配套K12高中数学 第2章 数列 2.3 等比数列 第1课时 等比数列的概念及通项公式同步练习 新人

由②得a1＝2q，代入①得2q2－5q＋2＝0，
∴q＝2，或q＝12.当q＝2时，a1＝1，an＝2n－1；当q＝12时，a1＝4，an＝23－n.
解法二：∵a1a3＝a22，∴a1a2a3＝a32＝8，∴a2＝2.
从而
a1＋a3＝5 a1a3＝4
，解之得a1＝1，a3＝4，或a1＝4，a3＝1，当a1＝1时，q＝
– 第二级 ∴aa21aa32＝q2＝16，
∴q＝±•4.第三级
又∵a1a2＝–a21q第＝四16级>0，∴q>0，∴q＝4. » 第五级
互动探究学案
命•题单方向例击题1 此1⇨等处比数编列辑的通母项公版式文本样式
– 第二级
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[解析] 解法一：由等比数列的定义知a2＝a1q，a3＝a1q2，代入已知得， aa11＋·a1aq1·qa＋1q2a＝1q82＝7，即aa311q13＝＋8q＋q2＝7，∴aa11q1＝＋2q②＋q2＝7①.
• 第三级
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– 第二级 [解析] 设公比为q，则a3＝a1q2，∴q2＝－ －82＝4，∴q＝±2.
∴an＝•(－第2)三×2级n－1＝－2n
或an＝(－2–)×第(－四2级)n－1＝(－2)n. » 第五级
• 单击此处编辑母版文本样式 [解析] 由anan＋1＝16n，得a1a2＝16，a2a3＝162，
2；当a1＝4时，q＝12.故an＝2n－1，或an＝23－n.
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– 第二级
• 第三级
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[解–析第] 二(1)设级公比为q，由题意，得

如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的 比都等于同一个常数，那么这个数列就叫作等比数列， 这个常数叫作等比数列的公比，通常用字母 q(q≠0)表示．
这一定义常被简述为若aan＋n 1＝q(n∈N*)，则数列{an} 是等比数列．关于定义理解应注意：
题型 1 等比数列的判定 [典例 1] 在数列{an}中，若 an>0，且 an＋1＝2an＋ 3(n∈N*)．证明：数列{an＋3}是等比数列． 证明：法一：因为 an>0，所以 an＋3>0. 又因一项与它的前一项的比都等于同 一个常数，那么这个数列叫等比数列，这个常数叫作等 比数列的公比．
2．等比数列{an}的通项公式 an＝a1·qn－1(q≠0)． 3．如果 a，G，b 三个数满足 G2＝ab.则 G 称为 a 与 b 的等比中项．
知识点 1 等比数列的定义

探究
(tànjiū)
探究四
三
【典型例题 2】 (1)等差数列{an}中,公差 d≠0,且 a1,a3,a9 成等比数列,
1+3+9
的值;
2+4+10
求
(2)若 a,2a+2,3a+3 成等比数列,求实数 a 的值.
思路分析:利用等比中项的概念 G2=ab 建立等量关系求解.
解:(1)由题意知 a3 是 a1 和 a9 的等比中项,
-1
+

-1
,通过求该等比数列的通项公式可得 an.
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,从而构造一个等比
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探究
(tànjiū)
一
探究
(tànjiū)
二
J 基础知识 Z 重点难点
ICHU ZHISHI
HONGDIAN NANDIAN
S 随堂练习
UITANG LIANXI
探究
(tànjiū)
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1
1.已知等比数列{an}满足 a1+a2=3,a2+a3=6,则 a7 等于(
A.64
B.81
C.128
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UITANG LIANXI
探究
(tànjiū)
探究四
三
解:(1)∵a1=-1,an=3an-1-2n+3,∴a2=3a1-2×2+3=-4,a3=3a2-2×3+3=-15.

第1课时 等比数列的概念及通项公式课后篇巩固探究A 组 1.若a ,b ,c 成等差数列,则(13)a ,(13)b ,(13)c一定()A.是等差数列B.是等比数列C.既是等差数列也是等比数列D.既不是等差数列也不是等比数列解析因为a ,b ,c 成等差数列,所以2b=a+c ,于是[(13)b]2=(13)2b =(13)a+c =(13)a ·(13)c,所以(13)a ,(13)b ,(13)c一定是等比数列.答案B2.在等比数列{a n }中,a 2 017=-8a 2 014,则公比q 等于( ) A.2 B.-2 C.±2 D.解析由a 2 017=-8a 2 014,得a 1q 2 016=-8a 1q 2 013,所以q 3=-8,故q=-2. 答案B3.在等比数列{a n }中,a n >0,且a 2=1-a 1,a 4=9-a 3,则a 4+a 5的值为( ) A.16 B.27 C.36 D.81解析由a 2=1-a 1,a 4=9-a 3,得a 1+a 2=1,a 4+a 3=9.设公比为q ,则q 2=a 3+a4a 1+a 2=9.因为a n >0,所以q=3,于是a 4+a 5=(a 1+a 2)q 3=27. 答案B4.已知等差数列{a n }的公差为2,若a 1,a 3,a 4成等比数列,则a 2=( ) A.-4 B.-6 C.-8 D.-10 解析∵a 4=a 1+6,a 3=a 1+4,a 1,a 3,a 4成等比数列,∴a 32=a 1·a 4,即(a 1+4)2=a 1·(a 1+6), 解得a 1=-8,∴a 2=a 1+2=-6.故选B . 答案B5.已知数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1=1,S n =2a n+1,则S n =( ) A .2n-1B .(32)n -1C .(23)n -1D .12n -1解析由S n =2a n+1,得S n =2(S n+1-S n ),即2S n+1=3S n ,Sn+1S n=32.又S 1=a 1=1,所以S n =(32)n -1,故选B .答案B6.已知等比数列{a n },a 3=3,a 10=384,则该数列的通项a n = . 解析设公比为q.∵a 10a 3=q 7=3843=27,∴q=2.∴a n =a 3q n-3=3·2n-3.答案3·2n-37.在数列{a n }中,已知a 1=3,且对任意正整数n 都有2a n+1-a n =0,则a n = .解析由2a n+1-a n =0,得a n+1a n=12,所以数列{a n }是等比数列,公比为.因为a 1=3,所以a n =3·(12)n -1.答案3·(12)n -18.在等比数列{a n }中,若a 1=,q=2,则a 4与a 8的等比中项是 .解析依题意,得a 6=a 1q 5=×25=4,而a 4与a 8的等比中项是±a 6,故a 4与a 8的等比中项是±4. 答案±4 9.导学号04994040已知数列{a n }是等差数列,且a 2=3,a 4+3a 5=56.若log 2 b n =a n .(1)求证:数列{b n }是等比数列; (2)求数列{b n }的通项公式.(1)证明由log 2 b n =a n ,得b n =2a n .因为数列{a n }是等差数列,不妨设公差为d ,则b nb n -1=2a n 2a n -1=2a n -a n -1=2d,2d是与n 无关的常数,所以数列{b n }是等比数列.(2)解由已知,得{a 1+d =3,a 1+3d +3(a 1+4d )=56,解得{a 1=-1,d =4,于是b 1=2-1=,公比q=2d=24=16,所以数列{b n }的通项公式b n =·16n-1.10.已知数列{a n }满足a 1=78,且a n+1=a n + (n ∈N *). (1)求证:{a n -23}是等比数列; (2)求数列{a n }的通项公式.(1)证明∵a n+1=a n +,∴a n+1-23=12a n +13−23=12(a n -23).∴a n+1-23a n -23=12.∴{a n -23}是首项为524,公比为的等比数列.(2)解∵a n -23=524×(12)n -1,∴a n =524×(12)n -1+23.B 组1.若a ,b ,c 成等差数列,而a+1,b ,c 和a ,b ,c+2都分别成等比数列,则b 的值为( ) A.16 B.15 C.14 D.12 解析依题意,得{2b =a +c ,b 2=(a +1)c ,b 2=a (c +2),解得{a =8,b =12,c =16.答案D2.在等比数列{a n }中,a 1=1,公比|q|≠1.若a m =a 1a 2a 3a 4a 5,则m 等于( ) A.9 B.10 C.11 D.12解析∵a m =a 1a 2a 3a 4a 5=q ·q 2·q 3·q 4=q 10=1×q 10, ∴m=11. 答案C3.已知等比数列{a n },各项都是正数,且a 1, a 3,2a 2成等差数列,则a 9+a10a 7+a 8=( )A.3+2√2B.1-√2C.1+√2D.3-2√2解析由a 1, a 3,2a 2成等差数列,得a 3=a 1+2a 2.在等比数列{a n }中,有a 1q 2=a 1+2a 1q ,即q 2=1+2q ,得q=1+√2或1-√2(舍去),所以a 9+a 10a 7+a 8=q 2=(1+√2)2=3+2√2. 答案A4.已知-7,a 1,a 2,-1四个实数成等差数列,-4,b 1,b 2,b 3,-1五个实数成等比数列,则a 2-a 1b 2= .解析由题意,得a 2-a 1=-1-(-7)3=2,b 22=(-4)×(-1)=4.又b 2是等比数列中的第3项,所以b 2与第1项同号,即b 2=-2,所以a 2-a1b 2=2-2=-1. 答案-15.已知一个等比数列的各项均为正数,且它的任何一项都等于它的后面两项的和,则它的公比q= .解析依题意,得a n =a n+1+a n+2,所以a n =a n q+a n q 2.因为a n >0,所以q 2+q-1=0,解得q=-1+√52(q=-1-√52舍去). 答案-1+√52 6.若数列a 1,a 2a 1,a 3a 2,…,an a n -1,…是首项为1,公比为-√2的等比数列,则a 5= .解析由题意,得a n a n -1=(-√2)n-1(n ≥2),所以a 2a 1=-√2,a 3a 2=(-√2)2,a 4a 3=(-√2)3,a 5a 4=(-√2)4,将上面的四个式子两边分别相乘,得a5a 1=(-√2)1+2+3+4=32.又a 1=1,所以a 5=32.答案327.已知数列{a n }满足S n =4a n -1(n ∈N *),求证:数列{a n }是等比数列,并求出其通项公式. 解依题意,得当n ≥2时,S n-1=4a n-1-1,所以a n =S n -S n-1=(4a n -1)-(4a n-1-1), 即3a n =4a n-1,所以a n a n -1=43,故数列{a n }是公比为的等比数列.因为S 1=4a 1-1,即a 1=4a 1-1,所以a 1=,故数列{a n }的通项公式是a n =13·(43)n -1.8.导学号04994041已知数列{a n }的前n 项和S n =2a n +1, (1)求证:{a n }是等比数列,并求出其通项公式; (2)设b n =a n+1+2a n ,求证:数列{b n }是等比数列.证明(1)∵S n =2a n +1,∴S n+1=2a n+1+1,S n+1-S n =a n+1=(2a n+1+1)-(2a n +1)=2a n+1-2a n ,∴a n+1=2a n.由已知及上式可知a n≠0.=2知{a n}是等比数列.∴由a n+1a n由a1=S1=2a1+1,得a1=-1,∴a n=-2n-1.(2)由(1)知,a n=-2n-1,∴b n=a n+1+2a n=-2n-2×2n-1=-2×2n=-2n+1=-4×2n-1.∴数列{b n}是等比数列.。