抛物线高考题精选

专题23 抛物线第一部分 真题分类1．（2021·1的距离为A ．1B ．2CD ．42．（2020·北京高考真题）设抛物线的顶点为O ，焦点为F ，准线为l P 是抛物线上异于O 的一点，过，则线段FQ 的垂直平分线（ ）．A．经过点OBC OP D3．（2019·全国高考真题（文））若抛物线y 2=2px （p >021y p =的一个焦点，则p =A ．2B ．3C ．4D ．84．（2021·，点M 为抛物线C 上的点，且M 的横坐标是_______；作MN x ⊥轴于N ．5．（2021·全国高考真题（文））抛物线C 的顶点为坐标原点O ．焦点在x 轴上，直线l C 于P ，Q OQ ．已知点()2,0M ，且M 与l 相切．（1）求C ，M 的方程；（2C 3A 均与相切．判断直线23A A 与说明理由．6．（2021·浙江高考真题）如图，已知F 是抛物线()220y px p =>的焦点，M 是抛物线的准线与x 轴的2=，（1）求抛物线的方程；（2）设过点F的直线交抛物线与A､B两点，斜率为2的直线l与直线,,MA MB AB，x轴依次交于点P，Q，R，N l在x轴上截距的范围.7．（2020·浙江高考真题）如图，已知椭圆221:12xC y+=，抛物线22:2(0)C y px p=>，点A是椭圆1CA的直线l交椭圆1C于点B，交抛物线2C于M（B，M不同于A）．16（Ⅱ）若存在不过原点的直线l使M为线段AB的中点，求p的最大值．8．（2019·北京高考真题（理））已知抛物线C：x2=−2py经过点（2，−1）．（Ⅰ）求抛物线C的方程及其准线方程；（Ⅱ）设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y=−1分别交直线OM，ON于点A和点B.求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点．第二部分 模拟训练1．已知抛物线24x y=的焦点为F，过F l与抛物线相交于A，B两点，PB AB⊥，则A B．2C D．32．已知抛物线2:10C y x=的焦点为F，若点M在抛物线C M到y轴的距离为（ ）A．2B5C．4D3l的直线交抛物线于A B两点，过点AE，当A OAB的面积为（ ）A3B．C3D3．已知以圆C：22(1)4x y-+=的圆心为焦点的抛物线1C点，B点是抛物线2C：BM与直线2y=-垂直，垂足为MA B2C D4为坐标原点，,A B为抛物线C上两点，||||AO AF=，且AB．2-C．D5()3,0B为ABC的两个顶点，点C在抛物线24x y=上，且到焦点的距离为13，则A．12B．13C．14D．156x__________.7l A、()13,A y828y x=C10A在直线AA F F的周长为______．F关于y轴的对称点为1F，则四边形1192=的准8y x线上，则该双曲线的方程为__．10F为抛物线CC的切线AN（斜率不为0），设切点为N．（1）求抛物线C的标准方程；（2）求证：以FN为直径的圆过点A．11．已知动点M0的距离比到点1.（1所在的曲线（2，A B、C上的两个动点，如果直线的斜率与直线PB的斜率互为相反数，（3A B、是曲线C上的两个动点，如果直线PA的斜率与直线PB的斜率之和为2，证.。

专题14 抛物线目录一览2023真题展现考向一 直线与抛物线真题考查解读近年真题对比考向一 抛物线的性质考向二 直线与抛物线命题规律解密名校模拟探源易错易混速记/二级结论速记考向一 直线与抛物线1．（多选）（2023•新高考Ⅱ•第10题）设O 为坐标原点，直线y =x ﹣1）过抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点，且与C 交于M 两点，l 为C 的准线，则（ ）A ．p ＝2B ．|MN |=83C ．以MN 为直径的圆与l 相切D ．△OMN 为等腰三角形【答案】AC解：直线y =x ﹣1）过抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点，可得p2=1，所以p ＝2，所以A 正确；抛物线方程为：y 2＝4x ，与C 交于M ，N 两点，直线方程代入抛物线方程可得：3x 2﹣10x +3＝0，x M +x N =103，所以|MN |＝x M +x N +p =163，所以B 不正确；M ，N 的中点的横坐标：53，中点到抛物线的准线的距离为：1+53=83，所以以MN 为直径的圆与l 相切，所以C 正确；3x 2﹣10x +3＝0，不妨可得x M ＝3，x N =13，y M ＝﹣x N =|OM ||ON |=|MN |=163，所以△OMN 不是等腰三角形，所以D 不正确．【命题意图】考查抛物线的定义、标准方程、几何性质、直线与抛物线．考查运算求解能力、逻辑推导能力、分析问题与解决问题的能力、数形结合思想、化归与转化思想．【考查要点】抛物线的定义、方程、性质是高考常考内容，以小题出现，常规题，难度中等．【得分要点】一、抛物线的定义平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线．注：①在抛物线定义中，若去掉条件“l 不经过点F ”，点的轨迹还是抛物线吗？不一定是，若点F 在直线l 上，点的轨迹是过点F 且垂直于直线l 的直线．②定义的实质可归纳为“一动三定”一个动点M ；一个定点F (抛物线的焦点)；一条定直线(抛物线的准线)；一个定值(点M到点F 的距离二、抛物线的方程及简单几何性质(p)(p )(p)(p)设直线l ：y ＝kx ＋m ，抛物线：y 2＝2px (p >0)，将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x 的方程k 2x 2＋2(km －p )x ＋m 2＝0.(1)若k ≠0，当Δ>0时，直线与抛物线相交，有两个交点；当Δ＝0时，直线与抛物线相切，有一个交点；当Δ<0时，直线与抛物线相离，没有公共点．(2)若k ＝0，直线与抛物线有一个交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合．注：(1)直线与抛物线有一个公共点是直线与抛物线相切的必要不充分条件．(2)研究直线与抛物线的关系时要注意直线斜率不存在的情况．四、弦长问题过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，那么线段AB 叫做焦点弦，如图：设AB 是过抛物线y 2＝2px (p >0)焦点F 的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝x 1＋x 2＋p .注：(1)x 1·x 2＝p 24.(2)y 1·y 2＝－p 2.(3)|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2p sin 2α(α是直线AB 的倾斜角)．(4)1|AF |＋1|BF |＝2p为定值(F 是抛物线的焦点)．（5）求弦长问题的方法①一般弦长：|AB |x 1－x 2|，或|AB |y 1－y 2|.②焦点弦长：设过焦点的弦的端点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝x 1＋x 2＋p .考向一 抛物线的性质2．（多选）（2022•新高考Ⅱ）已知O 为坐标原点，过抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）焦点F 的直线与C 交于A ，B 两点，其中A 在第一象限，点M （p ，0）．若|AF |＝|AM |，则（ ）A．直线AB的斜率为2B．|OB|＝|OF|C．|AB|＞4|OF|D．∠OAM+∠OBM＜180°【解答】解：如图，∵F（，0），M（p，0），且|AF|＝|AM|，∴A（，），由抛物线焦点弦的性质可得，则，则B（，﹣），∴，故A正确；，|OF|＝，|OB|≠|OF|，故B错误；|AB|＝＞2p＝4|OF|，故C正确；，，，，|OM|＝p，∵|OA|2+|AM|2＞|OM|2，|OB|2+|BM|2＞|OM|2，∴∠OAM，∠OBM均为锐角，可得∠OAM+∠OBM＜180°，故D正确．故选：ACD．3．（2021•新高考Ⅱ）若抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点到直线y＝x+1的距离为，则p＝（ ）A．1B．2C．2D．4【解答】解：抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点（，0）到直线y＝x+1的距离为，可得，解得p＝2．故选：B．4．（2021•新高考Ⅰ）已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，P为C上一点，PF 与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ⊥OP．若|FQ|＝6，则C的准线方程为 ．【解答】解：法一：由题意，不妨设P在第一象限，则P（，p），k OP＝2，PQ⊥OP．所以k PQ＝﹣，所以PQ的方程为：y﹣p＝﹣（x﹣），y＝0时，x＝，|FQ|＝6，所以，解得p＝3，所以抛物线的准线方程为：x＝﹣．法二：根据射影定理，可得|PF|2＝|FO||FQ|，可得p2＝，解得p＝3，因此，抛物线的准线方程为：x＝﹣．故答案为：x＝﹣．考向二直线与抛物线5.（多选）（2022•新高考Ⅰ）已知O为坐标原点，点A（1，1）在抛物线C：x2＝2py（p＞0）上，过点B（0，﹣1）的直线交C于P，Q两点，则（ ）A．C的准线为y＝﹣1B．直线AB与C相切C．|OP|•|OQ|＞|OA|2D．|BP|•|BQ|＞|BA|2【解答】解：∵点A（1，1）在抛物线C：x2＝2py（p＞0）上，∴2p＝1，解得，∴抛物线C的方程为x2＝y，准线方程为，选项A错误；由于A（1，1），B（0，﹣1），则，直线AB的方程为y＝2x﹣1，联立，可得x2﹣2x+1＝0，解得x＝1，故直线AB与抛物线C相切，选项B正确；根据对称性及选项B的分析，不妨设过点B的直线方程为y＝kx﹣1（k＞2），与抛物线在第一象限交于P（x1，y1），Q（x2，y2），联立，消去y并整理可得x2﹣kx+1＝0，则x1+x2＝k，x1x2＝1，，，由于等号在x1＝x2＝y1＝y2＝1时才能取到，故等号不成立，选项C正确；＝，选项D正确．故选：BCD．根据近几年考题推测考查内容抛物线的定义、方程、性质，以小题出现，常规题，难度中等．一．抛物线的标准方程（共1小题）1．（2023•道里区校级二模）已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，且过点（﹣3，3），则此抛物线的标准方程为 ．【解答】解：抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，且过点（﹣3，3），设抛物线y2＝﹣2px，可得9＝6p，所以2p＝3，所以抛物线的标准方程y2＝﹣3x．故答案为：y2＝﹣3x．二．抛物线的性质（共39小题）2．（2023•海淀区一模）已知抛物线y2＝4x的焦点为F，点P在该抛物线上，且P的横坐标为4，则|PF|＝（ ）A．2B．3C．4D．5【解答】解：∵抛物线方程为2＝4x，∴，又点P在该抛物线上，且P的横坐标为4，∴|PF|＝＝5．故选：D．3．（2023•润州区校级二模）图1是世界上单口径最大、灵敏度最高的射电望远镜“中国天眼”——500m 口径抛物面射电望远镜，反射面的主体是一个抛物面（抛物线绕其对称轴旋转所形成的曲面称为抛物面），其边缘距离底部的落差约为156.25米，它的一个轴截面是一个开口向上的抛物线C的一部分，放入如图2所示的平面直角坐标系xOy内，已知该抛物线上点P到底部水平线（x轴）距离为125m，则点P到该抛物线焦点F的距离为（ ）A．225m B．275m C．300m D．350m【解答】解：令抛物线方程为x2＝2py且p＞0，由题设，（250，156.25）在抛物线上，则312.5p＝2502，解得，又P（x P，y P）且y P＝125，则P到该抛物线焦点F的距离为米．故选：A．4．（2023•郑州模拟）抛物线有一条重要性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴，反之，平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线经过该抛物线的焦点．已知抛物线C：x2＝2py（p＞0），一条平行于y轴的光线，经过点A（1，4），射向抛物线C的B处，经过抛物线C的反射，经过抛物线C的焦点F，若|AB|+|BF|＝5，则抛物线C的准线方程是（ ）A．B．y1C．y＝﹣2D．y＝﹣4【解答】解：由题意可知，抛物线的准线方程为，根据抛物线的定义可知，抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离相等，所以，得p＝2，所以抛物线的准线方程为y＝﹣1．故选：B．5．（2023•红山区模拟）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F到准线的距离为4，点M（x1，y1），N （x2，y2）在抛物线C上，若（y1﹣2y2）（y1+2y2）＝48，则＝（ ）A．4B．2C．D．【解答】解：抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F到准线的距离为4，则p＝4，C：y2＝8x，依题意，，而，，故8x1﹣32x2＝48，即8x1+16＝32x2+64，则x1+2＝4（x2+2），故．故选：A．6．（2023•河南模拟）设F为抛物线的焦点，点P在抛物线上，点Q在准线l上，满足PQ∥x轴．若|PQ|＝|QF|，则|PF|＝（ ）A．2B．C．3D．【解答】解：依题意有|PQ|＝|QF|＝|PF|，则△PQF为等边三角形，又PQ∥x轴，所以|PF|＝|PQ|＝4|OF|＝2．故选：A．7．（2023•四川模拟）抛物线C：x2＝4y的焦点为F，直线x﹣y+3＝0与C交于A，B两点，则△ABF的面积为（ ）A．4B．8C．12D．16【解答】解：∵抛物线C：x2＝4y的焦点F为（0，1），又易知直线x﹣y+3＝0与y轴交点P为（0，3），联立，可得x2﹣4x﹣12＝0，解得x1＝﹣2，x2＝6，∴△ABF的面积为＝＝8，故选：B．8．（2023•乌鲁木齐三模）“米”是象形字．数学探究课上，某同学用抛物线C1：y2＝﹣2px（p＞0）和C2：y2＝2px（p＞0）构造了一个类似“米”字型的图案，如图所示，若抛物线C1，C2的焦点分别为F1，F2，点P在抛物线C1上，过点P作x轴的平行线交抛物线C2于点Q，若PF1＝3PQ＝6，则p＝（ ）A．4B．6C．8D．10【解答】解：因为3PQ＝6，即PQ＝2，由抛物线的对称性知x P＝﹣1，由抛物线定义可知，，即，解得p＝10，故选：D．9．（2023•平罗县校级模拟）已知抛物线C：y2＝20x的焦点为F，抛物线C上有一动点P，Q（6，5），则|PF|+|PQ|的最小值为（ ）A．10B．16C．11D．26【解答】解：设抛物线C的准线为l，作PT⊥l于T，由抛物线的定义知|PF|＝|PT|，所以，当P，Q，T三点共线时，|PF|+|PQ|有最小值，最小值为．故选：C．10．（2023•新疆模拟）已知抛物线y2＝2px（p＞0）上任意一点到焦点F的距离比到y轴的距离大1，则抛物线的标准方程为（ ）A．y2＝x B．y2＝2x C．y2＝4x D．y2＝8x【解答】解：抛物线的准线方程为x＝−，根据抛物线的定义可知，抛物线C上任意一点到准线的距离比到y轴的距离大1，则＝1，所以，p＝2，因此，抛物线C的方程为y2＝4x．故选：C．11．（2023•河南模拟）已知抛物线y2＝2px（p＞0）的准线为l，且点A（4，4）在抛物线上，则点A到准线l的距离为（ ）A．5B．4C．3D．2【解答】解：由题意知16＝8p，所以p＝2，所以抛物线方程为y2＝4x，则抛物线的准线l为x＝﹣1，所以点A到抛物线准线的距离为4﹣（﹣1）＝5．故选：A．12．（2023•海淀区校级三模）已知抛物线y＝ax2（a＞0），焦点F到准线的距离为1，若点M在抛物线上，且|MF|＝5，则点M的纵坐标为　．【解答】解：抛物线的标准方程为，其焦点为，准线方程为，由抛物线的焦点F到准线的距离为1，得，可得，所以，抛物线的标准方程为x2＝2y，其准线方程为，设点M（x0，y0），由抛物线的定义可得，解得．故答案为：．13．（2023•3月份模拟）已知点M为抛物线y2＝8x上的动点，点N为圆x2+（y﹣4）2＝5上的动点，则点M到y轴的距离与点M到点N的距离之和最小值为 ．【解答】解：已知点M为抛物线y2＝8x上的动点，点N为圆x2+（y﹣4）2＝5上的动点，由题意可得圆x2+（y﹣4）2＝5的圆心坐标为（0，4），半径为，抛物线y2＝8x的焦点坐标为F（2，0），过M作MQ垂直y轴交y轴于点Q，由抛物线的定义可得|MQ|+|MN|＝|MF|+|MN|﹣2＝＝，当且仅当A、M、N、F共线时取等号，则点M到y轴的距离与点M到点N的距离之和最小值为．故答案为：．14．（2023•兴国县模拟）已知过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F（1，0）的直线与抛物线C交于A，B两点（A在第一象限），以AB为直径的圆E与抛物线C的准线相切于点D．若，O 为坐标原点，则△AOB的面积为（ ）A．B．C．D．4【解答】解：依题意，＝1，可得p＝2，所以抛物线C的方程为y2＝4x．依题意可知DE与抛物线的准线x＝﹣1垂直，在直角三角形ABD中，|AD|＝|BD|，则∠BAD＝，∠ABD＝∠DEB＝∠AFx＝，所以直线AB的方程为y＝（x﹣1），由，消去y并化简得3x2﹣10x+3＝0，易得Δ＞0，x A+x B＝，则|AB|＝x A+x B+p＝+2＝，原点（0，0）到直线x﹣y﹣＝0的距离d＝，所以S＝|AB|•d＝××＝．△AOB故选：B．15．（2023•重庆模拟）已知点P为抛物线y2＝2px（p＞0）上一动点，点Q为圆C：（x+1）2+（y﹣4）2＝1上一动点，点F为抛物线的焦点，点P到y轴的距离为d，若|PQ|+d的最小值为2，则p＝（ ）A．B．p＝1C．p＝2D．p＝4【解答】解：画出图形，如图所示：易知圆C：（x+1）2+（y﹣4）2＝1的圆心C（﹣1，4），半径r＝1，由抛物线的定义可知：点P到y轴的距离d＝|PF|﹣，所以|PQ|+d＝|PQ|+|PF|﹣，由图可知：当C，Q，P，F共线，且P，Q在线段CF之间时，PQ+PF最短，而|CF|＝，故有|PQ|+|PF|﹣＝|CF|﹣r﹣＝2，即，解得：p＝4．故选：D．16．（2023•武昌区校级模拟）已知抛物线和，若C1和C2有且仅有两条公切线l1和l2，l1和C1、C2分别相切于M，N点，l2与C1、C2分别相切于P，Q两点，则线段PQ与MN （ ）A．总是互相垂直B．总是互相平分C．总是互相垂直且平分D．上述说法均不正确【解答】解：抛物线＝（x+1）2﹣1，，两曲线分别是y＝x2经过平移、对称变换得到的，则两曲线的大小与形状相同，且具有中心对称性，∵l1和l2是它们的公切线，l1和C1、C2分别相切于M，N两点，l2和C1、C2分别相切于P，Q两点，∴M，N关于对称中心对称，P，Q关于对称中心对称，线段PQ与MN互相平分．故选：B．17．（2023•武汉模拟）设抛物线y2＝6x的焦点为F，准线为l，P是抛物线上位于第一象限内的一点，过P 作l的垂线，垂足为Q，若直线QF的倾斜角为120°，则|PF|＝（ ）A．3B．6C．9D．12【解答】解：设准线与x轴的交点为M，由题意可知，F（，0），准线l方程为x＝﹣，在Rt△QMF中，∠QFM＝60°，|MF|＝3，∴|QF|＝6，∵PQ垂直于准线l，∴∠PQF＝∠QFM＝60°，由抛物线的性质可知，|PQ|＝|PF，∴△PQF为等边三角形，∴|PF|＝|QF|＝6．故选：B．18．（2023•晋中二模）设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，点M在C上，点N在准线l上且MN平行于x轴，若|NF|＝|MN|，则|MF|＝（ ）A．B．1C．D．4【解答】解：根据题意可得p＝2，∴抛物线焦点F为（1，0），准线l为x＝﹣1，设准线l与x轴的交点为E，如图所示，由题知MN⊥l，由抛物线的定义可知|MN|＝|MF|，因为|NF|＝|MN|，所以△MNF是正三角形，则在Rt△NEF中，因为MN∥EF，所以∠EFN＝∠MNF＝60°，所以|MF|＝|NF|＝2|EF|＝2p＝4．故选：D．19．（2023•湖北模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，A，B是其准线上的两个动点，且FA⊥FB，线段FA，FB分别与抛物线C交于P，Q两点，记△PQF的面积为S1，△ABF 的面积为S2，当时，|AB|＝ ．【解答】解：设l PQ：x＝ky+m，P（x1，y1）、Q（x2，y2），联立直线PQ与抛物线方程得y2﹣4ky﹣4m＝0，则y1+y2＝4k，y1⋅y2＝﹣4m由FA⊥FB可得：，即（x1﹣1）（x2﹣1）＝﹣y1y2，化简得m2﹣6m+1＝4k2，又，则，同理，可得y A y B＝＝﹣4，而，即，所以m＝，k2＝所以|AB|＝|y A﹣y B|＝|+|＝||＝||＝．故答案为：．20．（2023•包河区模拟）已知F为抛物线C：y2＝4x的交点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则|AB|+|DE|的最小值为 ．【解答】解：如图所示，l1⊥l2，直线l1与C交于点A，B，直线l2与C交于点D，E，要使|AB|+|DE|最小，则A与D，B，E关于x轴对称，即直线DE的斜率为1，又直线l2过点（1，0），则直线l2的方程为：y＝x﹣1，联立方程组，整理可得：y2﹣4y﹣4＝0，设D（x1，y1），E（x2，y2），所以y1+y2＝4，y1y2＝﹣4，则|DE|＝＝，所以|AB|+|DE|的最小值为2|DE|＝16，故答案为：16．21．（2023•天山区校级模拟）已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，其准线与x轴的交点为K，过点F的直线与抛物线C相交于A，B两点，若|AF|﹣|BF|＝，则|＝ ．【解答】解：由对称性，不妨设A在第一象限，设θ＝∠AFx，由由角平分线定理．故答案为：2．22．（2023•龙岗区校级一模）已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，PF交C于M，N两点，且满足，则|NF|＝　．【解答】解：抛物线C：y2＝4x，则，准线方程为x＝﹣1，由于，所以F是MP的中点，设P（﹣1，t），而F（1，0），所以M（3，﹣t），将M点坐标代入抛物线方程得t2＝12，不妨设，则．设，由于M，N，F三点共线，所以，整理得，解得舍去），所以，所以．故答案为：．23．（2023•江西模拟）用于加热水和食物的太阳灶应用了抛物线的光学性质：一束平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物面（抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲而叫抛物面）的反射后，集中于它的焦点．用一过抛物线对称轴的平面截抛物面，将所截得的抛物线C放在平面直角坐标系中，对称轴与x轴重合，顶点与原点重合，如图，若抛物线C的方程为y2＝8x，平行于x轴的光线从点M（12，2）射出，经过C 上的点A反射后，再从C上的另一点B射出，则|MB|＝（ ）A．6B．8C．D．29【解答】解：由M（12，2），可得A的纵坐标为2，设A（m，2），则4＝8m，解得，由题意反射光线经过抛物线y2＝8x的焦点（2，0），所以直线AB的方程为，整理可得，由，消去y整理得2x2﹣17x+8＝0，解得，x2＝8，则，所以B（8，﹣8），所以．故选：C．24．（2023•平江县校级模拟）已知抛物线C：y2＝4x，焦点为F，点M是抛物线C上的动点，过点F作直线（a﹣1）x+y﹣2a+1＝0的垂线，垂足为P，则|MF|+|MP|的最小值为（ ）A．B．C．5D．3【解答】解：∵抛物线C的方程为y2＝4x，∴F（1，0），抛物线C的准线方程为x＝﹣1，∵方程（a﹣1）x+y﹣2a+1＝0可化为y﹣1＝（1﹣a）（x﹣2），∴（a﹣1）x+y﹣2a+1＝0过定点B（2，1），设P（x，y），设F，B的中点为A，则，因为FP⊥BP，P为垂足，∴，所以，即点P的轨迹为以A为圆心，半径为的圆，过点M作准线x＝﹣1的垂线，垂足为M1，则|MM1|＝|MF|，∴|MF|+|MP|＝|MM1|+|MP|，又，当且仅当M，P，A三点共线且P在M，A之间时等号成立，∴，过点A作准线x＝﹣1的垂线，垂足为A1，则，当且仅当A1，M，A三点共线时等号成立，∴，当且仅当A1，M，P，A四点共线且P在M，A之间时等号成立，所以|MF|+|MP|的最小值为，故选：A．25．（2023•张家口三模）已知F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F的直线l交抛物线C于A，B两点，若|AF|＝λ|BF|＝λ，则λ＝（ ）A．1B．C．3D．4【解答】解：如图，过A作AA1准线于A1，过B作BB1准线于B1，由抛物线C：y2＝3x的焦点，准线方程为，由抛物线的定义可得，所以，代入抛物线方程得，若，直线AB的斜率为，则直线AB方程为，即，联立，得16x2﹣40x+9＝0，则，所以，则；若，直线AB的斜率为，则直线AB方程为，即，联立，得16x2﹣40x+9＝0，则，所以，则；综上，λ＝3．故选：C．26．（2023•商丘三模）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的准线为l：x＝﹣1，焦点为F，过点F的直线与抛物线交于P（x1，y1），Q（x2，y2）两点，点P在l上的射影为P1，则下列结论错误的是（ ）A．若x1+x2＝5，则|PQ|＝7B．以PQ为直径的圆与准线l相切C．设M（0，1），则|PM|+|PP1|≥D．过点M（0，1）与抛物线C有且仅有一个公共点的直线至多有2条【解答】解：因为抛物线C：y2＝2px（p＞0）的准线为l：x＝﹣1，所以，即p＝2，所以抛物线C的方程为y2＝4x，焦点F（1，0），若直线的斜率存在，设y＝k（x﹣1），由，消去y，整理得k2x2﹣（2k2+4）x+k2＝0，所以，x1x2＝1，对于A选项：若x1+x2＝5，则|PQ|＝x1+x2+2＝7，故A选项正确；对于B选项：取PQ的中点N，N在l上的投影为N′，Q在l的投影为Q′，根据抛物线的性质|PP1|＝|PF|，|QQ′|＝|QF|，NN′为梯形的中位线，故，故B选项正确；对于C选项：M（0，1），，故C选项正确；对于D选项：过M（0，1）且与抛物线相切的直线有两条，过M（0，1）且与x轴平行的直线与抛物线相交有且有一个交点，所以至多有三条，故D选项错误．故选：D．27．（2023•徐汇区校级三模）已知抛物线C：x2＝﹣2py（p＞0）的焦点F与的一个焦点重合，过焦点F的直线与C交于A，B两不同点，抛物线C在A，B两点处的切线相交于点M，且M的横坐标为4，则弦长|AB|＝（ ）A．16B．26C．14D．24【解答】解：由题意可得，F（0，﹣2），则p＝4，抛物线C的方程为x2＝﹣8y．设直线AB的方程为y＝kx﹣2，A（x1，y1），B（x2，y2），其中y1＝﹣，y2＝﹣，由y＝﹣，得y′＝﹣．∴在点A处的切线方程为y﹣y1＝﹣（x﹣x1），化简得y＝﹣x+，①同理可得在点B处的切线为y＝﹣x+，②联立①②得x M＝，由M的横坐标为4，得x1+x2＝8．将AB的方程代入抛物线方程，可得x2+8kx﹣16＝0．∴x1+x2＝﹣8k＝8，得k＝﹣1．∴y1+y2＝k（x1+x2）﹣4＝﹣1×8﹣4＝﹣12．得|AB|＝p﹣（y1+y2）＝4﹣（﹣12）＝16．故选：A．28．（2023•琼海校级模拟）已知抛物线y2＝2px（p＞0）上的点到其焦点的距离为4，则p＝（ ）A．1B．2C．3D．4【解答】解：因为点在y2＝2px（p＞0）上，所以4p＝2pm，得到m＝2，又点到其焦点的距离为4，根据抛物线定义知，得到p＝4，故选：D．29．（2023•沙坪坝区校级二模）已知抛物线y2＝4x的准线过双曲线的左焦点，点P为双曲线的渐近线和抛物线的一个公共点，若P到抛物线焦点的距离为5，则双曲线的方程为（ ）A．B．C．x2﹣y2＝2D．2x2﹣2y2＝1【解答】解：由题意知，抛物线y2＝4x的准线方程为x＝﹣1，所以双曲线的左焦点坐标为（﹣1，0），所以双曲线的c＝1．又因为点P为双曲线的渐近线和抛物线的一个公共点，若P到抛物线焦点的距离为5，所以x P+1＝5，所以x P＝4，代入抛物线方程即可得P（4，4）．因为P（4，4）在双曲线的渐近线方程上，所以a＝b，又因为双曲线中，c2＝a2+b2，所以，所以双曲线的方程为：2x2﹣2y2＝1．故选：D．30．（2023•浙江模拟）已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线l过焦点F与C交于A，B两点，以AB为直径的圆与y轴交于D，E两点，且，则直线l的斜率为（ ）A．B．±1C．±2D．【解答】解：设|AB|＝2r（2r≥4），AB的中点为M，MN⊥y轴于点N，过A，B作准线x＝﹣1的垂线，垂足分别为A1，B1，如图所示．由抛物线的定义知2（|MN|+1）＝|AA1|+|BB1|＝|AF|+|BF|＝|AB|＝2r，则|MN|＝r﹣1，所以，即16r2﹣50r+25＝0，解得或（舍去），故M的横坐标为．设直线l：y＝k（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2），将y＝k（x﹣1）代人y2＝4x，得k2x2﹣（2k2+4）x+k2＝0，则，解得k＝±2．故选：C．31．（2023•香洲区校级模拟）首钢滑雪大跳台是冬奥史上第一座与工业旧址结合再利用的竞赛场馆，它的设计创造性地融入了敦煌壁画中飞天的元素，建筑外形优美流畅，飘逸灵动，被形象地称为雪飞天．中国选手谷爱凌和苏翊鸣分别在此摘得女子自由式滑雪大跳台和男子单板滑雪大跳台比赛的金牌．雪飞天的助滑道可以看成一个线段PQ和一段圆弧组成，如图所示．假设圆弧所在圆的方程为C：（x+25）2+（y﹣2）2＝162，若某运动员在起跳点M以倾斜角为45o且与圆C相切的直线方向起跳，起跳后的飞行轨迹是一个对称轴在y轴上的抛物线的一部分，如下图所示，则该抛物线的轨迹方程为（ ）A．y2＝﹣32（x﹣1）B．C．x2＝﹣32（y﹣1）D．x2＝﹣36y+4【解答】解：∵某运动员在起跳点M以倾斜角为45o且与圆C相切的直线方向起跳，∴k CM＝﹣1，∴直线CM所在的方程为：y﹣2＝﹣（x+25），代入（x+25）2+（y﹣2）2＝162，解得或（舍），∴点M的坐标为（﹣16，﹣7）．设抛物线方程为：y＝ax2+c，则y′＝2ax|x＝﹣16＝﹣32a＝1，∴，又，解得c＝1，∴该抛物线的轨迹方程为．故选：C．32．（2023•武功县校级模拟）已知点F为抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，过点F且倾斜角为60°的直线交抛物线C于A，B两点，若|FA|•|FB|＝3，则p＝　．【解答】解：由题意知F（，0），AB的方程为y＝（x﹣），代入C的方程，得3x2﹣5px+＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2＝，x1x2＝；因为|FA|＝+x1，|FB|＝+x2，且|FA|⋅|FB|＝3，所以（+x1）（+x2）＝3，整理得以+•（x1+x2）+x1x2＝3，所以+•+＝3，结合p＞0，解得p＝．故答案为：．33．（2023•招远市模拟）设抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点D（p，0），过点F的直线交C 于M，N两点，直线MD垂直x轴，|MF|＝3，则|NF|＝　．【解答】解：由题意得，因为直线MD垂直于x轴，D（p，0），准线方程为，所以M点的横坐标为p，设M（x1，y1），N（x2，y2），根据抛物线的定义知，解得p＝2，则C：y2＝4x，则F（1，0），可设直线MN的方程为x﹣1＝my，联立抛物线方程有可得y2﹣4my﹣4＝0，Δ＝16m2+16＞0，y1y2＝﹣4，则，则32x2＝16，解得，则．故答案为：．34．（2023•武昌区校级模拟）已知直线l与抛物线C：y2＝4x交于A，B两点（与坐标原点O均不重合），且OA⊥OB，抛物线的焦点为F，记△AOB、△AOF、△BOF的面积分别为S1，S2，S3，若满足S1＝6S2+3S3，则直线l的方程为　．【解答】解：由已知可设直线OA方程为y＝kx，又OA⊥OB，OB方程为，由，解得，由，解得B（4k2，﹣4k），，，令y＝0，得x＝4，∴直线l与x轴交点M（4，0），，．，∵S1＝6S2+3S3，∴，解得，，∴直线l的方程，即或．35．（2023•保定三模）设O为坐标原点，点A（2，4），B在抛物线y2＝2px（p＞0）上，F为焦点，M是线段BF上的点，且，则当直线OM的斜率最大时，点F到OM的距离为（ ）A．B．C．D．【解答】解：∵A（2，4）在抛物线y2＝2px（p＞0）上，∴p＝2，则抛物线方程为y2＝8x，求得F（2，0），设M（x0，y0），当y0＜0时，k OM＜0，当y0＞0时，k OM＞0．则要求直线OM的斜率的最大值，有y0＞0．设B（m，n），∵，∴（x0﹣m，y0﹣n）＝2（2﹣x0，﹣y0），则，∵B在抛物线上，∴n2＝8m，得9＝8（3x0﹣4），即，∵y0＞0，∴＝，当且仅当，即时等号成立，故直线OM的斜率的最大值为，此时直线OM的方程为，则点F到OM的距离为．故选：D．36．（2023•湖北模拟）已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，过点F的直线与该抛物线交于A，B两点，的中点纵坐标为，则p＝　．【解答】解：设过抛物线y2＝2px（p＞0）焦点F的直线交抛物线于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，AB 的中点纵坐标为y0＝，抛物线的焦点为F（，0），直线l的斜率不为零，可设直线l的方程：x＝my+，由，得（y1﹣y2）（y1+y2）＝2p（x1﹣x2），所以＝＝＝＝，所以直线l的方程为x＝y+，所以AB中点的横坐标为x0＝×+＝，所以|AB|＝x1+x2+p＝2x0+p＝2×+p＝5，2p2﹣5p+4＝0，解得p＝2或p＝．故答案为：2或．37．（多选）（2023•道里区校级四模）已知A，B是抛物线C：y2＝6x上的两动点，F是抛物线的焦点，下列说法正确的是（ ）A．直线AB过焦点F时，以AB为直径的圆与C的准线相切B．直线AB过焦点F时，|AB|的最小值为6C．若坐标原点为O，且OA⊥OB，则直线AB过定点（3，0）D．若直线AB过焦点F，AB中点为P，过P向抛物线的准线作垂线，垂足为Q，则直线AQ与抛物线相切【解答】解：∵抛物线C方程为：y2＝6x，∴2p＝6，∴p＝3，∴＝，∴焦点F（，P），准线l为：x＝，对A，B，D选项，∵直线AB过焦点F，∴设直线AB方程为x＝my+，设A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中点P为（x0，y0），联立，可得y2﹣6my﹣9＝0，∴，∴，∴|AB|＝x1+x2+p＝6m2+3+3＝6（m2+1）≥6，（当且仅当m＝0时取等），∴B选项正确；又P到准线l的距离d＝＝＝3（m2+1）＝|AB|，∴以AB为直径的圆与C的准线相切，∴A选项正确；若直线AB过焦点F，AB中点为P，过P向抛物线的准线作垂线，垂足为Q，则Q（，3m），∴＝，又，∴3m＝，∴＝，对y2＝6x两边关于x求导可得：2yy′＝6，∴，抛物线C：y2＝6x在A（x1，y1）处的切线斜率为＝k AQ，∴直线AQ与抛物线相切，∴D选项正确；对C选项，设AB直线为x＝my+t，（t≠0），联立，可得y2﹣6my﹣6t＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，∴，又OA⊥OB，∴，即（x1，y1）•（x2，y2）＝0，∴x1x2+y1y2＝0，∴t2﹣6t＝0，又t≠0，∴t＝6，∴AB直线为x＝my+6，∴直线AB过定点（6，0），∴C选项错误．故选：ABD．38．（2023•河南模拟）已知点P（1，a）（a＞1）在抛物线C：y2＝2px（p＞0）上，过P作圆（x﹣1）2+y2＝1的两条切线，分别交C于A，B两点，且直线AB的斜率为﹣1，若F为C的焦点，点M（x，y）为C上的动点，点N是C的准线与坐标轴的交点，则的最大值是（ ）A．B．2C．D．【解答】解：由题意可知，过P所作圆的两条切线关于直线x＝1对称，所以k PA+k PB＝0．设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x P，y P），则，同理可得，，则，得，所以y1+y2＝﹣2y P，由，得y P＝p．将（1，p）代入抛物线C的方程，得p2＝2p，解得p＝2，故抛物线C的方程为y2＝4x．设∠MNF＝θ，作MM1垂直准线于M1，由抛物线的性质可得|MM1|＝|MF|，所以，当cosθ最小时，的值最大，所以当直线MN与抛物线C相切时，θ最大，即cosθ最小．由题意可得N（﹣1，0），设切线MN的方程为x＝my﹣1，联立方程组消去x，得y2﹣4my+4＝0，由Δ＝16m2﹣16＝0，可得m＝±1，将m＝±1代入y2﹣4my+4＝0，可得y＝±2，所以x＝1，即M的坐标为（1，±2），所以，|MM1|＝1﹣（﹣1）＝2，所以的最大值为．故选：A．39．（2023•达州模拟）点A（x0，y0）（x0＞1，y0＜0），B，C均在抛物线y2＝4x上，若直线AB，AC分别经过两定点（﹣1，0），M（1，4），则BC经过定点N．直线BC，MN分别交x轴于D，E，O为原点，记|OD|＝a，|DE|＝b，则的最小值为（ ）A．B．C．D．【解答】解：如图，由题易知直线AB，AC斜率均存在，设直线AB方程为，由，消x得，即，由韦达定理得，所以，代入y2＝4x，得到，所以，设直线方程为，由，消x得，即，由韦达定理得，所以，又因为，所以，代入y2＝4x，得到，所以，所以直线BC的斜率为，所以BC的方程为，即所以，即，故直线BC过定点N（1，1），令y＝0，得到，所以，所以，又因为x0＞1，y0＜0，所以，所以，又|OD|＝a，|DE|＝b，所以，又由柯西不等式知，当且仅当，即时，取等号，所以，即．故选：D．40．（2023•鲤城区校级模拟）已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过点F的直线l交抛物线于A，B两点，以线段AB为直径的圆交y轴于M，N两点，设线段AB的中点为P，O为坐标原点，则sin∠PMN的最小值为 ．【解答】解：由y2＝4x得F（1，0），由题意知直线l的斜率不为0，所以设直线l的方程为x＝my+1，A（x1，y1），B（x2，y2），联立，消去x得y2﹣4my﹣4＝0，则由韦达定理得，所以，所以|AB|＝x1+x2+p＝4m2+4，所以|PM|＝＝2m2+2，又P点到y轴的距离d＝＝2m2+1，所以sin∠PMN＝＝＝1﹣，所以当m＝0时，sin∠PMN取得最小值．故答案为：．三．直线与抛物线的综合（共20小题）41．（2023•遂宁模拟）已知定点D（2，0），直线l：y＝k（x+2）（k＞0）与抛物线y2＝4x交于两点A，B，若∠ADB＝90°，则|AB|＝（ ）A．4B．6C．8D．10【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，由题意得Δ＞0，故，则，又，则x1x2﹣2（x1+x2）+y1y2+4＝0，即，解得，则，则．故选：C．42．（2023•贵州模拟）已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，过F的直线l与抛物线C交于A，B两点，若A （1，2），则|AB|＝（ ）A．9B．7C．6D．5【解答】解：由题意直线l的斜率必存在，抛物线C：y2＝8x的焦点为F（2，0），设直线l：y＝k（x﹣2），则，得k2x2﹣（4k2+8）x+4k2＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2＝，x1x2＝4，又A（1，2），则x1＝1，x24，k2＝8，|AB|＝•＝3×3＝9．故选：A．43．（2023•黄州区校级三模）抛物线C：y2＝2px的准线与x轴交于点M，过C的焦点F作斜率为2的直线交C于A、B两点，则tan∠AMB＝（ ）A．B．C．D．不存在【解答】解：抛物线C：y2＝2px的焦点F（，0），M（﹣，0），可知AB方程y＝2（x﹣），AB的方程与y2＝2px联立，消去y可得4x2﹣6px+p2＝0，可得x＝或，∴A（，），B（，），∴k AM＝＝，k BM＝﹣，∴tan∠AMB＝＝＝4．故选：C．44．（2023•深圳模拟）已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，直线l：y＝k（x+1）与C交于A，B两点（A 在B的左边），则4|AF|+|BF|的最小值是（ ）A．10B．9C．8D．5【解答】解：由题知C的焦点，F（1，0），准线为x＝﹣1，如图，作AM⊥准线，BN⊥准线，l：y＝k （x+1）过定点（﹣1，0），设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，得k2（x2+2x+1）﹣4x＝0，即k2x2+（2k2﹣4）x+k2＝0，∴，又∵|AF|＝|AM|＝x1+1，|BF|＝|BN|＝x2+1，∴，当且仅当4x1＝x2时取等，故选：B．45．（2023•万州区校级模拟）过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F，作倾斜角为的直线l交C于A，B两点，交C的准线于点M，若（O为坐标原点），则线段AB的长度为（ ）A．8B．16C．24D．32【解答】解：抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F（，0），作倾斜角为的直线l：y＝（x﹣），抛物线的准线方程为x＝﹣，可得M（﹣，），又，可得＝，解得p＝4，，消去y可得x2﹣28x+4＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），可得x1+x2＝28，所以|AB|＝x1+x2+p＝28+4＝32．故选：D．46．（2023•茂名二模）已知抛物线y2＝6x的焦点为F，准线为l，过F的直线与抛物线交于点A、B，与直线l交于点D，若且，则λ＝ ．【解答】解：设准线与x轴的交点为K，作AA1⊥l，BB1⊥l，垂足分别为A1，B1，则BB1∥FK∥AA1．根据抛物线定义知|BB1|＝|BF|，|AA1|＝|AF|，又若，且，因为BB1∥FK∥AA1，设|BF|＝m，则，∴，又p＝3，解得m＝2，∴|AF|＝λ|FB|＝2λ，所以|BA|＝2+2λ，因为BB1∥FK∥AA1，所以，∴，解得λ＝3．故答案为：3．47．（2023•昆明一模）已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，经过抛物线上一点P，作斜率为的直线交C 的准线于点Q，R为准线上异于Q的一点，当∠PQR＝∠PQF时，|PF|＝ ．【解答】解：不妨令R为过P点垂直于准线的垂足，又∠PQR＝∠PQF，即QF为∠FQR角平分线，Q是斜率为的直线与抛物线准线的交点，则P在第一象限内，而PR⊥QR，且|PR|＝|PF|，根据角平分线性质知：PF⊥QF，如上图示，令且m＞0，则直线PQ为，令x＝﹣1，则，由，整理可得3m3﹣8m2+12m﹣32＝（m2+4）（3m﹣8）＝0，则，故故答案为：．48．（2023•江西二模）2022北京冬奥会顺利召开，滑雪健将谷爱凌以2金1银的优秀成绩书写了自己的传奇，现在她从某斜坡上滑下，滑过一高度不计的滑板后落在另一斜坡上，若滑板与水平地面夹角的正切值为，斜坡与水平地面夹角的正切值为，那么她最后落在斜坡上速度与水平地面夹角的正切值为（ ）（不计空气阻力和摩擦力）A．3B．C．D．4。

抛物线中的切线问题一、考情分析对于抛物线特别是抛物线x 2=2py p ≠0 ,可以化为函数y =x 22p,从而可以借组导数研究求性质,这种关联使得可以把抛物线与导数的几何意义交汇,这是圆锥曲线中的一大亮点,也是圆锥曲线解答题的一个热点.二、解题秘籍(一)利用判别式求解抛物线中的切线问题求解直线抛物线相切问题,可以把直线方程与抛物线方程联立整理成一个一元二次方程,然后利用Δ=0求解.【例1】(2023届河南省新未来高三上学期联考)已知抛物线C ：y 2=2px p >0 ,直线l 1,l 2都经过点P -p2,0 ．当两条直线与抛物线相切时,两切点间的距离为4．(1)求抛物线C 的标准方程；(2)若直线l 1,l 2分别与抛物线C 依次交于点E ,F 和G ,H ,直线EH ,FG 与抛物线准线分别交于点A ,B ,证明：PA =PB ．【解析】(1)设经过点P -p 2,0 的直线为l ：y =k x +p2 ,由y 2=2px y =k x +p 2消去y ,得k 2x 2+k 2-2 px +k 2p 24=0,Δ=k 2-2 2p 2-4×k 2⋅k 2p 24=4p 2-k 2+1 ,当直线l 与抛物线C 相切时,Δ=0,∵p >0,∴k =±1,所以x 2-px +p 24=0,解得x =p 2,∴切点为p 2,p ,p 2,-p ,又∵两切点间的距离为4,∴2p =4,即p =2,∴抛物线C 的标准方程为y 2=4x ；(2)设点E x 1,y 1 ,F x 2,y 2 ,G x 3,y 3 ,H x 4,y 4 ,设直线l 1：x =k 1y -1,直线l 2：x =k 2y -1,联立y 2=4x x =k 1y -1 消去x ,得y 2-4k 1y +4=0,则y 1y 2=4,同理,y 3y 4=4,故y 1=4y 2,y 4=4y 3,直线EH 的方程为y -y 1y 4-y 1=x -x 1x 4-x 1,令x =-1,得y A -y 1y 4-y 1=1-y 214y 244-y 214,整理得y A =y 1y 4-4y 1+y 4,同理,y B =y 2y 3-4y 2+y 3,所以y A =4y 2⋅4y 3-44y 2+4y 3=4-y 2y 3y 2+y 3=-y B ,∴PA =PB ．(二)利用导数几何意义求解抛物线中的切线问题求解抛物线x 2=2py 在其上一点P x 1,y 1 处的切线方程,可先把x 2=2py 化为y =x 22p ,则y =xp,则抛物线x 2=2py 在点P x 1,y 1 处的切线斜率为x 1p ,切线方程为y -y 1=x1px -x 1 .【例2】(2023届湖南省三湘名校教育联盟高三上学期联考)在直角坐标系xoy 中,已知抛物线C :x 2=2py p >0 ,P 为直线y =x -1上的动点,过点P 作抛物线C 的两条切线,切点分别为A ,B ,当P 在y 轴上时,OA ⊥OB .(1)求抛物线C 的方程；(2)求点O 到直线AB 距离的最大值.【解析】(1)当P 在y 轴上时,即P 0,-1 ,由题意不妨设A x 0,y 0 x 0>0 则B -x 0,y 0 ,设过点P 的切线方程为y =kx -1,与x 2=2py 联立得x 2-2pkx +2p =0,由直线和抛物线相切可得Δ=4p 2k 2-8p =0,x 0x 0=x 20=2p ,所以x 0=2p 由x 20=2py 0得y 0=1,∴A 2p ,1 ,B -2p ,1 ,由OA ⊥OB 可得2p ⋅-2p +1×1=0,解得p =12,∴抛物线C 的方程为x 2=y ；(2)x 2=y ,∴y =2x ,设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,则y -y 1=2x 1x -x 1 ,又x 21=y 1,所以y -y 1=2x 1x -2y 1即2x 1x =y +y 1,同理可得2x 2x =y +y 2,又P 为直线y =x -1上的动点,设P t ,t -1 ,则2x 1t =t -1+y 1,2x 2t =t -1+y 2,由两点确定一条直线可得AB 的方程为2xt =t -1+y ,即y -1=2t x -12 ,∴直线AB 恒过定点M 12,1 ,∴点O 到直线AB 距离的最大值为OM =12 2+1=52.(三)抛物线中与切线有关的性质过抛物线焦点弦的两端点作抛物线的切线,则(1)切线交点在准线上(2)切线交点与弦中点连线平行于对称轴(3)切线交点与焦点弦的两端点连线垂直(4)切线交点与焦点连线与焦点弦垂直(5)弦AB 不过焦点即切线交点P 不在准线上时,切线交点与弦中点的连线也平行于对称轴．反之：(1)过抛物线准线上任一点作抛物线的切线,则过两切点的弦必过焦点,该点与焦点连线垂直于过两切点的弦(2)过准线上任一点作抛物线的切线,过两切点的弦最短时,即为通径．【例3】已知抛物线C :x 2=2py (p >0)的焦点为F ,过F 的直线l 与C 相交于A ,B 两点,PA ,PB 是C 的两条切线,A ,B 是切点．当AB ∥x 轴时,|AB |=2．(1)求抛物线C 的方程；(2)证明：|PF |2=|AF |⋅|FB |．【解析】(1)由题意,F 0,p 2 ,当AB ∥x 轴时,将y =p2代入x 2=2py 有x 2=p 2,解得x =±p ,又AB =2故2p =2,解得p =1.故抛物线C 的方程为x 2=2y .(2)由(1),设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,直线l 的方程为y =kx +12,联立抛物线方程有x 2-2kx -1=0,故x 1+x 2=2k ,x 1x 2=-1.又抛物线方程y =12x 2,故y =x ,故切线PA 的方程为y -12x 21=x 1x -x 1 ,即y =x 1x -12x 21,同理可得切线PB 的方程为y =x 2x -12x 22,联立y =x 1x -12x 21y =x 2x -12x 22可得x 1-x 2 x =12x 21-x 22 ,解得x =12x 1+x 2 ,代入y =x 1x -12x 21有y =12x 1x 1+x 2 -12x 21=12x 1x 2,代入韦达定理可得P k ,-12.故当k =0时有l ⊥PF ,当k ≠0时,因为k FP =-12-12k -0=-1k,故k FP ⋅k l =-1,也满足l ⊥PF .故l ⊥PF 恒成立.又k PA ⋅k PB =x 1x 2=-1,故PA ⊥PB .所以∠PAB +∠PBA =90∘,∠PAF +∠APF =90∘,故∠PBF =∠APF ,故Rt △PBF ∼Rt △APF ,故BFPF=PF AF ,即PF 2=AF ⋅BF ,即得证.【例4】已知直线l 过原点O ,且与圆A 交于M ,N 两点,MN =4,圆A 与直线y =-2相切,OA 与直线l 垂直,记圆心A 的轨迹为曲线C ．(1)求C 的方程；(2)过直线y =-1上任一点P 作C 的两条切线,切点分别为Q 1,Q 2,证明：①直线Q 1Q 2过定点；②PQ 1⊥PQ 2．【解析】(1)如图,设A (x ,y ),因为圆A 与直线y =-2相切,所以圆A 的半径为|y +2|．由圆的性质可得|OA |2+|ON |2=|AN |2,即x 2+y 2+4=(y +2)2,化简得x 2=4y ．因为O 与A 不重合,所以y ≠0,所以C 的方程为x 2=4y (y ≠0)．(2)证明：①由题意可知Q 1,Q 2与O 不重合．如图,设P (t ,-1),Q 1x 1,y 1 ,则x 21=4y 1,因为y =x2,所以切线PQ 1的斜率为x 12,故x12=y 1+1x 1-t,整理得tx 1-2y 1+2=0．设Q 2x 2,y 2 ,同理可得tx 2-2y 2+2=0．所以直线Q 1Q 2的方程为tx -2y +2=0,所以直线Q1Q 2过定点(0,1)．②因为直线Q 1Q 2的方程为tx -2y +2=0,由tx -2y +2=0,x 2=4y ,消去y 得x 2-2tx -4=0,所以x 1+x 2=2t ,x 1x 2=-4．又PQ 1 ⋅PQ 2=x 1-t x 2-t +y 1+1 y 2+1=x 1x 2-t x 1+x 2 +t 2+tx 1+22+1 tx 2+22+1 =x 1x 2-t x 1+x 2 +t 2+t 2x 1+2 t2x 2+2 =x 1x 2-t x 1+x 2 +t 2+t24x 1x 2+t x 1+x 2 +4=1+t24x 1x 2+t 2+4=0,所以PQ 1⊥PQ 2．三、跟踪检测1.(2023届云南省名校高三上学期月考)已知抛物线E :x 2=2py p >0 的焦点为F ,斜率为k k ≠0 的直线l 与E 相切于点A .(1)当k =2,AF =5时,求E 的方程；(2)若直线l 与l 平行,l 与E 交于B ,C 两点,且∠BAC =π2,设点F 到l 的距离为d 1,到l 的距离为d 2,试问：d1d 2是否为定值？若是,求出定值；若不是,说明理由.【解析】(1)由x 2=2py 得y =x 22p ,则y =x p,令xp =2,则x =2p ,即x A =2p ,y A =2p 22p=2p 则AF =2p +p2=5,所以p =2,故抛物线E 的方程为x 2=4y .(2)设A 2pt 0,2pt 20 ,B 2pt 1,2pt 21 ,C 2pt 2,2pt 22 ,则切线l 的斜率k =2pt 0p=2t 0,则切线l 的方程为：y -2pt 02=2t 0x -2pt 0 ,即y =2t 0x -2pt 20,k BC =2pt 12-2pt 222pt 1-2pt 2=t 1+t 2.直线l 的方程为y -2pt 21=t 1+t 2 x -2pt 1 ,化简得y =t 1+t 2 x -2pt 1t 2,因为l ∥l ,所以t 1+t 2=2t 0,由∠BAC =π2得2pt 12-2pt 022pt 1-2pt 0⋅2pt 22-2pt 022pt 2-2pt 0=-1,则t 1+t 0 t 2+t 0 =-1,即t 1t 2=-1-3t 20,即l :2t 0x -y +2p +6pt 02=0.由F 0,p 2 ,则d 1=3p 2+6pt 20 4t 20+1=3p 2+6pt 204t 20+1,d 2=-p 2-2pt 204t 20+1=p 2+2pt 204t 20+1,所以d 1d 2=3p 12+2t 20 p 12+2t 20 =3.故d1d 2是定值,定值为3.2.(2023届河南省北大公学禹州国际学校高三上学期月考)已知抛物线C 的顶点在坐标原点,焦点在y 轴的正半轴上,直线l ：mx +y -1=0经过抛物线C 的焦点．(1)求抛物线C 的方程；(2)若直线l 与抛物线C 相交于A ,B 两点,过A ,B 两点分别作抛物线C 的切线,两条切线相交于点P ,求△ABP 面积的最小值．【解析】(1)由题意,设抛物线C 的方程为x 2=2py p >0 ,因为直线l :mx +y -1=0经过0,1 ,即抛物线C 的焦点F 0,p2,所以p2=1,解得p =2,所以抛物线C 的方程为x 2=4y .(2)设A x 1,y 1 ､B x 2,y 2 ,联立方程组x 2=4y mx +y -1=0 ,整理得x 2+4mx -4=0,因为Δ=16m 2+16>0,且x 1+x 2=-4m ,x 1x 2=-4,y 1+y 2=x 214+x 224=x 1+x 2 2-2x 1x 24=4m 2+2,y 1y 2=x 214×x 224=-4 216=1所以AB =y 1+y 2+p =41+m 2 ,由x 2=4y ,可得y =x 24,则y =x 2,所以抛物线C 经过点A 的切线方程是y -y 1=x 12x -x 1 ,将y 1=x 214代入上式整理得y =x 12x -x 214,同理可得抛物线C 经过点B 的切线方程为y =x 22x -x 224,联立方程组y =x 12x -x 214y =x 22x -x 224,解得x =x 1+x 22,y =x 1x 24,所以x =-2m ,y =-1,所以P -2m ,-1 到直线mx +y -1=0的距离d =m ×-2m -1-1m 2+1=2m 2+1,所以△ABP 的面积S =12AB d =12×4×1+m 2 ×2m 2+1=4m 2+1 32,因为m 2+1≥1,所以S ≥4,即当m =0时,S =4,所以△ABP 面积的最小值为4.3.(2022届浙江省绍兴市高三上学期12月选考)已知抛物线C 的焦点是0,14 ,如图,过点D 22,t(t ≤0)作抛物线C 的两条切线,切点分别是A 和B ,线段AB 的中点为M ．(1)求抛物线C 的标准方程；(2)求证：直线MD ⎳y 轴；(3)以线段MD 为直径作圆,交直线AB 于MN ,求|AB |-|MN ||AB |+|MN |的取值范围．【解析】(1)设抛物线的方程为x 2=2py p >0 ,由题意可得p 2=14,所以p =12,所以抛物线方程y =x 2.(2)由(1)y =x 2,因为y =2x ,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),直线AD 的方程为y =2x 1x -x 21,直线BD 的方程为y =2x 2x -x 22,联立上述两直线方程,得D 点坐标D x 1+x 22,x 1x 2 ,又因为M 点为线段AB 的中点,所以M 点坐标M x 1+x 22,1-x 1x 2 ,因为x D =x M ,所以直线MD ⎳y 轴：(3)因为点D 22,t (t ≤0),所以x 1+x 22=22,x 1x 2=t ,则M 22,1-t ,圆心22,12,直线AB 的斜率为k =x 21-x 22x 1-x 2=x 1+x 2=2,直线AB 方程为y =2x -t ,y =x 2y =2x -t ,得x 2-2x +t =0,Δ=2-4t ,|AB |=1+k 2⋅Δ=6(1-2t ),圆心到直线AB 的距离为d =1-2t 23,半径r =|MD |2=1-2t2,|MN |=2r 2-d 2=63(1-2t ),令1-2t =m ≥1,|AB |-|MN ||AB |+|MN |=3-m 3+m =-1+6m +3在m ≥1时单调递减,|AB |-|MN ||AB |+|MN |∈-1,12 ．4.(2022届山东省济宁市高三上学期期末)已知抛物线E ：y 2=2px (p >0)上一点C 1,y 0 到其焦点F 的距离为2．(1)求实数p 的值；(2)若过焦点F 的动直线l 与抛物线交于A 、B 两点,过A 、B 分别作抛物线的切线l 1、l 2,且l 1、l 2的交点为Q ,l 1、l 2与y 轴的交点分别为M 、N ．求△QMN 面积的取值范围．【解析】(1)因为点C 1,y 0 到其焦点F 的距离为2,由抛物线的定义知1+p2=2解得p =2(2)由上问可知,抛物线方程E ：y 2=4x设A y 214,y 1 ,B y 224,y 2,(y 1≠0,y 2≠0),设l ：x =ty +1,联立y 2=4x x =ty +1 ,得y 2-4ty -4=0,判别式Δ=16t 2+16>0,故t ∈R y 1+y 2=4t ,y 1y 2=-4设l 1：y -y 1=k x -y 214联立方程组y 2=4xy -y 1=k x -y 214,消x 得ky 2-4y +4y 1-ky 21=0,所以Δ=16-4k 4y 1-ky 21 =44-4ky 1+k 2y 21 =0所以k =2y 1则l 1：y -y 1=2y 1x -y 214,即y =2y 1x +y 12,令x =0,得M 0,y 12,同理l 2：y =2y 2x +y 22,N 0,y 22,联立y =2y 1x +y12y =2y 2x +y 22,得交点Q 的横坐标为x Q =y 1y 24=-1,∴S △QMN =12MN ⋅x Q =12y 12-y 22×1=14y 1+y 2 2-4y 1y 2=t 2+1≥1∴△QMN 面积的取值范围是1,+∞ ．5.(2022届百校联盟高三上学期12月联考)已知曲线C 上任意一点到F 1(-1,0),F 2(1,0)距离之和为433,抛物线E ：y 2=2px 的焦点是点F 2.(1)求曲线C 和抛物线E 的方程；(2)点Q x 0,y 0 x 0<0 是曲线C 上的任意一点,过点Q 分别作抛物线E 的两条切线,切点分别为M ,N ,求△QMN 的面积的取值范围．【解析】(1)依题意,曲线C 是以F 1(-1,0),F 2(1,0)为左右焦点,长轴长为433的椭圆,则短半轴长b 有b 2=232-12=13,曲线C 的方程为：x 243+y 213=1,即3x 24+3y 2=1,在y 2=2px 中,p 2=1,即p =2,所以曲线C 的方程为：3x 24+3y 2=1,抛物线E 的方程为：y 2=4x .(2)显然,过点Q 的抛物线E 的切线斜率存在且不为0,设切线方程为：y -y 0=k (x -x 0),由y -y 0=k (x -x 0)y 2=4x消去x 并整理得：k4⋅y 2-y +y 0-kx 0=0,依题意,Δ=1-k (y 0-kx 0)=x 0k 2-y 0k +1=0,设二切线斜率为k 1,k 2,则k 1+k 2=y 0x 0,k 1k 2=1x 0,设斜率为k 1的切线所对切点M (x 1,y 1),斜率为k 2的切线所对切点N (x 2,y 2),因此,y 1=2k 1,y 2=2k 2,于是得M 1k 21,2k 1 ,N 1k 22,2k 2 ,NM =1k 21-1k 22,2k 1-2k 2,直线MN 上任意点P (x ,y ),MP =x -1k 21,y -2k 1,由MP ⎳NM 得：2k 1-2k 2 x -1k 21 -1k 21-1k 22y -2k 1 =0,化简整理得：2x -k 1+k 2k 1k 2y +2k 1k 2=0,则直线MN 的方程为：2x -y 0y +2x 0=0,点Q 到直线MN 的距离d =|4x 0-y 20|4+y 2,|MN |=1k 21-1k 222+2k 1-2k 2 2=1k 1-1k 2 21k 1+1k 22+4 =k 1+k 2k 1k 22-4k 1k 2k 1+k 2k 1k 2 2+4 =(y 20-4x 0)(y 20+4),则△QMN 的面积S △QMN =12|MN |⋅d =12⋅(y 20-4x 0)(y 20+4)⋅|4x 0-y 20|4+y 20=12(y 20-4x 0)32,而点Q x 0,y 0 x 0<0 在曲线C 上,即y 20=13-14x 20,-23≤x 0<0,y 20-4x 0=-14x 20-4x 0+13在x 0∈-23,0 上单调递减,当x 0=0时,(y 20-4x 0)min =13,当x 0=-23时,(y 20-4x 0)max =83,于是有13<y 20-4x 0≤83,则39<(y 20-4x 0)32≤164123,有318<S △QMN ≤84123所以△QMN 的面积的取值范围是318,84123.6.(2022届四川省达州高三上学期诊断)过定点0,1 的动圆始终与直线l ：y =-1相切.(1)求动圆圆心的轨迹C 的方程；(2)动点A 在直线l 上,过点A 作曲线C 的两条切线分别交x 轴于B ,D 两点,当△ABD 的面积是32时,求点A 坐标.【解析】(1)设动圆圆心坐标为x ,y ,因为过定点0,1 的动圆始终与直线l ：y =-1相切,可得-x 2+y -1 2=y +1 ,化简得x 2=4y ,即动圆圆心的轨迹方程C ：x 2=4y .(2)设动点A x 0,-1 ,根据题意过点A 作曲线C 的切线斜率存在,设为k k ≠0 ,所以切线方程为y =k x -x 0 -1,联立方程组x 2=4y ,y =k x -x 0 -1 ,整理得x 2-4kx +4kx 0+4=0,且Δ=k 2-kx 0-1=0,因为k 2-kx 0-1=0有两不等实根,所以有两条切线,斜率分别设为k 1,k 2,所以k 1+k 2=x 0,k 1k 2=-1,切线y =k 1x -x 0 -1交x 轴于点B x 0+1k 1,0 ,切线y =k 2x -x 0 -1交x 轴于点D x 0+1k 2,0 ,所以S △ABD =12x 0+1k 1-x 0-1k 2×1=12k 2-k 1k 1k 2=12k 1+k 22-4k 1k 2k 1k 2=32,即12x 02+41=32,解得x 0=±5,所以点A 坐标为5,-1 或-5,-1 .7.(2022届四川省成都市高三上学期考试)已知抛物线C :x 2=2py p >0 的焦点为F .且F 与圆M :x 2+y +42=1上点的距离的最小值为4.(1)求抛物线的方程；(2)若点P 在圆M 上,PA ,PB 是C 的两条切线.A ,B 是切点,求△PAB 面积的最大值.【解析】(1)抛物线C 的焦点为F 0,p 2 ,FM =p2+4,所以,F 与圆M :x 2+(y +4)2=1上点的距离的最小值为p2+4-1=4,解得p =2；所以抛物线的方程为x 2=4y .(2)抛物线C 的方程为x 2=4y ,即y =x 24,对该函数求导得y =x 2,设点A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,P x 0,y 0 ,直线PA 的方程为y -y 1=x 12x -x 1 ,即y =x 1x2-y 1,即x 1x -2y 1-2y =0,同理可知,直线PB 的方程为x 2x -2y 2-2y =0,由于点P 为这两条直线的公共点,则x 1x 0-2y 1-2y 0=0x 2x 0-2y 2-2y 0=0,所以,点A 、B 的坐标满足方程x 0x -2y -2y 0=0,所以,直线AB 的方程为x 0x -2y -2y 0=0,联立x 0x -2y -2y 0=0y =x 24,可得x 2-2x 0x +4y 0=0,由韦达定理可得x 1+x 2=2x 0,x 1x 2=4y 0,所以AB =1+x 022⋅x 1+x 22-4x 1x 2=1+x 022⋅4x 20-16y 0=x 20+4 x 20-4y 0点P 到直线AB 的距离为d =x 20-4y 0x 2+4,所以,S △PAB =12AB ⋅d =12x 20+4 x 20-4y 0 ⋅x 20-4y 0x 20+4=12x 20-4y 0 32,∵x 20-4y 0=1-y 0+4 2-4y 0=-y 20-12y 0-15=-y 0+6 2+21,由已知可得-5≤y 0≤-3,所以,当y 0=-5时,△PAB 的面积取最大值12×2032=205.8.(2022届山西省怀仁市高三上学期期中)已知抛物线C ：y 2=2px p >0 的焦点为F ,准线与x 轴交于D点,过点F 的直线与抛物线C 交于A ,B 两点,且FA ⋅FB =FA +FB .(1)求抛物线C 的方程；(2)设P ,Q 是抛物线C 上的不同两点,且PF ⊥x 轴,直线PQ 与x 轴交于G 点,再在x 轴上截取线段GE =GD ,且点G 介于点E 点D 之间,连接PE ,过点Q 作直线PE 的平行线l ,证明l 是抛物线C 的切线.【解析】(1)解：设过点F 的直线方程为y =k x -p2,A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,联立y =k x -p2 y 2=2px,得k 2x 2-pk 2+2p x +k 2p 24=0,则x 1+x 2=pk 2+2p k 2,x 1⋅x 2=p 24,所以FA +FB =x 1+p 2+x 2+p 2=2pk 2+2pk 2,FA ⋅FB =x 1+p 2 x 2+p 2 =p 22+p 2k 2+2 2k 2,因为FA ⋅FB =FA +FB ,所以2pk 2+2p k 2=p 22+p 2k 2+2 2k 2,化简得p 2-2p 1+1k2 =0,所以p =2,当过点F 的直线斜率不存在时,则FA =FB =p ,故FA +FB =2p ,FA ⋅FB =p 2,又因为FA ⋅FB =FA +FB ,则p 2=2p ,所以p =2,综上所述,p =2,所以y 2=4x ；(2)证明：不妨设点P 在第一象限,则P 1,2 ,D -1,0 ,F 1,0 ,设直线PQ 的方程为y -2=m x -1 ,m ≠0,Q x 3,y 3 ,联立y -2=m x -1 y 2=4x ,消元整理得m 24y 2-y -m +2=0,则2+y 3=4m ,即y 3=4-2mm 故x 3=2-m 2m 2,即Q 2-m 2m 2,4-2m m,当y =0时,x =-2m +1,则G -2m+1,0 ,又因GE =GD ,且点G 介于点E 点D 之间,则G 为DE 的中点,所以E -4m+3,0 ,则直线PE 的斜率为24m-2=m2-m ,因为直线PE 平行直线l ,所以直线l 的斜率为m2-m,故直线l 的方程为y -4-2m m =m 2-m x -2-m 2m 2,即y =m 2-m x +2-m m ,联立y =m 2-m x +2-mm y 2=4x,消元整理得m 42-m y 2-y +2-m m =0,Δ=1-4×m 42-m⋅2-mm =0,所以直线l 与抛物线只有一个交点,有直线l 斜率不为0,所以l 是抛物线C 的切线.9.已知抛物线C :x 2=2py ,点M -4,4 在抛物线C 上,过点M 作抛物线C 的切线,交x 轴于点P ,点O 为坐标原点．(1)求P 点的坐标；(2)点E 的坐标为-2,-1 ,经过点P 的直线交抛物线于A ,B 两点,交线段OM 于点Q ,记EA ,EB ,EQ 的斜率分别为k 1,k 2,k 3,是否存在常数λ使得k 1+k 2=λk 3．若存在,求出λ的值,若不存在,请说明理由．【解析】(1)因为M -4,4 在抛物线C 上,所以-4 2=8p ,所以p =2所以抛物线C 的方程为x 2=4y ,即y =14x 2,则y =12x ,所以切线的斜率为12×(-4)=-2,所以过点M 的切线方程为y =-2x +4 +4,即y =-2x -4联立y =-2x -4y =0,解得P 点的坐标为-2,0(2)由题意可知过点P 的直线的斜率存在,设为y =kx +2k ,线段OM 所在的直线为y =-x ,联立y =kx +2k y =-x,解得Q 点坐标为-2k k +1,2kk +1,所以k 3=2k k +1+1-2k k +1+2=3k +12设A x 1,x 214 ,B x 2,x 224,联立y =kx +2kx 2=4y ,得x 2-4kx -8k =0,所以x 1+x 2=4k ,x 1x 2=-8k ．则k 1+k 2=x 214+1x 1+2+x 224+1x 2+2=14x 1x 2x 1+x 2 +x 1+x 2 +12x 21+x 22 +4x 1x 2+2x 1+x 2 +4=-8k 2+4k +1216k 2+16k +4-8k +8k +4=12k +44=3k +1所以k 1+k 2=2k 3,即存在λ=2满足条件．10.如图,已知A x 1,y 1 ､B x 2,y 2 为二次函数y =ax 2(a >0)的图像上异于顶点的两个点,曲线y =ax 2在点A x 1,y 1 ､B x 2,y 2 处的切线相交于点P x 0,y 0 .(1)利用抛物线的定义证明：曲线y =ax 2上的每一个点都在一条抛物线上,并指出这条抛物线的焦点坐标和准线方程；(2)求证：x 1､x 0､x 2成等差数列,y 1､y 0､y 2成等比数列；(3)设抛物线y =ax 2焦点为F ,过P 作PH 垂直准线l ,垂足为H ,求证：∠BPH =∠APF .【解析】(1)证明：令F 0,14a ,直线l ：y =-14a,曲线y =ax 2上任意一点P x 0,ax 02,又a >0,则点P x 0,ax 02 到直线l 的距离d =ax 02+14a,则PF =x 02+ax 02-14a 2=x 02+ax 02 2-x 022+14a 2=ax 02 2+x 022+14a 2=ax 02+14a 2=ax 02+14a =ax 02+14a=d ,即曲线y =ax 2上任意一点到点F 0,14a 的距离与到直线l ：y =-14a的距离相等,且点F 0,14a 不在直线l ：y =-14a上,所以曲线y =ax 2上的每一个点都在一条抛物线上,抛物线的方程即为y =ax 2,焦点坐标为F 0,14a,准线方程为y =-14a；(2)解：对于y =ax 2,则y =2ax ,所以y |x =x 1=2ax 1,y |x =x 2=2ax 2,即过点A x 1,y 1 、B x 2,y 2 的切线方程分别为y -y 1=2ax 1x -x 1 、y -y 2=2ax 2x -x 2 ,又y 1=ax 12,y 2=ax 22,所以y =2ax 1x -ax 12、y =2ax 2x -ax 22,由y =2ax 1x -ax 12y =2ax 2x -ax 22 ,解得x =x 1+x 22y =ax 2x 1,即P x 1+x 22,ax 2x 1 ,即x 0=x 1+x 22,y 0=ax 2x 1,又y 02=a 2x 22x 12=y 1⋅y 2,所以x 1、x 0、x 2成等差数列,y 1、y 0、y 2成等比数列；(3)解：由(2)可知k BP =2ax 2,k AP =2ax 1,F 0,14a ,所以k PF =y 0-14ax 0=ax 2x 1-14a x 1+x 22,如图,设AP ,PF ,PB 与x 轴分别交于点C 、D 、E ,则tan ∠ACx =2ax 1,tan ∠BEx =2ax 2,tan ∠FDx =ax 2x 1-14ax 1+x 22,又∠BPH =π2-π-∠BEx =∠BEx -π2,∠FPA =∠FDx -∠ACx ,所以tan ∠BPH =tan ∠BEx -π2 =-1tan ∠BEx=-12ax 2,tan ∠FPA =tan ∠FDx -∠ACx =tan ∠FDx -tan ∠ACx1+tan ∠FDx tan ∠ACx=ax 2x 1-14a x 1+x 22-2ax11+ax 2x 1-14a x 1+x 22⋅2ax 1=ax 2x 1-14a -2ax 1⋅x 1+x 22x 1+x 22+ax 2x 1-14a ⋅2ax 1=-14a-ax 12x 1+x 22+2a 2x 12x 2-x 12=-14a -ax 12x 22+2a 2x 12x 2=-14a-ax 1212x 2+4a 2x 12x 2 =-1+4a 2x 12 2ax 21++4a 2x 12 =-12ax 2,即tan ∠BPH =tan ∠FPA ,所以∠BPH =∠FPA ；11.已知抛物线x 2=2py (p >0)上的任意一点到P (0,1)的距离比到x 轴的距离大1．(1)求抛物线的方程；(2)若过点(0,2)的直线l 与抛物线交于A ,B 两点,过A ,B 两点分别作抛物线的切线,两条切线交于点Q ,求△QAB 重心G 的轨迹方程．【解析】(1)由抛物线的定义可得p =2,∴抛物线的方程为x 2=4y ；(2)由题意可得直线AB 的斜率存在,设其为k ,设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,则直线AB 的方程为y =kx +2；代入抛物线方程得x 2-4kx -8=0,则有x 1+x 2=4k ,x 1x 2=-8,∵y =x 24,∴y=x 2,∴l AQ :y -y 1=x 12x -x 1 ,即y =x 12x -x 214①同理可得l BQ :y =x 22x -x 224②,①-②有x 1-x 22 x =x 21-x 224,得x Q =x 1+x 22=2k ,∴y Q =kx 1-x 214=kx 1-y 1=-2．∴Q (2k ,-2)又y 1+y 2=k x 1+x 2 +4=4k 2+4,设G (x ,y ),则x =x 1+x 2+x Q3=2ky =y 1+y 2+y Q 3=4k 2+23,消k 得y =x 2+23,所以G 的轨迹方程为y =13x 2+23．12.已知抛物线C :x 2=2py p >0 的焦点为F ,点P -2,y 0 为抛物线上一点,抛物线C 在点P 处的切线与y 轴相交于点Q ,且△FPQ 的面积为2．(1)求抛物线的方程．(2)若斜率不为0的直线l 过焦点F ,且交抛物线C 于A ,B 两点,线段AB 的中垂线与y 轴交于点M ,证明：MF AB为定值．【解析】(1)将P -2,y 0 代入x 2=2py 得,y 0=2p 设抛物线的切线方程为y =k (x +2)+2p,代入x 2=2py 整理得：x 2-2pkx -(4pk +4)=0由题知Δ=4p 2k 2+4pk +4=0,解得k =-2p又y Q =2k +2p ,所以FQ =p 2-2k -2p 所以S △FPQ =p 2-2k -2p =p 2+2p=2,解得p =2所以抛物线C 的方程为x 2=4y(2)记AB 中点为N ,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),N (x 3,y 3)设直线AB 方程为y =mx +1,代入x 2=4y 整理得：x 2-4mx -4=0,则x 1+x 2=4m ,x 1x 2=-4所以AB =m 2+1(x 1+x 2)2-4x 1x 2=4(m 2+1)因为N 为AB 中点,所以x 3=x 1+x 22=2m ,y 3=2m 2+1所以直线MN 的方程为y -(2m 2+1)=-1m(x -2m )则y M =2m 2+3所以MF =2m 2+2所以MF AB =2m 2+24(m 2+1)=1213.(2022届新未来4月联考)已知直线l :x -ky +k -1=0与抛物线C :y 2=2px (p >0)交于A ,B 两点,过A ,B 两点且与抛物线C 相切的两条直线相交于点D ,当直线l ⊥x 轴时,|AB |=4．(1)求抛物线C 的标准方程；(2)求|OD |的最小值．【解析】(1)当直线l ⊥x 轴时,x =1,代入y 2=2px 解得y =±2p ,∴|AB |=22p =4,得p =2,∴抛物线C 的标准方程为y 2=4x ；(2)设A x A ,y A ,B x B ,y B ,D x D ,y D ．联立x -ky +k -1=0,y 2=4x ,得y 2-4ky +4k -4=0．∴y A +y B =4k ,y A ⋅y B =4k -4①,∵直线l :x -ky +k -1=0恒过点(1,1),且与抛物线有两个交点,点(1,1)在抛物线上,∴k ≠0,当直线AD 和直线BD 斜率存在时,设直线AD :y =mx +n ,联立y =mx +n ,y 2=4x ,∴my 2-4y +4n =0,Δ=16-4m ⋅4n =0,∴m ⋅n =1,∴y A =2m ,同理,设直线BD :y =ax +b ,则ab =1,y B =2a,联立y =mx +n ,y =ax +b , ∴x D =1am ,y D =1a +1m.由①可知2m +2a =4k ,2m ⋅2a =4k -4,∴1m +1a -2ma=2,即y D -2x D =2,∴点D 在直线2x -y +2=0上．当直线AD 或直线BD 斜率不存在时,即直线l 过原点时,k =1,过原点的切线方程为x =0,易知另外一点为(4,4),过点(4,4)的切线方程设为x -4=t (y -4),联立x -4=t (y -4)y 2=4x,得y 2-4ty +16t -16=0,Δ=16t 2-416t -16 =0,解得t =2,即切线方程y =12x +2．此时交点D 的坐标为(0,2),在直线2x -y +2=0上,故OD 的最小值为原点到直线2x -y +2=0的距离,即25=255．14.过原点O 的直线与拋物线C ：y 2=2px (p >0)交于点A ,线段OA 的中点为M ,又点P 3p ,0 ,PM ⊥OA ．在下面给出的三个条件中任选一个填在横线处,并解答下列问题：①OA =46,②PM =23；③△POM 的面积为62．(1)______,求拋物线C 的方程；(2)在(1)的条件下,过y 轴上的动点B 作拋物线C 的切线,切点为Q (不与原点O 重合),过点B 作直线l 与OQ 垂直,求证：直线l 过定点．注：如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分．【解析】(1)由题意知直线OA 的斜率存在且不为0,设其方程为y =kx k ≠0 ,由y 2=2px ,y =kx 得x =0,y =0 或x =2p k 2,y =2p k,即O 0,0 ,A 2p k 2,2p k所以线段OA 的中点M p k 2,p k．因为PM ⊥OA ,所以直线PM 的斜率存在,k PM =p kpk 2-3p =k1-3k 2．所以k 1-3k2⋅k =-1,解得k =±22,所以直线OA 的方程为x ±2y =0,A 4p ,±22p ．若选①,不妨令A 4p ,22p ,由OA =46,得4p2+22p 2=46,解得p =2(舍去p =-2),所以抛物线C 的方程为y 2=4x ．若选②,因为PM ⊥OA ,PM =23,所以点P 到直线OA 的距离为23,即3p12+±2 2=23,解得p =2(舍去p =-2),所以抛物线C 的方程为y 2=4x ．若选③,不妨令A 4p ,22p ,因为OM =12OA =124p 2+22p 2=6p ,点P 到直线OA 的距离PM =3p12+±22=3p ,所以S △POM =12OM ⋅PM =12×6p ×3p =62,解得p =2(舍去p =-2),所以抛物线C 的方程为y 2=4x ．(2)由题意可知切线BQ 的斜率存在且不为0．设B 0,b b ≠0 ,切线BQ 的方程为y =k 1x +b ,由y =k 1x +b ,y 2=4x得k 1y 2-4y +4b =0,(*)所以Δ=-4 2-4×k 1×4b =0,解得k 1=1b,所以方程(*)的根为y =2b ,代入y 2=4x 得x =b 2,所以切点b 2,2b ,于是k OQ =2b b2=2b ,则k l =-b2,所以直线l 的方程为y =-b 2x +b ,即y =-b2x -2 ,所以当b 变化时,直线l 恒过定点2,0 ．15.已知抛物线x 2=2py (y >0),其焦点为F ,抛物线上有相异两点A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ．(1)若AF ⎳x 轴,且经过点A 的抛物线的切线经过点(1,0),求抛物线方程；(2)若p =2,且|AF |+|BF |=4,线段AB 的中垂线交x 轴于点C ,求△ABC 面积的最大值．【解析】(1)抛物线x 2=2py (y >0),焦点坐标为0,p2,因为AF ⎳x ,所以y A =p 2,所以x A =p ,又y =x 22p ,所以y =x p,所以过A 点的切线的斜率k =1,所以切线方程为y -p 2=x -p ,令y =0得x =p2=1,所以p =2,所以x 2=4y(2)若p =2,则抛物线为x 2=4y ,焦点为0,1 ,准线方程为y =-1,因为|AF |+|BF |=4,所以y A +1+y B +1=4,所以y A +y B =2,设直线AB 的方程为y =kx +m ,联立x 2=4y 得x 2-4kx -4m =0,Δ=16k 2+16m >0所以x 1+x 2=4k ,x 1x 2=-4m ,所以y 1+y 2=kx 1+kx 2+2m =4k 2+2m =2,即m =1-2k 2,所以Δ=16k 2+161-2k 2 >0,解得-1<k <1,当k =0时,直线方程为y =1,则A 2,0 ,B -2,0 ,所以AB 的中垂线恰为y 轴,则C 0,0 ,所以S △ABC =12×4×1=2,当-1<k <1,且k ≠0时,又AB 的中点坐标为x 1+x 22,y 1+y 22 =2k ,1 ,所以AB 的中垂线l 的方程为y =-1kx -2k +1,令y=0得x =3k ,所以C 3k ,0 ,所以C 到AB 的距离d =3k 2+m k 2+1,又AB=k 2+116k 2+16m ,所以S △ABC =12AB d =2k 2+m ×3k 2+m =21-k 2×1+k 2 =21-k 2 1+k 2 2令1-k 2=t ,则t ∈0,1 ,f t =t 2-t 2=t 3-4t 2+4t ,因为f t =3t 2-8t +4=t -2 3t -2 ,所以当t ∈0,23 时f t >0,f t 在0,23 上单调递增,当t ∈23,1 时f t <0,f t 在23,1 上单调递减,所以f t max =f 23 =3227所以S △ABC max =23227=869>2所以S △ABC max =86916.设抛物线C ：x 2=2py (p >0)的焦点为F ,点P m ,2 (m >0)在抛物线C 上,且满足PF =3．(1)求抛物线C 的标准方程；(2)过点G 0,4 的直线l 与抛物线C 交于A ,B 两点,分别以A ,B 为切点的抛物线C 的两条切线交于点Q ,求三角形PQG 周长的最小值．【解析】(1)由抛物线定义,得PF =2+p2=3,得p =2,∴抛物线C 的标准方程为x 2=4y ；(2)设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,直线l 的方程为y =kx +4,∴联立y =kx +4x 2=4y,消掉x ,得x 2-4kx -16=0,Δ>0,∴x 1+x 2=4k ,x 1x 2=-16,设A ,B 处的切线斜率分别为k 1,k 2,则k 1=x 12,k 2=x22,∴在点A 的切线方程为y -y 1=x 12x -x 1 ,即y =x 1x 2-x 124①,同理,在B 的切线方程为y =x 2x 2-x 224②,由①②得：x Q =x 1+x 22=2k ,代入①或②中可得：y Q =kx 1-x 214=y 1-4-y 1=-4,∴Q 2k ,-4 ,即Q 在定直线y =-4上,设点G 关于直线y =-4的对称点为G ,则G 0,-12 ,由(1)知P 22,2 ,∵PQ +GQ =PQ +G Q ≥G P =251,即P ,Q ,G 三点共线时等号成立,∴三角形PQG 周长最小值为GP +G P =251+23．17.已知圆C :x 2+y -2 2=1与定直线l :y =-1,且动圆M 与圆C 外切并与直线l 相切.(1)求动圆圆心M 的轨迹E 的方程；(2)已知点P 是直线l 1:y =-2上一个动点,过点P 作轨迹E 的两条切线,切点分别为A 、B .①求证：直线AB 过定点；②求证：∠PCA =∠PCB .【解析】(1)依题意知：M 到C 0,2 的距离等于M 到直线y =-2的距离,∴动点M 的轨迹是以C 为焦点,直线y =-2为准线的抛物线,设抛物线方程为x 2=2py p >0 ,则p2=2,则p =4,即抛物线的方程为x 2=8y ,故：动圆圆心M 的轨迹E 的方程为：x 2=8y ；(2)①由x 2=8y 得：y =18x 2,∴y =14x ,设A x 1,18x 21、B x 2,18x 22 ,P t ,-2 ,其中x 1≠x 2,则切线PA 的方程为y -18x 21=x 14x -x 1 ,即y =14x 1x -18x 21,同理,切线PB 的方程为y =14x 2x -18x 22,由y =14x 1x -18x 21y =14x 2x -18x 22 ,解得x =x 1+x 22y =x 1x 28 ,∴t =x 1+x 22-2=x 1x 28,即x 1+x 2=2t x 1x 2=-16 ,∵A x 1,18x 21、B x 2,18x 22 x 1≠x 2 ,∴直线AB 的方程为y -18x 21=18x 22-18x 21x 2-x 1x -x 1 ,化简得y =x 1+x 28x -x 1x 28,即y =t4x +2,故直线AB 过定点0,2 ；②由①知：直线AB 的斜率为k AB =t4,(i )当直线PC 的斜率不存在时,直线AB 的方程为y =2,∴PC ⊥AB ,∴∠PCA =∠PCB ；(ii )当直线PC 的斜率存在时,∵P t ,-2 、C 0,2 ,∴直线PC 的斜率k PC =-2-2t -0=-4t ,∴k AB ⋅k PC =t 4×-4t=-1,∴PC ⊥AB ,∴∠PCA =∠PCB .综上所述：∠PCA =∠PCB 得证.18.设抛物线C ：x 2=2py p >0 ,其焦点为F ,准线为l ,点P 为C 上的一点,过点P 作直线l 的垂线,垂足为M ,且MF =FP ,FM ⋅FP=2.(1)求抛物线C 的方程；(2)设点Q 为C 外的一点且Q 点不在坐标轴上,过点Q 作抛物线C 的两条切线,切点分别为A ,B ,过点Q 作y 轴的垂线,垂足为S ,连接AS ,BS ,证明：直线AS 与直线BS 关于y 轴对称.【解析】(1)∵PM =PF =FM ,∴△PFM 为等边三角形,∴∠FMP =∠PFM =60°,又FM ⋅FP=FM ⋅FP cos ∠PFM =FM 2cos60°=2,∴FM =2设直线l 交y 轴于N 点,则在Rt △MNF 中∠NMF =30°,NF =1=p ,∴C 的方程为x 2=2y(2)设点Q a ,b a ≠0,b ≠0 ,A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,又C 的方程为x 2=2y 可化为y =x 22,∴y =x所以过点A 且与C 相切的直线的斜率为x 1,过点B 且与C 相切的直线的斜率为x 2,所以直线QA 的方程为y-y1=x1x-x1,直线QB的方程为y-y2=x2x-x2.又直线QA与QB均过点Q,b-y1=x1a-x1,b-y2=x2a-x2,又x21=2y1,x22=2y2,∴y1=ax1-b,y2=ax2-b,所以直线AB的方程为y=ax-b,联立方程y=ax-b和x2=2y得方程组x2=2y,y=ax-b,消去y得x2-2ax+2b=0,∵b≠0,∴x1≠0,x2≠0,∵x1x2=2b,又S0,b,则直线AS的斜率k1=y1-bx1；直线BS的斜率k2=y2-bx2,∴k1+k2=x1+x2x1x22-bx1x2,∵x1x22-b=0,∴k1+k2=0,所以直线AS与直线BS关于y轴对称.。

1抛物线的定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线． 2抛物线的图形和性质：①顶点是焦点向准线所作垂线段中点。

②焦准距：FK p =③通径：过焦点垂直于轴的弦长为2p 。

④顶点平分焦点到准线的垂线段：2p OF OK ==。

⑤焦半径为半径的圆：以P 为圆心、FP 为半径的圆必与准线相切。

所有这样的圆过定点F 、准线是公切线。

⑥焦半径为直径的圆：以焦半径 FP 为直径的圆必与过顶点垂直于轴的直线相切。

所有这样的圆过定点F 、过顶点垂直于轴的直线是公切线。

⑦焦点弦为直径的圆：以焦点弦PQ 为直径的圆必与准线相切。

所有这样的圆的公切线是准线。

3抛物线标准方程的四种形式：，，px y px y 2222-==。

，py x py x 2222-==4抛物线px y 22=的图像和性质：①焦点坐标是：⎪⎭⎫⎝⎛02，p ，②准线方程是：2p x -=。

③焦半径公式：若点),(00y x P 是抛物线px y 22=上一点，则该点到抛物线的焦点的距离（称为焦半径）是：02p PF x =+， ④焦点弦长公式：过焦点弦长121222p pPQ x x x x p =+++=++ ⑤抛物线px y 22=上的动点可设为P ),2(2y py 或2(2,2)P pt pt 或P px y y x 2),(2=其中5一般情况归纳：方程 图象 焦点 准线 定义特征y 2=kxk>0时开口向右(k/4,0) x= ─k/4到焦点(k/4,0)的距离等于到准线x= ─k/4的距离k<0时开口向左 x 2=kyk>0时开口向上(0,k/4) y= ─k/4到焦点(0,k/4)的距离等于到准线y= ─k/4的距离k<0时开口向下抛物线的定义：例1：点M 与点F (－4，0)的距离比它到直线l ：x －6=0的距离4.2，求点M 的轨迹方程．C NM 1QM 2K FPoM 1QM 2KF Poyx分析：点M 到点F 的距离与到直线x =4的距离恰好相等，符合抛物线定义．答案：y 2=－16x例2：斜率为1的直线l 经过抛物线y 2=4x 的焦点，与抛物线相交于点A 、B ，求线段A 、B 的长．分析：这是灵活运用抛物线定义的题目．基本思路是：把求弦长AB 转化为求A 、B 两点到准线距离的和．解：如图8－3－1，y 2=4x 的焦点为F (1，0)，则l 的方程为y =x －1．由⎩⎨⎧+==142x y x y 消去y 得x 2－6x +1=0． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2) 则x 1+x 2=6． 又A 、B 两点到准线的距离为A '，B '，则()()()8262112121=+=++=+++='+'x x x x B B A A点评：抛物线的定义本身也是抛物线最本质的性质，在解题中起到至关重要的作用。