价为每件60元，每个月可卖出200件。

如果每件商品的售价上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于72元）。

设每件商品的售价上涨x 元（x 为整数），每个月的销售利润为y 元，（1）求y 与x 的函数关系式，并直接写出x 的取值范围；（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大月利润是多少元？【分析】（1）根据题意，得出每件商品的利润以及商品总的销量，即可得出y 与x 的函数关系式。

（2）根据题意利用配方法得出二次函数的顶点形式（或用公式法），从而得出当x =5时得出y 的最大值。

【答案】解：（1）设每件商品的售价上涨x 元（x 为正整数），则每件商品的利润为：（60－50＋x ）元，总销量为：（200－10x ）件，商品利润为：y =（60－50＋x ）（200－10x ）=－10x 2＋100x ＋2000。

∵原售价为每件60元，每件售价不能高于72元，∴0＜x ≤12。

（2）∵y =－10x 2＋100x ＋2000=－10（x －5）2+2250，∴当x =5时，最大月利润y =2250。

答：每件商品的售价定为5元时，每个月可获得最大利润，最大月利润是2250元。

例5：市某生态示范村种植基地计划用90亩～120亩的土地种植一批葡萄，原计划总产量要达到36万斤．（1）列出原计划种植亩数y （亩）与平均每亩产量x （万斤）之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（2）为了满足市场需求，现决定改良葡萄品种．改良后平均每亩产量是原计划的1.5倍，总产量比原计划增加了9万斤，种植亩数减少了20亩，原计划和改良后的平均每亩产量各是多少万斤？【分析】（1）直接根据亩产量、亩数及总产量之间的关系得到函数关系式即可。

（2）根据题意列出3636920x 1.5x+-=后求解即可。

【答案】解：（1）由题意知：xy =36，∴36y x =（32x 105≤≤）。

（2）根据题意得：3636920x 1.5x+-=，解得：x =0.3。

经检验：x =0.3是原方程的根。

1.5x =0.45。

答：改良前亩产0.3万斤，改良后亩产0.45万斤。

例6、小丁每天从某报社以每份0.5元买进报纸200分，然后以每份1元卖给读者，报纸卖不完，当天可退回报社，但报社只按每份0.2元退给小丁，如果小丁平均每天卖出报纸x 份，纯收入为y 元．（1）求y 与x 之间的函数关系式（要求写出自变量x 的取值范围）；（2）如果每月以30天计算，小丁每天至少要买多少份报纸才能保证月收入不低于2000元？【分析】（1）因为小丁每天从某市报社以每份0.5元买出报纸200份，然后以每份1元卖给读者，报纸卖不完，当天可退回报社，但报社只按每份0.2元退给小丁，所以如果小丁平均每天卖出报纸x 份，纯收入为y 元，则y =（1﹣0.5）x ﹣（0.5﹣0.2）（200﹣x ）即y =0.8x ﹣60，其中0≤x ≤200且x 为整数。

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函数定义域的取值范围口诀

函数定义域的取值范围口诀

函数定义域的取值范围口诀
确定函数定义域的口诀如下：
1. 函数定义域是函数自变量的取值范围，其实际意义是：自变量取每一个确定的值，函数都有唯一确定的值与之对应。

因此，定义域的取值范围是由函数的解析式和实际问题的要求共同确定的。

2. 分式函数的分母不能为0，偶次根式函数的被开方数必须大于等于0，零指数幂的底数不能为0，负整数指数幂的底数不能为负数。

3. 函数解析式有意义的情况包括：一元二次函数二次项系数大于0，分式分母不为0等。

在实际应用中，根据问题的实际情况确定自变量的取值范围即可。

希望以上信息对您有帮助。

如需更多信息，建议查阅数学相关书籍或咨询数学教师。

定义域的解题思路

定义域的解题思路

定义域的解题思路
定义域是数学中一个非常重要的概念，它指的是函数自变量的取值范围。

在解决与函数相关的问题时，我们需要先确定函数的定义域，才能进行进一步的计算和推理。

求函数的定义域通常有以下几种方法：
1. 直接法：有些函数的定义非常明确，可以直接确定其定义域。

例如，一次函数f(x)=ax+b的定义域为R，即所有实数都是它的自变量。

2. 分母不为0法：对于分数形式的函数f(x)/g(x)，如果要求其定义域，需要保证分母g(x)不为0。

因此，我们可以通过求解不等式或方程来确定函数的定义域。

3. 二次根式中的被开方数大于等于0法：对于形如√{a^2}的函数，其中a为任意实数，其定义域为[0,+\infty)。

因为对于任何实数x，都有a^2≥0成立，所以只有当a^2=0时等号成立。

4. 对数中的真数大于0法：对于形如log_a(x)的函数，其中a>0且a≠1，其定义域为(0,+\infty)。

因为对于任何小于等于0的实数x，都有log_a(x)无意义。

总之，在解决与函数相关的问题时，正确确定函数的定义域是非常重要的一步。

通过掌握不同的求定义域的方法和技巧，我们可以更加高效地解决各种数学问题。

函数自变量取值范围

函数自变量取值范围

函数自变量取值范围函数自变量的取值范围是使函数解析式有意义的自变量的所有可能取值，它是一个函数被确定的重要因素，一直是中考的热点问题之一，下面举例谈谈这类问题的常见类型和解法供供同学们学习时参考。

一、教法点拨：1.在一般的函数关系式中自变量的取值范围主要考虑以下四种情况：（1）函数关系式为整式形式：自变量取值范围为任意实数；（2）函数关系式为分式形式：分母≠0；（3）函数关系式含偶次方根：被开方数≥0；（4）函数关系式含0指数或负整数指数：底数≠0.（5）解析式是上述几种形式组合而成时，应首先求出式子中各部分的取值范围，然后再求出它们的公共部分；2. 实际问题中自变量的取值范围：（1）注意自变量自身表示的意义；（2）问题中的限制条件，此时多用不等式或不等式组来确定自变量的取值范围。

3. 几何图形中函数自变量的取值范围：（1）使函数式有意义；（2）考虑几何图形的构成条件及运动范围。

注意记清各种情况，判断哪一类型，准确计算即可。

二、题型分类：题型一：函数关系式中自变量取值范围1.解析式是整式时, 函数自变量取值范围是全体实数。

（原创题）①y = x2-3 ；②y = 2x -1；③ y =-3x .2.解析式是分式时,自变量的取值范围是使分母不为0的实数。

①（2018哈尔滨）函数y= 中，自变量x的取值范围是_________。

②(2018武汉）若分式在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围是（）[来源:学科网ZXXK] A．x＞－2B．x＜－2C．x＝－2D．x≠－2③(2017哈尔滨)函数Y= 中，自变量X取值范围是____________。

④（2018•宿迁）函数y= 中，自变量x的取值范围是（）A．x≠0B．x＜1C．x＞1D．x≠13.解析式是偶次根式,自变量的取值范围是被开方数为非负数。

①(2018北京市）若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是。

②(2018湖北十堰）函数的自变量x的取值范围是。

八年级上册数学函数知识点

八年级上册数学函数知识点

八年级上册数学函数知识点八年级上册数学函数知识点一、变量与函数[变量和常量]在一个变化过程中，数值发生变化的量，我们称之为变量，而数值始终保持不变的量，我们称之为常量。

[函数]一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量与，并且对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说是自变量，是的函数。

如果当时，那么叫做当自变量的值为时的函数值。

[自变量取值范围的确定方法]1、自变量的取值范围必须使解析式有意义。

当解析式为整式时，自变量的取值范围是全体实数;当解析式为分数形式时，自变量的取值范围是使分母不为0的所有实数;当解析式中含有二次根式时，自变量的取值范围是使被开方数大于等于0的所有实数。

2、自变量的取值范围必须使实际问题有意义。

[函数的图像]一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象.[描点法画函数图形的一般步骤]第一步：列表(表中给出一些自变量的值及其对应的函数值);第二步：描点(在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点);第三步：连线(按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来)。

[函数的表示方法]列表法：一目了然，使用起来方便，但列出的对应值是有限的，不易看出自变量与函数之间的对应规律。

解析式法：简单明了，能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系，但有些实际问题中的函数关系，不能用解析式表示。

图象法：形象直观，但只能近似地表达两个变量之间的函数关系。

[正比例函数]一般地，•形如y=•kx•(k•是常数，•k•≠0•)的函数，•叫做正比例函数(proportional function)，其中k叫做比例系数.[正比例函数图象和性质]一般地，正比例函数y=kx(k是常数，k≠0)的图象是一条经过原点和(1，k)的直线.我们称它为直线y=kx.•当k0时，直线y=kx经过三、一象限，从左向右上升，即随x的增大y也增大;当k0时，•直线y=kx经过二、四象限，从左向右下降，即随x 增大y反而减小.(1) 解析式：y=kx(k是常数，k≠0)(2) 必过点：(0，0)、(1，k)(3) 走向：k0时，图像经过一、三象限;k0时，•图像经过二、四象限(4) 增减性：k0，y随x的增大而增大;k0，y随x增大而减小(5) 倾斜度：|k|越大，越接近y轴;|k|越小，越接近x轴[正比例函数解析式的确定]——待定系数法1. 设出含有待定系数的函数解析式y=kx(k•≠0)2. 把已知条件(一个点的坐标)代入解析式，得到关于k的一元一次方程3. 解方程，求出系数k4. 将k的值代回解析式二、一次函数[一次函数]一般地，形如y=kx+b(k、b是常数，k 0)函数，叫做一次函数. 当b=0时，y=kx+b即y=kx，所以正比例函数是一种特殊的一次函数.[一次函数的图象及性质]一次函数y=kx+b的图象是经过(0，b)和(- ，0)两点的一条直线，我们称它为直线y=kx+b,它可以看作由直线y=kx平移|b|个单位长度得到.(当b0时，向上平移;当b0时，向下平移)(1)解析式：y=kx+b(k、b是常数，k 0)(2)必过点：(0，b)和(- ，0)(3)走向： k0，图象经过第一、三象限;k0，图象经过第二、四象限b0，图象经过第一、二象限;b0，图象经过第三、四象限直线经过第一、二、三象限直线经过第一、三、四象限直线经过第一、二、四象限直线经过第二、三、四象限(4)增减性： k0，y随x的增大而增大;k0，y随x增大而减小.(5)倾斜度：|k|越大，图象越接近于y轴;|k|越小，图象越接近于x轴.(6)图像的平移：当b0时，将直线y=kx的图象向上平移b 个单位;当b0时，将直线y=kx的图象向下平移b个单位.[直线y=k1x+b1与y=k2x+b2的位置关系](1)两直线平行：k1=k2且b1 b2(2)两直线相交：k1 k2(3)两直线重合：k1=k2且b1=b2[确定一次函数解析式的方法](1)根据已知条件写出含有待定系数的函数解析式;(2)将x、y的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数解析式中得到以待定系数为未知数的方程;(3)解方程得出未知系数的值;(4)将求出的待定系数代回所求的函数解析式中得出结果.[一次函数建模]函数建模的关键是将实际问题数学化，从而解决最佳方案、最佳策略等问题. 建立一次函数模型解决实际问题，就是要从实际问题中抽象出两个变量，再寻求出两个变量之间的关系，构建函数模型，从而利用数学知识解决实际问题.正比例函数的图象和一次函数的图象在赋予实际意义时，其图象大多为线段或射线. 这是因为在实际问题中，自变量的取值范围是有一定的限制条件的，即自变量必须使实际问题有意义.从图象中获取的信息一般是：(1)从函数图象的形状判定函数的类型;(2)从横、纵轴的实际意义理解图象上点的坐标的实际意义.解决含有多个变量的问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中某个变量作为自变量，再根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数.三、用函数观点看方程(组)与不等式[一元一次方程与一次函数的关系]任何一元一次方程到可以转化为ax+b=0(a，b为常数，a≠0)的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值. 从图象上看，相当于已知直线y=ax+b确定它与x轴的交点的横坐标的值.[一次函数与一元一次不等式的关系]任何一个一元一次不等式都可以转化为ax+b0或ax+b0(a，b为常数，a≠0)的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大(小)于0时，求自变量的取值范围.[一次函数与二元一次方程组](1)以二元一次方程ax+by=c的解为坐标的点组成的图象与一次函数y= 的图象相同.(2)二元一次方程组的解可以看作是两个一次函数y= 和y= 的图象交点.三个重要的数学思想1.方程的思想。