高中数学第三章变化率与导数3.2导数的概念及其几何意义学案北师大版选修1_1

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§2导数的概念及其几何意义［对应学生用书P36]导数的概念在高台跳水运动中，如果我们知道运动员相对于水面的高度h（单位：m)与起跳后的时间t(单位:s）存在关系h（t）＝－4。

9t2＋6。

5t＋10,那么我们就能计算起跳后任意一段时间内的平均速度错误!，通过平均速度错误!来描述运动员的运动状态，但用平均速度一般不能反映运动员在某一时刻的瞬时速度．问题1：怎么求运动员在t0时刻的瞬时速度？提示：先求运动员在（t0，t0＋Δt）间平均速度错误!,当Δt趋于0时，平均速度就趋于运动员在t0时刻的瞬时速度．问题2：当Δx趋于0时，函数f（x）在(x0，x0＋Δx）上的平均变化率即为函数f(x）在x处的瞬时变化率,你能说出其中的原因吗？提示：当Δx趋于0时，x0＋Δx就无限接近于点x0，这样(x0,x0＋Δx）上的平均变化率就可以看作点x0处的瞬时变化率．问题3：函数f（x)在x0点的瞬时变化率叫什么?提示：函数f（x）在x0点的导数．导数的定义函数y＝f(x）在x0点的瞬时变化率是函数y＝f（x)在x0点的导数．用符号f′（x0）表示,记作：f′(x)＝li错误!错误!＝li错误!错误!.导数的几何意义在函数y ＝f （x )的图像上任取两点A (x 1,f (x 1）），B (x 1＋Δx ,f (x 1＋Δx ))．问题1：f x 1＋Δx －f x 1Δx是函数f (x )在（x 1，x 1＋Δx ）上的平均变化率，有什么几何意义？提示：函数y ＝f (x ）图像上A ，B 两点连线的斜率．问题2：Δx 趋于0时，函数y ＝f (x )在（x 1，x 1＋Δx ）上的平均变化率即为函数y ＝f (x ）在x 1点的瞬时变化率，能否看成函数y ＝f （x ）在（x 1,f （x 1））处的切线斜率？提示：能．问题3：函数y ＝f (x ）在x 0处的导数的几何意义是什么？ 提示：函数y ＝f （x )图像上点（x 0,f (x 0))处的切线斜率．导数的几何意义函数y ＝f （x ）在x 0处的导数，是曲线y ＝f （x ）在点(x 0，f （x 0）)处的切线的斜率．1．函数y ＝f （x )在某点处的瞬时变化率就是函数在该点处的导数． 2．导数的几何意义就是曲线上某点处的切线的斜率．错误!导数的概念及应用［例1］ 建造一栋面积为x 平方米的房屋需要成本y 万元，y 是x 的函数,y ＝f (x )＝x10＋错误!＋0.3，求f ′(100)，并解释它的实际意义．［思路点拨］错误!―→错误!―→错误!［精解详析］ 当x 从100变为100＋Δx 时，函数值y 关于x 的平均变化率为错误!＝错误!＝错误!＋错误!当x趋于100时，即Δx趋于0时，平均变化率趋于0。

������
=-������12
−
1 2
������.
所以当 x=4 时,y'=-116 − 14=-156,
故曲线在点 P
4,-
7 4
处的切线方程为 y+74=-156(x-4),即
5x+16y+8=0.
探究一
探究二
思维辨析
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D答疑解惑 AYIJIEHUO
D当堂检测 ANGTANG JIANCE
(ΔΔ������������++24)2=-1.
答案:(1)C (2)-1
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2.导数的几何意义
函数y=f(x)在x0处的导数,是曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线的 斜率.函数y=f(x)在x0处切线的斜率反映了导数的几何意义.
【例2】 (1)已知曲线y=2x3上一点A(1,2),则点A处的切线的斜率
等于( )
A.0 B.2 C.4 D.6
(2)求曲线 y=1������ −
������上一点 P
4,-
7 4
处的切线方程.
分析(1)利用导数几何意义,只需求出函数在x=1处的导数值,即得 图像在点A处的切线的斜率;(2)利用导数几何意义求出图像在点P 处的切线的斜率,再根据直线方程的点斜式求得直线方程.
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1.导数的概念

.
答案:-m
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2.导数的几何意义
函数 y=f(x)在 x0 处的导数,是曲线 y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线的斜率. 函数 y=f(x)在 x0 处切线的斜率反映了导数的几何意义.
典型例题 1
求函数
y=f(x)=
1在
������
x=1
处的导数.
思路分析:先计算函数值的改变量,再代入公式计算,注意 Δy 需要化简
整理.
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探究一
探究二
探究三
解:∵Δy=f(1+Δx)-f(1)= 1+1Δ������-1
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1.导数的概念
设函数 y=f(x),当自变量 x 从 x0 变到 x1 时,函数值从 f(x0)变到 f(x1),函数
值
y
关于
x
的平均变化率为Δ������
������
=
������(������1)-������(������0) ������1-������0
=
������(������0+ΔΔ������������)-������(������0).
当 x1 趋于 x0,即 Δx 趋于 0 时,如果平均变化率趋于一个固定的值,那么

3.2.1 导数的概念3.2.2 导数的几何意义(建议用时：45分钟)[学业达标] 一、选择题1．若函数y＝f(x)在x＝1处的导数为1，则limΔx→0f＋x－fx等于( )A．2 B．1C.12D．14【解析】limΔx→0f＋x－fx＝f′(1)＝1.【答案】 B2．设函数f(x)在点x0附近有定义，且有f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx)2(a，b为常数)，则( )A．f′(x)＝a B．f′(x)＝bC．f′(x0)＝a D．f′(x0)＝b【解析】ΔyΔx＝f x0＋Δx－f x0Δx＝aΔx＋bΔx2Δx＝a＋bΔx，当x趋于x0，即Δx趋于0时，平均变化率趋于a，∴f′(x0)＝a.【答案】 C3．如图3­2­2所示的是y＝f(x)的图像，则f′(x A)与f′(x B)的大小关系是( )图3­2­2A．f′(x A)>f′(x B) B．f′(x A)<f′(x B)C．f′(x A)＝f′(x B) D．不能确定【解析】分别过A，B两点作曲线的切线，由切线的斜率知k B>k A，∴f′(x B)>f′(x A)．故选B.【答案】 B4．设函数f(x)＝ax＋b，若f(1)＝f′(1)＝2，则f(2)等于( )A．1 B．2C ．4D ．6【解析】 可得f ′(1)＝lim Δx →0f＋Δx －fΔx＝lim Δx →0[a ＋Δx ＋b ]－a ＋b Δx ＝lim Δx →0a ΔxΔx ＝a ，又f ′(1)＝2，得a ＝2，而f (1)＝2，故a ＋b ＝2，即b ＝0，所以f (x )＝2x ，有f (2)＝4.【答案】 C5．已知曲线f (x )＝－2x和点M (1，－2)，则曲线在点M 处的切线方程为( )A ．y ＝－2x ＋4B ．y ＝－2x －4C ．y ＝2x －4D ．y ＝2x ＋4【解析】 Δy Δx ＝－21＋Δx ＋21Δx ＝21＋Δx ，∴当Δx →0时，f ′(1)＝2，即k ＝2.∴直线方程为y ＋2＝2(x －1)，即y ＝2x －4. 【答案】 C 二、填空题6．(2016·亳州高二检测)已知函数y ＝f (x )的图像在点(1，f (1))处的切线方程是y ＝x ＋2，则f (1)＋f ′(1)＝__________.【解析】 ∵f (1)＝1＋2＝3，f ′(1)＝k ＝1， ∴f (1)＋f ′(1)＝4. 【答案】 47．(2016·蚌埠高二检测)曲线y ＝x 2上切线的倾斜角是30°的点的坐标为__________． 【解析】 设切点横坐标为x 0，f ′(x 0)＝lim Δx →0x 0＋Δx2－x 2Δx ＝2x 0，∴2x 0＝tan 30°＝33，∴x 0＝36，∴y 0＝112. 【答案】 ⎝⎛⎭⎪⎫36，112 8．设曲线y ＝ax 2在点(1，a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a 等于________. 【解析】 ∵y ′＝lim Δx →0a＋Δx 2－a ×12Δx ＝lim Δx →0(2a ＋a Δx )＝2a .∴可令2a ＝2，∴a ＝1.【答案】 1 三、解答题9．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ，x ≥0，1＋x 2，x <0，求f ′(1)·f ′(－1)的值．【解】 当x ＝1时，Δy Δx＝f＋Δx －fΔx＝1＋Δx －1Δx ＝11＋Δx ＋1.由导数的定义，得f ′(1)＝lim Δx →011＋Δx ＋1＝12.当x ＝－1时，ΔyΔx＝f－1＋Δx －f －Δx＝1＋－1＋Δx 2－1－－2Δx＝Δx －2.由导数的定义，得f ′(－1)＝lim Δx →0(Δx －2)＝－2.所以f ′(1)·f ′(－1)＝12×(－2)＝－1.10．求过点P (－1,2)且与曲线y ＝3x 2－4x ＋2在点M (1,1)处的切线平行的直线． 【解】 曲线y ＝3x 2－4x ＋2在点M (1,1)处的切线斜率k ＝f ′(1)＝lim Δx →0＋Δx2－＋Δx ＋2－3＋4－2Δx＝lim Δx →0(3Δx ＋2)＝2.∴过点P (－1,2)的直线的斜率为2， 由点斜式得y －2＝2(x ＋1)， 即2x －y ＋4＝0.所以所求直线方程为2x －y ＋4＝0.[能力提升]1．曲线y ＝x 3＋6在点P (1,7)处的切线与y 轴交点的纵坐标是( ) A ．－4 B ．－3 C ．4D ．10【解析】 ΔyΔx ＝＋Δx3＋6－3＋Δx＝3Δx ＋Δx 2＋Δx 3Δx＝(Δx )2＋3Δx ＋3.当Δx →0时，ΔyΔx→3.∴在(1,7)处的切线方程为y －7＝3(x －1)．令x ＝0得y ＝4. 【答案】 C2．(2016·杭州高二检测)若直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝x 3＋ax ＋b 相切于点P (1,3)，则b 等于( )A ．3B ．－3C ．5D ．－5 【解析】 ∵点P (1,3)既在直线上又在曲线上， ∴3＝k ＋1，且3＝1＋a ＋b ，即k ＝2，a ＋b ＝2. 根据导数的定义知y ＝x 3＋ax ＋b 的导数为y ′＝3x 2＋a ， ∴3×12＋a ＝k ，∴a ＝－1，b ＝3. 【答案】 A3．设P 为曲线C ：y ＝x 2＋2x ＋3上的点，且曲线C 在点P 处的切线倾斜角的范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，则点P 横坐标的取值范围为________． 【解析】 ∵f ′(x )＝ limΔx →0x ＋Δx 2＋x ＋Δx ＋3－x 2＋2x ＋Δx＝lim Δx →0x ＋Δx ＋Δx 2Δx＝lim Δx →0(Δx ＋2x ＋2)＝2x ＋2.∴可设P 点横坐标为x 0，则曲线C 在P 点处的切线斜率为2x 0＋2. 由已知得0≤2x 0＋2≤1，∴－1≤x 0≤－12，∴点P 横坐标的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－12. 【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－124．过曲线y ＝x 2＋1上点P 的切线与曲线y ＝－2x 2－1相切，求点P 的坐标. 【解】 设切点P (x 0，y 0)， 则f ′(x 0)＝lim Δx →0x 0＋Δx2＋1－x 20＋Δx＝2x 0.所以过点P 的切线方程为：y －y 0＝2x 0(x －x 0)， 即y ＝2x 0x ＋1－x 20，又此直线与曲线y ＝－2x 2－1相切，所以切线与曲线y ＝－2x 2－1只有一个公共点．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x 0x ＋1－x 20，y ＝－2x 2－1，得2x 2＋2x 0x ＋2－x 20＝0. 即Δ＝4x 20－8(2－x 20)＝0. 解得x 0＝±233，y 0＝73.所以点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫233，73或⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，73.。