2015-2016学年高中数学 2.3.1等比数列的概念及通项公式练习 苏教版必修5

第2章数列2.3 等比数列2.3.1 等比数列的概念2.3.2等比数列的通项公式A级基础巩固一、选择题1．下列说法：①公差为0的等差数列是等比数列；②b2＝ac，则a，b，c成等比数列；③2b＝a＋c，则a，b，c成等差数列；④任意两项都有等比中项．正确的有()A．0个B．1个C．2个D．3个解析：公差为0的非零数列是等比数列，故①不正确；②中只有a，b，c都不为0才正确；④也需要看首项是正还是负．所以只有③正确．答案：B2．在等比数列{a n}中，a1＝8，a4＝64，则a3等于()A．16 B．16或－16C．32 D．32或－32解析：因为a4＝a1q3＝8·q3＝64，所以q3＝8，q＝2.所以a3＝a1q2＝8×22＝32.答案：C3．等比数列x ，3x ＋3，6x ＋6，…的第四项等于( )A ．－24B ．0C ．12D ．24解析：由(3x ＋3)2＝x (6x ＋6)⇒x ＝－3(x ＝－1舍去)．该数列为－3，－6，－12，－24，….答案：A4．{a n }是等比数列，下面四个命题中真命题的个数为( ) ①{a 2n }也是等比数列；②{ca n }(c ≠0)也是等比数列；③⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 也是等比数列；④{ln a n }也是等比数列． A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个解析：考查等比数列定义，其中①②③为真．答案：B5．已知等差数列{a n }的公差为3，若a 1，a 3，a 4成等比数列，则a 2等于( )A ．9B ．3C ．－3D ．－9解析：a 1＝a 2－3，a 3＝a 2＋3，a 4＝a 2＋3×2＝a 2＋6，由于a 1，a 3，a 4成等比数列，则a 23＝a 1a 4，所以(a 2＋3)2＝(a 2－3)(a 2＋6)，解得a 2＝－9.答案：D二、填空题6．等差数列{a n }的首项为a 1＝1，a 1，a 2，a 5成等比数列，则d ＝________．解析：因为a 1，a 2，a 5成等比数列．所以a 22＝a 1a 5，即(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋4d )．所以(1＋d )2＝1＋4d .所以d ＝0或d ＝2.答案：0或27．在6和768之间插入6个数，使它们组成共8项的等比数列，则这个等比数列的第6项是________．解析：由条件得，768＝6×q7，解得q＝2.所以a6＝6×25＝192.答案：1928．某林场的树木每年以25%的增长率增长，则第10年末的树木总量是今年的________倍．解析：设这个林场今年的树木总量是m，第n年末的树木总量为a n，则a n＋1＝a n＋a n·25%＝1.25a n.则a n＋1a n＝1.25.则数列{a n}是公式q＝1.25的等比数列．则a10＝a1q9＝1.259m.所以a10a1＝1.259.答案：1.259三、解答题9．在等比数列{a n}中：(1)已知a3＋a6＝36，a4＋a7＝18，a n＝12，求n；(2)a5＝8，a7＝2，a n>0，求a n.解：(1)法一：因为a3＋a6＝36，a4＋a7＝18.所以a1q2＋a1q5＝36，①a1q3＋a1q6＝18, ②②①得q＝12，所以14a1＋132a1＝36，所以a1＝128，而a n ＝a 1q n －1，所以12＝128×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，所以n ＝9.法二：因为a 4＋a 7＝a 3q ＋a 6q ＝(a 3＋a 6)q ，所以q ＝a 4＋a 7a 3＋a 6＝1836＝12，而a 3＋a 6＝a 3(1＋q 3)． 所以a 3＝a 3＋a 61＋q 3＝361＋18＝32. 因为a n ＝a 3q n －3，所以12＝32·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －3.所以n ＝9.(2)因为a 5＝a 1·q 4＝8，a 7＝a 1·q 6＝2，所以q 2＝14，q ＝±12. 又a n >0，所以q ＝12. 所以a n ＝a 5q n －5＝8×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －5＝28－n .10．已知{a n }是首项为19，公差为－2的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和．(1)求通项公式a n 及S n ；(2)设{b n －a n }是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{b n }的通项公式．解：(1)因为{a n }是首项为19，公差为－2的等差数列，所以a n ＝19－2(n －1)＝－2n ＋21，即a n ＝－2n ＋21，S n ＝19n ＋n （n －1）2·(－2)＝－n 2＋20n ， 即S n ＝－n 2＋20n .(2)因为{b n －a n }是首项为1，公比为3的等比数列，所以b n －a n ＝3n －1，即b n＝3n－1＋a n＝3n－1－2n＋21.B级能力提升一、选择题11．已知{a n}是等比数列，且a n＞0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，那么a3＋a5的值等于()A．5 B．10 C．15 D．20解析：a2a4＝a23，a4a6＝a25，故得(a3＋a5)2＝25，又a n＞0，所以a3＋a5＝5.答案：A12．设{a n}是由正数组成的等比数列，且a5·a6＝81，则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值是()A．5 B．10 C．20 D．40解析：log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1·a2·a3·…·a10)＝log3(a5·a6)5＝log3815＝log3320＝20.答案：C13．在正项等比数列{a n}中，a3＝2－1，a5＝2＋1，则a23＋2a2a6＋a3a7＝()A．4 B．6 C．8 D．4 2解析：因为a3a7＝a25，a2a6＝a3a5，所以a33＋2a2a6＋a3a7＝a23＋2a3a5＋a25＝(a3＋a5)2＝(2－1＋2＋1)2＝(22)2＝8.答案：C二、填空题14.(2014·安徽卷)如图所示，在等腰直角三角形ABC中，斜边BC＝22，过点A作BC的垂线，垂足为A1，过点A1作AC的垂线，垂足为A 2；过点A 2作A 1C 的垂线，垂足为A 3……依此类推，设BA ＝a 1，AA 1＝a 2，A 1A 2＝a 3，…，A 5A 6＝a 7，则a 7＝________．解析：由题意知数列{a n }是以首项a 1＝2，公比q ＝22的等比数列，所以a 7＝a 1·q 6＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫226＝14. 答案：1415．(2014·广东卷)若等比数列{a n }的各项均为正数，且a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5，则ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝____________.解析：因为a 10a 11＋a 9a 12＝2a 10a 11＝2e 5，所以a 10a 11＝e 5. 所以ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝ln (a 1a 2…a 20)＝ln[a 1a 20·(a 2a 19)·…·(a 10a 11)]＝ln(a 10a 11)10＝10ln(a 10a 11)＝10ln e 5＝50ln e ＝50.答案：50三、解答题16．已知等比数列{a n }各项均为正数，且2a 1＋3a 2＝1，a 23＝9a 2a 6.求{a n }的通项公式．解：由⎩⎪⎨⎪⎧a 23＝9a 2a 6，2a 1＋3a 2＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 23＝9a 24，2a 1＋3a 1q ＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧q ＝13，a 1＝13.所以a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n(n ∈N *)．。

6.等比数列 中， ， ，则公比 的个数为_____.
7.如果将20，50，100各加上同一个常数能组成一个等比数列，则这个常数为____.
8.首项为3的等比数列的第 项为48，第 项是192，则 ＝_____.
9.已知等差数列｛an｝的公差d≠0,且a1, a3, a9成等比数列,求 的值.
10.7个实数排成一行，奇数项成等差数列，偶数项成等比数列，且奇数项的和与偶数项的积的差为42，首尾两项及中间项的和是27，求中间项.
2.3等比数列的概念及通项公式
【基础练习】
1.写出数列的一个通项公式，使它的前四项分别是下列各数
(1).1，2，4，8(2).1，ຫໍສະໝຸດ ， ，(3). ， ， ，
(4).a，a，a，a
2.如果 ，则 ， ， .根据其特点，你得出的结论是_____________.
3.已知数列 满足： ， ，则 _______.
2.3等比数列的概念及通项公式参考答案
【基础练习】
1.(1). (2). (3). (4).
2.2,2,2该数列从第二项起每一项与前一项的比都为2
3. 4. 5.
【巩固练习】
1.B 2.A3.C4.B 5.C6.47.258.59.
10.2
A.256 B.-256 C.128 D.-128
3.等比数列 中， ， ，则 （）
A. B. C. 或 D. 或
4.若数列 是等比数列，则数列 （）
A.一定是等比数列B.可能是等比数列，也可能是等差数列
C.一定是等差数列D.一定不是等比数列
5.设 ，数列 是公比为2的等比数列，则 （）
A.64 B.160 C.79.5 D.31.5
4.已知数列 满足 ， ，求

§2.3 等比数列2．3.1 等比数列的概念(一)2．3.2 等比数列的通项公式(一)一、基础过关1．在等比数列{a n }中，a 1＝1，公比|q |≠1.若a m ＝a 1a 2a 3a 4a 5，则m ＝________.2．已知a ，b ，c ，d 成等比数列，且曲线y ＝x 2－2x ＋3的顶点是(b ，c )，则ad ＝________.3．已知等比数列{a n }的前三项依次为a －1，a ＋1，a ＋4，则a n ＝________.4．如果－1，a ，b ，c ，－9成等比数列，那么b ＝________.5．一个数分别加上20,50,100后得到的三个数成等比数列，其公比为________．6．若a ，b ，c 成等比数列，m 是a ，b 的等差中项，n 是b ，c 的等差中项，则a m ＋c n＝________. 7．已知等比数列{a n }，若a 1＋a 2＋a 3＝7，a 1a 2a 3＝8，求a n .8．在四个正数中，前三个成等差数列，和为48，后三个成等比数列，积为8 000，求这四个数．二、能力提升9．若数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎨⎧2a n (n 为奇数)2a n ＋1(n 为偶数)，若a 1＝1，则a 19＝________. 10．若正项等比数列{a n }的公比q ≠1，且a 3，a 5，a 6成等差数列，则a 3＋a 5a 4＋a 6＝________. 11．设{a n }是公比为q 的等比数列，|q |>1，令b n ＝a n ＋1(n ＝1,2，…)，若数列{b n }有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，则6q ＝________.12．已知(b －c )log m x ＋(c －a )log m y ＋(a －b )log m z ＝0.(1)若a ，b ，c 依次成等差数列且公差不为0，求证：x ，y ，z 成等比数列；(2)若正数x ，y ，z 依次成等比数列且公比不为1，求证：a ，b ，c 成等差数列．三、探究与拓展13．互不相等的三个数之积为－8，这三个数适当排列后可成为等比数列，也可排成等差数列，求这三个数排成的等差数列．答案 1．11 2．2 3．4·(32)n －1 4．－3 5.536.2 7．解 方法一 ∵a 1a 3＝a 22，∴a 1a 2a 3＝a 32＝8，∴a 2＝2.从而⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 3＝5a 1a 3＝4，解得a 1＝1，a 3＝4或a 1＝4，a 3＝1. 当a 1＝1时，q ＝2；当a 1＝4时，q ＝12. 故a n ＝2n －1或a n ＝23－n . 方法二 由等比数列的定义知a 2＝a 1q ，a 3＝a 1q 2代入已知得，⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q ＋a 1q 2＝7a 1·a 1q ·a 1q 2＝8，即⎩⎪⎨⎪⎧ a 1(1＋q ＋q 2)＝7，a 31q 3＝8， 即⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1＋q ＋q 2)＝7， ①a 1q ＝2， ② 将a 1＝2q代入①得2q 2－5q ＋2＝0， ∴q ＝2或q ＝12， 由②得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝4，q ＝12.∴a n ＝2n －1或a n ＝23－n . 8．解 设前三个数分别为a －d ，a ，a ＋d ，则有a －d ＋a ＋a ＋d ＝48，即a ＝16.设后三个数分别为b q，b ，bq ，则有 b q·b ·bq ＝b 3＝8 000，即b ＝20， ∴这四个数分别为m,16,20，n ，∴m ＝2×16－20＝12，n ＝20216＝25. 即所求的四个数分别为12,16,20,25.9．1 023 10.5－1211．－9 12．证明 (1)∵a ，b ，c 成等差数列且d ≠0，∴b －c ＝a －b ＝－d ，c －a ＝2d ，∴(b －c )log m x ＋(c －a )log m y ＋(a －b )·log m z＝2d log m y －d log m x －d log m z＝d (2log m y －log m x －log m z )＝d log m (y 2xz)＝0. ∵d ≠0，∴log m y 2xz ＝0，∴y 2xz＝1. ∴y 2＝xz ，即x ，y ，z 成等比数列．(2)∵x ，y ，z 成等比数列，且公比q ≠1，∴y ＝xq ，z ＝xq 2，∴(b －c )log m x ＋(c －a )log m y ＋(a －b )·log m z＝(b －c )log m x ＋(c －a )log m (xq )＋(a －b )log m (xq 2)＝(b －c )log m x ＋(c －a )log m x ＋(c －a )·log m q ＋(a －b )log m x ＋2(a －b )log m q ＝(c －a )log m q ＋2(a －b )log m q＝(a ＋c －2b )log m q ＝0，∵q ≠1，∴log m q ≠0，∴a ＋c －2b ＝0，即a ，b ，c 成等差数列．13．解 设三个数为a q，a ，aq ， ∴a 3＝－8，即a ＝－2，∴三个数为－2q，－2，－2q . (1)若－2为－2q 和－2q 的等差中项，则2q＋2q ＝4， ∴q 2－2q ＋1＝0，q ＝1，与已知矛盾；(2)若－2q 为－2q 与－2的等差中项，则1q＋1＝2q ， 2q 2－q －1＝0，q ＝－12或q ＝1(舍去)， ∴三个数为4,1，－2；(3)若－2q 为－2q 与－2的等差中项，则q ＋1＝2q，∴q 2＋q －2＝0， ∴q ＝－2或q ＝1(舍去)，∴三个数为4,1，－2.综合(1)(2)(3)可知，这三个数排成的等差数列为4,1，－2或－2,1,4.。

学业分层测评(十)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．在等比数列{a n }中，a 4＝2，a 7＝8，则a n ＝ .【解析】 因为⎩⎨⎧ a 4＝a 1q 3，a 7＝a 1q 6，所以⎩⎨⎧a 1q 3＝2 ①a 1q 6＝8 ②由②①得q 3＝4，从而q ＝34，而a 1q 3＝2， 于是a 1＝2q 3＝12，所以a n ＝a 1q n －1＝22n －53.【★答案☆】 22n －532．等比数列x,3x ＋3,6x ＋6，…的第四项等于 ．【解析】 由题意知(3x ＋3)2＝x (6x ＋6)，即x 2＋4x ＋3＝0，解得x ＝－3或x ＝－1(舍去)，所以等比数列的前3项是－3，－6，－12，则第四项为－24.【★答案☆】 －243．如果－1，a ，b ，c ，－9成等比数列，那么b ＝ ，ac ＝ .【解析】 ∵b 2＝(－1)×(－9)＝9，且b 与首项－1同号，∴b ＝－3，且a ，c 必同号．∴ac ＝b 2＝9.【★答案☆】 －3 94．在等比数列{a n }中，a 3＝3，a 10＝384，则公比q ＝ .【导学号：92862049】【解析】 由a 3＝a 1q 2＝3，a 10＝a 1q 9＝384，两式相除得，q 7＝128，所以q ＝2.【★答案☆】 25．已知等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝3，a 2＋a 3＝6，则a 7＝ .【解析】 ∵{a n }为等比数列，∴a 2＋a 3a 1＋a 2＝q ＝2. 又∵a 1＋a 2＝3，∴a 1＝1.故a 7＝1·26＝64.【★答案☆】 646．若{a n }是等比数列，下列数列中是等比数列的所有代号为 ． ①{a 2n }；②{a 2n }；③⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ；④{lg|a n |}． 【解析】 考查等比数列的定义，验证第n ＋1项与第n 项的比是否为常数．【★答案☆】 ①②③7．在160与5中间插入4个数，使它们同这两个数成等比数列，则这4个数依次为 ．【解析】 设这6个数所成等比数列的公比为q ，则5＝160q 5，∴q 5＝132，∴q ＝12，∴这4个数依次为80,40,20,10.【★答案☆】 80,40,20,108．在等比数列{a n }中，|a 1|＝1，a 5＝－8a 2，a 5>a 2，则a n ＝ .【导学号：92862050】【解析】 记数列{a n }的公比为q ，由a 5＝－8a 2，得a 1q 4＝－8a 1q ，即q ＝－2.由|a 1|＝1，得a 1＝±1，当a 1＝－1时，a 5＝－16<a 2＝2，与题意不符，舍去；当a 1＝1时，a 5＝16>a 2＝－2，符合题意，故a n ＝a 1q n －1＝(－2)n －1.【★答案☆】 (－2)n －1二、解答题9．在等比数列{a n }中，a 2－a 1＝2，且2a 2为3a 1和a 3的等差中项，求数列{a n }的首项，公比．【解】 设该数列的公比为q .由已知，得⎩⎨⎧a 1q －a 1＝2，4a 1q ＝3a 1＋a 1q 2，所以⎩⎨⎧ a 1(q －1)＝2，q 2－4q ＋3＝0，解得⎩⎨⎧a 1＝1，q ＝3(q ＝1舍去)，故首项a 1＝1，公比q ＝3.10．数列{a n }满足a 1＝－1，且a n ＝3a n －1－2n ＋3(n ＝2,3，…)．(1)求a 2，a 3，并证明数列{a n －n }是等比数列；(2)求a n .【解】 (1)a 2＝3a 1－2×2＋3＝－4，a 3＝3a 2－2×3＋3＝－15.下面证明{a n －n }是等比数列：由a 2＝－4，a 3＝－15可知，a n ≠n .∵a n ＋1－(n ＋1)a n －n ＝3a n －2(n ＋1)＋3－(n ＋1)a n －n ＝3a n －3n a n －n ＝3(n ＝1,2,3，…)．又a 1－1＝－2，∴{a n －n }是以－2为首项，以3为公比的等比数列．(2)由(1)知a n －n ＝－2·3n －1，∴a n ＝n －2·3n －1.[能力提升]1．在等差数列{a n }中，公差d ≠0，且a 1，a 3，a 9成等比数列，则a 1＋a 3＋a 9a 2＋a 4＋a 10等于 ．【解析】 由题意知a 3是a 1和a 9的等比中项，∴a 23＝a 1a 9，∴(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋8d )，得a 1＝d ，∴a 1＋a 3＋a 9a 2＋a 4＋a 10＝13d 16d ＝1316. 【★答案☆】 13162．已知{a n }是等比数列，a n >0，又知a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝25，那么a 3＋a 5＝ .【导学号：92862051】【解析】∵a2a4＝a23，a4a6＝a25，∴a23＋2a3a5＋a25＝25，∴(a3＋a5)2＝25，又∵a n>0，∴a3＋a5＝5.【★答案☆】 53．若数列{a n}的前n项和为S n，且a n＝2S n－3，则{a n}的通项公式是．【解析】由a n＝2S n－3，得a n－1＝2S n－1－3(n≥2)，两式相减得a n－a n－1＝2a n(n≥2)，∴a n＝－a n－1(n≥2)，a na n－1＝－1(n≥2)．故{a n}是公比为－1的等比数列，令n＝1，得a1＝2a1－3，∴a1＝3，故a n＝3·(－1)n－1.【★答案☆】a n＝3·(－1)n－14．互不相等的3个数之积为－8，这3个数适当排列后可以组成等比数列，也可组成等差数列，求这3个数组成的等比数列．【解】设这3个数分别为aq，a，aq，则a3＝－8，即a＝－2.(1)若－2为－2q和－2q的等差中项，则2q＋2q＝4，∴q2－2q＋1＝0，解得q＝1，与已知矛盾，舍去；(2)若－2q为－2q和－2的等差中项，则1q＋1＝2q，∴2q2－q－1＝0，解得q＝－12或q＝1(与已知矛盾，舍去)，∴这3个数组成的等比数列为4，－2,1；(3)若－2q为－2q和－2的等差中项，则q＋1＝2q，∴q2＋q－2＝0，解得q＝－2或q＝1(与已知矛盾，舍去)，∴这3个数组成的等比数列为1，－2,4.故这3个数组成的等比数列为4，－2,1或1，－2,4.。