理论力学第8章 点的合成运动

第8章 点的合成运动 8-1 如图 8-1 所示，光点 M 沿 y 轴作谐振动，其运动方程为 x = 0， y = acos(kt +β)

如将点 M 投影到感光记录纸上，此纸以等速ve 向左运动。求点 M 在记录纸上的轨迹。 解 动系O'x' y'固结在纸上，点 M 的相对运动 方程

x'= vet， y'= acos(kt + β) 消去t得点 M 在记录纸上

的轨迹方程 k y'= acos( x'+β)

v e

8-2 如图 8-2 所示，点 M 在平面Ox' y'中运动，图 8-1

运动方程为

x'= 40(1− cost) ， y'= 40sint 式中t以 s 计，x'和 y'以 mm 计。平面Ox' y'又绕垂直于该平面的轴O转动，转动方程为 ϕ= t rad，式中角ϕ为动系的 x'轴与定系的 x轴间的交角。求点 M 的相对轨迹和绝对轨迹。 解 由点 M 的相对运动方程可改写为

⎛ x' ⎞

⎜⎜⎝ 40 −1⎟⎟⎠ = −cos t y'

= sin t

40 上2式两边平方后相加，得点 M 的相对轨迹方程

(x'−40)2 + y'2 =1600图 8-2由题得点 M 的坐标变换关系式 x = x'cosϕ− y'sinϕy = x'sinϕ+ y'cosϕ 将ϕ= t 和相对运动方程代入，消去t得点M 的绝对轨迹方程 (x + 40)2 + y 2 =1600 8-3 水流在水轮机工作轮入口处的绝对速度va =15 m/s，并与直径成β= 60° 角，如图 8-3a 所示，工作轮的半径R= 2 m ，转速n = 30 r/min 。为避

免水流与工作轮叶片相冲击，叶片应恰当地安装，以使水流对工作轮的相对速度与叶片相切。求在工作轮外缘处水流对工作轮的相对速度的大小方向。

x′ (a) (b) 图 8-3 解 水轮机工作轮入口处的 1 滴水为动点 M，动系固结于工作轮，定系固结于机架/ 地面（一般定系可不别说明，默认为固结于机架，下同）；牵连运动为

定轴转动，相对运动与叶片曲面相切，速度分析如图 8-3b 所示，设θ为v r 与 x'轴的夹角。点 M 的牵连速度

nπ

ve = Rω= 2× = 6.283 m/s

30 方向与y' 轴平行。由图 8-3b,

e v y ′

a v r v

° 60 θ

M ve va v r

= =

sin(60° +θ) sin(90° −θ) sin30° 由前1

等式得

ve cosθ= va sin(60° +θ)

ve − va sin60° 即 tanθ=

va cos60° 把ve = 6.283 m/s及va =15 m/s代入,解得 θ= 41°48' 由后1等式得

sin30° vr = va =10.1 m/scosθ

8-4 如图 8-4a 所示，瓦特离心调速器以角速度ω绕铅直轴转动。由于机器负荷的变化，调速器重球以角速度ω1 向外张开。如ω=10 rad/s ，ω1 =1.2 rad/s ，球柄长 l = 500 mm ，悬挂球柄的支点到铅直轴的距离为e = 50 mm，球柄与铅直轴间所成的交角β= 30°。求此时重球的绝对速度。 y′ 解 重球为动点，动系固结于铅垂轴；牵连运动为定轴转动，相对运动为绕悬点之圆 弧摆动，且ve ⊥ vr ，绝对运动为空间曲线，如图 8-4b 所示。由于 ve = (e + lsinβ)ω= 3 m/s ，vr = lω1

= 0.6 m/s 所以

va = ve2 + vr2 = 3.06 m/s va 在ve ，v r 决定的平面内，且

v r tan∠(va ,ve ) = = 0.2

v e

8-5 杆 OA 长l，由推杆推动而在图面内绕点 O 转动，如图 8-5a 所示。假定推杆的速度为v，其弯头高为a。求杆端 A 的速度的大小（表示为推杆至点 O 的速度 x 的函数）。

(a) (b) 图 8-5

B

A v e v a v

x ϕ v ω A r v 解 直角推杆上与杆 AO 接触点 B 为动点，动系固结于 AO；牵连运动为定轴转动，绝对运动为水平直线运动，相对运动为沿杆 OA 直线运动。点 B 速

度分析如图 8-5b,设 OA 角速度为ω,则

va = v ，ve =ω⋅OB = va sinϕ，

ω⋅OB = vsinϕa a sinϕ=代入上式得 以

ω= 2 2 x + a 最终得 lav

va =ωl = 2 2 x + a 方向如图。

8-6 车床主轴的转速n = 30 r/min ，工件的直径d = 40 mm ，如图 8-6a 所示。如车刀横向走刀速度为v =10 mm/s，求车刀对工件的相对速度。 vr

ve

(a) (b) 图8-6

解 车刀头为动点，动系固结于工件；牵连运动为定轴转动，绝对运动为水平直线，

相对运动为螺旋曲线。点 M 的牵连速度ve 垂直向下，绝对速度va = v，相对速度vr 在va 与ve 所决定的平面内，且设与va 成ϕ角，如图 8-6b 所示。 d nπ

a v ϕ

2 2 a x OB +

=

va va = v =10 mm/s， ve mm/s 所以

vr = va2 + ve2 = 102 + 62.832 = 63.6 mm/s −1 v e −1 ϕ= tan ( ) =

tan (6.283) = 80°57' v a

8-7 在图 8-7a 和图 8-7b 所示的 2 种机构中，已知 O1O2 = a = 200 mm ，

ω1 = 3 rad/s 。求图示位置时杆O2 A的角速度。

图8-7 解 （a）套筒 A 为动点，动系固结于杆O2 A；绝对运动为O1 绕的圆周运动，相对运

动为沿O2 A直线，牵连运动为绕O2 定轴转动。速度分析如图 8-7a1 所示,由速度合成定理

va = ve + vr

因为ΔO1O2 A为等腰三角形，故 O1 A = O1O2 = a ，O2 A = 2acos30°，va = aω1 ，ve =ω⋅O2 A = 2aωcos30° 由

图 8-7a1：

v a va = = 2aω cos30° 得 aω1 = 2aωω= =1.5 rad/s（逆）

（b）套筒 A 为动点，动系固结于杆O1 A；绝对运动为绕O2 圆周运动，相对运动为沿杆直线运动，牵连运动为绕O1 定轴转动。速度分析如图 8-7b1 所示。

va = O2 A⋅ω1 = 2aωcos30° ， ve = O1 Aω1 = aω1

ve aω 1 由图b1：va = =

cos30° cos30° aω 1 得 2aωcos30°

=

cos30° rad/s（逆）

8-8 图 8-8a 所示曲柄滑道机构中，曲柄长OA = r ，并以等角速度ω绕轴O转动。装在水平杆上的滑槽 DE 与水平线成60°角。求当曲柄与水平线的交角分别为ϕ= 0°， 30°，60°时，杆BC 的速度。 ° 60 sin 3 3

图8-8 解曲柄端点 A 为动点，动系固结于杆 BC；绝对运动为绕 O 圆周运动，相对运动为 沿滑道 DB 直线运动，牵连运动为水平直线平移。速度分析如图 8-8b 所示

∠(va , y) =ϕ, va = rω从图 b 得

ve = v a

sin(30° −ϕ) sin60° 所以

sin(30° −ϕ) vBC = ve = rω

ϕ= 0°时，vBC = rω（←）；

ϕ= 30°时，vBC = 0ϕ= 60°

时，vBC = −rω（→） 8-9 如图 8-9a 所示，摇杆机构的滑杆AB以等速v向上运动，初瞬时摇杆OC 水平。摇杆长OC = a ，距离OD = l。求当ϕ= 时点 C 的速度的大小。

3 3 (a) (b) 图8-9 解 套筒 A 为动点，动系固结于杆 OC；绝对运动为上下直线，相对运动沿 OC 直线，

牵连运动为绕 O 定轴转动。速度分析如图 8-9b 所示，设杆 OC 角速度为ω，其转向逆时 针。由题意及几何关系可得 va = v （1）

ve =ω⋅OA （2） va = e （3）

OA = （4） cosϕ= （5）

式（1），（2），（4），（5）代入式（3），得 ω⋅OA =ωOA2 ω(v 2t 2 + l 2 ) v = = = cosϕ l l vla

v x l

ϕ

A

C y a v

e v

r v D O

ϕ cos v 2 2 2 t v l +

OA l