(完整版)历年高考抛物线真题详解理科

高三数学抛物线试题答案及解析1.抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，弦中点在其准线上的射影为，则的最大值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】设，由抛物线定义，．而余弦定理，，再由，得到，所以的最大值为，故选：A．【考点】双曲线的简单性质.2.已知点C(1,0)，点A、B是⊙O：x2＋y2＝9上任意两个不同的点，且满足·＝0，设P为弦AB的中点．(1)求点P的轨迹T的方程；(2)试探究在轨迹T上是否存在这样的点：它到直线x＝－1的距离恰好等于到点C的距离？若存在，求出这样的点的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）x2－x＋y2＝4（2）存在，(1，－2)和(1,2)【解析】(1)连接CP、OP，由·＝0，知AC⊥BC，∴|CP|＝|AP|＝|BP|＝|AB|．由垂径定理知|OP|2＋|AP|2＝|OA|2，即|OP|2＋|CP|2＝9．设点P(x，y)，有(x2＋y2)＋[(x－1)2＋y2]＝9，化简，得到x2－x＋y2＝4．(2)根据抛物线的定义，到直线x＝－1的距离等于到点C(1,0)的距离的点都在抛物线y2＝2px上，其中＝1，∴p＝2，故抛物线方程为y2＝4x．由方程组，得x2＋3x－4＝0，解得x1＝1，x2＝－4，由于x≥0，故取x＝1，此时y＝±2．故满足条件的点存在，其坐标为(1，－2)和(1,2)．3.动直线l的倾斜角为60°，且与抛物线x2＝2py(p>0)交于A，B两点，若A，B两点的横坐标之和为3，则抛物线的方程为________．【答案】x2＝y【解析】设直线l的方程为y＝x＋b，联立，消去y，得x2＝2p(x＋b)，即x2－2px－2pb＝0，∴x1＋x2＝2p＝3，∴p＝，则抛物线的方程为x2＝y．4.已知点在抛物线C：的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由于点在抛物线C：的准线上，所以，设直线AB的方程为，将与联立，即，则（负值舍去），将k=2代入得y=8，即可求出x=8，故B（8,8），所以，故选D.【考点】1.直线与抛物线的位置关系；2.斜率公式.5.已知抛物线C：的焦点为F，过点F倾斜角为60°的直线l与抛物线C在第一、四象限分别交于A、B两点，则的值等于（）（A）2 （B）3 （C）4 （D）5【答案】B【解析】由抛物线的方程可知焦点，直线的斜率为，则直线的方程为，设.将直线方程和抛物线方程联立削去并整理可得，解得.所以.故B正确.【考点】1直线与抛物线的位置关系；2数形结合思想.6.设点P是曲线y＝x2上的一个动点，曲线y＝x2在点P处的切线为l，过点P且与直线l垂直的直线与曲线y＝x2的另一交点为Q，则PQ的最小值为________．【答案】【解析】设P(x0，x2)，又y′＝2x，则直线PQ的方程为y＝－＋＋x2.代入y＝x2得x2＋－－x2＝0，即(x－x)＝0，所以点Q的坐标为.从而PQ2＝2＋2，令t＝4x2，则PQ2＝f(t)＝t＋＋＋3(t>0)，则f′(t)＝，即f(t)在(0,2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数，故当t＝2时，PQ有最小值.7.已知椭圆C1和抛物线C2有公共焦点F(1，0)，C1的中心和C2的顶点都在坐标原点，过点M(4，0)的直线l与抛物线C2分别相交于A ，B两点．(1)如图所示，若，求直线l的方程；(2)若坐标原点O关于直线l的对称点P在抛物线C2上，直线l与椭圆C1有公共点，求椭圆C1的长轴长的最小值．【答案】（1）；（2）长轴长的最小值为.【解析】（1）首先求得抛物线方程为.设直线方程为，并设利用，得到；联立，可得，应用韦达定理得到，从而得到，求得直线方程.（2）可求得对称点，代入抛物线中可得：，直线方程为，考虑到对称性不妨取,椭圆设为联立直线、椭圆方程并消元整理可得，由，可得，即得解.（1）由题知抛物线方程为。

专题9.5 抛物线1.（2020·全国高考真题（理））已知A 为抛物线C :y 2=2px （p >0）上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p =（ ） A ．2 B ．3 C ．6 D ．9【答案】C 【解析】设抛物线的焦点为F ，由抛物线的定义知||122A p AF x =+=，即1292p=+，解得6p.故选：C.2．（2020·北京高三二模）焦点在x 轴的正半轴上，且焦点到准线的距离为4的抛物线的标准方程是（ ） A ．x 2＝4y B ．y 2＝4x C ．x 2＝8y D ．y 2＝8x【答案】D 【解析】根据题意，要求抛物线的焦点在x 轴的正半轴上， 设其标准方程为22(0)y px p =>， 又由焦点到准线的距离为4，即p ＝4， 故要求抛物线的标准方程为y 2＝8x ， 故选：D.3.（全国高考真题）设F 为抛物线2:4C y x =的焦点，曲线()0ky k x=>与C 交于点P ，PF x ⊥轴，则k =（ ）A ．12B ．1C ．32D ．2【答案】D 【解析】由抛物线的性质可得(1,2)221kP y k ⇒==⇒=，故选D. 4．（2020·全国高考真题（文））设O 为坐标原点，直线2x =与抛物线C ：22(0)y px p =>交于D ，E 两点，若OD OE ⊥，则C 的焦点坐标为（ ） A ．1,04⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．(1,0)D ．(2,0)练基础【答案】B 【解析】因为直线2x =与抛物线22(0)y px p =>交于,E D 两点，且OD OE ⊥， 根据抛物线的对称性可以确定4DOx EOx π∠=∠=，所以()2,2D ，代入抛物线方程44p =，求得1p =，所以其焦点坐标为1(,0)2， 故选：B.5.（2019·四川高三月考（文））若抛物线22y px =的准线为圆2240x y x ++=的一条切线，则抛物线的方程为（ ） A.216y x =- B.28y x =-C.216y x =D.24y x =【答案】C 【解析】∵抛物线22y px =的准线方程为x=2p-，垂直于x 轴． 而圆2240x y x ++=垂直于x 轴的一条切线为4x =-， 则42p=，即8p =． 故抛物线的方程为216y x =． 故选：C ．6.（2019·北京高考真题（文））设抛物线y 2=4x 的焦点为F ，准线为l .则以F 为圆心，且与l 相切的圆的方程为__________． 【答案】(x -1)2+y 2=4. 【解析】抛物线y 2=4x 中，2p =4，p =2， 焦点F （1,0），准线l 的方程为x =-1， 以F 为圆心，且与l 相切的圆的方程为 (x -1)2+y 2=22,即为(x -1)2+y 2=4.7.（2019·山东高三月考（文））直线l 与抛物线22x y =相交于A ，B 两点，当AB 4=时，则弦AB 中点M 到x 轴距离的最小值为______. 【答案】32【解析】由题意，抛物线22x y =的焦点坐标为（0，12），根据抛物线的定义如图，所求d=111A B AF BF 113M 2222A B AB M ++--==≥= 故答案为：32． 8.（2021·沙湾县第一中学（文））设过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，且直线AB 的倾斜角为4π，则线段AB 的长是____，焦点F 到A ，B 两点的距离之积为_________.【答案】8 8 【分析】由题意可得直线AB 的方程为1y x =-，然后将直线方程与抛物线方程联立方程组，消去y 后，利用根与系数的关系，结合抛物线的定义可求得答案 【详解】解：由题意得(1,0)F ，则直线AB 的方程为1y x =-，设1122(,),(,)A x y B x y ，由241y x y x ⎧=⎨=-⎩，得2610x x -+=， 所以12126,1x x x x +==， 所以12628AB x x p =++=+=，因为11221,122=+=+=+=+p pAF x x BF x x ， 所以()()1212121116118AF BF x x x x x x ⋅=+⋅+=+++=++=， 故答案为：8，89．（2021·全国高三专题练习）已知抛物线顶点在原点，焦点在坐标轴上，又知此抛物线上的一点(),3A m -到焦点F 的距离为5，则m 的值为__________；抛物线方程为__________. 【答案】答案见解析 答案见解析 【分析】由于抛物线的开口方向未定，根据点(),3A m -在抛物线上这一条件，抛物线开口向下，向左、向右均有可能，以此分类讨论，利用焦半径公式列方程可得p 的值，根据点(),3A m -在抛物线上可得m 的值. 【详解】根据点(),3A m -在抛物线上，可知抛物线开口向下，向左、向右均有可能， 当抛物线开口向下时，设抛物线方程为22x py =-（0p >）， 此时准线方程为2py =，由抛物线定义知(3)52p --=，解得4p =.所以抛物线方程为28x y ，这时将(),3A m -代入方程得m =±当抛物线开口向左或向右时，可设抛物线方程为22y ax （0a ≠），从p a =知准线方程为2ax =-，由题意知()25232am am⎧+=⎪⎨⎪-=⎩，解此方程组得11192a m =⎧⎪⎨=⎪⎩，22192a m =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，33912a m =⎧⎪⎨=⎪⎩，44912a m =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，综合（1）、（2）得92m =，22y x =； 92m =-，22y x =-；12m =，218y x =； 12m =-，218y x =-；m =±28xy .故答案为：92，92-，12，12-，±22y x =，22y x =-，218y x =，218y x =-，28x y .10.（2019·广东高三月考（理））已知F 为抛物线2:4T x y =的焦点，直线:2l y kx =+与T 相交于,A B 两点.()1若1k =，求FA FB +的值；()2点(3,2)C --，若CFA CFB ∠=∠，求直线l 的方程.【答案】（1）10（2）3240x y +-= 【解析】（1）由题意，可得()0,1F ，设221212,,,44x x A x B x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，联立方程组224y kx x y=+⎧⎨=⎩，整理得2480x kx --=，则124x x k +=，128x x =-，又由22121144x x FA FB +++=+()2121222104x x x x +-=+=.（2）由题意，知211,14x FA x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，222,14x FB x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()3.3FC =--， 由CFA CFB ∠=∠，可得cos ,cos ,FA FC FB FC =又2114x FA =+，2214x FB =+，则FA FC FB FC FA FC FB FC =， 整理得()1212420x x x x ++-=，解得32k =-， 所以直线l 的方程为3240x y +-=.1．（2021·吉林长春市·高三（理））已知M 是抛物线24y x =上的一点，F 是抛物线的焦点，若以Fx 为始边，FM 为终边的角60xFM ∠=，则FM 等于（ ） A ．2 B C ．D ．4【答案】D 【分析】设点200,4y M y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，取()1,0a =，可得1cos ,2FM a <>=，求出20y 的值，利用抛物线的定义可求练提升得FM 的值. 【详解】设点()00,M x y ，其中2004y x =，则()1,0F ，2001,4y FM y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，取()1,0a =，则211cos ,2y FM a FM a FM a-⋅<>===⋅⎛，可得4200340480y y -+=，因为20104y ->，可得204y >，解得2012y =，则20034y x ==，因此，014MF x=+=. 故选：D.2.（2017·全国高考真题（文））过抛物线2:4C y x =的焦点F 的直线交C 于点M （在x 轴上方），l 为C 的准线，点N 在l 上且MNl ⊥，则点M 到直线NF 的距离为（）A. B. D.【答案】A 【解析】设直线l 与x 轴相交于点P ，与直线MN 相交于点Q ，(1,0)F ，设||||MN MF m ==，因为||2,30PF NQM =∠=，所以||4,||2QF QM m ==， 所以42m m +=，解得：4m =，设00(,)M x y ，由焦半径公式得：014x +=， 所以03x=，0y =，所以sin sin 42NP MNF NFP NF ∠=∠===，所以点M 到直线NF 的距离为||sin 4NM MNF ⋅∠=⋅=3．（2020·广西南宁三中其他（理））已知抛物线28C y x =：的焦点为F ，P 是抛物线C 的准线上的一点，且P 的纵坐标为正数，Q 是直线PF 与抛物线C 的一个交点，若PQ =，则直线PF 的方程为（ ）A ．20x y --=B ．20x y +-=C ．20x y -+=D ．20x y ++=【答案】B 【解析】过Q 点作QH PM ⊥于H ，因为PQ =，由抛物线的定义得PQ =，所以在Rt PQH ∆中，4PQH π∠=，所以4PFM π∠=，所以直线PF 的斜率为1k =-，所以直线PF 的方程为()()012y x -=--， 即20x y +-=， 故选B.4.（2020·浙江高三月考）如图，已知抛物线21:4C y x =和圆222:(1)1C x y -+=，直线l 经过1C 的焦点F ，自上而下依次交1C 和2C 于A ，B ，C ，D 四点，则AB CD ⋅的值为（ ）A ．14B ．12C ．1D ．2【答案】C 【解析】因为抛物线21:4C y x =的焦点为(1,0)F ，又直线l 经过1C 的焦点F ，设直线:(1)l y k x =-，由24(1)y x y k x ⎧=⎨=-⎩得2222(24)0k x k x k -++=， 设1122(,),(,)A x y B x y ，则121=x x由题意可得：1111=-=+-=AB AF BF x x ， 同理2=CD x ，所以12cos01︒⋅=⋅⋅==AB CD AB CD x x . 故选C5．【多选题】（2022·全国高三专题练习）已知抛物线21:C y mx =与双曲线222:13y C x -=有相同的焦点，点()02,P y 在抛物线1C 上，则下列结论正确的有（ ）A ．双曲线2C 的离心率为2B ．双曲线2C 的渐近线为y x = C ．8m =D ．点P 到抛物线1C 的焦点的距离为4【答案】ACD 【分析】由双曲线方程写出离心率、渐近线及焦点，即可知A 、B 、C 的正误，根据所得抛物线方程求0y ，即知D 的正误. 【详解】双曲线2C 的离心率为2e ==，故A 正确；双曲线2C 的渐近线为y =，故B 错误； 由12,C C 有相同焦点，即24m=，即8m =，故C 正确； 抛物线28y x =焦点为()2,0，点()02,P y 在1C 上，则04y =±，故()2,4P 或()2,4P -，所以P 到1C 的焦点的距离为4，故D 正确． 故选：ACD ．6．【多选题】（2021·海南鑫源高级中学）在下列四个命题中，真命题为（ ）A ．当a 为任意实数时，直线(a -1)x -y +2a +1=0恒过定点P ，则过点P 且焦点在y 轴上的抛物线的标准方程是243x y =B ．已知双曲线的右焦点为(5，0)，一条渐近线方程为2x -y =0，则双曲线的标准方程为221205x y -= C ．抛物线y =ax 2(a ≠0)的准线方程14y a=-D ．已知双曲线2214x y m +=，其离心率()1,2e ∈，则m 的取值范围(-12，0)【答案】ACD 【分析】求出直线定点设出抛物方程即可判断A ；根据渐近线方程与焦点坐标求出,a b 即可判断B ；根据抛物线方程的准线方程公式即可判断C ；利用双曲线离心率公式即可判断D ． 【详解】对A 选项，直线(a -1)x -y +2a +1=0恒过定点为()2,3P -，则过点P 且焦点在y 轴上的抛物线的标准方程设为22x py =，将点()2,3P -代入可得23p =，所以243x y =，故A 正确；对B 选项，知5,2bc a==，又22225a b c +==，解得225,20a b ==，所以双曲线的标准方程为221520x y -=，故B 错； 对C 选项，得21x y a =，所以准线方程14y a=-，正确；对D 选项，化双曲线方程为2214x y m-=-，所以()1,2e =，解得()12,0m ∈-，故正确．故选：ACD7．（2021·全国高二课时练习）已知点M 为抛物线2:2(0)C y px p =>上一点，若点M 到两定点(,)A p p ，,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭的距离之和最小，则点M 的坐标为______．【答案】,2p p ⎛⎫⎪⎝⎭【分析】过点M 作抛物线准线的垂线，垂足为B ，根据抛物线的定义可得||||MF MB =， 易知当A ，B ，M 三点共线时||MB MA +取得最小值且为||AB ，进而可得结果. 【详解】过点M 作抛物线准线的垂线，垂足为B ，由抛物线的定义，知点M 到焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭的距离与点M 到准线的距离相等，即||||MF MB =，所以||||||||MF MA MB MA +=+， 易知当A ，B ，M 三点共线时，||MB MA +取得最小值， 所以min 3(||||)||2p MF MA AB +==，此时点M 的坐标为,2p p ⎛⎫⎪⎝⎭． 故答案为：2p p ⎛⎫⎪⎝⎭，8．（2021·全国高二课时练习）抛物线()220y px p =>的焦点为F ，已知点A ，B 为抛物线上的两个动点，且满足120AFB ∠=︒，过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线MN ，垂足为N ，则MN AB的最大值为______.【分析】设=AF a ，=BF b ，根据中位线定理以及抛物线定义可得()12MN a b =+，在AFB △中，由余弦定理以及基本不等式可得)AB a b ≥+，即可求得MN AB 的最大值．【详解】设=AF a ，=BF b ，作AQ 垂直抛物线的准线于点Q ，BP 垂直抛物线的准线于点P .由抛物线的定义，知AF AQ =，BF BP =.由余弦定理得()2222222cos120AB a b ab a b ab a b ab =+=︒=++=+-.又22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，∴()()()()22221344a b ab a b a b a b +-≥+-+=+，当且仅当a b =时，等号成立，∴)AB a b ≥+，∴()1a b MN AB +≤=MN AB9．（2020·山东济南外国语学校高三月考）抛物线C ：22y x =的焦点坐标是________；经过点()4,1P 的直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点，且点P 恰为AB 的中点，F 为抛物线的焦点，则AF BF +=________.【答案】1,02⎛⎫⎪⎝⎭9【解析】抛物线C ：22y x =的焦点1,02F ⎛⎫⎪⎝⎭． 过A 作AM ⊥准线交准线于M ，过B 作BN ⊥准线交准线于N ，过P 作PK ⊥准线交准线 于K ，则由抛物线的定义可得AM BN AF BF +=+． 再根据P 为线段AB 的中点，119(||||)||4222AM BN PK +==+=， ∴9AF BF +=，故答案为：焦点坐标是1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭，9AF BF +=．10.（2019·四川高考模拟（文））抛物线C ：()220x py p =>的焦点为F ，抛物线过点(),1P p .（Ⅰ）求抛物线C 的标准方程与其准线l 的方程；（Ⅱ）过F 点作直线与抛物线C 交于A ，B 两点，过A ，B 分别作抛物线的切线，证明两条切线的交点在抛物线C 的准线l 上.【答案】（Ⅰ）抛物线的标准方程为24x y =，准线l 的方程为1y =-；（Ⅱ）详见解析. 【解析】（Ⅰ）由221p p =⨯，得2p =，所以抛物线的标准方程为24x y =，准线l 的方程为1y =-.（Ⅱ）根据题意直线AB 的斜率一定存在，又焦点()0,1F ，设过F 点的直线方程为1y kx =+，联立241x yy kx ⎧=⎨=+⎩，得，2440x kx --=. 设()11,A x y ，()22,B x y ，则124x x k +=，124x x =-.∴()22221212122168x x x x x x k +=+-=+.由214y x =得，1'2y x =，过A ，B 的抛物线的切线方程分别为 ()()1112221212y y x x x y y x x x ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩， 即21122211241124y x x x y x x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，两式相加，得()()2212121148y x x x x x =+-+，化简，得()221y kx k =-+，即()21y k x k =--， 所以，两条切线交于点()2,1k -，该点显然在抛物线C 的准线l ：1y =-上.1．（2021·全国高考真题）抛物线22(0)y px p =>的焦点到直线1y x =+，则p =（ ） A ．1 B ．2 C ．D ．4【答案】B 【分析】首先确定抛物线的焦点坐标，然后结合点到直线距离公式可得p 的值. 【详解】抛物线的焦点坐标为,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，其到直线10x y -+=的距离：d == 解得：2p =(6p =-舍去). 故选：B.2．（2021·天津高考真题）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点与抛物线22(0)y px p =>的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A ，B 两点，交双曲线的渐近线于C 、D 两点，若|CD AB ．则双曲线的离心率为（ ） A B C ．2D ．3练真题【答案】A 【分析】设公共焦点为(),0c ，进而可得准线为x c =-，代入双曲线及渐近线方程，结合线段长度比值可得2212a c =，再由双曲线离心率公式即可得解. 【详解】设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与抛物线22(0)y px p =>的公共焦点为(),0c ，则抛物线22(0)y px p =>的准线为x c =-，令x c =-，则22221c ya b-=，解得2b y a =±，所以22b AB a =, 又因为双曲线的渐近线方程为b y x a =±，所以2bcCD a=，所以2bc a c ，所以222212a cbc =-=，所以双曲线的离心率ce a== 故选：A.3．（2020·北京高考真题）设抛物线的顶点为O ，焦点为F ，准线为l ．P 是抛物线上异于O 的一点，过P 作PQ l ⊥于Q ，则线段FQ 的垂直平分线（ ）． A ．经过点O B ．经过点P C ．平行于直线OP D ．垂直于直线OP【答案】B 【解析】如图所示：．因为线段FQ 的垂直平分线上的点到,F Q 的距离相等，又点P 在抛物线上，根据定义可知，PQ PF =，所以线段FQ 的垂直平分线经过点P .故选：B.4.（2021·全国高考真题）已知O 为坐标原点，抛物线C ：22y px =(0p >)的焦点为F ，P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，Q 为x 轴上一点，且PQ OP ⊥，若6FQ =，则C 的准线方程为______. 【答案】32x =-【分析】先用坐标表示P Q ，，再根据向量垂直坐标表示列方程，解得p ，即得结果. 【详解】抛物线C ：22y px = (0p >)的焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭,∵P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直， 所以P 的横坐标为2p，代入抛物线方程求得P 的纵坐标为p ±, 不妨设(,)2pP p ,因为Q 为x 轴上一点，且PQ OP ⊥，所以Q 在F 的右侧， 又||6FQ =， (6,0),(6,)2pQ PQ p ∴+∴=- 因为PQ OP ⊥，所以PQ OP ⋅=2602pp ⨯-=, 0,3p p >∴=，所以C 的准线方程为32x =-故答案为：32x =-.5．的直线过抛物线C ：y 2=4x 的焦点，且与C 交于A ，B 两点，则AB =________．【答案】163【解析】∵抛物线的方程为24y x =，∴抛物线的焦点F 坐标为(1,0)F ，又∵直线AB 过焦点F AB 的方程为：1)y x =- 代入抛物线方程消去y 并化简得231030x x -+=， 解法一：解得121,33x x ==所以12116||||3|33AB x x =-=-= 解法二：10036640∆=-=> 设1122(,),(,)A x y B x y ，则12103x x +=, 过,A B 分别作准线1x =-的垂线，设垂足分别为,C D 如图所示.12||||||||||11AB AF BF AC BD x x =+=+=+++1216+2=3x x =+故答案为：1636．（2020·浙江省高考真题）如图，已知椭圆221:12x C y +=，抛物线22:2(0)C y px p =>，点A 是椭圆1C 与抛物线2C 的交点，过点A 的直线l 交椭圆1C 于点B ，交抛物线2C 于M （B ，M 不同于A ）．（Ⅰ）若116=p ，求抛物线2C 的焦点坐标； （Ⅱ）若存在不过原点的直线l 使M 为线段AB 的中点，求p 的最大值．【答案】（Ⅰ）1(,0)32；【解析】 （Ⅰ）当116=p 时，2C 的方程为218y x =，故抛物线2C 的焦点坐标为1(,0)32；（Ⅱ）设()()()112200,,,,,,:A x y B x y M x y I x y m λ=+，由()22222222220x y y my m x y mλλλ⎧+=⇒+++-=⎨=+⎩， 1200022222,,222m m my y y x y m λλλλλλ--∴+===+=+++， 由M 在抛物线上，所以()222222244222m pm mp λλλλλ=⇒=+++， 又22222()220y pxy p y m y p y pm x y mλλλ⎧=⇒=+⇒--=⎨=+⎩， 012y y p λ∴+=，2101022x x y m y m p m λλλ∴+=+++=+，2122222mx p m λλ∴=+-+.由2222142,?22x y x px y px ⎧+=⎪⇒+=⎨⎪=⎩即2420x px +-=12x p ⇒==-222221822228162p p p m p p p λλλλλ+⇒-=+⋅=++≥+，18p ≥，21160p ≤，p ≤ 所以，p，此时A . 法2：设直线:(0,0)l x my t m t =+≠≠，()00,A x y .将直线l 的方程代入椭圆221:12x C y +=得：()2222220m y mty t +++-=，所以点M 的纵坐标为22M mty m =-+.将直线l 的方程代入抛物线22:2C y px =得：2220y pmy pt --=，所以02M y y pt =-，解得()2022p m y m+=，因此()220222p m xm+=，由220012x y +=解得22212242160m m p m m ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以当m t ==p .。

抛物线精选高考真题赏析一、单选题1．2020年全国（Ⅰ）已知A 为抛物线C :y 2=2px （p >0）上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p =（ ）A ．2B ．3C ．6D ．92．2020年全国（Ⅲ）设O 为坐标原点，直线2x =与抛物线C ：22(0)y px p =>交于D ，E 两点，若OD OE ⊥，则C 的焦点坐标为（ ）A ．1,04⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．(1,0) D ．(2,0)3．2018年全国（I 卷）设抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，过点（–2，0）且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，则FM FN ⋅=A ．5B ．6C ．7D ．84．2017年全国（1卷）已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为A ．16B ．14C ．12D ．10.5．2016年全国（1卷）以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点.已知|AB |=，|DE|=，则C 的焦点到准线的距离为 A ．2 B ．4 C ．6 D ．86．2014年全国（Ⅰ）已知抛物线C ：的焦点为F ，准线为，P 是上一点，Q 是直线PF 与C 得一个交点，若4FP FQ =，则（ ） A ． B ． C ． D ．7．2014年全国（Ⅱ卷）设F 为抛物线2:3C y x =的焦点，过F 且倾斜角为30的直线交C 于A ，B 两点，则AB =（ ） A ．303 B ．6C ．12D ．3二、解答题 8．2018年全国（II ）设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于A ，B 两点，||8AB =．（1）求l 的方程；（2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．9．2019年全国（Ⅲ）已知曲线C ：y =22x ，D 为直线y =12-上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为试卷第2页，总2页 A ，B .（1）证明：直线AB 过定点：（2）若以E (0，52)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积.10．2018年全国（I 卷）设抛物线22C y x =：，点()20A ，，()20B -，，过点A 的直线l 与C 交于M ，N 两点．（1）当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程；（2）证明：ABM ABN ∠=∠．11．2017年全国（1卷）设A 、B 为曲线C ：24x y =上两点，A 与B 的横坐标之和为4． （1）求直线AB 的斜率；（2）M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM BM ⊥，求直线AB 的方程．12．（2016新课标全国卷Ⅰ）在直角坐标系xOy 中，直线l :y =t (t ≠0)交y 轴于点M ，交抛物线C ：22(0)y px p =>于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连结ON 并延长交C 于点H . （Ⅰ）求OH ON；（Ⅱ）除H 以外，直线MH 与C 是否有其它公共点？说明理由.13．2019年全国（Ⅲ）已知曲线2:,2x C y D =，为直线12y 上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为,A B .（1）证明：直线AB 过定点： （2）若以50,2E ⎛⎫ ⎪⎝⎭为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求该圆的方程.。

专题14 抛物线目录一览2023真题展现考向一 直线与抛物线真题考查解读近年真题对比考向一 抛物线的性质考向二 直线与抛物线命题规律解密名校模拟探源易错易混速记/二级结论速记考向一 直线与抛物线1．（多选）（2023•新高考Ⅱ•第10题）设O 为坐标原点，直线y =x ﹣1）过抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点，且与C 交于M 两点，l 为C 的准线，则（ ）A ．p ＝2B ．|MN |=83C ．以MN 为直径的圆与l 相切D ．△OMN 为等腰三角形【答案】AC解：直线y =x ﹣1）过抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点，可得p2=1，所以p ＝2，所以A 正确；抛物线方程为：y 2＝4x ，与C 交于M ，N 两点，直线方程代入抛物线方程可得：3x 2﹣10x +3＝0，x M +x N =103，所以|MN |＝x M +x N +p =163，所以B 不正确；M ，N 的中点的横坐标：53，中点到抛物线的准线的距离为：1+53=83，所以以MN 为直径的圆与l 相切，所以C 正确；3x 2﹣10x +3＝0，不妨可得x M ＝3，x N =13，y M ＝﹣x N =|OM ||ON |=|MN |=163，所以△OMN 不是等腰三角形，所以D 不正确．【命题意图】考查抛物线的定义、标准方程、几何性质、直线与抛物线．考查运算求解能力、逻辑推导能力、分析问题与解决问题的能力、数形结合思想、化归与转化思想．【考查要点】抛物线的定义、方程、性质是高考常考内容，以小题出现，常规题，难度中等．【得分要点】一、抛物线的定义平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线．注：①在抛物线定义中，若去掉条件“l 不经过点F ”，点的轨迹还是抛物线吗？不一定是，若点F 在直线l 上，点的轨迹是过点F 且垂直于直线l 的直线．②定义的实质可归纳为“一动三定”一个动点M ；一个定点F (抛物线的焦点)；一条定直线(抛物线的准线)；一个定值(点M到点F 的距离二、抛物线的方程及简单几何性质(p)(p )(p)(p)设直线l ：y ＝kx ＋m ，抛物线：y 2＝2px (p >0)，将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x 的方程k 2x 2＋2(km －p )x ＋m 2＝0.(1)若k ≠0，当Δ>0时，直线与抛物线相交，有两个交点；当Δ＝0时，直线与抛物线相切，有一个交点；当Δ<0时，直线与抛物线相离，没有公共点．(2)若k ＝0，直线与抛物线有一个交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合．注：(1)直线与抛物线有一个公共点是直线与抛物线相切的必要不充分条件．(2)研究直线与抛物线的关系时要注意直线斜率不存在的情况．四、弦长问题过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，那么线段AB 叫做焦点弦，如图：设AB 是过抛物线y 2＝2px (p >0)焦点F 的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝x 1＋x 2＋p .注：(1)x 1·x 2＝p 24.(2)y 1·y 2＝－p 2.(3)|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2p sin 2α(α是直线AB 的倾斜角)．(4)1|AF |＋1|BF |＝2p为定值(F 是抛物线的焦点)．（5）求弦长问题的方法①一般弦长：|AB |x 1－x 2|，或|AB |y 1－y 2|.②焦点弦长：设过焦点的弦的端点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝x 1＋x 2＋p .考向一 抛物线的性质2．（多选）（2022•新高考Ⅱ）已知O 为坐标原点，过抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）焦点F 的直线与C 交于A ，B 两点，其中A 在第一象限，点M （p ，0）．若|AF |＝|AM |，则（ ）A．直线AB的斜率为2B．|OB|＝|OF|C．|AB|＞4|OF|D．∠OAM+∠OBM＜180°【解答】解：如图，∵F（，0），M（p，0），且|AF|＝|AM|，∴A（，），由抛物线焦点弦的性质可得，则，则B（，﹣），∴，故A正确；，|OF|＝，|OB|≠|OF|，故B错误；|AB|＝＞2p＝4|OF|，故C正确；，，，，|OM|＝p，∵|OA|2+|AM|2＞|OM|2，|OB|2+|BM|2＞|OM|2，∴∠OAM，∠OBM均为锐角，可得∠OAM+∠OBM＜180°，故D正确．故选：ACD．3．（2021•新高考Ⅱ）若抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点到直线y＝x+1的距离为，则p＝（ ）A．1B．2C．2D．4【解答】解：抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点（，0）到直线y＝x+1的距离为，可得，解得p＝2．故选：B．4．（2021•新高考Ⅰ）已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，P为C上一点，PF 与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ⊥OP．若|FQ|＝6，则C的准线方程为 ．【解答】解：法一：由题意，不妨设P在第一象限，则P（，p），k OP＝2，PQ⊥OP．所以k PQ＝﹣，所以PQ的方程为：y﹣p＝﹣（x﹣），y＝0时，x＝，|FQ|＝6，所以，解得p＝3，所以抛物线的准线方程为：x＝﹣．法二：根据射影定理，可得|PF|2＝|FO||FQ|，可得p2＝，解得p＝3，因此，抛物线的准线方程为：x＝﹣．故答案为：x＝﹣．考向二直线与抛物线5.（多选）（2022•新高考Ⅰ）已知O为坐标原点，点A（1，1）在抛物线C：x2＝2py（p＞0）上，过点B（0，﹣1）的直线交C于P，Q两点，则（ ）A．C的准线为y＝﹣1B．直线AB与C相切C．|OP|•|OQ|＞|OA|2D．|BP|•|BQ|＞|BA|2【解答】解：∵点A（1，1）在抛物线C：x2＝2py（p＞0）上，∴2p＝1，解得，∴抛物线C的方程为x2＝y，准线方程为，选项A错误；由于A（1，1），B（0，﹣1），则，直线AB的方程为y＝2x﹣1，联立，可得x2﹣2x+1＝0，解得x＝1，故直线AB与抛物线C相切，选项B正确；根据对称性及选项B的分析，不妨设过点B的直线方程为y＝kx﹣1（k＞2），与抛物线在第一象限交于P（x1，y1），Q（x2，y2），联立，消去y并整理可得x2﹣kx+1＝0，则x1+x2＝k，x1x2＝1，，，由于等号在x1＝x2＝y1＝y2＝1时才能取到，故等号不成立，选项C正确；＝，选项D正确．故选：BCD．根据近几年考题推测考查内容抛物线的定义、方程、性质，以小题出现，常规题，难度中等．一．抛物线的标准方程（共1小题）1．（2023•道里区校级二模）已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，且过点（﹣3，3），则此抛物线的标准方程为 ．【解答】解：抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，且过点（﹣3，3），设抛物线y2＝﹣2px，可得9＝6p，所以2p＝3，所以抛物线的标准方程y2＝﹣3x．故答案为：y2＝﹣3x．二．抛物线的性质（共39小题）2．（2023•海淀区一模）已知抛物线y2＝4x的焦点为F，点P在该抛物线上，且P的横坐标为4，则|PF|＝（ ）A．2B．3C．4D．5【解答】解：∵抛物线方程为2＝4x，∴，又点P在该抛物线上，且P的横坐标为4，∴|PF|＝＝5．故选：D．3．（2023•润州区校级二模）图1是世界上单口径最大、灵敏度最高的射电望远镜“中国天眼”——500m 口径抛物面射电望远镜，反射面的主体是一个抛物面（抛物线绕其对称轴旋转所形成的曲面称为抛物面），其边缘距离底部的落差约为156.25米，它的一个轴截面是一个开口向上的抛物线C的一部分，放入如图2所示的平面直角坐标系xOy内，已知该抛物线上点P到底部水平线（x轴）距离为125m，则点P到该抛物线焦点F的距离为（ ）A．225m B．275m C．300m D．350m【解答】解：令抛物线方程为x2＝2py且p＞0，由题设，（250，156.25）在抛物线上，则312.5p＝2502，解得，又P（x P，y P）且y P＝125，则P到该抛物线焦点F的距离为米．故选：A．4．（2023•郑州模拟）抛物线有一条重要性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴，反之，平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线经过该抛物线的焦点．已知抛物线C：x2＝2py（p＞0），一条平行于y轴的光线，经过点A（1，4），射向抛物线C的B处，经过抛物线C的反射，经过抛物线C的焦点F，若|AB|+|BF|＝5，则抛物线C的准线方程是（ ）A．B．y1C．y＝﹣2D．y＝﹣4【解答】解：由题意可知，抛物线的准线方程为，根据抛物线的定义可知，抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离相等，所以，得p＝2，所以抛物线的准线方程为y＝﹣1．故选：B．5．（2023•红山区模拟）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F到准线的距离为4，点M（x1，y1），N （x2，y2）在抛物线C上，若（y1﹣2y2）（y1+2y2）＝48，则＝（ ）A．4B．2C．D．【解答】解：抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F到准线的距离为4，则p＝4，C：y2＝8x，依题意，，而，，故8x1﹣32x2＝48，即8x1+16＝32x2+64，则x1+2＝4（x2+2），故．故选：A．6．（2023•河南模拟）设F为抛物线的焦点，点P在抛物线上，点Q在准线l上，满足PQ∥x轴．若|PQ|＝|QF|，则|PF|＝（ ）A．2B．C．3D．【解答】解：依题意有|PQ|＝|QF|＝|PF|，则△PQF为等边三角形，又PQ∥x轴，所以|PF|＝|PQ|＝4|OF|＝2．故选：A．7．（2023•四川模拟）抛物线C：x2＝4y的焦点为F，直线x﹣y+3＝0与C交于A，B两点，则△ABF的面积为（ ）A．4B．8C．12D．16【解答】解：∵抛物线C：x2＝4y的焦点F为（0，1），又易知直线x﹣y+3＝0与y轴交点P为（0，3），联立，可得x2﹣4x﹣12＝0，解得x1＝﹣2，x2＝6，∴△ABF的面积为＝＝8，故选：B．8．（2023•乌鲁木齐三模）“米”是象形字．数学探究课上，某同学用抛物线C1：y2＝﹣2px（p＞0）和C2：y2＝2px（p＞0）构造了一个类似“米”字型的图案，如图所示，若抛物线C1，C2的焦点分别为F1，F2，点P在抛物线C1上，过点P作x轴的平行线交抛物线C2于点Q，若PF1＝3PQ＝6，则p＝（ ）A．4B．6C．8D．10【解答】解：因为3PQ＝6，即PQ＝2，由抛物线的对称性知x P＝﹣1，由抛物线定义可知，，即，解得p＝10，故选：D．9．（2023•平罗县校级模拟）已知抛物线C：y2＝20x的焦点为F，抛物线C上有一动点P，Q（6，5），则|PF|+|PQ|的最小值为（ ）A．10B．16C．11D．26【解答】解：设抛物线C的准线为l，作PT⊥l于T，由抛物线的定义知|PF|＝|PT|，所以，当P，Q，T三点共线时，|PF|+|PQ|有最小值，最小值为．故选：C．10．（2023•新疆模拟）已知抛物线y2＝2px（p＞0）上任意一点到焦点F的距离比到y轴的距离大1，则抛物线的标准方程为（ ）A．y2＝x B．y2＝2x C．y2＝4x D．y2＝8x【解答】解：抛物线的准线方程为x＝−，根据抛物线的定义可知，抛物线C上任意一点到准线的距离比到y轴的距离大1，则＝1，所以，p＝2，因此，抛物线C的方程为y2＝4x．故选：C．11．（2023•河南模拟）已知抛物线y2＝2px（p＞0）的准线为l，且点A（4，4）在抛物线上，则点A到准线l的距离为（ ）A．5B．4C．3D．2【解答】解：由题意知16＝8p，所以p＝2，所以抛物线方程为y2＝4x，则抛物线的准线l为x＝﹣1，所以点A到抛物线准线的距离为4﹣（﹣1）＝5．故选：A．12．（2023•海淀区校级三模）已知抛物线y＝ax2（a＞0），焦点F到准线的距离为1，若点M在抛物线上，且|MF|＝5，则点M的纵坐标为　．【解答】解：抛物线的标准方程为，其焦点为，准线方程为，由抛物线的焦点F到准线的距离为1，得，可得，所以，抛物线的标准方程为x2＝2y，其准线方程为，设点M（x0，y0），由抛物线的定义可得，解得．故答案为：．13．（2023•3月份模拟）已知点M为抛物线y2＝8x上的动点，点N为圆x2+（y﹣4）2＝5上的动点，则点M到y轴的距离与点M到点N的距离之和最小值为 ．【解答】解：已知点M为抛物线y2＝8x上的动点，点N为圆x2+（y﹣4）2＝5上的动点，由题意可得圆x2+（y﹣4）2＝5的圆心坐标为（0，4），半径为，抛物线y2＝8x的焦点坐标为F（2，0），过M作MQ垂直y轴交y轴于点Q，由抛物线的定义可得|MQ|+|MN|＝|MF|+|MN|﹣2＝＝，当且仅当A、M、N、F共线时取等号，则点M到y轴的距离与点M到点N的距离之和最小值为．故答案为：．14．（2023•兴国县模拟）已知过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F（1，0）的直线与抛物线C交于A，B两点（A在第一象限），以AB为直径的圆E与抛物线C的准线相切于点D．若，O 为坐标原点，则△AOB的面积为（ ）A．B．C．D．4【解答】解：依题意，＝1，可得p＝2，所以抛物线C的方程为y2＝4x．依题意可知DE与抛物线的准线x＝﹣1垂直，在直角三角形ABD中，|AD|＝|BD|，则∠BAD＝，∠ABD＝∠DEB＝∠AFx＝，所以直线AB的方程为y＝（x﹣1），由，消去y并化简得3x2﹣10x+3＝0，易得Δ＞0，x A+x B＝，则|AB|＝x A+x B+p＝+2＝，原点（0，0）到直线x﹣y﹣＝0的距离d＝，所以S＝|AB|•d＝××＝．△AOB故选：B．15．（2023•重庆模拟）已知点P为抛物线y2＝2px（p＞0）上一动点，点Q为圆C：（x+1）2+（y﹣4）2＝1上一动点，点F为抛物线的焦点，点P到y轴的距离为d，若|PQ|+d的最小值为2，则p＝（ ）A．B．p＝1C．p＝2D．p＝4【解答】解：画出图形，如图所示：易知圆C：（x+1）2+（y﹣4）2＝1的圆心C（﹣1，4），半径r＝1，由抛物线的定义可知：点P到y轴的距离d＝|PF|﹣，所以|PQ|+d＝|PQ|+|PF|﹣，由图可知：当C，Q，P，F共线，且P，Q在线段CF之间时，PQ+PF最短，而|CF|＝，故有|PQ|+|PF|﹣＝|CF|﹣r﹣＝2，即，解得：p＝4．故选：D．16．（2023•武昌区校级模拟）已知抛物线和，若C1和C2有且仅有两条公切线l1和l2，l1和C1、C2分别相切于M，N点，l2与C1、C2分别相切于P，Q两点，则线段PQ与MN （ ）A．总是互相垂直B．总是互相平分C．总是互相垂直且平分D．上述说法均不正确【解答】解：抛物线＝（x+1）2﹣1，，两曲线分别是y＝x2经过平移、对称变换得到的，则两曲线的大小与形状相同，且具有中心对称性，∵l1和l2是它们的公切线，l1和C1、C2分别相切于M，N两点，l2和C1、C2分别相切于P，Q两点，∴M，N关于对称中心对称，P，Q关于对称中心对称，线段PQ与MN互相平分．故选：B．17．（2023•武汉模拟）设抛物线y2＝6x的焦点为F，准线为l，P是抛物线上位于第一象限内的一点，过P 作l的垂线，垂足为Q，若直线QF的倾斜角为120°，则|PF|＝（ ）A．3B．6C．9D．12【解答】解：设准线与x轴的交点为M，由题意可知，F（，0），准线l方程为x＝﹣，在Rt△QMF中，∠QFM＝60°，|MF|＝3，∴|QF|＝6，∵PQ垂直于准线l，∴∠PQF＝∠QFM＝60°，由抛物线的性质可知，|PQ|＝|PF，∴△PQF为等边三角形，∴|PF|＝|QF|＝6．故选：B．18．（2023•晋中二模）设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，点M在C上，点N在准线l上且MN平行于x轴，若|NF|＝|MN|，则|MF|＝（ ）A．B．1C．D．4【解答】解：根据题意可得p＝2，∴抛物线焦点F为（1，0），准线l为x＝﹣1，设准线l与x轴的交点为E，如图所示，由题知MN⊥l，由抛物线的定义可知|MN|＝|MF|，因为|NF|＝|MN|，所以△MNF是正三角形，则在Rt△NEF中，因为MN∥EF，所以∠EFN＝∠MNF＝60°，所以|MF|＝|NF|＝2|EF|＝2p＝4．故选：D．19．（2023•湖北模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，A，B是其准线上的两个动点，且FA⊥FB，线段FA，FB分别与抛物线C交于P，Q两点，记△PQF的面积为S1，△ABF 的面积为S2，当时，|AB|＝ ．【解答】解：设l PQ：x＝ky+m，P（x1，y1）、Q（x2，y2），联立直线PQ与抛物线方程得y2﹣4ky﹣4m＝0，则y1+y2＝4k，y1⋅y2＝﹣4m由FA⊥FB可得：，即（x1﹣1）（x2﹣1）＝﹣y1y2，化简得m2﹣6m+1＝4k2，又，则，同理，可得y A y B＝＝﹣4，而，即，所以m＝，k2＝所以|AB|＝|y A﹣y B|＝|+|＝||＝||＝．故答案为：．20．（2023•包河区模拟）已知F为抛物线C：y2＝4x的交点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则|AB|+|DE|的最小值为 ．【解答】解：如图所示，l1⊥l2，直线l1与C交于点A，B，直线l2与C交于点D，E，要使|AB|+|DE|最小，则A与D，B，E关于x轴对称，即直线DE的斜率为1，又直线l2过点（1，0），则直线l2的方程为：y＝x﹣1，联立方程组，整理可得：y2﹣4y﹣4＝0，设D（x1，y1），E（x2，y2），所以y1+y2＝4，y1y2＝﹣4，则|DE|＝＝，所以|AB|+|DE|的最小值为2|DE|＝16，故答案为：16．21．（2023•天山区校级模拟）已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，其准线与x轴的交点为K，过点F的直线与抛物线C相交于A，B两点，若|AF|﹣|BF|＝，则|＝ ．【解答】解：由对称性，不妨设A在第一象限，设θ＝∠AFx，由由角平分线定理．故答案为：2．22．（2023•龙岗区校级一模）已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，PF交C于M，N两点，且满足，则|NF|＝　．【解答】解：抛物线C：y2＝4x，则，准线方程为x＝﹣1，由于，所以F是MP的中点，设P（﹣1，t），而F（1，0），所以M（3，﹣t），将M点坐标代入抛物线方程得t2＝12，不妨设，则．设，由于M，N，F三点共线，所以，整理得，解得舍去），所以，所以．故答案为：．23．（2023•江西模拟）用于加热水和食物的太阳灶应用了抛物线的光学性质：一束平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物面（抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲而叫抛物面）的反射后，集中于它的焦点．用一过抛物线对称轴的平面截抛物面，将所截得的抛物线C放在平面直角坐标系中，对称轴与x轴重合，顶点与原点重合，如图，若抛物线C的方程为y2＝8x，平行于x轴的光线从点M（12，2）射出，经过C 上的点A反射后，再从C上的另一点B射出，则|MB|＝（ ）A．6B．8C．D．29【解答】解：由M（12，2），可得A的纵坐标为2，设A（m，2），则4＝8m，解得，由题意反射光线经过抛物线y2＝8x的焦点（2，0），所以直线AB的方程为，整理可得，由，消去y整理得2x2﹣17x+8＝0，解得，x2＝8，则，所以B（8，﹣8），所以．故选：C．24．（2023•平江县校级模拟）已知抛物线C：y2＝4x，焦点为F，点M是抛物线C上的动点，过点F作直线（a﹣1）x+y﹣2a+1＝0的垂线，垂足为P，则|MF|+|MP|的最小值为（ ）A．B．C．5D．3【解答】解：∵抛物线C的方程为y2＝4x，∴F（1，0），抛物线C的准线方程为x＝﹣1，∵方程（a﹣1）x+y﹣2a+1＝0可化为y﹣1＝（1﹣a）（x﹣2），∴（a﹣1）x+y﹣2a+1＝0过定点B（2，1），设P（x，y），设F，B的中点为A，则，因为FP⊥BP，P为垂足，∴，所以，即点P的轨迹为以A为圆心，半径为的圆，过点M作准线x＝﹣1的垂线，垂足为M1，则|MM1|＝|MF|，∴|MF|+|MP|＝|MM1|+|MP|，又，当且仅当M，P，A三点共线且P在M，A之间时等号成立，∴，过点A作准线x＝﹣1的垂线，垂足为A1，则，当且仅当A1，M，A三点共线时等号成立，∴，当且仅当A1，M，P，A四点共线且P在M，A之间时等号成立，所以|MF|+|MP|的最小值为，故选：A．25．（2023•张家口三模）已知F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F的直线l交抛物线C于A，B两点，若|AF|＝λ|BF|＝λ，则λ＝（ ）A．1B．C．3D．4【解答】解：如图，过A作AA1准线于A1，过B作BB1准线于B1，由抛物线C：y2＝3x的焦点，准线方程为，由抛物线的定义可得，所以，代入抛物线方程得，若，直线AB的斜率为，则直线AB方程为，即，联立，得16x2﹣40x+9＝0，则，所以，则；若，直线AB的斜率为，则直线AB方程为，即，联立，得16x2﹣40x+9＝0，则，所以，则；综上，λ＝3．故选：C．26．（2023•商丘三模）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的准线为l：x＝﹣1，焦点为F，过点F的直线与抛物线交于P（x1，y1），Q（x2，y2）两点，点P在l上的射影为P1，则下列结论错误的是（ ）A．若x1+x2＝5，则|PQ|＝7B．以PQ为直径的圆与准线l相切C．设M（0，1），则|PM|+|PP1|≥D．过点M（0，1）与抛物线C有且仅有一个公共点的直线至多有2条【解答】解：因为抛物线C：y2＝2px（p＞0）的准线为l：x＝﹣1，所以，即p＝2，所以抛物线C的方程为y2＝4x，焦点F（1，0），若直线的斜率存在，设y＝k（x﹣1），由，消去y，整理得k2x2﹣（2k2+4）x+k2＝0，所以，x1x2＝1，对于A选项：若x1+x2＝5，则|PQ|＝x1+x2+2＝7，故A选项正确；对于B选项：取PQ的中点N，N在l上的投影为N′，Q在l的投影为Q′，根据抛物线的性质|PP1|＝|PF|，|QQ′|＝|QF|，NN′为梯形的中位线，故，故B选项正确；对于C选项：M（0，1），，故C选项正确；对于D选项：过M（0，1）且与抛物线相切的直线有两条，过M（0，1）且与x轴平行的直线与抛物线相交有且有一个交点，所以至多有三条，故D选项错误．故选：D．27．（2023•徐汇区校级三模）已知抛物线C：x2＝﹣2py（p＞0）的焦点F与的一个焦点重合，过焦点F的直线与C交于A，B两不同点，抛物线C在A，B两点处的切线相交于点M，且M的横坐标为4，则弦长|AB|＝（ ）A．16B．26C．14D．24【解答】解：由题意可得，F（0，﹣2），则p＝4，抛物线C的方程为x2＝﹣8y．设直线AB的方程为y＝kx﹣2，A（x1，y1），B（x2，y2），其中y1＝﹣，y2＝﹣，由y＝﹣，得y′＝﹣．∴在点A处的切线方程为y﹣y1＝﹣（x﹣x1），化简得y＝﹣x+，①同理可得在点B处的切线为y＝﹣x+，②联立①②得x M＝，由M的横坐标为4，得x1+x2＝8．将AB的方程代入抛物线方程，可得x2+8kx﹣16＝0．∴x1+x2＝﹣8k＝8，得k＝﹣1．∴y1+y2＝k（x1+x2）﹣4＝﹣1×8﹣4＝﹣12．得|AB|＝p﹣（y1+y2）＝4﹣（﹣12）＝16．故选：A．28．（2023•琼海校级模拟）已知抛物线y2＝2px（p＞0）上的点到其焦点的距离为4，则p＝（ ）A．1B．2C．3D．4【解答】解：因为点在y2＝2px（p＞0）上，所以4p＝2pm，得到m＝2，又点到其焦点的距离为4，根据抛物线定义知，得到p＝4，故选：D．29．（2023•沙坪坝区校级二模）已知抛物线y2＝4x的准线过双曲线的左焦点，点P为双曲线的渐近线和抛物线的一个公共点，若P到抛物线焦点的距离为5，则双曲线的方程为（ ）A．B．C．x2﹣y2＝2D．2x2﹣2y2＝1【解答】解：由题意知，抛物线y2＝4x的准线方程为x＝﹣1，所以双曲线的左焦点坐标为（﹣1，0），所以双曲线的c＝1．又因为点P为双曲线的渐近线和抛物线的一个公共点，若P到抛物线焦点的距离为5，所以x P+1＝5，所以x P＝4，代入抛物线方程即可得P（4，4）．因为P（4，4）在双曲线的渐近线方程上，所以a＝b，又因为双曲线中，c2＝a2+b2，所以，所以双曲线的方程为：2x2﹣2y2＝1．故选：D．30．（2023•浙江模拟）已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线l过焦点F与C交于A，B两点，以AB为直径的圆与y轴交于D，E两点，且，则直线l的斜率为（ ）A．B．±1C．±2D．【解答】解：设|AB|＝2r（2r≥4），AB的中点为M，MN⊥y轴于点N，过A，B作准线x＝﹣1的垂线，垂足分别为A1，B1，如图所示．由抛物线的定义知2（|MN|+1）＝|AA1|+|BB1|＝|AF|+|BF|＝|AB|＝2r，则|MN|＝r﹣1，所以，即16r2﹣50r+25＝0，解得或（舍去），故M的横坐标为．设直线l：y＝k（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2），将y＝k（x﹣1）代人y2＝4x，得k2x2﹣（2k2+4）x+k2＝0，则，解得k＝±2．故选：C．31．（2023•香洲区校级模拟）首钢滑雪大跳台是冬奥史上第一座与工业旧址结合再利用的竞赛场馆，它的设计创造性地融入了敦煌壁画中飞天的元素，建筑外形优美流畅，飘逸灵动，被形象地称为雪飞天．中国选手谷爱凌和苏翊鸣分别在此摘得女子自由式滑雪大跳台和男子单板滑雪大跳台比赛的金牌．雪飞天的助滑道可以看成一个线段PQ和一段圆弧组成，如图所示．假设圆弧所在圆的方程为C：（x+25）2+（y﹣2）2＝162，若某运动员在起跳点M以倾斜角为45o且与圆C相切的直线方向起跳，起跳后的飞行轨迹是一个对称轴在y轴上的抛物线的一部分，如下图所示，则该抛物线的轨迹方程为（ ）A．y2＝﹣32（x﹣1）B．C．x2＝﹣32（y﹣1）D．x2＝﹣36y+4【解答】解：∵某运动员在起跳点M以倾斜角为45o且与圆C相切的直线方向起跳，∴k CM＝﹣1，∴直线CM所在的方程为：y﹣2＝﹣（x+25），代入（x+25）2+（y﹣2）2＝162，解得或（舍），∴点M的坐标为（﹣16，﹣7）．设抛物线方程为：y＝ax2+c，则y′＝2ax|x＝﹣16＝﹣32a＝1，∴，又，解得c＝1，∴该抛物线的轨迹方程为．故选：C．32．（2023•武功县校级模拟）已知点F为抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，过点F且倾斜角为60°的直线交抛物线C于A，B两点，若|FA|•|FB|＝3，则p＝　．【解答】解：由题意知F（，0），AB的方程为y＝（x﹣），代入C的方程，得3x2﹣5px+＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2＝，x1x2＝；因为|FA|＝+x1，|FB|＝+x2，且|FA|⋅|FB|＝3，所以（+x1）（+x2）＝3，整理得以+•（x1+x2）+x1x2＝3，所以+•+＝3，结合p＞0，解得p＝．故答案为：．33．（2023•招远市模拟）设抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点D（p，0），过点F的直线交C 于M，N两点，直线MD垂直x轴，|MF|＝3，则|NF|＝　．【解答】解：由题意得，因为直线MD垂直于x轴，D（p，0），准线方程为，所以M点的横坐标为p，设M（x1，y1），N（x2，y2），根据抛物线的定义知，解得p＝2，则C：y2＝4x，则F（1，0），可设直线MN的方程为x﹣1＝my，联立抛物线方程有可得y2﹣4my﹣4＝0，Δ＝16m2+16＞0，y1y2＝﹣4，则，则32x2＝16，解得，则．故答案为：．34．（2023•武昌区校级模拟）已知直线l与抛物线C：y2＝4x交于A，B两点（与坐标原点O均不重合），且OA⊥OB，抛物线的焦点为F，记△AOB、△AOF、△BOF的面积分别为S1，S2，S3，若满足S1＝6S2+3S3，则直线l的方程为　．【解答】解：由已知可设直线OA方程为y＝kx，又OA⊥OB，OB方程为，由，解得，由，解得B（4k2，﹣4k），，，令y＝0，得x＝4，∴直线l与x轴交点M（4，0），，．，∵S1＝6S2+3S3，∴，解得，，∴直线l的方程，即或．35．（2023•保定三模）设O为坐标原点，点A（2，4），B在抛物线y2＝2px（p＞0）上，F为焦点，M是线段BF上的点，且，则当直线OM的斜率最大时，点F到OM的距离为（ ）A．B．C．D．【解答】解：∵A（2，4）在抛物线y2＝2px（p＞0）上，∴p＝2，则抛物线方程为y2＝8x，求得F（2，0），设M（x0，y0），当y0＜0时，k OM＜0，当y0＞0时，k OM＞0．则要求直线OM的斜率的最大值，有y0＞0．设B（m，n），∵，∴（x0﹣m，y0﹣n）＝2（2﹣x0，﹣y0），则，∵B在抛物线上，∴n2＝8m，得9＝8（3x0﹣4），即，∵y0＞0，∴＝，当且仅当，即时等号成立，故直线OM的斜率的最大值为，此时直线OM的方程为，则点F到OM的距离为．故选：D．36．（2023•湖北模拟）已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，过点F的直线与该抛物线交于A，B两点，的中点纵坐标为，则p＝　．【解答】解：设过抛物线y2＝2px（p＞0）焦点F的直线交抛物线于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，AB 的中点纵坐标为y0＝，抛物线的焦点为F（，0），直线l的斜率不为零，可设直线l的方程：x＝my+，由，得（y1﹣y2）（y1+y2）＝2p（x1﹣x2），所以＝＝＝＝，所以直线l的方程为x＝y+，所以AB中点的横坐标为x0＝×+＝，所以|AB|＝x1+x2+p＝2x0+p＝2×+p＝5，2p2﹣5p+4＝0，解得p＝2或p＝．故答案为：2或．37．（多选）（2023•道里区校级四模）已知A，B是抛物线C：y2＝6x上的两动点，F是抛物线的焦点，下列说法正确的是（ ）A．直线AB过焦点F时，以AB为直径的圆与C的准线相切B．直线AB过焦点F时，|AB|的最小值为6C．若坐标原点为O，且OA⊥OB，则直线AB过定点（3，0）D．若直线AB过焦点F，AB中点为P，过P向抛物线的准线作垂线，垂足为Q，则直线AQ与抛物线相切【解答】解：∵抛物线C方程为：y2＝6x，∴2p＝6，∴p＝3，∴＝，∴焦点F（，P），准线l为：x＝，对A，B，D选项，∵直线AB过焦点F，∴设直线AB方程为x＝my+，设A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中点P为（x0，y0），联立，可得y2﹣6my﹣9＝0，∴，∴，∴|AB|＝x1+x2+p＝6m2+3+3＝6（m2+1）≥6，（当且仅当m＝0时取等），∴B选项正确；又P到准线l的距离d＝＝＝3（m2+1）＝|AB|，∴以AB为直径的圆与C的准线相切，∴A选项正确；若直线AB过焦点F，AB中点为P，过P向抛物线的准线作垂线，垂足为Q，则Q（，3m），∴＝，又，∴3m＝，∴＝，对y2＝6x两边关于x求导可得：2yy′＝6，∴，抛物线C：y2＝6x在A（x1，y1）处的切线斜率为＝k AQ，∴直线AQ与抛物线相切，∴D选项正确；对C选项，设AB直线为x＝my+t，（t≠0），联立，可得y2﹣6my﹣6t＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，∴，又OA⊥OB，∴，即（x1，y1）•（x2，y2）＝0，∴x1x2+y1y2＝0，∴t2﹣6t＝0，又t≠0，∴t＝6，∴AB直线为x＝my+6，∴直线AB过定点（6，0），∴C选项错误．故选：ABD．38．（2023•河南模拟）已知点P（1，a）（a＞1）在抛物线C：y2＝2px（p＞0）上，过P作圆（x﹣1）2+y2＝1的两条切线，分别交C于A，B两点，且直线AB的斜率为﹣1，若F为C的焦点，点M（x，y）为C上的动点，点N是C的准线与坐标轴的交点，则的最大值是（ ）A．B．2C．D．【解答】解：由题意可知，过P所作圆的两条切线关于直线x＝1对称，所以k PA+k PB＝0．设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x P，y P），则，同理可得，，则，得，所以y1+y2＝﹣2y P，由，得y P＝p．将（1，p）代入抛物线C的方程，得p2＝2p，解得p＝2，故抛物线C的方程为y2＝4x．设∠MNF＝θ，作MM1垂直准线于M1，由抛物线的性质可得|MM1|＝|MF|，所以，当cosθ最小时，的值最大，所以当直线MN与抛物线C相切时，θ最大，即cosθ最小．由题意可得N（﹣1，0），设切线MN的方程为x＝my﹣1，联立方程组消去x，得y2﹣4my+4＝0，由Δ＝16m2﹣16＝0，可得m＝±1，将m＝±1代入y2﹣4my+4＝0，可得y＝±2，所以x＝1，即M的坐标为（1，±2），所以，|MM1|＝1﹣（﹣1）＝2，所以的最大值为．故选：A．39．（2023•达州模拟）点A（x0，y0）（x0＞1，y0＜0），B，C均在抛物线y2＝4x上，若直线AB，AC分别经过两定点（﹣1，0），M（1，4），则BC经过定点N．直线BC，MN分别交x轴于D，E，O为原点，记|OD|＝a，|DE|＝b，则的最小值为（ ）A．B．C．D．【解答】解：如图，由题易知直线AB，AC斜率均存在，设直线AB方程为，由，消x得，即，由韦达定理得，所以，代入y2＝4x，得到，所以，设直线方程为，由，消x得，即，由韦达定理得，所以，又因为，所以，代入y2＝4x，得到，所以，所以直线BC的斜率为，所以BC的方程为，即所以，即，故直线BC过定点N（1，1），令y＝0，得到，所以，所以，又因为x0＞1，y0＜0，所以，所以，又|OD|＝a，|DE|＝b，所以，又由柯西不等式知，当且仅当，即时，取等号，所以，即．故选：D．40．（2023•鲤城区校级模拟）已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过点F的直线l交抛物线于A，B两点，以线段AB为直径的圆交y轴于M，N两点，设线段AB的中点为P，O为坐标原点，则sin∠PMN的最小值为 ．【解答】解：由y2＝4x得F（1，0），由题意知直线l的斜率不为0，所以设直线l的方程为x＝my+1，A（x1，y1），B（x2，y2），联立，消去x得y2﹣4my﹣4＝0，则由韦达定理得，所以，所以|AB|＝x1+x2+p＝4m2+4，所以|PM|＝＝2m2+2，又P点到y轴的距离d＝＝2m2+1，所以sin∠PMN＝＝＝1﹣，所以当m＝0时，sin∠PMN取得最小值．故答案为：．三．直线与抛物线的综合（共20小题）41．（2023•遂宁模拟）已知定点D（2，0），直线l：y＝k（x+2）（k＞0）与抛物线y2＝4x交于两点A，B，若∠ADB＝90°，则|AB|＝（ ）A．4B．6C．8D．10【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，由题意得Δ＞0，故，则，又，则x1x2﹣2（x1+x2）+y1y2+4＝0，即，解得，则，则．故选：C．42．（2023•贵州模拟）已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，过F的直线l与抛物线C交于A，B两点，若A （1，2），则|AB|＝（ ）A．9B．7C．6D．5【解答】解：由题意直线l的斜率必存在，抛物线C：y2＝8x的焦点为F（2，0），设直线l：y＝k（x﹣2），则，得k2x2﹣（4k2+8）x+4k2＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2＝，x1x2＝4，又A（1，2），则x1＝1，x24，k2＝8，|AB|＝•＝3×3＝9．故选：A．43．（2023•黄州区校级三模）抛物线C：y2＝2px的准线与x轴交于点M，过C的焦点F作斜率为2的直线交C于A、B两点，则tan∠AMB＝（ ）A．B．C．D．不存在【解答】解：抛物线C：y2＝2px的焦点F（，0），M（﹣，0），可知AB方程y＝2（x﹣），AB的方程与y2＝2px联立，消去y可得4x2﹣6px+p2＝0，可得x＝或，∴A（，），B（，），∴k AM＝＝，k BM＝﹣，∴tan∠AMB＝＝＝4．故选：C．44．（2023•深圳模拟）已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，直线l：y＝k（x+1）与C交于A，B两点（A 在B的左边），则4|AF|+|BF|的最小值是（ ）A．10B．9C．8D．5【解答】解：由题知C的焦点，F（1，0），准线为x＝﹣1，如图，作AM⊥准线，BN⊥准线，l：y＝k （x+1）过定点（﹣1，0），设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，得k2（x2+2x+1）﹣4x＝0，即k2x2+（2k2﹣4）x+k2＝0，∴，又∵|AF|＝|AM|＝x1+1，|BF|＝|BN|＝x2+1，∴，当且仅当4x1＝x2时取等，故选：B．45．（2023•万州区校级模拟）过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F，作倾斜角为的直线l交C于A，B两点，交C的准线于点M，若（O为坐标原点），则线段AB的长度为（ ）A．8B．16C．24D．32【解答】解：抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F（，0），作倾斜角为的直线l：y＝（x﹣），抛物线的准线方程为x＝﹣，可得M（﹣，），又，可得＝，解得p＝4，，消去y可得x2﹣28x+4＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），可得x1+x2＝28，所以|AB|＝x1+x2+p＝28+4＝32．故选：D．46．（2023•茂名二模）已知抛物线y2＝6x的焦点为F，准线为l，过F的直线与抛物线交于点A、B，与直线l交于点D，若且，则λ＝ ．【解答】解：设准线与x轴的交点为K，作AA1⊥l，BB1⊥l，垂足分别为A1，B1，则BB1∥FK∥AA1．根据抛物线定义知|BB1|＝|BF|，|AA1|＝|AF|，又若，且，因为BB1∥FK∥AA1，设|BF|＝m，则，∴，又p＝3，解得m＝2，∴|AF|＝λ|FB|＝2λ，所以|BA|＝2+2λ，因为BB1∥FK∥AA1，所以，∴，解得λ＝3．故答案为：3．47．（2023•昆明一模）已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，经过抛物线上一点P，作斜率为的直线交C 的准线于点Q，R为准线上异于Q的一点，当∠PQR＝∠PQF时，|PF|＝ ．【解答】解：不妨令R为过P点垂直于准线的垂足，又∠PQR＝∠PQF，即QF为∠FQR角平分线，Q是斜率为的直线与抛物线准线的交点，则P在第一象限内，而PR⊥QR，且|PR|＝|PF|，根据角平分线性质知：PF⊥QF，如上图示，令且m＞0，则直线PQ为，令x＝﹣1，则，由，整理可得3m3﹣8m2+12m﹣32＝（m2+4）（3m﹣8）＝0，则，故故答案为：．48．（2023•江西二模）2022北京冬奥会顺利召开，滑雪健将谷爱凌以2金1银的优秀成绩书写了自己的传奇，现在她从某斜坡上滑下，滑过一高度不计的滑板后落在另一斜坡上，若滑板与水平地面夹角的正切值为，斜坡与水平地面夹角的正切值为，那么她最后落在斜坡上速度与水平地面夹角的正切值为（ ）（不计空气阻力和摩擦力）A．3B．C．D．4。

第三节 抛物线高考试题考点一 抛物线的定义和标准方程1.(2010年陕西卷,理8)已知抛物线y 2=2px(p>0)的准线与圆x 2+y 2-6x-7=0相切,则p 的值为( )(A)12(B)1 (C)2(D)4 解析:圆x 2+y 2-6x-7=0化为标准方程为(x-3)2+y 2=16,∴圆心为(3,0),半径是4,抛物线y 2=2px(p>0)的准线是x=-2p , ∴3+2p=4, 又p>0,解得p=2.故选C. 答案:C2.(2011年辽宁卷,理3)已知F 是抛物线y 2=x 的焦点,A,B 是该抛物线上的两点,|AF|+|BF|=3,则线段AB 的中点到y 轴的距离为( )(A)34 (B)1 (C)54 (D)74解析:∵|AF|+|BF|=x A +x B +12=3, ∴x A +x B =52. ∴线段AB 的中点到y 轴的距离为2A Bx x =54.故选C. 故选C. 答案:C3.(2012年四川卷,理8)已知抛物线关于x 轴对称,它的顶点在坐标原点O,并且经过点M(2,y 0).若点M 到该抛物线焦点的距离为3,则|OM|等于( )(A)22 (B)23(C)4 (D)25解析:由题意设抛物线方程为y 2=2px(p>0),则M 到焦点的距离为x M +2p =2+2p=3,∴p=2,∴y 2=4x.∴20y =4×2,∴|OM|=204y +=48+=23.故选B.答案:B4.(2010年上海卷,理3)动点P 到点F(2,0)的距离与它到直线x+2=0的距离相等,则点P 的轨迹方程是.解析:由抛物线的定义知,点P 的轨迹是以F 为焦点,定直线x+2=0为准线的抛物线,故其标准方程为y 2=8x. 答案:y 2=8x5.(2012年陕西卷,理13)如图所示是抛物线形拱桥,当水面在l 时,拱顶离水面2 m,水面宽4 m.水位下降 1 m 后,水面宽m.解析:建立如图所示的平面直角坐标系,设抛物线方程为x 2=-2py(p>0),则A(2,-2),将其坐标代入 x 2=-2py,得p=1.∴x 2=-2y.当水面下降1 m,得D(x 0,-3)(x 0>0),将其坐标代入x 2=-2y 得20x =6,∴x 06,∴水面宽6 m. 答案66.(2010年浙江卷,理13)设抛物线y 2=2px(p>0)的焦点为F,点A(0,2),若线段FA 的中点B 在抛物线上,则B 到抛物线准线的距离为.解析:由已知得B 点的纵坐标为1,横坐标为4p ,即B ,14p ⎛⎫ ⎪⎝⎭,将其代入y 2=2px 得1=2p ×4p ,解得则B点到准线的距离为2p +4p =34答案考点二 抛物线的几何性质及其应用1.(2011年四川卷,理10)在抛物线y=x 2+ax-5(a ≠0)上取横坐标为x 1=-4,x 2=2的两点,过这两点引一条割线,有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆5x 2+5y 2=36相切,则抛物线顶点的坐标为( )(A)(-2,-9)(B)(0,-5) (C)(2,-9) (D)(1,-6)解析:当x 1=-4时,y 1=11-4a;当x 2=2时,y 2=2a-1,所以割线的斜率k=1142142a a --+--=a-2.设直线与抛物线的切点横坐标为x 0,由y ′=2x+a 得切线斜率为2x 0+a,∴2x 0+a=a-2,∴x 0=-1. ∴直线与抛物线的切点坐标为(-1,-a-4),切线方程为y+a+4=(a-2)(x+1), 即(a-2)x-y-6=0.圆5x 2+5y 2=36的圆心到切线的距离.=,即(a-2)2+1=5.又a ≠0,∴a=4,此时y=x 2+4x-5=(x+2)2-9,顶点坐标为(-2,-9).故选A.答案:A2.(2009年四川卷,理9)已知直线l 1:4x-3y+6=0和直线l 2:x=-1,抛物线y 2=4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( )(A)2 (B)3(C)115(D)3716解析:如图所示,动点P 到l 2:x=-1的距离可转化为点P 到点F 的距离.由图可知,距离和的最小值即F 到直线l 1的距离=2.故选A.答案:A3.(2009年福建卷,理13)过抛物线y 2=2px(p>0)的焦点F 作倾斜角为45°的直线交抛物线于A 、B 两点,若线段AB 的长为8,则p=.解析:∵F 02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，,∴设AB:y=x-2p ,与y 2=2px 联立,得x 2-3px+24p =0.∴x A +x B =3p.∴|AB|=x A +x B +p=4p=8,得p=2. 答案:24.(2010年大纲全国卷Ⅱ,理15)已知抛物线C:y 2=2px(p>0)的准线为l,过M(1,0)且斜率为3的直线与l 相交于点A,与C 的一个交点为B,若AM =MB ,则p=.解析:如图所示,由AB 的斜率为3,知∠α=60°, 又AM =MB , ∴M 为AB 的中点.过点B 作BP 垂直准线l 于点P, 则∠ABP=60°,∴∠BAP=30°.∴|BP|=12|AB|=|BM|, ∴M 为焦点,即2p=1,∴p=2. 答案:2考点三直线与抛物线位置关系1.(2013年大纲全国卷,理11)已知抛物线C:y2=8x与点M(-2,2),过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A、B两点,若MA·MB=0,则k等于( )(A)12(B)22(C)2 (D)2解析:法一设直线方程为y=k(x-2),A(x1,y1)、B(x2,y2),由()22,8,y k xy x⎧=-⎪⎨=⎪⎩得k2x2-4(k2+2)x+4k2=0,∴x1+x2=()2242kk+,x1x2=4,由MA·MB=0,得(x1+2,y1-2)·(x2+2,y2-2)=(x1+2)(x2+2)+[k(x1-2)-2][k(x2-2)-2]=0,代入整理得k2-4k+4=0,解得k=2.故选D.法二如图所示,设F为焦点,取AB中点P,过A、B分别作准线的垂线,垂足分别为G、H,连接MF,MP,由MA ·MB =0, 知MA ⊥MB,则|MP|=12|AB|=12(|AG|+|BH|), 所以MP 为直角梯形BHGA 的中位线, 所以MP ∥AG ∥BH, 所以∠GAM=∠AMP=∠MAP, 又|AG|=|AF|, |AM|=|AM|, 所以△AMG ≌△AMF, 所以∠AFM=∠AGM=90°,则MF ⊥AB,所以k=-1MFk =2.答案:D2.(2010年辽宁卷,理7)设抛物线y 2=8x 的焦点为F,准线为l,P 为抛物线上一点,PA ⊥l,A 为垂足,如果直线AF 的斜率为-3,那么|PF|等于( )(A)43(B)8 (C)83(D)16解析:如图所示,直线AF 的方程为y=-3(x-2),与准线方程x=-2联立得A(-2,43).设P(x 03),代入抛物线y 2=8x,得8x0=48,∴x0=6,∴|PF|=x0+2=8,选B.答案:B3.(2012年安徽卷,理9)过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A,B两点,O为坐标原点.若|AF|=3,则△AOB的面积为( )(A)2(B)2(C)32(D)22解析:如图所示,由题意知,抛物线的焦点F的坐标为(1,0),又|AF|=3,由抛物线定义知:点A到准线x=-1的距离为3,∴点A的横坐标为2.将x=2代入y2=4x得y2=8,由图知点A的纵坐标2∴2∴直线AF的方程为2联立直线与抛物线的方程) 2221,4,y xy x⎧=-⎪⎨=⎪⎩解之得1,22xy⎧=⎪⎨⎪=-⎩或2,2 2.xy=⎧⎪⎨=⎪⎩由图知B1,22⎛-⎝,∴S△AOB=12|OF|·|y A-y B|=12×1×22322故选C.答案:C4.(2009年天津卷,理9)设抛物线y 2=2x 的焦点为F,过点M(3,0)的直线与抛物线相交于A,B 两点,与抛物线的准线相交于点C,|BF|=2,则△BCF 与△ACF 的面积之比BCFCFS S △△A 等于( ) (A)45(B)23(C)47(D)12解析:如图所示,设过点M(3,0)的直线方程为y=k(x-3),代入y 2=2x 并整理,得k 2x 2-(23k 2+2)x+3k 2=0,设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2), 则x 1+x 22232k +,x 1x 2=3,因为|BF|=2,所以|BB ′|=2,∴x 2=2-12=32, 从而x 1=23x =2. 设点F 到直线AC 的距离为d,则BCF CF S S △△A =1212BC d AC d ⋅⋅=BC BB ACAA '='=2122+=45. 故选A. 答案:A5.(2009年大纲全国卷Ⅱ,理9)已知直线y=k(x+2)(k>0)与抛物线C:y 2=8x 相交于A 、B 两点,F 为C 的焦点,若|FA|=2|FB|,则k 等于( )(A)13(B)23 (C)23(D)223解析:将y=k(x+2)代入y 2=8x,得k 2x 2+(4k 2-8)x+4k 2=0.设交点的横坐标分别为x A ,x B ,则x A +x B =28k -4,①x A ·x B =4.又|FA|=x A +2,|FB|=x B +2, |FA|=2|FB|, ∴2x B +4=x A +2. ∴x A =2x B +2.②∴将②代入①得x B =283k -2,x A =2163k -4+2=2163k -2.故x A ·x B =228162233k k ⎛⎫⎛⎫--⎪⎪⎝⎭⎝⎭=4. 解之得k 2=89.而k>0,∴k=3,满足Δ>0.故选D.答案:D6.(2013年安徽卷,理13)已知直线y=a 交抛物线y=x 2于A,B 两点.若该抛物线上存在点C,使得∠ACB 为直角,则a 的取值范围为.解析:设直线y=a 与y 轴交于点M,抛物线y=x 2上要存在C 点,使得∠ACB 为直角,只要以|AB|为直径的圆与抛物线y=x 2有交点即可,也就是使|AM|≤|MO|,a(a>0),所以a ≥1.答案:[1,+∞)7.(2012年重庆卷,理14)过抛物线y 2=2x 的焦点F 作直线交抛物线于A,B 两点,若|AB|=2512,|AF|<|BF|,则|AF|=.解析:由于y 2=2x 的焦点坐标为1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭,设AB 所在直线的方程为y=k 12x ⎛⎫- ⎪⎝⎭,A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),x 1<x 2,将y=k 12x ⎛⎫- ⎪⎝⎭代入y 2=2x,得k 2212x ⎛⎫- ⎪⎝⎭=2x,∴k 2x 2-(k 2+2)x+24k =0.∴x 1x 2=14. 而x 1+x 2+p=x 1+x 2+1=2512, ∴x 1+x 2=1312. ∴x 1=13,x 2=34.∴|AF|=x 1+2p =13+12=56. 答案:568.(2010年重庆卷,理14)已知以F 为焦点的抛物线y 2=4x 上的两点A 、B 满足AF =3FB ,则弦AB 的中点到准线的距离为.解析:F 的坐标为(1,0). 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2), ∵AF =3FB ,∴(1-x 1,-y 1)=3(x 2-1,y 2), ∴1-x 1=3x 2-3, 且-y 1=3y 2, 即x 1+3x 2=4,y 1=-3y 2. 设直线AB 的方程为y=k(x-1), AB 中点为P(x 0,y 0).由()24,1,y x y k x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩得ky 2-4y-4k=0. ∴y 1y 2=-4.∴21y =12,22y =43. ∴x 1=3,x 2=13.∴x 0=122x x +=53. ∴中点P 到准线x=-1的距离d=53-(-1)=83. 答案:839.(2012年辽宁卷,理15)已知P,Q 为抛物线x 2=2y 上两点,点P,Q 的横坐标分别为4,-2,过P,Q 分别作抛物线的切线,两切线交于点A,则点A 的纵坐标为.解析:y=12x 2,y ′=x, 由题意P(4,8),k 1=y ′|x=4=4, 切线为y=4x-8, Q(-2,2),k 2=y ′|x=-2=-2, 切线为y=-2x-2.由48,22y x y x =-⎧⎨=--⎩得A(1,-4). 答案:-410.(2012年北京卷,理12)在直角坐标系xOy 中,直线l 过抛物线y 2=4x 的焦点F,且与该抛物线相交于A,B 两点,其中点A 在x 轴上方,若直线l 的倾斜角为60°,则△OAF 的面积为.解析:∵抛物线y 2=4x,∴焦点F 的坐标为(1,0). 又∵直线l 倾斜角为60°,∴直线方程为(x-1).联立方程)21,4,y x y x ⎧-⎪⎨=⎪⎩解得111,3x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或223,x y =⎧⎪⎨=⎪⎩由已知得A 的坐标为),∴S △OAF =12|OF|·|y A |=12×1×答案11.(2012年新课标全国卷,理20)设抛物线C:x 2=2py(p>0)的焦点为F,准线为l,A 为C 上一点,已知以F 为圆心,FA 为半径的圆F 交l 于B,D 两点.(1)若∠BFD=90°,△ABD 的面积为求p 的值及圆F 的方程;(2)若A,B,F 三点在同一直线m 上,直线n 与m 平行,且n 与C 只有一个公共点,求坐标原点到m,n 距离的比值.解:(1)由已知可得△BFD 为等腰直角三角形,|BD|=2p,圆F 的半径又点A 到l 的距离而S △ABD∴12|BD|·即12×2p∴p=-2(舍去)或p=2, ∴圆F 的方程为x 2+(y-1)2=8.(2)∵A 、B 、F 三点在同一直线m 上,所以AB 为圆F 的直径,∠ADB=90°.又由抛物线定义知|AD|=|FA|=12|AB|, ∴∠ABD=30°,m 的斜率为,当m ,可设n 方程为x+b.代入x 2=2py 得x 2px-2pb=0, 由于n 与C 只有一个公共点,故Δ=43p 2+8pb=0 ∴b=-6p , 又∵m 的截距b 1=2p ,1b b=3, ∴坐标原点到m 、n 距离的比值为3.当m 的斜率为,由图形对称性知,坐标原点到m 、n 的距离之比仍为3. 12.(2013年广东卷,理20)已知抛物线C 的顶点为原点,其焦点F(0,c)(c>0)到直线l:x-y-2=0的距离为,设P 为直线l 上的点,过点P 作抛物线C 的两条切线PA,PB,其中A,B 为切点. (1)求抛物线C 的方程;(2)当点P(x 0,y 0)为直线l 上的定点时,求直线AB 的方程; (3)当点P 在直线l 上移动时,求|AF|·|BF|的最小值. 解:(1)依题意,设抛物线C 的方程为x 2=4cy,结合c>0,解得c=1.所以抛物线C 的方程为x 2=4y. (2)抛物线C 的方程为x 2=4y,即y=14x 2,求导得y ′=12x. 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)（其中y 1=214x ,y 2=224x ）,则切线PA,PB 的斜率分别为12x 1,12x 2. 所以切线PA 的方程为y-y 1=12x (x-x 1),即y=12x x-212x +y 1,即x 1x-2y-2y 1=0. 同理,可得切线PB 的方程为x 2x-2y-2y 2=0. 因为切线PA,PB 均过点P(x 0,y 0), 所以x 1x 0-2y 0-2y 1=0,x 2x 0-2y 0-2y 2=0.所以(x 1,y 1),(x 2,y 2)为方程x 0x-2y 0-2y=0的两组解. 所以直线AB 的方程为x 0x-2y 0-2y=0. (3)由抛物线定义可知|AF|=y 1+1,|BF|=y 2+1, 所以|AF|·|BF|=(y 1+1)(y 2+1)=y 1y 2+(y 1+y 2)+1.联立方程002220,4,x x y y x y --=⎧⎪⎨=⎪⎩消去x 整理得y 2+(2y 0-20x )y+20y =0,由根与系数的关系可得y 1+y 2=20x -2y 0,y 1y 2=20y ,所以|AF|·|BF|=y 1y 2+(y 1+y 2)+1=20y +20x -2y 0+1.又点P(x 0,y 0)在直线l 上,所以x 0=y 0+2.所以20y +20x -2y 0+1=220y +2y 0+5=2（y 0+12）2+92. 所以当y 0=-12时,|AF|·|BF|取得最小值,且最小值为92. 13.(2013年湖南卷,理21)过抛物线E:x 2=2py(p>0)的焦点F 作斜率分别为k 1,k 2的两条不同直线l 1,l 2,且k 1+k 2=2,l 1与E 相交于点A,B,l 2与E 相交于点C,D,以AB,CD 为直径的圆M,圆N(M,N 为圆心)的公共弦所在直线记为l.(1)若k 1>0,k 2>0,证明:FM ·FN <2p 2;(2)若点M 到直线l ,求抛物线E 的方程. 解:(1)由题意知,抛物线E 的焦点为F 02p ⎛⎫⎪⎝⎭，,直线l 1的方程为y=k 1x+2p .由12,22p Y k x x py ⎧=+⎪⎨⎪=⎩得x 2-2pk 1x-p 2=0.设A,B 两点的坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2), 则x 1,x 2是上述方程的两个实数根, 从而x 1+x 2=2pk 1, y 1+y 2=k 1(x 1+x 2)+p=2p 21k +p.所以点M 的坐标为（pk 1,p 21k +2p）, FM =(pk 1,p 21k ).同理可得点N 的坐标为(pk 2,p 22k +2p ), FN =(pk 2,p 22k ),于是FM ·FN =p 2(k 1k 2+21k 22k ).因为k 1+k 2=2,k 1>0,k 2>0,k 1≠k 2, 所以0<k 1k 2<122k k +⎛⎫ ⎪⎝⎭2=1.故FM ·FN <p 2(1+12)=2p 2.(2)由抛物线的定义得|FA|=y 1+2p , |FB|=y 2+2p , 所以|AB|=y 1+y 2+p=2p 21k +2p, 从而圆M 的半径r 1=p 21k +p.故圆M 的方程为(x-pk 1)2+(y-p 21k -2p )2=(p 21k +p)2,化简得x 2+y 2-2pk 1x-p(221k +1)y-34p 2=0. 同理可得圆N 的方程为x 2+y 2-2pk 2x-p(222k +1)y-34p 2=0. 于是圆M,圆N 的公共弦所在直线l 的方程为(k 2-k 1)x+(22k -21k )y=0. 又k 2-k 1≠0,k 1+k 2=2, 则l 的方程为x+2y=0. 因为p>0,所以点M 到直线l 的距离为2117248p k ⎡⎤⎛⎫++⎢⎥⎪故当k 1=-14时, d由题设解得p=8.故所求的抛物线E 的方程为x 2=16y.14.(2013年陕西卷,理20)已知动圆过定点A(4,0),且在y 轴上截得弦MN 的长为8. (1)求动圆圆心的轨迹C 的方程;(2)已知点B(-1,0),设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两点P,Q,若x 轴是∠PBQ 的角平分线,证明直线l 过定点.(1)解:如图所示,设动圆圆心O 1(x,y),由题意,|O 1A|=|O 1M|, 当O 1不在y 轴上时, 过O 1作O 1H ⊥MN 交MN 于H, 则H 是MN 的中点, ∴|O 1M|=224x +,又|O 1A|=()224x y -+,∴()224x y -+=224x +,化简得y 2=8x(x ≠0).又当O 1在y 轴上时,O 1与O 重合,点O 1的坐标(0,0)也满足方程y 2=8x,∴动圆圆心的轨迹C 的方程为y 2=8x.(2)证明:由题意,设直线l 的方程为y=kx+b(k ≠0), P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2),将y=kx+b 代入y 2=8x 中,得k 2x 2+(2bk-8)x+b 2=0,其中Δ=-32kb+64>0.由根与系数的关系得,x 1+x 2=282bkk -,① x 1x 2=22b k ,②因为x 轴是∠PBQ 的角平分线,所以111y x +=-221yx +, 即y 1(x 2+1)+y 2(x 1+1)=0, (kx 1+b)(x 2+1)+(kx 2+b)(x 1+1)=0, 2kx 1x 2+(b+k)(x 1+x 2)+2b=0,③ 将①②代入③,得2kb 2+(k+b)(8-2bk)+2k 2b=0,∴k=-b,此时Δ>0, ∴直线l 的方程为y=k(x-1), ∴直线l 过定点(1,0).15. (2013年辽宁卷,理20)如图,抛物线C 1:x 2=4y,C 2:x 2=-2py(p>0).点M(x 0,y 0)在抛物线C 2上,过M 作C 1的切线,切点A,B(M 为原点O 时,A,B 重合于O).当x 0=1-2时,切线MA 的斜率为-12.(1)求p 的值;(2)当M 在C 2上运动时,求线段AB 中点N 的轨迹方程(A,B 重合于O 时,中点为O).解:(1)因为抛物线C 1:x 2=4y 上任意一点(x,y)的切线斜率为y ′=2x ,且切线MA 的斜率为-12,所以A 点坐标为(-1,14),故切线MA 的方程为y=-12(x+1)+14. 因为点20)在切线MA 及抛物线C 2上,于是y 0=-12214322-,① y 0=-(2122p322-.②由①②得p=2.(2)设N(x,y),A(x 1,214x ),B(x 2,224x ),x 1≠x 2,由N 为线段AB 中点知x=122x x +,③y=22128x x +.④ 切线MA,MB 的方程为 y=12x (x-x 1)+214x .⑤y=22x (x-x 2)+224x .⑥由⑤⑥得MA,MB 的交点M(x 0,y 0)的坐标为 x 0=122x x +,y 0=124x x . 因为点M(x 0,y 0)在C 2上,即20x =-4y 0,所以x 1x 2=-22126x x +.⑦ 由③④⑦得x 2=43y,x ≠0. 当x 1=x 2时,A,B 重合于原点O,AB 中点N 为O,坐标满足x 2=43y. 因此线段AB 中点N 的轨迹方程为x 2=43y. 模拟试题考点一 抛物线的定义和标准方程及其应用1.(2013福建厦门高三上质检)已知F 是抛物线y 2=4x 的焦点,P 是圆x 2+y 2-8x-8y+31=0上的动点,则|FP|的最小值是( ) (A)3(B)4(C)5(D)6解析:圆x 2+y 2-8x-8y+31=0的圆心C 坐标为(4,4),半径为1,∵|PF|≥|CF|-1,∴当P、C、F三点共线时,|PF|取到最小值,由y2=4x知F(1,0),∴|PF|min故选B.答案:B2.(2013山东潍坊一模)已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点F与双曲线24x-25y=1的右焦点重合,抛物线的准线与x轴的交点为K,点A在抛物线上且|AF|,则A点的横坐标为( )(D)4解析:由24x-25y=1得c2=4+5=9.∴双曲线右焦点为(3,0),∴抛物线焦点坐标为(3,0),抛物线方程为y2=12x.设d为点A(x0,y0)到准线的距离,由抛物线定义知d=|AF|=x0+3,由题意得|y0|=x0+3,代入抛物线方程得(x0+3)2=12x0,解得x0=3.故选B.答案:B考点二抛物线几何性质的应用1.(2013云南师大附中高三高考适应性月考卷)在直角坐标系xOy中,有一定点A(2,1),若线段OA的垂直平分线过抛物线y2=2px(p>0)的焦点,则该抛物线的准线方程是.解析:线段OA的斜率k=12,中点坐标为11,2⎛⎫⎪⎝⎭.所以线段OA 的垂直平分线的方程是y-12=-2(x-1), 令y=0得到x=54. 即抛物线的焦点为5,04⎛⎫⎪⎝⎭. 所以该抛物线的准线方程为x=-54. 答案:x=-542.(2013云南省昆明一中高三第二次高中新课程双基检测)已知点A(4,4)在抛物线y 2=px(p>0)上,该抛物线的焦点为F,过点A 作直线l:x=-4p 的垂线,垂足为M,则∠MAF 的平分线所在直线的方程为. 解析:点A 在抛物线上,所以16=4p,所以p=4,所以抛物线的焦点为F(1,0),准线方程为x=-1,垂足M(-1,4),由抛物线的定义得|AF|=|AM|,所以∠MAF 的平分线所在的直线就是线段MF 的垂直平分线,k MF =4011---=-2,所以∠MAF 的平分线所在的直线方程为y-4=12(x-4),即x-2y+4=0. 答案:x-2y+4=0考点三 直线与抛物线的位置关系1.(2013河南郑州高三第一次质量预测)已知抛物线x 2=4y 上有一条长为6的动弦AB,则AB 中点到x 轴的最短距离为( ) (A)34(B)32(C)1 (D)2 解析:易知,AB 的斜率存在,设AB 方程为y=kx+b.由2,4y kx b x y =+⎧⎨=⎩得x 2-4kx-4b=0. 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则x 1,x 2是上述方程的两个根,∴x 1+x 2=4k,x 1·x 2=-4b,又|AB|=6, 化简得b=()2941k +-k 2, 设AB 中点为M(x 0,y 0),则y 0=122y y +=122kx b kx b +++=()122k x x ++b =2k 2+()2941k +-k 2=k 2+()2941k +=(k 2+1)+()2941k +-1 ≥2×32-1=2. 当且仅当k 2+1=()2941k +, 即k 2=12时,y 0取到最小值2.故选D. 答案:D2.(2013北京市东城区高三上学期期末)已知抛物线y 2=2px(p>0)的焦点F 与双曲线22179x y -=的右焦点重合,抛物线的准线与x 轴的交点为K,点A 在抛物线上且则△AFK 的面积为( ) (A)4(B)8(C)16(D)32解析:双曲线的右焦点为(4,0),抛物线的焦点为02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，, 所以2p =4,即p=8. 所以抛物线方程为y 2=16x,焦点F(4,0),准线方程为x=-4,即K(-4,0),设A(x,y),由于|AK|=2|AF|,∴|y|=x+4,又y2=16x,∴(x+4)2=16x,即x=4.∴A(4,±8),S△AFK=12×8×|y|=32.故选D.答案:D3.(2013北京海淀高三上期末)已知E(2,2)是抛物线C:y2=2px上一点,经过点(2,0)的直线l与抛物线C交于A,B两点(不同于点E),直线EA,EB分别交直线x=-2于点M,N.(1)求抛物线方程及其焦点坐标;(2)已知O为原点,求证:∠MON为定值.解:(1)∵点E(2,2)在抛物线y2=2px上,∴4=2p×2,∴p=1.∴抛物线方程为y2=2x,焦点坐标为1,0 2⎛⎫ ⎪⎝⎭.(2)显然,直线l斜率存在,且不为0.设l斜率为k,则l方程为y=k(x-2).由()22,2.y k xy x⎧=-⎪⎨=⎪⎩得ky 2-2y-4k=0, 设A 211,2y y ⎛⎫ ⎪⎝⎭,B 222,2y y ⎛⎫ ⎪⎝⎭.则y 1+y 2=2k ,y 1·y 2=-4. ∵k EA =121222y y --=121242y y --=122y +. ∴EA 方程为y-2=122y +(x-2). 令x=-2,得y=2-182y +=11242y y -+. ∴M 11242,2y y ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭. 同理可求得N 22242,2y y ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭. ∴OM ·ON =11242,2y y ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭·22242,2y y ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭=4+()()()()1212242422y y y y --++ =4+()()12121212481624y y y y y y y y -+++++ =0∴OM ⊥ON .即∠MON=90°,∴∠MON 为定值.综合检测1.(2012东北三校第二次联考)若抛物线y 2=2px(p>0)上一点P 到焦点和抛物线的对称轴的距离分别为10和6,则p 的值为( )(A)2 (B)18(C)2或18(D)4或16 解析:设P(x 0,y 0),则0020010,26,2,p x y y px ⎧+=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩∴36=2p 102p ⎛⎫- ⎪⎝⎭,即p 2-20p+36=0. 解得p=2或18.故选C.答案:C2.(2012洛阳二模)已知抛物线y 2=4x 的焦点为F,过F 的直线与该抛物线相交于A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)两点,则21y +22y 的最小值是( )(A)4(B)8(C)12(D)16解析:抛物线的准线方程为x=-1,∴|AF|=x 1+1,|BF|=x 2+1,∴21y +22y =4x 1+4x 2=4(|AF|+|BF|)-8=4|AB|-8. ∵|AB|的最小值为4(当AB ⊥x 轴时取得),∴21y +22y 的最小值为8.故选B. 答案:B3.(2012陕西五校联考)设动点P(x,y)(x ≥0)到定点F 1,02⎛⎫⎪⎝⎭的距离比到y 轴的距离大12.记点P 的轨迹为曲线C.(1)求点P 的轨迹方程; (2)设圆M 过A(1,0),且圆心M 在P 的轨迹上,BD 是圆M 在y 轴上截得的弦,当M 运动时弦长BD 是否为定值?说明理由;(3)过F 1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭作互相垂直的两直线交曲线C 于G 、H 、R 、S,求四边形GRHS 面积的最小值. 解:(1)由题意知,所求动点P(x,y)的轨迹为以F 1,02⎛⎫⎪⎝⎭为焦点,直线l:x=-12为准线的抛物线,其方程为y 2=2x. (2)是定值.解法如下:设圆心M 2,2a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭,半径圆的方程为222a x ⎛⎫- ⎪⎝⎭+(y-a)2=a 2+2212a ⎛⎫- ⎪⎝⎭, 令x=0,得B(0,1+a),D(0,-1+a),∴BD=2,即弦长BD 为定值.(3)设过F 的直线GH 的方程为y=k 12x ⎛⎫- ⎪⎝⎭,G(x 1,y 1),H(x 2,y 2), 由21,22,y k x y x ⎧⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩得k 2x 2-(k 2+2)x+24k =0,∴x 1+x 2=1+22k ,x 1x 2=14,∴=2+22k , 同理得|RS|=2+2k 2.S 四边形GRHS =21222k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭(2+2k 2)=22212k k ⎛⎫++ ⎪⎝⎭≥8(当且仅当k=±1时取等号). ∴四边形GRHS 面积的最小值为8.。

高三数学抛物线试题答案及解析1.设双曲线的离心率为2，且一个焦点与抛物线的焦点相同，则此双曲线的方程为__________．【答案】.【解析】抛物线的焦点坐标为（0，2），所以双曲线的焦点在y轴上且c=2，所以双曲线的方程为，即a2=n＞0，b2=-m＞0，所以a＝，又e＝，解得n=1，所以b2=c2-a2=4-1=3，即-m=3，m=-3，所以双曲线的方程为，故答案为：．【考点】１．抛物线的简单性质；２．双曲线的简单性质．2.已知点A（－1，0），B（1，－1）和抛物线.，O为坐标原点，过点A的动直线l交抛物线C于M、P，直线MB交抛物线C于另一点Q，如图.（1）证明: 为定值;（2）若△POM的面积为，求向量与的夹角；(3)证明直线PQ恒过一个定点.【答案】（1）见解析； (2) ；(3)直线PQ过定点E（1，－4）.【解析】（1）设点根据、M、A三点共线，得计算得到=5；(2)设∠POM=α，可得结合三角形面积公式可得tanα="1."根据角的范围，即得所求.(3)设点、B、Q三点共线，据此确定进一步确定的方程，化简为得出结论.试题解析：（1）设点、M、A三点共线，2分5分(2)设∠POM=α，则由此可得tanα=1. 8分又 10分(3)设点、B、Q三点共线，即 12分即 13分由（*）式，代入上式，得由此可知直线PQ过定点E（1，－4）. 14分【考点】抛物线及其几何性质，直线方程，直线与抛物线的位置关系，转化与化归思想.3.已知抛物线C: y2 =2px（p>0）的准线L，过M（l，0）且斜率为的直线与L相交于A，与C的一个交点为B，若，则p=____ 。

【答案】2【解析】由题意可得，抛物线的焦点为，准线为．，为AB的中点．直线方程为，由题意可得,故由中点公式可得，把点B的坐标代入抛物线可得,解得.【考点】直线与抛物线的位置关系4.已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，右顶点为(，0)．(1)求双曲线C的方程；(2)若直线l：y＝kx＋与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且·>2(其中O为原点)，求k的取值范围．【答案】（1）－y2＝1（2）(－1，－)∪(，1)【解析】(1)设双曲线C的方程为－＝1(a>0，b>0)．由已知得a＝，c＝2，再由c2＝a2＋b2得b2＝1，所以双曲线C的方程为－y2＝1．(2)将y＝kx＋代入－y2＝1中，整理得(1－3k2)x2－6kx－9＝0，由题意得，故k2≠且k2<1①．设A(xA ，yA)，B(xB，yB)，则xA＋xB＝，xAxB＝，由·>2得xA xB＋yAyB>2，x A xB＋yAyB＝xAxB＋(kxA＋)(kxB＋)＝(k2＋1)xAxB＋k(xA＋xB)＋2＝(k2＋1)·＋k·＋2＝，于是>2，即>0，解得<k2<3②．由①②得<k2<1，所以k的取值范围为(－1，－)∪(，1)．5.已知圆P：x2+y2=4y及抛物线S：x2=8y，过圆心P作直线l，此直线与上述两曲线的四个交点，自左向右顺次记为A，B，C，D，如果线段AB，BC，CD的长按此顺序构成一个等差数列，则直线l的斜率为( )A．B．C．D．【答案】A【解析】圆的方程为，则其直径长圆心为，设的方程为，代入抛物线方程得：设，有∴线段的长按此顺序构成一个等差数列，，即，解得，故选A.【考点】1.抛物线的几何性质；2.直线与抛物线相交问题.6.已知F是抛物线的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|+|BF|=3，则线段AB的中点到y轴的距离为（）A．B．1C．D．【答案】C【解析】过A，B及线段AB的中点C向抛物线的准线作垂线，垂足分别为M，N，Q，CQ交y轴于T，由抛物线的定义知|AM|+|BN|=|AF|+|BF|=3，因为CQ是直角梯形AMNB的中位线所以CQ|=(|AM|+|BN)=，所以|CT|=|CQ|－|TQ|=－=7.已知抛物线的准线与x轴交于点M，过点M作圆的两条切线，切点为A、B，.（1）求抛物线E的方程；（2）过抛物线E上的点N作圆C的两条切线，切点分别为P、Q，若P，Q，O（O为原点）三点共线，求点N的坐标.【答案】（1）y2＝4x；（2）点N坐标为或.【解析】本题主要考查抛物线的标准方程及其几何性质、圆的标准方程及其几何性质、圆的切线的性质等基础知识，考查学生分析问题解决问题的能力和计算能力.第一问，利用抛物线的准线，得到M点的坐标，利用圆的方程得到圆心C的坐标，在中，可求出，在中，利用相似三角形进行角的转换，得到的长，而，从而解出P的值，即得到抛物线的标准方程；第二问，设出N点的坐标,利用N、C点坐标写出圆C的方程，利用点C的坐标写出圆C的方程，两方程联立，由于P、Q是两圆的公共点，所以联立得到的方程即为直线PQ的方程，而O点在直线上，代入点O的坐标，即可得到s、t的值，即得到N点坐标.试题解析：（1）由已知得，C(2，0)．设AB与x轴交于点R，由圆的对称性可知，．于是，所以，即，p＝2．故抛物线E的方程为y2＝4x． 5分（2）设N(s，t)．P，Q是NC为直径的圆D与圆C的两交点．圆D方程为，即x2＋y2－(s＋2)x－ty＋2s＝0．①又圆C方程为x2＋y2－4x＋3＝0．②②－①得(s－2)x＋ty＋3－2s＝0．③ 9分P，Q两点坐标是方程①和②的解，也是方程③的解，从而③为直线PQ的方程．因为直线PQ经过点O，所以3－2s＝0，．故点N坐标为或． 12分【考点】抛物线的标准方程及其几何性质、圆的标准方程及其几何性质、圆的切线的性质.8.如图，已知抛物线C的顶点在原点，开口向右，过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦长为2，过C上一点A作两条互相垂直的直线交抛物线于P,Q两点.（1）若直线PQ过定点，求点A的坐标；（2）对于第（1）问的点A，三角形APQ能否为等腰直角三角形？若能，试确定三角形APD的个数；若不能，说明理由.【答案】（1）,（2）一个【解析】（1）确定抛物线标准方程只需一个独立条件，本题条件为已知通径长所以抛物线的方程为.直线过定点问题，实际是一个等式恒成立问题.解决问题的核心是建立变量的一个等式.可以考虑将直线的斜率列为变量，为避开讨论，可设的方程为，与联立消得，则，设点坐标为，则有，代入化简得：因此，点坐标为，（2）若三角形APQ为等腰直角三角形，则的中点与点A连线垂直于.先求出的中点坐标为，再讨论方程解的个数，这就转化为研究函数增减性，并利用零点存在定理判断零点有且只有一个.试题解析：(1)设抛物线的方程为,依题意,,则所求抛物线的方程为. (2分)设直线的方程为,点、的坐标分别为.由,消得.由,得,,.∵,∴.设点坐标为,则有.,,∴或.∴或, ∵恒成立. ∴.又直线过定点,即,代入上式得注意到上式对任意都成立,故有,从而点坐标为. (8分)(2)假设存在以为底边的等腰直角三角形,由第（1）问可知,将用代换得直线的方程为.设,由消,得.∴,.∵的中点坐标为,即,∵,∴的中点坐标为.由已知得,即.设,则,在上是增函数.又,,在内有一个零点.函数在上有且只有一个零点,所以满足条件的等腰直角三角形有且只有一个. (12分)【考点】直线与抛物线关系，零点存在定理9.在平面直角坐标系中，已知三点，直线AC的斜率与倾斜角为钝角的直线AB的斜率之和为，而直线AB恰好经过抛物线)的焦点F并且与抛物线交于P、Q两点（P在Y轴左侧）．则（）A．9B．C．D．【答案】A【解析】由题意得，且．令，，则，所以，且，由此可解得．由抛物线的方程知焦点为，因此设直线的方程为，代入抛物线方程，得，解得或，所以由题意知，．由图形特征根据三角形相似易知．【考点】1、直线的斜率；2、直线方程；3、直线与抛物线的位置关系．10.抛物线y2＝－8x的准线方程是________．【答案】x＝2【解析】∵2p＝8，∴p＝4，故所求准线方程为x＝2.11.下图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2m，水面宽4m．水位下降1m后，水面宽________m.【答案】2【解析】设抛物线的方程为x2＝－2py，则点(2，－2)在抛物线上，代入可得p＝1，所以x2＝－2y.当y＝－3时，x2＝6，即x＝±，所以水面宽为2.12.已知抛物线关于x轴对称,它的顶点在坐标原点O,并且经过点M(2,y).若点M到该抛物线焦点的距离为3,则|OM|等于()A．2B．2C．4D．2【答案】B【解析】由题意设抛物线方程为y2=2px(p>0),则M到焦点的距离为xM+=2+=3,∴p=2,∴y2=4x. ∴=4×2,∴|OM|===2.故选B.13.已知过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A、B两点,|AF|=2,则|BF|=.【答案】2【解析】设A(x0,y),由抛物线定义知x+1=2,∴x=1,则直线AB⊥x轴,∴|BF|=|AF|=2.14.已知抛物线C:y2=8x与点M(-2,2),过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A、B两点,若·=0,则k等于()(A) (B) (C) (D)2【答案】D【解析】法一设直线方程为y=k(x-2),A(x1,y1)、B(x2,y2),由得k2x2-4(k2+2)x+4k2=0,∴x1+x2=,x 1x2=4,由·=0,得(x1+2,y1-2)·(x2+2,y2-2)=(x1+2)(x2+2)+[k(x1-2)-2][k(x2-2)-2]=0,代入整理得k2-4k+4=0,解得k=2.故选D.法二如图所示,设F为焦点,取AB中点P,过A、B分别作准线的垂线,垂足分别为G、H,连接MF,MP,由·=0,知MA⊥MB,则|MP|=|AB|=(|AG|+|BH|),所以MP为直角梯形BHGA的中位线,所以MP∥AG∥BH,所以∠GAM=∠AMP=∠MAP,又|AG|=|AF|,|AM|=|AM|,所以△AMG≌△AMF,所以∠AFM=∠AGM=90°,则MF⊥AB,所以k=-=2.15.已知F是抛物线y2=4x的焦点,P是圆x2+y2-8x-8y+31=0上的动点,则|FP|的最小值是() A．3B．4C．5D．6【答案】B【解析】圆x2+y2-8x-8y+31=0的圆心C坐标为(4,4),半径为1,∵|PF|≥|CF|-1,∴当P、C、F三点共线时,|PF|取到最小值,由y2=4x知F(1,0),∴|PF|min=-1=4.故选B.16.已知点A(4,4)在抛物线y2=px(p>0)上,该抛物线的焦点为F,过点A作直线l:x=-的垂线,垂足为M,则∠MAF的平分线所在直线的方程为.【答案】x-2y+4=0【解析】点A在抛物线上,所以16=4p,所以p=4,所以抛物线的焦点为F(1,0),准线方程为x=-1,垂足M(-1,4),由抛物线的定义得|AF|=|AM|,所以∠MAF的平分线所在的直线就是线段MF的垂直平分线,kMF==-2,所以∠MAF的平分线所在的直线方程为y-4=(x-4),即x-2y+4=0.17.设M(x0,y)为抛物线C:y2=8x上一点,F为抛物线C的焦点,若以F为圆心,|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交,则x的取值范围是()A．(2,+∞)B．(4,+∞) C．(0,2)D．(0,4)【答案】A【解析】∵(x0,y)为抛物线C:y2=8x上一点,∴x≥0,又∵以F为圆心,|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交,∴在水平方向上,点M应在点F的右侧,∴x>2.18.过抛物线y2=2px(p>0)上一定点P(x0,y)(y>0)作两直线分别交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2),当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时,的值为.【答案】-2【解析】设直线PA的斜率为kPA ,PB的斜率为kPB,由=2px1,=2px,得kPA==,同理kPB=,由于PA与PB的斜率存在且倾斜角互补,因此=-,即y1+y2=-2y(y>0),那么=-2.19.若抛物线y2=2px(p>0)的焦点在圆x2+y2+2x-3=0上,则p=()A．B．1C．2D．3【答案】C【解析】由已知(,0)在圆x2+y2+2x-3=0上,所以有+2×-3=0,即p2+4p-12=0,解得p=2或p=-6(舍去).20.过点(0,1)作直线,使它与抛物线y2=4x仅有一个公共点,这样的直线共有()A．1条B．2条C．3条D．4条【答案】C【解析】作出图形,可知点(0,1)在抛物线y2=4x外.因此,过该点可作抛物线y2=4x的切线有两条,还能作一条与抛物线y2=4x的对称轴平行的直线,因此共有三条直线与抛物线只有一个交点.21.如图,直线l:y=x+b与抛物线C:x2=4y相切于点A.(1)求实数b的值.(2)求以点A为圆心,且与抛物线C的准线相切的圆的方程.【答案】(1) b=-1 (2) (x-2)2+(y-1)2=4【解析】(1)由得x2-4x-4b=0(*)因为直线l与抛物线C相切,所以Δ=(-4)2-4×(-4b)=0.解得b=-1.(2)由(1)可知b=-1,故方程(*)为x2-4x+4=0.解得x=2,代入x2=4y,得y=1,故点A(2,1).因为圆A与抛物线C的准线相切,所以圆A的半径r就等于圆心A到抛物线的准线y=-1的距离,即r=|1-(-1)|=2,所以圆A的方程为(x-2)2+(y-1)2=4.22.过抛物线焦点的直线交其于，两点，为坐标原点．若，则的面积为（）A．B．C．D．2【答案】C【解析】设直线的倾斜角为及，∵，∴点到准线的距离为，∴，则．∴的面积为．故选C.【考点】抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系.23.如图X15－3所示，已知圆C1：x2＋(y－1)2＝4和抛物线C2：y＝x2－1，过坐标原点O的直线与C2相交于点A，B，定点M的坐标为(0，－1)，直线MA，MB分别与C1相交于点D，E.(1)求证：MA⊥MB；(2)记△MAB，△MDE的面积分别为S1，S2，若＝λ，求λ的取值范围．【答案】（1）见解析（2）【解析】(1)证明：设直线AB的方程为y＝kx，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x2－kx－1＝0，所以x1＋x2＝k，x1x2＝－1.又·＝(x1，y1＋1)·(x2，y2＋1)＝(k2＋1)x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝－k2－1＋k2＋1＝0，∴MA⊥MB.(2)设直线MA的方程为y＝k1x－1，MB的方程为y＝k2x－1，k1k2＝－1.解得或∴A(k1，－1)，同理可得B(k2，－1)，∴S1＝|MA||MB|＝|k1k2|.又解得或∴D ，同理可得E . ∴S 2＝|MD||ME|＝.＝λ＝＝≥.故λ的取值范围是.24. 已知抛物线C ：y 2＝2px(p>0)的焦点为F ，抛物线C 与直线l 1：y ＝－x 的一个交点的横坐标为8.(1)求抛物线C 的方程；(2)不过原点的直线l 2与l 1垂直，且与抛物线交于不同的两点A ，B ，若线段AB 的中点为P ，且|OP|＝|PB|，求△FAB 的面积． 【答案】(1) y 2＝8x (2) 24【解析】解：(1)易知直线与抛物线的交点坐标为(8，－8)，∴82＝2p×8， ∴2p ＝8，∴抛物线方程为y 2＝8x. (2)直线l 2与l 1垂直，故可设l 2：x ＝y ＋m ，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，且直线l 2与x 轴的交点为M. 由得y 2－8y －8m ＝0，Δ＝64＋32m>0，∴m>－2. y 1＋y 2＝8，y 1y 2＝－8m ， ∴ x 1x 2＝＝m 2.由题意可知OA ⊥OB ，即x 1x 2＋y 1y 2＝m 2－8m ＝0， ∴m ＝8或m ＝0(舍)， ∴l 2：x ＝y ＋8，M(8,0)．故S △FAB ＝S △FMB ＋S △FMA ＝·|FM|·|y 1－y 2|＝3＝24.25. 已知抛物线方程为x 2＝4y ，过点M (0，m )的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，且x 1x 2＝－4，则m 的值为________． 【答案】1【解析】设直线方程为y ＝kx ＋m ，代入抛物线方程得x 2－4kx －4m ＝0，所以x 1x 2＝－4m ，所以m ＝1.26. 抛物线的焦点坐标是（ ） A ．（2，0） B ．（0，2） C ．（l ，0） D ．（0，1）【答案】D 【解析】因为，所以，因为焦点在的正半轴，所以焦点坐标为即。

抛物线大题一．解答题（共7小题）1．已知P（4，y0）是抛物线C：y2＝2px（p＞0）上位于第一象限的一点，且P到C的焦点的距离为5．（1）求抛物线C的方程；（2）设O为坐标原点，F为C的焦点，A，B为C上异于P的两点，且直线P A与PB 斜率乘积为﹣4．（i）证明：直线AB过定点；（ii）求|F A|•|FB|的最小值．2．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0），其准线方程为x＝﹣2．（1）求抛物线C的方程；（2）不过原点O的直线l：y＝x+m与抛物线交于不同的两点P，Q，且OP⊥OQ，求m 的值．3．已知抛物线C的顶点在原点，对称轴为坐标轴，开口向右，且经过点P（1，2）．（1）求抛物线C的标准方程；（2）过点M（2，0）且斜率为2的直线与抛物线C相交于A，B两点，求AB的长．4．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2＝2px（p＞0）上一点P的横坐标为4，且点P到焦点F的距离为5．（1）求抛物线的方程；（2）若直线l：x＝my+t交抛物线于A，B两点（位于对称轴异侧），且，问：直线l是否过定点？若过定点，请求出该定点：若不过，请说明理由．5．已知抛物线C：y2＝2px（p为常数，p＞0）的焦点F与椭圆的右焦点重合，过点F的直线与抛物线交于A，B两点．（1）求抛物线C的标准方程；（2）若直线AB的斜率为1，求|AB|．6．设O为坐标原点，直线x＝2与抛物线C：y2＝2px（p＞0）交于A，B两点，若OA⊥OB．（1）求抛物线C的方程；（2）若斜率为的直线l过抛物线C的焦点，且与抛物线C交于D，E两点，求|DE|的值．7．设抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点P（4，m）（m＞0）是抛物线C上一点，且|PF|＝5．（1）求抛物线C的方程；（2）过点Q（2，0）斜率存在的直线l与C相交于A，B两点，在x轴上是否存在点M 使得∠AMQ＝∠BMQ？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．抛物线大题参考答案与试题解析一．解答题（共7小题）1．已知P（4，y0）是抛物线C：y2＝2px（p＞0）上位于第一象限的一点，且P到C的焦点的距离为5．（1）求抛物线C的方程；（2）设O为坐标原点，F为C的焦点，A，B为C上异于P的两点，且直线P A与PB 斜率乘积为﹣4．（i）证明：直线AB过定点；（ii）求|F A|•|FB|的最小值．【分析】（1）由题意，结合所给信息列出等式，求出p的值，进而可得抛物线C的方程；（2）（i）结合（1）中所得信息得到点P的坐标，设出A，B两点的坐标，利用斜率公式得到4（y1+y2）+y1y2+20＝0，对直线AB的斜率是否存在进行讨论，进而即可求解；（ii）设出A，B两点的坐标，分别讨论直线AB的斜率是否存在，当直线AB的斜率存在时，设出直线AB的方程，将直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理即可得到|F A|•|FB|的最小值，当直线AB的斜率不存在时，结合抛物线的定义即可得到|F A|•|FB|的最小值，两者比较即可求解．2．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0），其准线方程为x＝﹣2．（1）求抛物线C的方程；（2）不过原点O的直线l：y＝x+m与抛物线交于不同的两点P，Q，且OP⊥OQ，求m 的值．【分析】（1）由抛物线的准线方程求出p，可得抛物线C的方程；（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），联立直线l和抛物线C的方程，消元写出韦达定理，将OP⊥OQ用坐标表示，代入韦达定理化简计算，可得m的值．3．已知抛物线C的顶点在原点，对称轴为坐标轴，开口向右，且经过点P（1，2）．（1）求抛物线C的标准方程；（2）过点M（2，0）且斜率为2的直线与抛物线C相交于A，B两点，求AB的长．【分析】（1）由题意，先设出抛物线C的方程，将点P的坐标代入抛物线方程中，求出p的值，进而可得抛物线C的标准方程；（2）设出直线AB的方程和A，B两点的坐标，将直线AB的方程与抛物线方程联立，求出A，B两点的坐标，进而即可求解．4．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2＝2px（p＞0）上一点P的横坐标为4，且点P到焦点F的距离为5．（1）求抛物线的方程；（2）若直线l：x＝my+t交抛物线于A，B两点（位于对称轴异侧），且，问：直线l是否过定点？若过定点，请求出该定点：若不过，请说明理由．【分析】（1）由题意，结合题目所给信息建立有关p的等式，进而即可求解；（2）设出A，B两点的坐标，将直线l的方程与抛物线方程联立，利用向量的坐标运算以及韦达定理再进行求解即可．5．已知抛物线C：y2＝2px（p为常数，p＞0）的焦点F与椭圆的右焦点重合，过点F的直线与抛物线交于A，B两点．（1）求抛物线C的标准方程；（2）若直线AB的斜率为1，求|AB|．【分析】（1）由题意，先求出的右焦点，根据抛物线C的焦点F与椭圆的右焦点重合，可得，进而求出抛物线方程；（2）结合（1）中所得信息得到直线AB的方程，将直线AB的方程与抛物线方程联立，利用韦达定理以及弦长公式再进行求解即可．6．设O为坐标原点，直线x＝2与抛物线C：y2＝2px（p＞0）交于A，B两点，若OA⊥OB．（1）求抛物线C的方程；（2）若斜率为的直线l过抛物线C的焦点，且与抛物线C交于D，E两点，求|DE|的值．【分析】（1）由题意，得到点A的坐标，代入抛物线方程中进行求解即可；（2）先得到直线l的方程，将直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理以及抛物线的定义再进行求解即可．7．设抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点P（4，m）（m＞0）是抛物线C上一点，且|PF|＝5．（1）求抛物线C的方程；（2）过点Q（2，0）斜率存在的直线l与C相交于A，B两点，在x轴上是否存在点M 使得∠AMQ＝∠BMQ？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用|PF|＝5，根据抛物线的定义，求出p的值，即可得解；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），M（s，0），直线l的方程为x＝ty+2（t≠0），将其与抛物线的方程联立，利用韦达定理，根据k AM＝﹣k MB，求出s的值，即可得解．。

一、选择题（本题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知动点P和点F(0,1)之间的距离与点P到直线y=4的距离之和为5,则动点P的轨迹为A BC D【答案】C2．抛物线=的焦点到准线的距离为A．B．C．D．【答案】C【解析】抛物线的标准方程为,则p=,所以焦点到准线的距离为.3．已知抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，则等于A．1 B．2C．3 D．【答案】D【解析】由抛物线可知焦点坐标为(0,),由题意可知，椭圆的焦点在y轴上，且,则，所以m=.4．已知双曲线的一条渐近线过点,且双曲线的一个焦点在抛物线的准线上,则双曲线的方程为A．B．C．D．【答案】A5．已知抛物线的焦点为,其准线与双曲线=相交于两点,若为直角三角形,其中为直角顶点,则A．B．C．D．6【答案】A△的面6．已知抛物线=为坐标原点,为的焦点,为上的一点,若=,则POF积为A．1 B．2C．3 D．4【答案】B【解析】设点P (x,y ),p =2,由抛物线的定义可得,所以x =4,代入=可得,即点P 到x 轴的距离为4,又因为,所以POF △的面积S =7．已知过抛物线焦点的直线交抛物线于两点(点在第一象限),若,则直线的方程为A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】由题意得抛物线焦点,而直线过点,排除A,C;画出直线与抛物线的图象,如图所示,,由图可得直线的斜率,选项D 中,的斜率,排除D ．选B ．8．已知F 为抛物线C ：24y x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为 A ．16 B ．14 C ．12D ．10【答案】A【名师点睛】对于抛物线弦长问题，要重点抓住抛物线定义，将到定点的距离转化到准线上；另外，直线与抛物线联立，求判别式，利用根与系数的关系是通法，需要重点掌握．考查最值问题时要能想到用函数方法和基本不等式进行解决．此题还可以利用弦长的倾斜角表示，设直线的倾斜角为α，则22||sin pAB α=，则2222||πcos sin (+)2ppDE αα==，所以222221||||4(cos sin cos p p AB DE ααα+=+=+222222222111sin cos )4()(cos sin )4(2)4(22)16sin cos sin cos sin ααααααααα=++=++≥⨯+=．9．已知直线与抛物线C :相交于A ,B 两点,F 为C 的焦点,若,则k =A ．13B．3C ．23D【答案】D【解析】设,准线方程为,过A,B 分别作准线的垂线,垂足分别为M,N ,由抛物线的定义可知,又因为,所以BN是三角形AOM （O为坐标原点）的中位线,则,解得,代入直线方程可得k=,故选D．10．抛物线的焦点为,已知点为抛物线上的两个动点,且满足.过弦的中点作抛物线准线的垂线,垂足为,则的最小值为A．B．C．D．【答案】A二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）11．过点(1,−2)的抛物线的标准方程是 .【答案】y 2=4x 或212x y =-【解析】设焦点在x 轴上的抛物线的标准方程为y 2=ax ,将点(1,−2)代入可得a =4,故抛物线的标准方程是y 2=4x ;设焦点在y 轴上的抛物线的标准方程为x 2=by ,将点(1,−2)代入可得1,2b =-故抛物线的标准方程是212x y =-.综上可知,过点(1,−2)的抛物线的标准方程是y 2=4x 或212x y =-.12．已知抛物线C :y 2=2px (p >0)上的一点P (m ,2)与焦点连线的直线的斜率为43,则点P 到抛物线C 的焦点的距离是 .【答案】5213．已知抛物线y 2=2px (p >0)上的点P (3,y 0)到焦点F 的距离为72,则△POF (O 为坐标原点)的面积为______________.【答案】4【解析】由抛物线的定义可知3+722p =,解得p =1,则2y =2×3=6,|y 0S △POF =12|OF ||y 0|=11224⨯.14．已知F 为抛物线y 2=4x 的焦点,点A ,B 在抛物线上且位于x 轴的两侧,·=12(O 为坐标原点),则AFO △与BFO △面积之和的最小值是 . 【答案】2【解析】由题意,设A (a 2,2a ),B (b 2,2b )(ab <0),所以·=a 2b 2+4ab =12,所以ab =2(舍去)或ab =-6.又F 为抛物线y 2=4x 的焦点,所以F (1,0),所以S △AFO +S △BFO =|OF|·|y A -y B |=|2a-2b|=|a-b|.因为|a-b|2=a 2-2ab+b 2≥-4ab =24,当且仅当a =-b 时,等号成立,所以|a-b|min =2,所以=2.三、解答题（本大题共2小题，共20分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．已知F 是抛物线C ：)0(22>=p py x 的焦点，),(00y x P 是抛物线C 上一点，以P 为圆心，||PF 为半径的圆截y 轴所得弦长为12020+-py y . （1）求抛物线C 的方程；（2）已知过点F 的直线交抛物线C 于A 、B 两个不同的点，过点A 、B 分别作抛物线C 的切线，两条切线相交于点M ，求证：M 在定直线上.（2）直线AB 的斜率显然存在， 设直线AB 的方程为：1y kx =+，由241x y y kx ==+⎧⎨⎩消去y ，得2440x kx --=， 设(),A A A x y ，(),B B B x y ， 则4A B x x k +=，4A B x x =-，由24x y =得214y x =，∴12y x '=， ∴直线AM 的方程为：()21142A A A y x x x x -=- ①，直线BM 的方程为：()21142B B B y x x x x -=- ②，①-②得：()()2222111()422B A A B B A x x x x x x x -=-+-， 即22ABx x x k +==， 将2A B x x x +=代入①得：22111142244BA A A AB A x x y x x x x x --==-， ∴114A B y x x ==-,故()2,1M k -.∴点M 在定直线1-=y 上.16．已知抛物线22(0)y px p =>上有两点1122(,),(,)A x y B x y ．（1）当抛物线的准线方程为14x =-时，作正方形ABCD 使得边CD 所在的直线方程为4y x =+，求正方形的边长；（2）抛物线上有一定点000(,)(0)P x y y >，当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求证：直线AB 的斜率是非零常数．（2）设直线PA 的斜率为PA k ，直线PB 的斜率为PB k ，由2112y px =，20y =02px ，相减得101010()()()2y y y y p x x -+=-，故1010102PA k y y px x y y -==-+10()x x ≠．同理可得20202()PB py y k x x ≠=+．由PA ，PB 的倾斜角互补知PAPB k k =-，即102022p py y y y =-++，所以1202y y y +=-．设直线AB 的斜率为AB k ，由2222y px =，2112y px =， 相减得212121()()()2y y y y p x x -+=-， 所以211221212()AB y y px x y k y x x -==≠-+．精品资源，精校Word 文档，可编辑，欢迎下载使用！第 11 页 共 11 页 将120020()y y y y ->+=代入得1202AB k p p y y y ==-+， 所以AB k 是非零常数．。

专题28抛物线年份题号考点考查内容2011理20抛物线直线与抛物线位置关系，抛物线几何性质的应用文9抛物线直线与抛物线位置关系，抛物线几何性质的应用2012理20圆，抛物线圆的方程，抛物线的定义、直线与抛物线的位置关系文20圆，抛物线圆的方程，抛物线的定义、标准方程及其几何性质2013卷1文8抛物线抛物线的定义及几何性质卷2理11圆，抛物线圆的方程、抛物线的定义、直线与抛物线的位置关系、点到直线距离公式文10抛物线抛物线的定义，直线与抛物线的位置关系2014卷1理10抛物线抛物线的定义、标准方程文10抛物线抛物线的定义、标准方程卷2理10抛物线抛物线的定义、标准方程，抛物线焦点弦长的计算文10抛物线抛物线的定义、标准方程，抛物线焦点弦长的计算2015卷1理20抛物线直线与抛物线的位置关系，抛物线存在问题的解法2016卷1理10圆，抛物线圆的几何性质，抛物线的标准方程及其几何性质，直线与抛物线的位置关系文20抛物线直线与抛物线的位置关系卷2文5抛物线抛物线的几何性质，反比例函数的性质卷3文理20抛物线抛物线定义与几何性质，直线与抛物线位置关系，轨迹方程求法2017卷1理10抛物线抛物线定义与几何性质，直线与抛物线位置关系文20抛物线抛物线的几何性质，直线与抛物线位置关系卷2理16抛物线抛物线的几何性质，直线与抛物线位置关系文12抛物线抛物线的几何性质，直线与抛物线位置关系，点到直线距离公式2018卷1理8抛物线抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系文20抛物线直线与抛物线的位置关系卷2理19文20抛物线抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系，圆的方程的求法卷理16抛物线抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系2019大数据分析考点95抛物线的定义及标准方程1．（2016全国II文）设F为抛物线C：y2=4x的焦点，曲线y=kx（k>0）与C交于点P，PF⊥x轴，则k=（）（A）12（B）1（C）32（D）22．（2012山东文理）已知双曲线1C：22221(0,0)x y a ba b-=>>的离心率为2．若抛物线22:2(0)C x py p=>的焦点到双曲线1C的渐近线的距离为2，则抛物线2C的方程为（）A．2x y=B．2x y=C．28x y=D．216x y=考点96抛物线的几何性质3．【2020全国Ⅰ理4】已知A 为抛物线()2:20C y px p =>上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p =（）A ．2B ．3C ．6D ．94．（2020·北京）设抛物线的顶点为O ，焦点为F ，准线为l ．P 是抛物线上异于O 的一点，过P 作PQ l ⊥于Q ，则线段FQ 的垂直平分线（）A ．经过点OB ．经过点PC ．平行于直线OPD ．垂直于直线OP5．【2020天津7】设双曲线C 的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，过抛物线24y x =的焦点和点(0,)b 的直线为l ．若C 的一条渐近线与l 平行，另一条渐近线与l 垂直，则双曲线C 的方程为（）A ．22144x y -=B ．2214y x -=C ．2214x y -=D ．221x y -=6．【2019全国Ⅱ文】若抛物线y 2=2px （p>0）的焦点是椭圆2213x y p p+=的一个焦点，则p=A ．2B ．3C ．4D ．87．(2016全国I 理)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点．已知||AB =，||DE =C 的焦点到准线的距离为A ．2B ．4C ．6D ．88．【2016四川文科】抛物线24y x =的焦点坐标是()(A)(0，2)(B)(0，1)(C)(2，0)(D)(1，0)9．(2016四川理)设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线22(0)y px p =>上任意一点，M 是线段PF上的点，且PM =2MF ，则直线OM 的斜率的最大值为A ．3B ．23C ．2D ．110．（2015陕西文）已知抛物线22y px =(0p >)的准线经过点(1,1)-，则该抛物线的焦点坐标为A ．(－1，0)B ．(1，0)C ．(0，－1)D ．(0，1)11．（2013新课标1文理）O 为坐标原点，F 为抛物线2:C y =的焦点，P 为C 上一点，若||PF =，则POF ∆的面积为A ．2B ．C ．D ．412．（2015陕西理）若抛物线22(0)y px p =>的准线经过双曲线221x y -=的一个焦点，则p =．13．（2014湖南文理）如图，正方形ABCD DEFG 和正方形的边长分别为,()a b a b <，原点O 为AD 的中点，抛物线22(0)y px p =>经过,bC F a=两点，则．14．（2013北京文理）若抛物线22y px =的焦点坐标为(1,0)，则p =，准线方程为．15．（2012陕西文理）右图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽米．考点97直线与抛物线的位置关系16．（2020全国Ⅲ文7理5）设O 为坐标原点，直线2x =与抛物线()2:20C y px p =>交于,D E 两点，若OD OE ⊥，则C 的焦点坐标为（）A ．1,04⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,02⎛⎫⎪⎝⎭C ．()1,0D ．()2,017．（2018全国Ⅰ理8）设抛物线x y C 4:2=的焦点为F ，过点()2,0-且斜率为32的直线与C 交于,M N 两点，则FM FN ⋅=（）A ．5B ．6C ．7D ．818．（2017新课标Ⅰ理）已知F 为抛物线C ：24y x =的焦点，过F 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，直线1l 与C 交于A 、B 两点，直线2l 与C 交于D 、E 两点，则||||AB DE +的最小值为（）A ．16B ．14C ．12D ．1019．（2017全国Ⅱ文）过抛物线2:4C y x =的焦点F ，且斜率为3的直线交C 于点M （M 在x 的轴上方），l 为C 的准线，点N 在l 上且MN l ⊥，则M 到直线NF 的距离为A 5B ．22C ．23D ．3320．（2015浙江理）如图，设抛物线24y x =的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点,,A B C ，其中点,A B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则BCF ∆与ACF ∆的面积之比是A ．11BF AF --B ．2211BF AF --C ．11BF AF ++D ．2211BF AF ++21．（2015四川文理）设直线l 与抛物线24y x =相交于,A B 两点，与圆222(5)(0)x y r r -+=>相切于点M ，且M 为线段AB 的中点．若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是A ．()13，B ．()14，C ．()23，D ．()24，22．（2014新课标1文理）已知抛物线C ：28y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若4FP FQ =，则||QF =A ．72B ．52C ．3D ．223．（2014新课标2文理）设F 为抛物线C ：23y x =的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于,A B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为A 334B 938C ．6332D ．9424．（2014辽宁文理）已知点(2,3)A -在抛物线C ：22y px =的准线上，过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ，记C 的焦点为F ，则直线BF 的斜率为（）A ．12B ．23C ．34D ．4325．（2013江西文理）已知点()2,0A ，抛物线2:4C x y =的焦点为F ，射线FA 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N ，则||:||FM MN =A ．2B ．1：2C ．1：D ．1：326．（2011新课标文理）已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，||12AB =，P 为C 的准线上一点，则ABP ∆的面积为A ．18B ．24C ．36D ．4827．（2020山东）斜率为的直线过抛物线C ：y 2=4x 的焦点，且与C 交于A ，B 两点，则AB =________．28．【2020山东13】2:4C y x =的焦点，且与C 交于A ，B 两点，则AB =__________．29．【2019北京文】设抛物线y 2=4x 的焦点为F ，准线为l ．则以F 为圆心，且与l 相切的圆的方程为__________．30．【2018全国3理16】已知点()11M -,和抛物线24C y x =：，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若90AMB =︒∠，则k =________．31．【2018北京文】已知直线l 过点（1，0）且垂直于轴，若l 被抛物线24y ax =截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为_________．32．（2017新课标Ⅱ理）已知F 是抛物线C ：28y x =的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N ．若M 为FN 的中点，则||FN =．33．【2019全国Ⅰ理】已知抛物线C ：y 2=3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ．（1）若|AF|+|BF|=4，求l 的方程；（2）若3AP PB =，求|AB|．34．【2018全国I 文20】（本小题满分12分）设抛物线2:2C y x =，点()()2,0,2,0A B -，过点A 的直线l 与C 交于,M N 两点．（1）当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程；（2）证明：ABM ABN ∠=∠．35．（2018全国II 文20理19）（本小题满分12分）设抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过F 且斜率为()0k k >的直线l 与C 交于A ，B 两点．8AB =．（1）求l 的方程；（2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．36．（2017新课标Ⅰ文）设A ，B 为曲线C ：24x y =上两点，A 与B 的横坐标之和为4．(1)求直线AB 的斜率；(2)设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM BM ⊥，求直线AB 的方程．37．（2017新课标Ⅲ理）已知抛物线C ：22y x =，过点(2,0)的直线l 交C 与A ，B 两点，圆M 是以线段AB 为直径的圆．(1)证明：坐标原点O 在圆M 上；(2)设圆M 过点(4,2)P -，求直线l 与圆M 的方程．38．（2017北京理）已知抛物线C ：22y px =过点(1,1)P ．过点1(0,2作直线l 与抛物线C 交于不同的两点M ，N ，过点M 作x 轴的垂线分别与直线OP ，ON 交于点A ，B ，其中O 为原点．（Ⅰ）求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程；（Ⅱ）求证：A 为线段BM 的中点．39．（2015浙江文）如图，已知抛物线1C ：214y x =，圆2C ：22(1)1x y +-=，过点(,0)(>0)P t t 作不过原点O 的直线PA ，PB 分别与抛物线1C 和圆2C 相切，,A B 为切点．（Ⅰ）求点,A B 的坐标；（Ⅱ）求PAB ∆的面积．注：直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行，则该直线与抛物线相切，称该公共点为切点．40．（2015福建文）已知点F 为抛物线:E 22y px =（0p >）的焦点，点()2,m A 在抛物线E 上，且3ΑF =．（Ⅰ）求抛物线E 的方程；（Ⅱ）已知点()1,0G -，延长ΑF 交抛物线E 于点Β，证明：以点F 为圆心且与直线GΑ相切的圆，必与直线GΒ相切．41．（2014陕西文理）如图，曲线C 由上半椭圆22122:1(0,0)y x C a b y a b +=>>≥和部分抛物线22:1(0)C y x y =-+≤连接而成，12,C C 的公共点为,A B ，其中1C 的离心率为2．（Ⅰ）求,a b 的值；（Ⅱ）过点B 的直线l 与12,C C 分别交于,P Q （均异于点,A B ），若APAQ ⊥，求直线l 的方程．42．（2012新课标文理）设抛物线C ：)0(22>=p py x 的焦点为F ，准线为l ，A 为C 上一点，已知以F 为圆心，FA 为半径的圆F 交l 于B 、D 点．（Ⅰ）若oBFD 90=∠，ABD ∆的面积为24，求p 的值及圆F 的方程；（Ⅱ）若A 、B 、F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点，求坐标原点到m 、n 距离的比值．。

抛物线高考经典真题和解析1. (2020·新高考卷Ⅰ)斜率为3的直线过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，且与C 交于A ，B 两点，则|AB |＝________.2. (2018·全国卷Ⅲ)已知点M (－1,1)和抛物线C ：y 2＝4x ，过C 的焦点F 且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若∠AMB ＝90°，则k ＝________.3. (2020·全国卷Ⅰ)已知A 为抛物线C ：y 2＝2px (p >0)上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p ＝( ) A ．2 B ．3 C ．6D ．94. (2020·全国卷Ⅲ)设O 为坐标原点，直线x ＝2与抛物线C ：y 2＝2px (p >0)交于D ，E 两点，若OD ⊥OE ，则C 的焦点坐标为( ) A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0C ．(1,0)D ．(2,0)5. (2018·全国卷Ⅰ)设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过点(－2,0)且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，则FM →·FN →＝( )A ．5B ．6C ．7D ．86.(2019·全国卷Ⅲ)已知曲线C ：y ＝x 22，D 为直线y ＝－12上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B .(1)证明：直线AB 过定点；(2)若以E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，52为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积．7.(2019·全国卷Ⅰ)已知抛物线C ：y 2＝3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P .(1)若|AF |＋|BF |＝4，求l 的方程； (2)若AP →＝3PB →，求|AB |.答案解析1.解析 ∵抛物线的方程为y 2＝4x ，∴抛物线的焦点为F (1,0)，又直线AB 过焦点F 且斜率为3，∴直线AB 的方程为y ＝3(x －1)，代入抛物线方程消去y 并化简得3x 2－10x ＋3＝0，解法一：解得x 1＝13，x 2＝3，∴|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋3×|13－3|＝163. 解法二：Δ＝100－36＝64>0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝103，过A ，B 分别作准线x ＝－1的垂线，垂足分别为C ，D ，如图所示，|AB |＝|AF |＋|BF |＝|AC |＋|BD |＝x 1＋1＋x 2＋1＝x 1＋x 2＋2＝163.2.解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，所以y 21－y 22＝4x 1－4x 2，所以k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2.取AB 的中点M ′(x 0，y 0)，分别过点A ，B 作准线x ＝－1的垂线，垂足分别为A ′，B ′.因为∠AMB ＝90°，所以|MM ′|＝12|AB |＝12(|AF |＋|BF |)＝12(|AA ′|＋|BB ′|)．因为M ′为AB 的中点，所以MM ′平行于x 轴．因为M (－1，1)，所以y 0＝1，则y 1＋y 2＝2，所以k ＝2.3.解析 设抛物线的焦点为F ，由抛物线的定义知|AF |＝x A ＋p 2＝12，即9＋p2＝12，解得p ＝6.故选C ．4.解析 因为直线x ＝2与抛物线y 2＝2px (p ＞0)交于D ，E 两点，且OD ⊥OE ，不妨设点D 在第一象限，根据抛物线的对称性可得∠DOx ＝∠EOx ＝π4，所以D (2,2)，代入y 2＝2px ，得4＝4p ，解得p ＝1，所以其焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0.故选B.答案 D5.解析 根据题意，得过点(－2,0)且斜率为23的直线方程为y ＝23(x ＋2)，与抛物线方程联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝23(x ＋2)，y 2＝4x ，消去x 并整理，得y 2－6y ＋8＝0，解得y 1＝2，y 2＝4，所以x 1＝1，x 2＝4，令M (1,2)，N (4,4)，又因为F (1,0)，所以FM →＝(0,2)，FN →＝(3,4)，从而可以求得FM→·FN →＝0×3＋2×4＝8.故选D.6.解 (1)证明：设D ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，－12，A (x 1，y 1)，则x 21＝2y 1. 因为y ′＝x ，所以切线DA 的斜率为x 1，故y 1＋12x 1－t＝x 1.整理得2tx 1－2y 1＋1＝0.设B (x 2，y 2)，同理可得2tx 2－2y 2＋1＝0. 故直线AB 的方程为2tx －2y ＋1＝0. 所以直线AB 过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.(2)由(1)得直线AB 的方程为y ＝tx ＋12. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝tx ＋12，y ＝x 22可得x 2－2tx －1＝0.于是x 1＋x 2＝2t ，x 1x 2＝－1， y 1＋y 2＝t (x 1＋x 2)＋1＝2t 2＋1， |AB |＝1＋t 2|x 1－x 2| ＝1＋t 2×(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝2(t 2＋1)．设d 1，d 2分别为点D ，E 到直线AB 的距离， 则d 1＝t 2＋1，d 2＝2t 2＋1. 因此，四边形ADBE 的面积S ＝12|AB |(d 1＋d 2)＝(t 2＋3)t 2＋1.设M 为线段AB 的中点，则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，t 2＋12. 因为EM →⊥AB →，而EM→＝(t ，t 2－2)，AB →与向量(1，t )平行， 所以t ＋(t 2－2)t ＝0，解得t ＝0或t ＝±1. 当t ＝0时，S ＝3；当t ＝±1时，S ＝4 2. 因此，四边形ADBE 的面积为3或4 2.7.解 设直线l ：y ＝32x ＋t ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． (1)由题设得F ⎝ ⎛⎭⎪⎫34，0，故|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋32. 又|AF |＋|BF |＝4，所以x 1＋x 2＝52. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝32x ＋t ，y 2＝3x可得9x 2＋12(t －1)x ＋4t 2＝0，则x 1＋x 2＝－4(t －1)3. 从而－4(t －1)3＝52，得t ＝－78.所以l 的方程为y ＝32x －78. (2)由AP →＝3PB →可得y 1＝－3y 2. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝32x ＋t ，y 2＝3x可得y 2－2y ＋2t ＝0，所以y 1＋y 2＝2，从而－3y 2＋y 2＝2，故y 2＝－1，y 1＝3. 代入C 的方程得x 1＝3，x 2＝13，即A (3,3)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－1.故|AB |＝4133.。

专题九 解析几何第二十八讲 抛物线2019年1.（2019全国II 理8）若抛物线y 2=2px (p >0)的焦点是椭圆2231x y pp+=的一个焦点，则p =A ．2B ．3C ．4D ．82.（2019北京理18（1））已知抛物线2:2C x py =-经过点(2，-1).求抛物线C 的方程及其准线方程；3．（2019全国I 理19）已知抛物线C ：y 2=3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ． （1）若4AF BF +=，求l 的方程；（2）若3AP PB =uu u r uu r，求AB ．4. （2019全国III 理21）已知曲线C ：y =22x ，D 为直线y =12-上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B .（1）证明：直线AB 过定点： （2）若以E (0，52)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积.2010-2018年一、选择题1．(2018全国卷Ⅰ)设抛物线C ：24=y x 的焦点为F ，过点(2,0)-且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，则⋅u u u u r u u u r FM FN =A ．5B ．6C ．7D ．82．（2017新课标Ⅰ）已知F 为抛物线C ：24y x =的焦点，过F 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，直线1l 与C 交于A 、B 两点，直线2l 与C 交于D 、E 两点，则||||AB DE +的最小值为A ．16B ．14C ．12D ．103．(2016年四川)设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线22(0)y px p =>上任意一点，M 是线段PF 上的点，且PM =2MF ,则直线OM 的斜率的最大值为A ．3 B ．23C ．22D ．1 4．(2016年全国I)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E两点．已知||AB =42，||DE =25，则C 的焦点到准线的距离为 A ．2 B ．4 C ．6 D ．85．（2015浙江）如图，设抛物线24y x =的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点,,A B C ，其中点,A B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则BCF ∆与ACF ∆的面积之比是A ．11BF AF -- B ．2211BF AF -- C ．11BF AF ++ D ．2211BF AF ++6．（2015四川）设直线l 与抛物线24y x =相交于,A B 两点，与圆()()22250x y r r -+=>相切于点M ，且M 为线段AB 的中点．若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是 A ．()13， B ．()14， C ．()23， D ．()24，7．（2014新课标1）已知抛物线C ：28y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个焦点，若4FP FQ =u u u r u u u r，则||QF =A ．72 B ．52C ．3D ．2 8．（2014新课标2）设F 为抛物线C ：23y x =的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于,A B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为（ ）A ．33 B ．938 C ．6332 D ．949．（2014辽宁）已知点(2,3)A -在抛物线C ：22y px =的准线上，过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ，记C 的焦点为F ，则直线BF 的斜率为（ ） A ．12 B ．23 C ．34 D ．4310．（2013新课标1）O 为坐标原点，F 为抛物线2:42C y x =的焦点，P 为C 上一点，若||42PF =，则POF ∆的面积为（ ） A ．2B ．22C ．23D ．411．（2013江西）已知点()2,0A ，抛物线2:4C x y =的焦点为F ，射线FA 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N ，则||:||FM MN = A ．2:5 B ．1:2 C ．1:5 D ．1:312．（2012新课标）等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162=的准线交于A 、B 两点，34||=AB ，则C 的实轴长为 A 、2B 、22C 、4D 、813．（2012山东）已知双曲线1C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2．若抛物线22:2(0)C x py p =>的焦点到双曲线1C 的渐近线的距离为2，则抛物线2C 的方程为 A ．283x y =B ．2163x y = C ．28x y = D ．216x y = 14．（2011新课标）已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，||12AB =，P 为C 的准线上一点，则ABP ∆的面积为A ．18B ．24C ．36D ．48 二、填空题15．(2018全国卷Ⅲ)已知点(1,1)M -和抛物线C ：24y x =，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若90AMB ∠=o，则k =______．16．（2017新课标Ⅱ）已知F 是抛物线C ：28y x =的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N ．若M 为FN 的中点，则||FN = ．17．（2015陕西）若抛物线22(0)y px p =>的准线经过双曲线221x y -=的一个焦点，则p =18．（2014湖南）如图4，正方形ABCD DEFG 和正方形的边长分别为,()a b a b <，原点O 为AD 的中点，抛物线22(0)y px p =>经过,bC F a=两点，则 ．19．（2013北京）若抛物线22y px =的焦点坐标为(1,0)，则p = ，准线方程为 ． 20．（2012陕西）右图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽 米．21．（2010浙江）设抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，点(0,2)A ．若线段FA 的中点B在抛物线上，则B 到该抛物线准线的距离为_____________． 三、解答题22．（2018北京）已知抛物线C ：22y px =经过点(1,2)P ．过点(0,1)Q 的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，且直线PA 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N ．(1)求直线l 的斜率的取值范围；(2)设O 为原点，QM QO λ=u u u u r u u u r ，QN QO μ=u u u r u u u r ，求证：11λμ+为定值．23．（2018全国卷Ⅱ）设抛物线24=：C y x 的焦点为F ，过F 且斜率为(0)>k k 的直线l与C 交于A ，B 两点，||8=AB ．(1)求l 的方程；(2)求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．24．（2018浙江）如图，已知点P 是y 轴左侧(不含y 轴)一点，抛物线C ：24y x =上存在不同的两点A ，B 满足PA ，PB 的中点均在C 上．(1)设AB 中点为M ，证明：PM 垂直于y 轴；(2)若P 是半椭圆2214y x +=(0x <)上的动点，求PAB ∆面积的取值范围． 25．（2017新课标Ⅲ）已知抛物线C ：22y x =，过点(2,0)的直线l 交C 与A ，B 两点，圆M 是以线段AB 为直径的圆． (1)证明：坐标原点O 在圆M 上；(2)设圆M 过点(4,2)P -，求直线l 与圆M 的方程．26．（2017浙江）如图，已知抛物线2x y =．点11(,)24A -，39(,)24B ，抛物线上的点(,)P x y 13()22x -<<，过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q ．x（Ⅰ）求直线AP 斜率的取值范围；（Ⅱ）求||||PA PQ ⋅的最大值．27．（2017北京）已知抛物线C ：22y px =过点(1,1)P ．过点1(0,)2作直线l 与抛物线C 交于不同的两点M ，N ，过点M 作x 轴的垂线分别与直线OP ，ON 交于点A ，B ，其中O 为原点．（Ⅰ）求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程； （Ⅱ）求证：A 为线段BM 的中点．28．(2016年全国III)已知抛物线C ：22y x =的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线1l ，2l 分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点.（Ⅰ）若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR ∥FQ ；（Ⅱ）若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程．29．（2015新课标1）在直角坐标系xoy 中，曲线C ：24x y =与直线y kx a =+(0)a >交与M ，N 两点，（Ⅰ）当0k =时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；（Ⅱ）y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有OPM OPN ∠=∠？说明理由． 30．（2014山东）已知抛物线）＞0(2:2p px y C =的焦点为F ，A 为C 上异于原点的任意一点，过点A 的直线l 交C 于另一点B ，交x 轴的正半轴于点D ，且有FA FD =，当点A 的横坐标为3时，ADF ∆为正三角形。

专题九 解析几何第二十八讲 抛物线2019年1.(2019全国II 理8)若抛物线y 2=2px (p >0)的焦点是椭圆2231x y pp+=的一个焦点,则p =A.2B.3C.4D.82.(2019北京理18(1))已知抛物线2:2C x py =-经过点(2,-1).求抛物线C 的方程及其准线方程;3.(2019全国I 理19)已知抛物线C :y 2=3x 的焦点为F ,斜率为32的直线l 与C 的交点为A ,B ,与x 轴的交点为P . (1)若4AF BF +=,求l 的方程;(2)若3AP PB =,求AB .4. (2019全国III 理21)已知曲线C :y =22x ,D 为直线y =12-上的动点,过D 作C 的两条切线,切点分别为A,B .(1)证明:直线AB 过定点: (2)若以E (0,52)为圆心的圆与直线AB 相切,且切点为线段AB 的中点,求四边形ADBE 的面积.2010-2018年一､选择题1.(2018全国卷Ⅰ)设抛物线C :24=y x 的焦点为F ,过点(2,0)-且斜率为23的直线与C 交于M ,N 两点,则⋅FM FN = A.5B.6C.7D.82.(2017新课标Ⅰ)已知F 为抛物线C :24y x =的焦点,过F 作两条互相垂直的直线1l ,2l ,直线1l 与C 交于A ､B 两点,直线2l 与C 交于D ､E 两点,则||||AB DE +的最小值为 A.16 B.14 C.12 D.103.(2016年四川)设O 为坐标原点,P 是以F 为焦点的抛物线22(0)y px p =>上任意一点,M 是线段PF 上的点,且PM =2MF ,则直线OM 的斜率的最大值为A.3 B.23C.22D.1 4.(2016年全国I)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ,B 两点,交C 的准线于D ,E 两点.已知||AB =42,||DE =25,则C 的焦点到准线的距离为 A.2 B.4 C.6 D.85.(2015浙江)如图,设抛物线24y x =的焦点为F ,不经过焦点的直线上有三个不同的点,,A B C ,其中点,A B 在抛物线上,点C 在y 轴上,则BCF ∆与ACF ∆的面积之比是A.11BF AF -- B.2211BF AF -- C.11BF AF ++ D.2211BF AF ++6.(2015四川)设直线l 与抛物线24y x =相交于,A B 两点,与圆()()22250x y r r -+=>相切于点M ,且M 为线段AB 的中点.若这样的直线l 恰有4条,则r 的取值范围是 A.()13， B.()14， C.()23， D.()24，7.(2014新课标1)已知抛物线C :28y x =的焦点为F ,准线为l ,P 是l 上一点,Q 是直线PF 与C 的一个焦点,若4FP FQ =,则||QF = A.72 B.52C.3D.2 8.(2014新课标2)设F 为抛物线C:23y x =的焦点,过F 且倾斜角为30°的直线交C 于,A B两点,O 为坐标原点,则△OAB 的面积为( ) 33 93 C.6332 D.949.(2014辽宁)已知点(2,3)A -在抛物线C:22y px =的准线上,过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ,记C 的焦点为F ,则直线BF 的斜率为( ) A.12 B.23 C.34 D.4310.(2013新课标1)O 为坐标原点,F 为抛物线2:42C y x =的焦点,P 为C 上一点,若||42PF =,则POF ∆的面积为( )A.2B.22C.23D.411.(2013江西)已知点()2,0A ,抛物线2:4C x y =的焦点为F ,射线FA 与抛物线C 相交于点M ,与其准线相交于点N ,则||:||FM MN = A.2:5 B.1:2 C.1:5 D.1:312.(2012新课标)等轴双曲线C 的中心在原点,焦点在x 轴上,C 与抛物线x y 162=的准线交于A ､B 两点,34||=AB ,则C 的实轴长为 A ､2B ､22C ､4D ､813.(2012山东)已知双曲线1C :22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为 2.若抛物线22:2(0)C x py p =>的焦点到双曲线1C 的渐近线的距离为2,则抛物线2C 的方程为 A.283x y =B.2163x C.28x y = D.216x y = 14.(2011新课标)已知直线l 过抛物线C 的焦点,且与C 的对称轴垂直,l 与C 交于A ,B 两点,||12AB =,P 为C 的准线上一点,则ABP ∆的面积为 A.18 B.24 C.36 D.48 二､填空题15.(2018全国卷Ⅲ)已知点(1,1)M -和抛物线C :24y x =,过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ,B 两点.若90AMB ∠=,则k =______.16.(2017新课标Ⅱ)已知F 是抛物线C :28y x =的焦点,M 是C 上一点,FM 的延长线交y轴于点N .若M 为FN 的中点,则||FN = .17.(2015陕西)若抛物线22(0)y px p =>的准线经过双曲线221x y -=的一个焦点,则p =18.(2014湖南)如图4,正方形ABCD DEFG 和正方形的边长分别为,()a b a b <,原点O 为AD 的中点,抛物线22(0)y px p =>经过,bC F a=两点，则 .19.(2013北京)若抛物线22y px =的焦点坐标为(1,0),则p = ,准线方程为 .20.(2012陕西)右图是抛物线形拱桥,当水面在l 时,拱顶离水面2米,水面宽4米,水位下降1米后,水面宽 米.21.(2010浙江)设抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ,点(0,2)A .若线段FA 的中点B 在抛物线上,则B 到该抛物线准线的距离为_____________. 三､解答题22.(2018北京)已知抛物线C :22y px =经过点(1,2)P .过点(0,1)Q 的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ,B ,且直线PA 交y 轴于M ,直线PB 交y 轴于N . (1)求直线l 的斜率的取值范围;(2)设O 为原点,QM QO λ=,QN QO μ=,求证:11λμ+为定值.23.(2018全国卷Ⅱ)设抛物线24=：C y x 的焦点为F ,过F 且斜率为(0)>k k 的直线l 与C交于A ,B 两点,||8=AB . (1)求l 的方程;(2)求过点A ,B 且与C 的准线相切的圆的方程.24.(2018浙江)如图,已知点P 是y 轴左侧(不含y 轴)一点,抛物线C :24y x =上存在不同的两点A ,B 满足PA ,PB 的中点均在C 上.(1)设AB 中点为M ,证明:PM 垂直于y 轴;(2)若P 是半椭圆2214y x +=(0x <)上的动点,求PAB ∆面积的取值范围. 25.(2017新课标Ⅲ)已知抛物线C :22y x =,过点(2,0)的直线l 交C 与A ,B 两点,圆M 是以线段AB 为直径的圆.(1)证明:坐标原点O 在圆M 上;(2)设圆M 过点(4,2)P -,求直线l 与圆M 的方程.26.(2017浙江)如图,已知抛物线2x y =.点11(,)24A -,39(,)24B ,抛物线上的点(,)P x y 13()22x -<<,过点B 作直线AP 的垂线,垂足为Q.x(Ⅰ)求直线AP 斜率的取值范围; (Ⅱ)求||||PA PQ ⋅的最大值.27.(2017北京)已知抛物线C :22y px =过点(1,1)P .过点1(0,)2作直线l 与抛物线C 交于不同的两点M ,N ,过点M 作x 轴的垂线分别与直线OP ,ON 交于点A ,B ,其中O 为原点.(Ⅰ)求抛物线C 的方程,并求其焦点坐标和准线方程; (Ⅱ)求证:A 为线段BM 的中点.28.(2016年全国III)已知抛物线C :22y x =的焦点为F ,平行于x 轴的两条直线1l ,2l 分别交C于A ,B 两点,交C 的准线于P ,Q 两点.(Ⅰ)若F 在线段AB 上,R 是PQ 的中点,证明AR ∥FQ ;(Ⅱ)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍,求AB 中点的轨迹方程.29.(2015新课标1)在直角坐标系xoy 中,曲线C :24x y =与直线y kx a =+(0)a >交与M ,N 两点,(Ⅰ)当0k =时,分别求C 在点M 和N 处的切线方程;(Ⅱ)y 轴上是否存在点P ,使得当k 变动时,总有OPM OPN ∠=∠?说明理由. 30.(2014山东)已知抛物线）＞0(2:2p px y C =的焦点为F ,A 为C 上异于原点的任意一点,过点A 的直线l 交C 于另一点B ,交x 轴的正半轴于点D ,且有FA FD =,当点A 的横坐标为3时,ADF ∆为正三角形｡ (Ⅰ)求C 的方程;(Ⅱ)若直线l l //1,且1l 和C 有且只有一个公共点E , (ⅰ)证明直线AE 过定点,并求出定点坐标;(ⅱ)ABE ∆的面积是否存在最小值?若存在,请求出最小值;若不存在,请说明理由｡31.(2014陕西)如图,曲线C 由上半椭圆22122:1(0,0)y x C a b y a b+=>>≥和部分抛物线22:1(0)C y x y =-+≤连接而成,12,C C 的公共点为,A B ,其中1C 的离心率为2. (Ⅰ)求,a b 的值;(Ⅱ)过点B 的直线l 与12,C C 分别交于,P Q (均异于点,A B ),若AP AQ ⊥,求直线l的方程.32.(2013广东)已知抛物线C 的顶点为原点,其焦点()()0,0F c c >到直线:20l x y --=的距离为322.设P 为直线l 上的点,过点P 作抛物线C 的两条切线,PA PB ,其中,A B 为切点.(Ⅰ)求抛物线C 的方程;(Ⅱ)当点()00,P x y 为直线l 上的定点时,求直线AB 的方程; (Ⅲ)当点P 在直线l 上移动时,求AF BF ⋅的最小值.33.(2012新课标)设抛物线C :)0(22>=p py x 的焦点为F ,准线为l ,A 为C 上一点,已知以F 为圆心,FA 为半径的圆F 交l 于B ､D 点.(Ⅰ)若oBFD 90=∠,ABD ∆的面积为24,求p 的值及圆F 的方程;(Ⅱ)若A ､B ､F 三点在同一直线m 上,直线n 与m 平行,且n 与C 只有一个公共点,求坐标原点到m ､n 距离的比值.34.(2011新课标)在平面直角坐标系xoy 中, 已知点(0,1)A -,B 点在直线3y =-上,M 点满足//MB OA ,MA AB MB BA =,M 点的轨迹为曲线C. (Ⅰ)求C 的方程;(Ⅱ)P 为C 上动点,l 为C 在点P 处的切线,求O 点到l 距离的最小值.专题九 解析几何第二十八讲 抛物线答案部分2019年1.D 解析 由题意可得:232p p p ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,解得8p =.故选D. 2.解析(I)由抛物线2:2C x py =-经过点()2,1-,得2p =.所以抛物线C 的方程为24x y =-,其准线方程为1y =. 3.解析 设直线()()11223:,,,,2l y x t A x y B x y =+. (1)由题设得3,04F ⎛⎫⎪⎝⎭,故123||||2AF BF x x +=++,由题设可得1252x x +=.由2323y x t y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩,可得22912(1)40x t x t +-+=,则1212(1)9t x x -+=-. 从而12(1)592t --=,得78t =-.所以l 的方程为3728y x =-. (2)由3AP PB =可得123y y =-.由2323y x t y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩,可得2220y y t -+=. 所以122y y +=.从而2232y y -+=,故211,3y y =-=. 代入C 的方程得1213,3x x ==.故||AB =.4.解析(1)设()111,,,2D t A x y ⎛⎫-⎪⎝⎭,则2112x y =.由于y'x =,所以切线DA 的斜率为1x ,故11112y x x t+=- ,整理得112 2 +1=0. tx y -设()22,B x y ,同理可得222 2 +1=0tx y -. 故直线AB 的方程为2210tx y -+=.所以直线AB 过定点1(0,)2.(2)由(1)得直线AB 的方程为12y tx =+. 由2122y tx x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,可得2210x tx --=. 于是()2121212122,1,121x x t x x y y t x x t +==-+=++=+,()212||21AB x t =-==+.设12,d d 分别为点D ,E 到直线AB的距离,则12d d ==因此,四边形ADBE 的面积()(2121||32S AB d d t =+=+设M 为线段AB 的中点,则21,2M t t ⎛⎫+⎪⎝⎭. 由于EM AB ⊥,而()2,2EM t t =-,AB 与向量(1, )t 平行,所以()220t t t +-=.解得t =0或1t =±.当t =0时,S =3;当1t =±时,S =因此,四边形ADBE的面积为3或.2010-2018年1.D 【解析】通解 过点(2,0)-且斜率为23的直线的方程为2(2)3=+y x ,由22(2)34⎧=+⎪⎨⎪=⎩y x y x,得2540-+=x x ,解得1=x 或4=x ,所以12=⎧⎨=⎩x y ,或44=⎧⎨=⎩x y ,不妨设(1,2)M ,(4,4)N ,易知(1,0)F ,所以(0,2)=FM ,(3,4)=FN ,所以8⋅=FM FN .故选D.优解 过点(2,0)-且斜率为23的直线的方程为2(2)3=+y x ,由22(2)34⎧=+⎪⎨⎪=⎩y x y x,得2540-+=x x ,设11(,)M x y ,22(,)N x y ,则10>y ,20>y ,根据根与系数的关系,得125+=x x ,124=x x .易知(1,0)F ,所以11(1,)=-FM x y ,22(1,)=-FN x y ,所以12121212(1)(1)()1⋅=--+=-+++FM FN x x y y x x x x 45188=-++=.故选D.2.A 【解析】由已知1l 垂直于x 轴是不符合题意,所以1l 的斜率存在设为1k ,2l 的斜率为2k ,由题意有121k k ⋅=-,设11(,)A x y ,22(,)B x y ,33(,)D x y ,44(,)E x y 此时直线1l 方程为1(1)y k x =-,取方程214(1)y x y k x ⎧=⎨=-⎩,得2222111240k x k x x k --+=,∴21122124k x x k --+=-212124k k +=同理得 22342224k x x k ++= 由抛物线定义可知1234||||2AB DE x x x x p +=++++22122222121224244448816k k k k k k ++=++=++=≥ 当且仅当121k k =-=(或1-)时,取得等号.3.C 【解析】设()()22,2,,P pt pt M x y (不妨设0t >),则22,22p FP pt pt ⎛⎫=-⎪⎝⎭,∵13FM FP =,∴22,2362,3p p p x t pt y ⎧-=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,∴22,332,3p p x t pt y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴22112122OMtkt tt==≤=++∴max()2OMk=,故选C.4.B【解析】由题意,不妨设抛物线方程为22(0)y px p=>,由||AB=||DE=可取4(Ap,(2pD-,设O为坐标原点,由||||OA OD=,得2216854pp+=+,得4p=,所以选B.5.A【解析】如图,11--===∆∆AFBFxxACBCSSABACFBCF,故选A.6.D 【解析】当直线l的斜率不存在时,这样的直线l恰好有2条,即5x r=±, 所以05r<<;所以当直线l的斜率存在时,这样的直线l有2条即可.设11(,)A x y,22(,)B x y,00(,)M x y,则12012022x x xy y y+=⎧⎨+=⎩.又21122244y xy x⎧=⎨=⎩,两式相减得121212()()4()y y y y x x+-=-,121212042ABy ykx x y y y-===-+.设圆心为(5,0)C,则05CMykx=-,因为直线l与圆相切,所以000215yy x⋅=--,解得3x,于是224y r=-,2r,又2004y x<,即2412r-<,所以04r<<,又05r<<,2r>所以24r<<,选D.7.C【解析】过点Q作QQ l'⊥交l于点Q',因为4PF FQ=,所以||:||3:4PQ PF=,又焦点F到准线l的距离为4,所以||||3QF QQ'==.故选C.8.D【解析】易知抛物线中32p=,焦点3(,0)4F,直线AB的斜率k=故直线AB的方程为3)4y x=-,代人抛物线方程23y x=,整理得2219216x x-+=.设1122(,),(,)A x y B x y ,则12212x x +=,由物线的定义可得弦长 12||12AB x x p =++=,结合图象可得O 到直线AB 的距离3sin 3028p d ==, 所以OAB ∆的面积19||24S AB d =⋅=. 9.D 【解析】∵(2,3)A -在抛物线22y px =的准线上,∴22p-=-.∴4p =, ∴28y x =,设直线AB 的方程为(3)2x k y =--①,将①与28y x =联立, 得2824160y ky k -++=②,则△=2(8)4(2416)0k k --+=, 即22320k k --=,解得2k =或12k =-(舍去), 将2k =代入①②解得8,8x y ==,即(8,8)B , 又(2,0)F ,∴43BF k=,故选D. 10.C 【解析】∵OF =由抛物线的定义可得P点的坐标(±,∴POF ∆的面积为1122P OF y ==11.C 【解析】依题意可得AF 所在直线方程为12xy +=代入24x y =得y =, 又||:||(1):(1)1:FM MN y y =-+=12.C 【解析】设222:(0)C x y a a -=>交x y 162=的准线:4lx =-于(4,A -(4,B--得:222(4)4224a a a =--=⇔=⇔=13.D 【解析】因为双曲线1C :22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2,所以2.cb a=⇒=又渐近线方程为0,bx ay ±=所以双曲线1C 的渐近线 0.y ±=而抛物22:2(0)C x py p =>的焦点坐标为(0,),2p||28p p =⇒=.故选D.14.C 【解析】设抛物线的方程为22y px =,易知||212AB p ==,即6p =,∵点P 在准线上,∴P 到AB 的距离为6p =,所以ABP ∆面积为36,故选C.15.2【解析】解法一 由题意知抛物线的焦点为(1,0),则过C 的焦点且斜率为k 的直线方程为(1)y k x =-(0)k ≠,由2(1)4y k x y x=-⎧⎨=⎩,消去y 得22(1)4k x x -=,即2222(24)0k x k x k -++=,设11(,)A x y ,22(,)B x y ,则212224k x x k ++=,121x x =.由2(1)4y k x y x =-⎧⎨=⎩,消去x 得214(1)y y k =+, 即2440y y k --=,则124y y k+=,124y y =-, 由90AMB ∠=,得1122(1,1)(1,1)MA MB x y x y ⋅=+-⋅+-1212121241()10x x x x y y y y =++++-++=,将212224k x x k ++=,121x x =与124y y k+=,124y y =-代入,得2k =. 解法二 设抛物线的焦点为F ,11(,)A x y ,22(,)B x y ,则21122244y x y x ⎧=⎨=⎩,所以2212124()y y x x -=-,则1212124y y k x x y y -==-+,取AB 的中点00(,)M x y ',分别过点A ,B 做准线1x =-的垂线,垂足分别为A ',B ',又90MB ∠=,点M 在准线1x =-上,所以111||||(||||)(||||)222MM AB AF BF AA BB '''==+=+. 又M '为AB 的中点,所以MM '平行于x 轴,且01y =,所以122y y +=, 所以2k =.16.6【解析】如图所示,不妨设点M 位于第一象限,设抛物线的准线与x 轴交于点F',作MB l ⊥与点B ,NA l ⊥与点A ,由抛物线的解析式可得准线方程为2x =-,则2,4AN FF'==,在直角梯形ANFF'中,中位线'32AN FF BM +==,由抛物线的定义有:3MF MB ==,结合题意,有3MN MF ==,故336FN FM NM =+=+=.17.【解析】22ypx 的准线方程为2p x =-,又0p ,所以2px =-必经过双曲线221x y -=的左焦点(,所以2p-=,p =18.1+BC CD =,结合抛物线的定义得点D 为抛物线的焦点,所以||AD p a ==,(,0)2p D ,(,)2pF b b +,将点F 的坐标代入抛物线的方程得222()22p b p b a ab =+=+,变形得22()10b ba a --=,解得1b a =+1b a =舍去),所以1ba=19.2,1x =-【解析】1,22p p ==;准线12px =-=-.20.62【解析】建立直角坐标系,使拱桥的顶点O 的坐标为(0,0),设抛物线的方程为22x py =-,l 与抛物线的交点为A ､B ,根据题意知(2,2)A --,(2,2)B - 则有()222-⨯=-a ,∴21-=a ∴抛物线的解析式为221x y -= 水位下降1米,则3y =-,此时有6=x 或6-=x∴此时水面宽为62米.21.4【解析】利用抛物线的定义结合题设条件可得出p 的值为2,B 点坐标为(142，)所以点B22.【解析】(1)因为抛物线22y px =经过点(1,2)P ,所以42p =,解得2p =,所以抛物线的方程为24y x =. 由题意可知直线l 的斜率存在且不为0, 设直线l 的方程为1y kx =+(0k ≠).由241y x y kx ⎧=⎨=+⎩得22(24)10k x k x +-+=. 依题意22(24)410k k ∆=--⨯⨯>,解得0k <或01k <<. 又PA ,PB 与y 轴相交,故直线l 不过点(1,2)-.从而3k ≠-. 所以直线l 斜率的取值范围是(,3)(3,0)(0,1)-∞--.(2)设11(,)A x y ,22(,)B x y . 由(1)知12224k x x k -+=-,1221x x k=. 直线PA 的方程为1122(1)1y y x x --=--. 令0x =,得点M 的纵坐标为1111212211M y kx y x x -+-+=+=+--. 同理得点N 的纵坐标为22121N kx y x -+=+-.由=QM QO λ,=QN QO μ得=1M y λ-,1N y μ=-. 所以1212121212112()1111111(1)(1)1M N x x x x x x y y k x k x k x x λμ---++=+=+=⋅-----2222241=211k k k k k -+=⋅-. 所以11λμ+为定值.23.【解析】(1)由题意得(1,0)F ,l 的方程为(1)(0)y k x k =->.设1221(,),(,)A y x y x B ,由2(1),4y k x y x=-⎧⎨=⎩得2222(24)0k x k x k -++=.216160k ∆=+>,故122224k x k x ++=. 所以122244||||||(1)(1)x k AB AF BF k x +=+=+++=. 由题设知22448k k +=,解得1k =-(舍去),1k =. 因此l 的方程为1y x =-.(2)由(1)得AB 的中点坐标为(3,2),所以AB 的垂直平分线方程为2(3)y x -=--, 即5y x =-+.设所求圆的圆心坐标为00(,)x y ,则00220005,(1)(1)16.2y x y x x =-+⎧⎪⎨-++=+⎪⎩解得003,2x y =⎧⎨=⎩或0011,6.x y =⎧⎨=-⎩ 因此所求圆的方程为22(3)(2)16x y -+-=或22(11)(6)144x y -++=.24.【解析】(1)设00(,)P x y ,211(,)4y A y ,222(,)4y B y .因为PA ,PB 的中点在抛物线上,所以1y ,2y 为方程221014()422y x y y ++=⋅即2210100280y y y x y -+-=的两个不同的实数根. 所以1202y y y +=. 因此,PM 垂直于y 轴.(2)由(1)可知1202120028y y y y y x y +=⎧⎨=-⎩ 所以2221200013||()384PM y y x y x =+-=-,12||y y -=因此,PAB ∆的面积32212001||||(4)24PABS PM y y y x ∆=⋅-=-. 因为220014y x +=0(0)x <,所以2200004444[4,5]y x x x -=--+∈. 因此,PAB ∆面积的取值范围是4. 25.【解析】(1)设()A x ,y 11,()B x ,y 22,l :2x ym =+由222x my y x=+⎧⎨=⎩可得y my --=2240,则y y =-124 又y x 211=2,yx 222=2,故()y y x x 21212=4=4因此OA 的斜率与OB 的斜率之积为y y x x ⋅1212-4==-14,所以OA OB ⊥. 故坐标原点O 在圆M 上.(2)由(1)可得y y m 12+=2,()x x m y y m +21212+=++4=24故圆心M 的坐标为()m m 2+2，,圆M 的半径r =由于圆M 过点(4,2)P -,因此0AP BP =, 故()()()()121244++2+2=0x x y y -- 即()()x x x x y y y y -++++=121212124+2200 由(1)可得y y 12=-4,x x 12=4.所以2m m --=210,解得m =1或m =-12. 当1m =时,直线l 的方程为20x y --=,圆心M 的坐标为(3,1),圆M 的半径为,圆M 的方程为()()x y -+-=223110当12m =-时,直线l 的方程为240x y +-=,圆心M 的坐标为91(,)42-,圆M 的半径为4,圆M 的方程为229185()()4216x y -++=. 26.【解析】(Ⅰ)设直线AP 的斜率为k ,2114122x k x x -==-+, 因为1322x -<<,所以直线AP 斜率的取值范围是(1,1)-｡(Ⅱ)联立直线AP 与BQ 的方程110,24930,42kx y k x ky k ⎧-++=⎪⎪⎨⎪+--=⎪⎩ 解得点Q 的横坐标是22432(1)Q k k x k -++=+因为||PA1)2x +=1)k +||PQ= )Q x x -=2,所以||||PA PQ =3(1)(1)k k --+令()f k =3(1)(1)k k --+, 因为2()(42)(1)f k k k '=--+,所以()f k 在区间1(1,)2-上单调递增,1(,1)2上单调递减,因此当12k =时,||||PA PQ 取得最大值2716.27.【解析】(Ⅰ)由抛物线C :22y px =过点(1,1)P ,得12p =. 所以抛物线C 的方程为2y x =.抛物线C 的焦点坐标为1(,0)4,准线方程为14x =-.(Ⅱ)当直线MN 的斜率不存在或斜率为0时,显然与抛物线只有一个交点不满足题意,所以直线MN 的斜率存在且不为0.设1(0,)2为点Q ,过Q 的直线MN 方程为12y kx =+(0k ≠),设11(,)M x y ,22(,)N x y ,显然,1x ,2x 均不为0.由212y kx y x ⎧=+⎪⎨⎪=⎩,得224(44)10k x k x +-+=. 考虑221(1)4124k k k ∆=--⨯⨯=-,由题意0∆>,所以12k <. 则1221kx x k-+=,① 12214x x k =. ② 由题意可得A ,B 横坐标相等且同为1x ,因为点P 的坐标为(1,1),所以直线OP 的方程为y x =,点A 的坐标为11(,)x x . 直线ON 的方程为22y y x x =,点B 的坐标为2112(,)y x x x . 若要证明A 为BM 的中点,只需证2A B M y y y =+,即证121122x y y x x +=, 即证1221122x y x y x x +=,将11221212y kx y kx ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入上式,即证21121211()()222kx x kx x x x +++=,即证12121(22)()02k x x x x -++=③ 将①②代入③得2211(22)042k k k k --+=,化简有2211022k kk k --+=恒成立, 所以2A B M y y y =+恒成立. 故A 为线段BM 的中点.28.【解析】由题设)0,21(F .设b y l a y l ==:,:21,则0≠ab ,且22111(,),(,),(,),(,),(,)222222a b a b A a B b P a Q b R +---. 记过B A ,两点的直线为l ,则l 的方程为0)(2=++-ab y b a x . (Ⅰ)由于F 在线段AB 上,故01=+ab . 记AR 的斜率为1k ,FQ 的斜率为2k ,则222111k b aaba ab a b a a b a k =-=-==--=+-=. 所以FQ AR ∥.(Ⅱ)设l 与x 轴的交点为)0,(1x D , 则2,2121211b a S x a b FD a b S PQF ABF-=--=-=∆∆. 由题设可得221211b a x a b -=--,所以01=x (舍去),11=x . 设满足条件的AB 的中点为),(y x E . 当AB 与x 轴不垂直时,由DE AB k k =可得)1(12≠-=+x x yb a . 而y ba =+2,所以)1(12≠-=x x y . 当AB 与x 轴垂直时,E 与D 重合.所以,所求轨迹方程为12-=x y .29.【解析】(Ⅰ)由题设可得)M a ,()N a -,或()M a -,)N a .∵12y x '=,故24x y =在x =,C 在,)a 处的切线方程为y a x -=-,0y a --=.故24x y =在x =-处的导数值为,C 在(,)a -处的切线方程为y a x -=+,0y a ++=.0y a --=0y a ++=.(Ⅱ)存在符合题意的点,证明如下:设(0,)P b 为符合题意的点,11(,)M x y ,22(,)N x y , 直线PM ,PN 的斜率分别为12,k k .将y kx a =+代入C 的方程整理得2440x kx a --=. ∴12124,4x x k x x a +==-. ∴121212y b y b k k x x --+=+=1212122()()kx x a b x x x x +-+=()k a b a+. 当b a =-时,有12k k +=0,则直线PM 的倾斜角与直线PN 的倾斜角互补, 故∠OPM =∠OPN ,所以(0,)P a -符合题意. 30.【解析】(Ⅰ)由题意知(,0)2p F ,设(,0)(0)D t t >,则FD 的中点为2(,0)4p t+ 因为FA FD =,由抛物线的定义可知322p pt +=-, 解得3t p =+或3t =-(舍去) 由234p t+=,解得2p =.所以抛物线C 的方程为24y x =. (Ⅱ)(ⅰ)由(Ⅰ)知(1,0)F ,设0000(,)(0)A x y x y ≠.(,0)(0)D D D x x > 因为FA FD =,则011D x x -=+,由0D x >得02D x x =+,故0(2,0)D x +,故直线AB 的斜率02AB y k =- 因为直线1l 和直线AB 平行, 设直线1l 的方程为02y y x b =-+,代入抛物线的方程得200880by y y y +-=,由题意20064320b y y ∆=+=,得02b y =- 设(,)E E E x y ,则20044,E E y x y y =-=当204y ≠时,0020044E AE E y y yk x x y -==--,可得直线AE 的方程为000204()4y y y x x y -=--,由204y x =, 整理得0204(1)4y y x y =--,直线AE 恒过点(1,0)F 当204y =时,直线AE 的方程为1x =,过点(1,0)F ,所以直线AE 过定点(1,0)F . (ⅱ)由(ⅰ)知直线AE 过定点(1,0)F , 所以000011(1)(1)2AE AF FE x x x x =+=+++=++｡ 设直线AE 的方程为1x my =+,因为点00(,)A x y 在直线AE 上 故001x m y -=.设11(,)B x y ,直线AB 的方程为000()2yy y x x -=-- 由于00y ≠,可得0022x y x y =-++, 代入抛物线的方程得2008840y y x y +--= 所以0108y y y +=-,可求得1008y y y =--,10044x x x =++ 所以点B 到直线AE 的距离为d ==则ABE ∆的面积00112)162S x x =⨯++≥, 当且仅当001x x =即01x =时等号成立, 所以ABE ∆的面积的最小值为16.31.【解析】(Ⅰ)在1C ,2C 方程中,令0y =,可得b=1,且得(1,0),(1,0)A B -是上半椭圆1C 的左右顶点,设1C 的半焦距为c ,由c a =及2221a c b -==,解得2a =, 所以2a =,1b =(Ⅱ)由(Ⅰ)知,上半椭圆1C 的方程为221(0)4y x y +=≥, 易知,直线l 与x 轴不重合也不垂直,设其方程为(1)(0)y k x k =-≠ 代入1C 的方程中,整理得:2222(4)240k x k x k +-+-= (*)设点P 的坐标(,)P P x y ,由韦达定理得2224P B k x x k +=+又(1,0)B ,得2244P k x k -=+,从而求得284P ky k -=+所以点P 的坐标为22248(,)44k kk k --++. 同理,由2(1)(0)1(0)y k x k y x y =-≠⎧⎨=-+≤⎩得点Q 的坐标为2(1,2)k k k ---- 22(,4)4kAP k k ∴=+,(1,2)AQ k k =-+ AP AQ ⊥,0AP AQ ∴⋅=,即222[4(2)]04k k k k --+=+ 0k ≠,4(2)0k k ∴-+=,解得83k =-经检验,83k =-符合题意,故直线l 的方程为8(1)3y x =--32.【解析】(Ⅰ)依题意2d ==,解得1c =(负根舍去) ∴抛物线C 的方程为24x y =.(Ⅱ)设点11(,)A x y ,22(,)B x y ,),(00y x P ,由24xy =,即214y x ,=得y '=12x . ∴抛物线C 在点A 处的切线PA 的方程为)(2111x x x y y -=-, 即2111212x y x x y -+=. ∵21141x y =, ∴112y x x y -=.∵点),(00y x P 在切线1l 上, ∴10102y x x y -=. ① 同理, 20202y x x y -=. ② 综合①､②得,点1122(,),(,)A x y B x y 的坐标都满足方程 y x xy -=002. ∵经过1122(,),(,)A x y B x y 两点的直线是唯一的, ∴直线AB 的方程为y x xy -=002,即00220x x y y --=. (Ⅲ)由抛物线的定义可知121,1AF y BF y =+=+, 所以()()121212111AF BF y y y y y y ⋅=++=+++联立2004220x y x x y y ⎧=⎨--=⎩,消去x 得()22200020y y x y y +-+=, 2212001202,y y x y y y y ∴+=-=0020x y --=()222200000021=221AF BF y y x y y y ∴⋅=-++-+++2200019=22+5=2+22y y y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭∴当012y =-时,AF BF ⋅取得最小值为92.33.【解析】(Ⅰ)由对称性知:BFD ∆是等腰直角∆,斜边2BD p =点A 到准线l的距离d FA FB ===122ABD S BD d p ∆=⇔⨯⨯=⇔=圆F 的方程为22(1)8x y +-=(Ⅱ)由对称性设2000(,)(0)2x A x x p >,则(0,)2p F 点,A B 关于点F 对称得:22220000(,)3222x x p B x p p x p p p --⇒-=-⇔= 得:3,)2p A ,直线3:02p p p m y x x -=+⇔=222233x x x py y y x p p p '=⇔=⇒==⇒=⇒切点)6p P直线:06p n y x x p -=⇔-= 坐标原点到,m n3=. 34.【解析】(Ⅰ)设(,)M x y ,由已知得(,3)B x -,(0,1)A -.所以MA =(,1)x y ---, MB =(0,3y --), AB =(x ,-2). 再由题意可知(MA +MB )• AB =0, 即(x -,42y --)• (x ,-2)=0.所以曲线C 的方程式为2124y x =-. (Ⅱ)设00(,)P x y 为曲线C:2124y x =-上一点,因为12y x '=,所以l 的斜率为012x ,因此直线l 的方程为0001()2y y x x x -=-,即2000220x x y y x -+-=.则O 点到l的距离2d =.又200124y x =-,所以21412,2xd+==≥当2x=0时取等号,所以O点到l距离的最小值为2.。

『高考真题·母题解密』『分项汇编·逐一击破』专题04抛物线及其性质【母题来源一】【2020年高考全国Ⅰ卷理数】已知A 为抛物线C ：y 2=2px （p >0）上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p =A ．2B ．3C ．6D ．9【答案】C【解析】设抛物线的焦点为F ，由抛物线的定义知，即，解得.||122A p AF x =+=1292p =+6p =故选C.【名师点晴】本题主要考查利用抛物线的定义计算焦半径，考查学生转化与化归思想，是一道容易题.利用抛物线的定义建立方程即可得到答案.【母题来源二】【2018年高考全国Ⅰ卷理数】设抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，过点（–2，0）且斜率为的直线与C 交于M ，N 两点，则=23FM FN ⋅A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】D【解析】根据题意，过点（–2，0）且斜率为的直线方程为，23()223y x =+与抛物线方程联立得，消元整理得：，解得，又，()22234y x y x ⎧=+⎪⎨⎪=⎩2680y y -+=()()1,2,4,4M N ()1,0F 所以，()()0,2,3,4FM FN ==从而可以求得，故选D.03248FM FN ⋅=⨯+⨯=【名师点睛】该题考查的是有关直线与抛物线相交求交点坐标所满足的条件的问题，在求解的过程中，首先需要根据题意确定直线的方程，之后需要联立方程，消元化简求解，从而确定出，之()()1,2,4,4M N 后借助于抛物线的方程求得，最后一步应用向量坐标公式求得向量的坐标，之后应用向量数量积()1,0F 坐标公式求得结果，也可以不求点M 、N 的坐标，应用根与系数的关系得到结果.【母题来源三】【2017年高考全国Ⅰ卷理数】已知F 为抛物线C ：的焦点，过F 作两条互相垂直24y x =的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为A ．16B ．14C ．12D ．10【答案】A 【解析】设，直线的方程为，11223344(,),(,),(,),(,)A x yB x y D x y E x y 1l1(1)y k x =-联立方程，得，∴，214(1)y x y k x ⎧=⎨=-⎩2222111240k x k x x k --+=21122124k x x k --+=-212124k k +=同理直线与抛物线的交点满足，2l 22342224k x x k ++=由抛物线定义可知2112342124||||2k AB DE x x x x p k ++=++++=+2222244k k ++=2212448k k ++≥，当且仅当（或）时，取等号．816+=121k k =-=1-故选A ．【名师点睛】对于抛物线弦长问题，要重点抓住抛物线定义，将到定点的距离转化到准线上；另外，直线与抛物线联立，求判别式，利用根与系数的关系是通法，需要重点掌握．考查最值问题时要能想到用函数方法和基本不等式进行解决．此题还可以利用弦长的倾斜角表示，设直线的倾斜角为，则α，则，所以22||sin pAB α=2222||πcos sin (+)2p p DE αα==222221||||4(cos sin cos p p AB DE ααα+=+=+．222222222111sin cos 4()(cos sin )4(24(22)16sin cos sin cos sin ααααααααα=++=++≥⨯+=【命题意图】通过考查抛物线的标准方程和简单几何性质，考查数形结合思想的运用和运算求解能力.重点考查方向：（1）了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.（2）掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质.（3）了解圆锥曲线的简单应用.（4）理解数形结合的思想.【命题规律】抛物线问题一般以选择题或填空题的形式考查，主要以抛物线的定义、标准方程和焦点弦问题为主，考查数形结合的思想．【答题模板】1．抛物线的离心率e ＝1，体现了抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦的问题，可以优先考虑利用抛物线的定义将点到焦点的距离转化为点到准线的距离，即或，使问题简化．2PF p x =+2PF py =+2．用待定系数法求抛物线标准方程的步骤：若无法确定抛物线的位置，则需分类讨论．特别地，已知抛物线上一点的坐标，一般有两种标准方程．3．与抛物线的焦点弦长有关的问题，可直接应用公式求解．解题时，需依据抛物线的标准方程，确定弦长公式是由交点横坐标定还是由交点纵坐标定，是p 与交点横（纵）坐标的和还是与交点横（纵）坐标的差，这是正确解题的关键．【方法总结】1．求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点的位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程．p 2．确定及应用抛物线性质的关键与技巧：（1）关键：利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时，关键是将抛物线方程化成标准方程．（2）技巧：要结合图形分析，灵活运用平面几何的性质以图助解．3．抛物线中经常根据定义把点到焦点的距离和点到准线的距离进行互相转化，从而求解．4．有关抛物线上一点M 到抛物线焦点F 和到已知点E （E 在抛物线内）的距离之和的最小值问题，可依据抛物线的图形，过点E 作准线l 的垂线，其与抛物线的交点到抛物线焦点F 和到已知点E 的距离之和是最小值．5．直线与圆锥曲线的弦长问题有三种解法：（1）过圆锥曲线的焦点的弦长问题，利用圆锥曲线的定义可优化解题．（2）将直线的方程与圆锥曲线的方程联立，求出两交点的坐标，再运用两点间距离公式求弦长．（3）它体现了解析几何中的设而不求的思想，其实质是利用两点之间的距离公式以及一元二次方程根与系数的关系.1．【新疆乌鲁木齐市第八中学2019-2020学年高三第二次月考数学试题】抛物线上的动22(0)y px p =>点到其焦点的距离的最小值为1，则（）Q p =A ．B ．112C ．2D ．4【答案】C【解析】抛物线上的动点到其焦点的距离的最小值即到准线的最小值，22(0)y px p =>Q 很明显满足最小值的点为抛物线的顶点，据此可知：.1,22pp =∴=本题选择C 选项.【名师点睛】本题主要考查抛物线的定义及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 由题意结合抛物线的定义确定点的位置，然后求解p 的值即可.2．【2020届甘肃省天水市第一中学高三下学期诊断考试数学试题】已知抛物线上的点到其y 2=ax M(1,m)焦点的距离为，则该抛物线的标准方程为（）2A ．B ．y 2=4xy 2=2xC ．D ．y 2=5xy 2=3x【答案】A【解析】抛物线的准线方程，y 2=ax x =‒a 4∵抛物线上的点到其焦点的距离为，y 2=ax M (1,m )2∴，1+a 4=2∴，即该抛物线的标准方程为，a =4y 2=4x 故选A.【名师点睛】本题考查抛物线的简单性质的应用，抛物线方程的求法，是基本知识的考查．利用抛物线的定义，转化列出方程求出a ，即可得到抛物线方程．3．【2020届陕西省西安中学高三下学期第六次模拟数学试题】一动圆的圆心在抛物线上，且动28y x =圆恒与直线相切，则此动圆必过定点（ ）20x +=A ．B ．(4,0)(2,0)C ．D ．(0,2)(0,0)【答案】B 【解析】圆心C 在抛物线上，设与直线相切的切点为A ，与x 轴交点为M ，由抛物线的定义可知，20x +=CA ＝CM ＝R ，直线为抛物线的准线，故根据抛物线的定义得到该圆必过抛物线的焦20x +=点．()2,0故选B.【名师点睛】这个题目考查了抛物线的定义的应用以及圆的定义的应用，一般和抛物线有关的小题，很多时可以应用结论来处理的；平时练习时应多注意抛物线的结论的总结和应用．尤其和焦半径联系的题目，一般都和定义有关，实现点点距和点线距的转化．设圆和x 轴相交于M 点，根据圆的定义得到CA ＝CM ＝R ，因为x =-2,是抛物线的准线，结合抛物线的定义得到M 点为焦点.4．【2020届广东省惠州市高三6月模拟数学试题】已知是抛物线的焦点，过焦点的直线交抛F y 2=4x F l 物线的准线于点，点在抛物线上且，则直线的斜率为（ ）P A |AP|=|AF|=3l A ．±l B ．2C ．D ．±222【答案】C【解析】因为点在抛物线上，且，点在抛物线的准线上，A y 2=4x |AP|=|AF|=3P 由抛物线的定义可知，直线，设，AP ⊥l A(x,y)则，解得，所以，故，|AP |=x +p2=x +1=3x =2y 2=8A(2,±22)故，又，P(‒1,±22)F(1,0)所以直线的斜率为.l k PF =±22‒2=±2故选C.【名师点睛】本题主要考查求抛物线中直线的斜率，熟记抛物线的定义即可，属于常考题型. 先根据，结合抛物线的定义，求出点坐标，得到点坐标，进而可得直线斜率.|AP|=|AF|=3A P 5．【安徽省滁州市定远县重点中学2020届高三下学期5月模拟数学试题】已知抛物线的焦点为，y 2=2x F 点在抛物线上，以为边作一个等边三角形，若点在抛物线的准线上，则=（ ）P PF PFQ Q |PF |A ．B ．12C ．D ．2223【答案】B【解析】抛物线的焦点坐标，1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭由抛物线的定义可得等于到准线的距离，PF P 因为在准线上，所以与准线垂直与轴平行，,PF PQ Q =PQ x 因为三角形为正三角形，PFQ 所以33QFO PFx ππ∠=⇒∠=可得直线，1:2PF y x ⎫=-⎪⎭可得，2212y xy x ⎧=⎪⎨⎫=-⎪⎪⎭⎩可得，则，32x=y =3,2P ⎛ ⎝等于到准线的距离，故选B.PF P 31222+=【名师点睛】本题考查抛物线的定义与简单性质的应用，属于难题. 求出抛物线的焦点坐标，利用(12,0)抛物线的定义求出直线的倾斜角，可得直线方程，直线方程与抛物线方程联立求得点坐标，再利用抛P 物线的定义求解即可.与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到点的距离与点到直线的距离的转化：（1）将抛线上的点到准线距离转化为该点到焦点的距离；(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，使问题得到解决.6．【河北省保定市七校2019-2020学年高三上学期第三次联考数学试题】已知是抛物线上一M 24x y =点，为其焦点，为圆的圆心，则的最小值为（ ）F C 22(1)(2)1x y ++-=||||MF MC +A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B【解析】设抛物线的准线方程为，为圆的圆心，所以的24x y =:1l y =-C 22(1)(2)1x y ++-=C 坐标为，过作的垂线，垂足为，根据抛物线的定义可知，所以问题求(1,2)-M l E ||||MF ME =的最小值，就转化为求的最小值，由平面几何的知识可知，当，，||||MF MC +||||MF MC +C M 在一条直线上时，此时，有最小值，最小值为，E CE l ⊥||||ME MC +2(1)3CE =--=故选：B ．【名师点睛】本题考查了抛物线的定义，以及动点到两点定点距离之和最小问题．解决本题的关键是利用抛物线的定义把问题进行转化，属于中档题．设出抛物线的准线方程，问题求的最小||||MF MC +值，结合抛物线的定义，就转化为，在抛物线上找一点，使到点、到抛物线准线距离之和最M M C 小，利用平面几何的知识可以求解出来．7．【2020届河南省濮阳市高三摸底考试数学试题】已知F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，过点F 且斜率为1的直线交抛物线于A ，B 两点，则||FA |﹣|FB ||的值等于（ ）A ．B ．8C ．D ．4【答案】C【解析】F （1，0），故直线AB 的方程为y ＝x ﹣1，联立方程组，可得x 2﹣6x +1＝0，241y x y x ⎧=⎨=-⎩设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由根与系数的关系可知x 1+x 2＝6，x 1x 2＝1．由抛物线的定义可知：|FA |＝x 1+1，|FB |＝x 2+1，∴||FA |﹣|FB ||＝|x 1﹣x 2|．==故选C ．【名师点睛】本题考查了抛物线的定义，直线与抛物线的位置关系，属于中档题．将直线方程代入抛物线方程，根据根与系数的关系和抛物线的定义即可得出的值．1y x =-FA FB -8．【2020届四川省棠湖中学高三下学期第一次在线月考数学试题】若抛物线y 2=4x 上一点P 到其焦点F 的距离为2，O 为坐标原点，则△OFP 的面积为（）A ．B ．112C ．D ．232【答案】B【解析】由抛物线的方程，知其准线为，，设，则由抛物线的定义，有1x =-(1,0)F (,)P P P x y ，所以，所以，所以，故选B ．12p x +=1p x =2p y =±1112122OFP P S OF y ∆=⨯⨯=⨯⨯=9．【江西省南昌市2019届高三二模考试数学试题】已知抛物线的焦点为，点在该抛物线上，28y x =F P 且在轴上的投影为点，则的值为（ ）P y E ||||PF PE -A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】因为抛物线，28y x =所以抛物线的准线方程为，2x =-因为在轴上的投影为点，P y E 所以即为点到的距离减去2，PE ||P 2x =-因为点在该抛物线上，P 故点到的距离等于，P 2x =-||PF 所以,PE PF 2=-||||故，||||PF PE 2-=故选B.【名师点睛】本题考查了抛物线的定义，解决问题的关键是要利用抛物线的定义将进行转化.||PE 在轴上的投影为点，由抛物线的定义可得，，故可得结果.P y E PE PF 2=-||||10．【河北省石家庄一中2019-2020学年高三下学期3月质检数学试题】已知抛物线的焦点为，24y x =F 过点和抛物线上一点的直线交抛物线于另一点，则等于（ ）F (2,M l N ||:||NF FM A ．B ．1:3C ．D．1:2【答案】D【解析】抛物线y 2＝4x 的焦点F 为（1，0），则直线MF，=则有，)1l y x =-：联立方程组，)241y x yx ⎧=⎪⎨=-⎪⎩解得，12N ⎛ ⎝由于抛物线的准线方程为x ．1=-∴由抛物线的定义可得，，13122NF =+=∴，213MF =+=∴|NF |：|FM |＝1：2，故选D ．【名师点睛】本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查直线方程和抛物线方程联立，求解交点，考查运算能力，属于基础题．求出抛物线的焦点和准线方程，设出直线l 的方程，联立抛物线方程求得点N ，再由抛物线的定义可得NF ，MF 的长，计算即可得到所求值．11．【2020届辽宁省锦州市渤大附中、育明高中高三下学期开学摸底考试数学试题】已知抛物线：C 的焦点为，过且倾斜角为的直线与抛物线交于，两点，若，22(0)y px p =>F F 120︒C A B AF 的中点在轴上的射影分别为，，且的准线方程为（ ）BF y M N MN =C A ．B ．32x =-2x =-C ．D ．3x =-4x =-【答案】C【解析】设AF,FB 的中点分别为D,E,则|AB |=2|DE |,由题得|DE所以|DE |=8,所以|AB |=16，8,=设，则，1122(,),(,)A x y B x y 1212++16,+16x x p x x p=∴=-联立直线和抛物线的方程得，22223,3504)2y pxx px p py x ⎧=⎪∴-+=⎨=-⎪⎩所以，516-,63pp p =∴=所以抛物线的准线方程为x =-3.故选C.【名师点睛】本题主要考查抛物线的简单几何性质，考查抛物线的定义和准线方程，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 设AF,FB 的中点分别为D,E,求出|AB |=16，再利用直线和抛物线的方程利用韦达定理求出p 的值，即得抛物线的准线方程.12．【广东省惠州市2019-2020学年高三第三次调研考试数学试题】已知是抛物线的焦点，点，F 2y x =A 在该抛物线上且位于轴的两侧，（其中为坐标原点），则与面积B x 2OA OB ⋅=O ABO ∆AFO ∆之和的最小值是（ ）A ．B ．23C D 【答案】B【解析】据题意得，设，则，1(,0)4F 1122(,),(,)A x y B x y 221122,x y x y ==或，因为位于轴两侧所以.所以两面积之和为221212122,2y y y y y y +==-121y y =,A B x 122y y =-12211111224S x y x y y =-+⨯⨯221221121111112248y y y y y y y y =-+⨯⨯=-+⨯111218y y y =++⨯.11298y y =+112938y y =+≥13．【江西省新余市2019届高三第二次模拟考试数学试题】已知抛物线，过其焦点2:2(0)C y px p =>的直线交抛物线于两点，若，且抛物线上存在点与轴上一点关于F l ,A B 3AF FB =C P x (7,0)Q 直线对称，则该抛物线的焦点到准线的距离为（ ）l A ．4B ．5C ．D ．6112【答案】D【解析】设抛物线与的准线为，()220y px p =>':2p l x =-不妨设A 在第一象限，如图所示，分别过点作，垂足为，,A B ','AM l BM l ⊥⊥,M N 过点作交于点，B BC AM ⊥C 则，，,AM AF BN BF==334AF BF AB ==，12AM BN AC AF BF AB ∴-==-=在中，由，可得，Rt ABC ∆12AC AB =60BAC ∠= 轴，，，//AM x 60BAC AFx ∴∠=∠=tan 60ABk ∴==直线方程，由可得2p y x ⎫=-⎪⎭77222P P P P y x y x p ⎧=⎪-⎪⎨+⎫⎪=-⎪⎪⎭⎩点的坐标：,，P 3742P x p =-)2P p y =-代入抛物线的方程化简可得：（负值舍去），234840p p --=6p ⇒=该抛物线的焦点到准线的距离为，6故选D.【名师点睛】本题主要考查抛物线的定义和几何性质，属于难题.抛物线中与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到点的距离与点到直线的距离的转化：（1）将抛线上的点到准线距离转化为该点到焦点的距离；(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，使问题得到解决.14．【2020届湖南师范大学附属中学高三上学期第五次月考数学试题】《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”，讲述了“勾股定理”及一些应用，还提出了一元二次方程的解法问题直角三角形的三条边长分别称“勾”“股”“弦”．设点F 是抛物线y 2=2px 的焦点，l 是该抛物线的准线，过抛物线上一点A 作准线的垂线AB ，垂足为B ，射线AF 交准线l 于点C ，若的“勾”Rt ABC A 、“股”，则抛物线方程为（）3AB =CB =A ．B ．22y x =23y x =C ．D ．24y x =26y x =【答案】B【解析】由题意可知，抛物线的图形如图：，AB 3=BC =可得，AC 6==所以，是正三角形，并且是的中点，所以，则，CAB 60∠=︒ABF A F AC AB 3=3P 2=所以抛物线方程为：．2y 3x =故选B ．【名师点睛】本题主要考查了抛物线的简单性质的应用，直线与抛物线的位置关系的应用，其中解答中合理应用抛物线的定义，合理计算是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及运算与求解能力，属于基础题．画出抛物线的图形，利用已知条件转化求解，即可得到抛物线的标准方程，得到答P 案．15．【山东省日照五莲县丶潍坊安丘市、潍坊诸城市、临沂兰山区2020届高三6月模拟数学试题】如图，点是抛物线的焦点，点，分别在抛物线及圆的实线部分上F 28y x =A B 28y x =22(2)16x y -+=运动，且始终平行于轴，则的周长的取值范围是（）AB x ABF ∆A ．B ．(2,6)(6,8)C ．D ．(8,12)(10,14)【答案】C【解析】抛物线的准线，焦点，2l x =-：20F（，）由抛物线定义可得，2A AF x =+圆的圆心为，半径为4，()22216x y -+=20（，）∴的周长，FAB △()246A B A BAF AB BF x x x x =++=++-+=+由抛物线及圆可得交点的横坐标为2，28y x =()22216x y -+=∴，∴，故选C.26B x ∈（，）()6812B x +∈，【名师点睛】本题主要考查抛物线的定义，考查抛物线与圆的位置关系，确定点横坐标的范围是关B 键，属于中档题. 由抛物线定义可得，从而的周长2A AF x =+FAB A ，确定点横坐标的范围，即可得到结论．()246A B A BAF AB BF x x x x =++=++-+=+B。

专题19 抛物线考纲解读明方向考点内容解读要求常考题型预测热度1.抛物线的定义及其标准方程掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质掌握选择题解答题★★★2.抛物线的几何性质掌握选择题解答题★★★3.直线与抛物线的位置关系掌握选择题解答题★★★分析解读何性质,会由几何性质确定抛物线的标准方程.3.能够把直线与抛物线的位置关系的问题转化为方程组解的问题,判断位置关系及解决相关问题.4.本节在高考中以求抛物线的方程和研究抛物线的性质为主,分值约为12分,属偏难题.2018年高考全景展示1．【2018年理新课标I卷】设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点（–2，0）且斜率为的直线与C交于M，N两点，则=A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】D点睛：该题考查的是有关直线与抛物线相交求有关交点坐标所满足的条件的问题，在求解的过程中，首先需要根据题意确定直线的方程，之后需要联立方程组，消元化简求解，从而确定出，之后借助于抛物线的方程求得，最后一步应用向量坐标公式求得向量的坐标，之后应用向量数量积坐标公式求得结果，也可以不求点M、N的坐标，应用韦达定理得到结果.2．【2018年浙江卷】如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y2=4x上存在不同的两点A，B 满足P A，PB的中点均在C上．（Ⅰ）设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；（Ⅱ）若P是半椭圆x2+=1(x<0)上的动点，求△P AB面积的取值范围．【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）【解析】分析: （Ⅰ）设P,A,B的纵坐标为，根据中点坐标公式得P A,PB的中点坐标，代入抛物线方程，可得，即得结论，（Ⅱ）由（Ⅰ）可得△P AB面积为，利用根与系数的关系可表示为的函数，根据半椭圆范围以及二次函数性质确定面积取值范围.详解：（Ⅰ）设，，．因为，的中点在抛物线上，所以，为方程，即的两个不同的实数根．所以．因此，垂直于轴．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，所以，．因此，的面积．因为，所以．因此，面积的取值范围是．点睛：求范围问题，一般利用条件转化为对应一元函数问题，即通过题意将多元问题转化为一元问题，再根据函数形式，选用方法求值域，如二次型利用对称轴与定义区间位置关系，分式型可以利用基本不等式，复杂性或复合型可以利用导数先研究单调性，再根据单调性确定值域.3．【2018年理北京卷】已知抛物线C：=2px经过点（1，2）．过点Q（0，1）的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线P A交y轴于M，直线PB交y轴于N．（Ⅰ）求直线l的斜率的取值范围；（Ⅱ）设O为原点，，，求证：为定值．【答案】(1)取值范围是（-∞，-3）∪（-3，0）∪（0，1）(2)证明过程见解析详解：解：（Ⅰ）因为抛物线y2=2px经过点P（1，2），所以4=2p，解得p=2，所以抛物线的方程为y2=4x．由题意可知直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为y=kx+1（k≠0）．由得．依题意，解得k<0或0<k<1．又P A，PB与y轴相交，故直线l不过点（1，-2）．从而k≠-3．所以直线l斜率的取值范围是（-∞，-3）∪（-3，0）∪（0，1）．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2）．由（I）知，．直线P A的方程为y–2=．令x=0，得点M的纵坐标为．同理得点N的纵坐标为．由，得，．所以．所以为定值．点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.2017年高考全景展示1.【2017课标1，理10】已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为 A ．16B ．14C ．12D ．10【答案】A【解析】试题分析：设11223344(,),(,),(,),(,)A x y B x y D x y E x y ，直线1l 方程为1(1)y k x =-联立方程214(1)y x y k x ⎧=⎨=-⎩得2222111240k x k x x k --+=∴21122124k x x k --+=-212124k k += 同理直线2l 与抛物线的交点满足22342224k x x k ++= 由抛物线定义可知1234||||2AB DE x x x x p +=++++22122222121224244448816k k k k k k ++=++=++≥+=当且仅当121k k =-=（或1-）时，取得等号. 【考点】抛物线的简单性质【名师点睛】对于抛物线弦长问题，要重点抓住抛物线定义，到定点的距离要想到转化到准线上，另外，直线与抛物线联立，求判别式、韦达定理是通法，需要重点掌握.考查到最值问题时要能想到用函数方法进行解决和基本不等式.此题还可以利用弦长的倾斜角表示，设直线的倾斜角为α，则22||cos pAB α=，则2222||sin cos ()2p pDE παα==-，所以22222211||||4()cos sin cos sin p p AB DE αααα+=+=+ 2222222211sin cos 4()(cos sin )4(2)4(22)16cos sin cos sin αααααααα=++=++≥⋅+=2.【2017课标II ，理16】已知F 是抛物线C :28y x =的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N 。

07-09年高考理科数学真题演练分类解析：抛物线(总12页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除【考点25】抛物线1.(2007广东文11) 11．在平面直角坐标系x O y 中,有一定点A (2,1).若线段OA 的垂直平分线过抛物线y 2=2px (p >0)的焦点,则该抛物线的准线方程是 .2.(2009上海春5)抛物线x y =2的准线方程是 .3.(2008海南宁夏11)已知点P 在抛物线x y 42=上，那么点P 到点)1,2(-Q 的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为（A ）)1,41(-（B ）)1,41(（C ）)2,1(（D ）)2,1(-4.(2007山东13)设O 是坐标原点，F 是抛物线)0(22>=p px y 的焦点，A 是抛物线上的一点，FA 与x 轴正向的夹角为60°，则||OA 为 .5.(2008山东22)（14分）如图，设抛物线方程为)0(22>=p py x ，M 为直线y=－2p 上任意一点，过M 引抛物线的切线， 切点分别为A ，B .（Ⅰ）求证：A ，M ，B 三点的横坐标成等差数列； （Ⅱ）已知当M 点的 坐标（2，－2p ）时，104||=AB. 求此时抛物线的方 程；（III ）是否存在点M ，使得点C 关于直线AB 的对称点D 在抛物线)0(22>=p py x 上，其中，点C 满足OB OA OC +=（O 为坐标原点）. 若存在，求出所有适合题意的点M 的坐标；若不存在，请说明理由.6、(2009天津9)设抛物线2y =2x 的焦点为F ，过点M （3，0）的直线与抛物线相交于A ，B 两点，与抛物线的准线相交于C ，BF =2，则∆BCF 与∆ACF 的成面积之比BCFACFS S ∆∆=（A ）45 （B ）23 （C ）47 （D ）127．（2009福建理13）过抛物线)0(22>=p px y 的焦点F 作倾斜角为450的直线交抛物线于A 、B 两点，线段AB 的长为8，则=p ．8．（2009浙江文22）已知抛物线)0(2:2>=p py x C 上一点A （m ,4）到其焦点的距离为417. （Ⅰ）求p 与m 的值；（Ⅱ）设抛物线C 上一点P 的横坐标为)0(>t t ，过P 的直线交C 于另一点Q ，交x 轴于点M ，过点Q 作PQ 的垂线交C 于另一点N .若MN 是C 的切线，求t 的最小值.9．（2009上海文9）过点A （1，0）作倾斜角为4π的直线，与抛物线22y x =交于M N 、两点，则MN = 。

第6讲 抛物线一、选择题1．抛物线x 2＝(2a －1)y 的准线方程是y ＝1，则实数a ＝( )A.52B.32 C ．－12 D ．－32解析 根据分析把抛物线方程化为x 2＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫12－a y ，则焦参数p ＝12－a ，故抛物线的准线方程是y ＝p 2＝12－a 2，则12－a2＝1，解得a ＝－32.答案 D 2．若抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点在圆x 2＋y 2＋2x －3＝0上，则p ＝( ) A.12 B ．1 C ．2D ．3解析 ∵抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为(p 2，0)在圆x 2＋y 2＋2x －3＝0上，∴p 24＋p －3＝0，解得p ＝2或p ＝－6(舍去)． 答案 C3．已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线y ＝2x －4与C 交于A ，B 两点，则cos ∠AFB ＝( )． A.45B.35C ．－35D ．－45解析 由⎩⎨⎧y 2＝4xy ＝2x －4，得x 2－5x ＋4＝0，∴x ＝1或x ＝4.不妨设A (4,4)，B (1，－2)，则|F A →|＝5，|FB →|＝2，F A →·FB →＝(3,4)·(0，－2)＝－8，∴cos ∠AFB ＝F A →·FB →|F A →||FB →|＝－85×2＝－45.故选D. 答案 D4．已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2.若抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2，则抛物线C 2的方程为( )．A ．x 2＝833y B ．x 2＝1633y C ．x 2＝8yD ．x 2＝16y解析 ∵x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率为2，∴c a ＝2，即c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝4，∴ba ＝ 3.x 2＝2py的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±b a x ，即y ＝±3x .由题意，得p 21＋(3)2＝2，∴p ＝8.故C 2：x 2＝16y ，选D. 答案 D5．已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝12，P 为C 的准线上一点，则△ABP 的面积为( )． A ．18 B ．24 C ．36 D ．48 解析 如图，设抛物线方程为y 2＝2px (p ＞0)． ∵当x ＝p2时，|y |＝p ，∴p ＝|AB |2＝122＝6. 又P 到AB 的距离始终为p ， ∴S △ABP ＝12×12×6＝36.答案 C6．已知P 是抛物线y 2＝4x 上一动点，则点P 到直线l ：2x －y ＋3＝0和y 轴的距离之和的最小值是( )． A. 3B. 5C ．2D.5－1解析 由题意知，抛物线的焦点为F (1,0)．设点P 到直线l 的距离为d ，由抛物线的定义可知，点P 到y 轴的距离为|PF |－1，所以点P 到直线l 的距离与到y 轴的距离之和为d ＋|PF|－1.易知d ＋|PF |的最小值为点F 到直线l 的距离，故d＋|PF|的最小值为|2＋3|22＋(－1)2＝5，所以d＋|PF|－1的最小值为5－1.答案 D二、填空题7．已知动圆过点(1,0)，且与直线x＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为________．解析设动圆的圆心坐标为(x，y)，则圆心到点(1,0)的距离与其到直线x＝－1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y2＝4x.答案y2＝4x8．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线与x轴的交点为M，N为抛物线上的一点，且满足|NF|＝32|MN|，则∠NMF＝________.解析过N作准线的垂线，垂足是P，则有PN＝NF，∴PN＝32MN，∠NMF＝∠MNP.又cos∠MNP＝3 2，∴∠MNP＝π6，即∠NMF＝π6.答案π69．如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽________米．解析如图建立平面直角坐标系，设抛物线方程为x2＝－2py.由题意A(2，－2)代入x2＝－2py，得p＝1，故x2＝－2y.设B(x，－3)，代入x2＝－2y中，得x＝6，故水面宽为26米．答案 2 610．过抛物线y 2＝2x 的焦点F 作直线交抛物线于A ，B 两点，若|AB |＝2512，|AF |<|BF |，则|AF |＝________.解析 设过抛物线焦点的直线为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，联立得，⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x ，y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，整理得，k 2x 2－(k 2＋2)x ＋14k 2＝0，x 1＋x 2＝k 2＋2k 2，x 1x 2＝14.|AB |＝x 1＋x 2＋1＝k 2＋2k 2＋1＝2512，得，k 2＝24，代入k 2x 2－(k 2＋2)x ＋14k 2＝0得，12x 2－13x ＋3＝0，解之得x 1＝13，x 2＝34，又|AF |<|BF |，故|AF |＝x 1＋12＝56. 答案 56 三、解答题11．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为33，以原点为圆心、椭圆短半轴长为半径的圆与直线y ＝x ＋2相切． (1)求a 与b ；(2)设该椭圆的左、右焦点分别为F 1，F 2，直线l 1过F 2且与x 轴垂直，动直线l 2与y 轴垂直，l 2交l 1于点P .求线段PF 1的垂直平分线与l 2的交点M 的轨迹方程，并指明曲线类型． 解 (1)由e ＝c a ＝1－b 2a 2＝33，得b a ＝63.又由原点到直线y ＝x ＋2的距离等于椭圆短半轴的长，得b ＝2，则a ＝ 3. (2)法一 由c ＝a 2－b 2＝1，得F 1(－1,0)，F 2(1,0)． 设M (x ，y )，则P (1，y )．由|MF 1|＝|MP |，得(x ＋1)2＋y 2＝(x －1)2，即y 2＝－4x ，所以所求的M 的轨迹方程为y 2＝－4x ，该曲线为抛物线．法二 因为点M 在线段PF 1的垂直平分线上，所以|MF 1|＝|MP |，即M 到F 1的距离等于M 到l 1的距离．此轨迹是以F 1(－1,0)为焦点，l 1：x ＝1为准线的抛物线，轨迹方程为y 2＝－4x .12．已知抛物线C ：y 2＝4x ，过点A (－1,0)的直线交抛物线C 于P 、Q 两点，设AP →＝λAQ→. (1)若点P 关于x 轴的对称点为M ，求证：直线MQ 经过抛物线C 的焦点F ； (2)若λ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，12，求|PQ |的最大值．思维启迪：(1)可利用向量共线证明直线MQ 过F ；(2)建立|PQ |和λ的关系，然后求最值．(1)证明 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，M (x 1，－y 1)． ∵AP →＝λAQ →，∴x 1＋1＝λ(x 2＋1)，y 1＝λy 2，∴y 21＝λ2y 22，y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，x 1＝λ2x 2，∴λ2x 2＋1＝λ(x 2＋1)，λx 2(λ－1)＝λ－1， ∵λ≠1，∴x 2＝1λ，x 1＝λ，又F (1,0)， ∴MF →＝(1－x 1，y 1)＝(1－λ，λy 2) ＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫1λ－1，y 2＝λFQ →， ∴直线MQ 经过抛物线C 的焦点F . (2)由(1)知x 2＝1λ，x 1＝λ， 得x 1x 2＝1，y 21·y 22＝16x 1x 2＝16， ∵y 1y 2>0，∴y 1y 2＝4， 则|PQ |2＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝x 21＋x 22＋y 21＋y 22－2(x 1x 2＋y 1y 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫λ＋1λ2＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫λ＋1λ－12 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫λ＋1λ＋22－16， λ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，12，λ＋1λ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤52，103， 当λ＋1λ＝103，即λ＝13时，|PQ |2有最大值1129，|PQ |的最大值为473.13．设抛物线C：x2＝2py(p＞0)的焦点为F，准线为l，A为C上一点，已知以F 为圆心，F A为半径的圆F交l于B，D两点．(1)若∠BFD＝90°，△ABD的面积为4 2，求p的值及圆F的方程；(2)若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值．解(1)由已知可得△BFD为等腰直角三角形，|BD|＝2p，圆F的半径|F A|＝2 p.由抛物线定义可知A到l的距离d＝|F A|＝2p.因为△ABD的面积为4 2，所以12|BD|·d＝4 2，即12·2p·2p＝4 2，解得p＝－2(舍去)或p＝2.所以F(0,1)，圆F的方程为x2＋(y－1)2＝8.(2)因为A，B，F三点在同一直线m上，所以AB为圆F的直径，∠ADB＝90°.由抛物线定义知|AD|＝|F A|＝12|AB|.所以∠ABD＝30°，m的斜率为33或－33.当m的斜率为33时，由已知可设n：y＝33x＋b，代入x2＝2py得x2－2 33px－2pb＝0.由于n与C只有一个公共点，故Δ＝43p2＋8pb＝0，解得b＝－p 6.因为m的纵截距b1＝p2，|b1||b|＝3，所以坐标原点到m，n距离的比值为3.当m的斜率为－33时，由图形对称性可知，坐标原点到m，n距离的比值为3.综上，坐标原点到m，n距离的比值为3.14．如图所示，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P(1,2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上．(1)写出该抛物线的方程及其准线方程；(2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y1＋y2的值及直线AB的斜率．解(1)由已知条件，可设抛物线的方程为y2＝2px(p＞0)．∵点P(1,2)在抛物线上，∴22＝2p×1，解得p＝2.故所求抛物线的方程是y2＝4x，准线方程是x＝－1.(2)设直线PA的斜率为k PA，直线PB的斜率为k PB，则k PA＝y1－2x1－1(x1≠1)，k PB＝y2－2x2－1(x2≠1)，∵PA与PB的斜率存在且倾斜角互补，∴k PA＝－k PB. 由A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上，得y21＝4x1，①y22＝4x2，②∴y1－214y21－1＝－y2－214y22－1，∴y1＋2＝－(y2＋2)．∴y1＋y2＝－4.由①－②得，y21－y22＝4(x1－x2)，∴k AB＝y1－y2x1－x2＝4y1＋y2＝－1(x1≠x2)．高考资源网（ ） 您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！（上海，甘肃，内蒙，新疆，陕西，山东，湖北）七地区试卷投稿QQ 2355394501。