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通项含有积分的数列极限问题

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第９卷第１期　
２０１０年０３月　

安徽职业技术学院学报　

ＪＯＵＲＮＡＩ　ＯＦ　ＡＮＨＵＩ　ＶＯＣＡＴＩＯＮＡ１．ＴＥＣＨＮＩＣＡＩ　ＣＯＩ　ＬＥＧＥ　
Ｖｏ１．９　Ｎｏ．１　

Ｍａｒ．２０１０　

通项含有积分的数列极限问题　
刘俊先　
（邢台学院数学系，河北邢台Ｏ５４ＯＯ１）　

摘要：对于数列通项含有积分的极限问题，文章以定理形式总结概括出两类数列极限存在的充分条　
件，并附以实例。　
关键词：积分；数列；极限问题　
中图分类号：０１７　文献标识码：Ａ　文章编号：１６７２—９５３６（２０１０）０１—００１０—０２　

Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ａｓ　ｔｏ　ｔｈｅ　ｌｉｍｉｔ　ｑｕｅｓｔｉｏｎ　ｏｆ　ｉｎｔｅｇｒａｌ　ｉｎｃｌｕｄｅｄ　ｉｎ　ｓｅｑｕｅｎｃｅ　ｔｅｒｍｓ，ｔｈｅ　ｐａｐｅｒ　ｓｕｍｍａｒｉｚｅｓ　
ｔＷＯ　ａｄｅｑｕａｔｅ　ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ　ｆｏｒ　ｉｎｔｅｇｒａｌ　ｌｉｍｉｔ　ｆｒｏｍ　ｔｈｅ—ｔｈｅｏｒｅｍ　ａｎｄ　ｐｒｏｖｉｄｅｓ　ｓｏｍｅ　ｅｘａｍｐｌｅｓ．　
Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：ｉｎｔｅｇｒａｌ；ｓｅｑｕｅｎｃｅ　ｉ　ｌｉｍｉｔ　ｑｕｅｓｔｉｏｎ　

数学分析中几乎所有的概念都是以极限形式　
定义的，这充分体现出极限理论是数学分析的理　
论基础。数列极限是极限理论的重要组成部分，　
因而正确处理数列极限问题尤显重要。由于数学　
分析理论体系的构成特点，在数学分析诸教材数　
列极限的章节中，不可能阐述通项中含有积分的　
数列极限问题；在定积分的章节，限于篇幅，各教　
材对数列通项中含有积分的极限问题应如何处　
理，均无系统阐述。但这类问题在教材的习题或　
习题集中均有涉及，而学生们在遇到这类问题时　
往往无从下手。本文仅就这方面的问题做些讨　
论，针对数列通项含有积分的极限问题，以定理　
形式总结概括出两类数列极限存在的充分条件，　
并附以实例。　
定理１　设数列｛ａ　｝的通项为ａ　一　

ｌ　ｆ　（ｘ）ｄｘ，若函数列｛　（ｚ））在区间［以，　上一　
致收敛于厂（　），且每一项都连续，则ｌｉｍａ　一　
ｒ６　ｒ６　
ｌｉｍ１　ｆ　（ｘ）ｄｒ—ｌ　ｆ（ｘ）ｄｒ。　

ｎ－￣－ｃｏ，Ｉ　ｎ　Ｊ　ｎ　
证　由一致收敛函数列的性质口］知，（ｚ）在　

［以，６］上连续，从而　（ｚ）与－厂（ｚ）在［ｎ，６］上都可　

积。因｛　（　））在区间［以，６］上一致收敛于厂（ｚ），　
故对Ｖ　ｅ＞０，］Ｎ，当　＞Ｎ时，对一切ｚ∈Ｅａ，　

，
都有ｌ　（ｚ）－－ｆ（ｘ）１＜￡。再根据定积分韵性　
质，当”＞Ｎ时有　
ｃｚ　一　ｚ　出ｌ＝　

（　）－ｆ（　出ｌ≤　（　）ｌ出　
≤ｅ（ｂ一以）。　
由数列极限定义知，得证ｌｉｍＩ　ｆ　（ｘ）ｄｘ　

—
Ｉ　ｆ（ｘ）ｄｘ。　
例１设　（ｚ）一　，　一１，２，…，若口ｎ　

—
Ｉ　ｆ　（ｘ）ｄｒ，其中ａｂ＞Ｏ　ｏ证明ｌｉｍａ　一０。　
证Ｖ　ｘ＝／：０，　ｌｉｍ
。。
ｆ，（ｘ）一　一０，　

００，　’＿＾　，　Ｌ　

在［口，　上Ｉ　（　）一０　ｌ＝＝＝ｌ　ｌ≤　，而　

ｌｉｍ　１
一
Ｏ，所以｛　（　ｚ）｝在区间［以，６］上一致收　

。。　
敛于　（ｚ）一０，　由定理１有　口　一　

收稿日期：２００９—１１一Ｏ６　
作者简介：刘俊先（１９６４－－），女，河北临城人，邢台学院副教授，硕士，研究方向：《高等数学》、《复变函数》。　
第１期　刘俊先：通项含有积分的数列极限问题　１１　
ｌｉｍｌ　ｆ　（ｘ）ｄｒ—ｆ　ｆ（ｘ）ｄｘ＝＝＝０。　
例２设　（　）一　，ｎ：１，２，…，　
若　一Ｉ　ｆ　（ｘ）ｄｒ，其中　＞Ｏｏ证明ｌｉｍａ　：０。　
证　Ｖ　∈　，６］，有　＞０，用罗比塔法则得　

一　－　
一

ｌｉｍ　１

ｅ　ｅ　—　Ｃ　—ｍ　—　～１十珏，　
一
０，　

再由归结原则得ｌｉｍ　一ｌｉｍ　
月一。。　Ｃ　ｆ—　００　

一０，￣Ｉ１ｌｉｍｆ．（ｚ）一０。　

在［口，６（］上ｌ　（ｚ）一０　Ｉ一　≤　
丁ｌｎ（１－ｔ－４）
，
Ｉ￣　ｌｉｒａ

。。　
＝ｏ，ＮＰ２｛ｆ．（训　

在区间［以，６］上一致收敛于厂（ｚ）＝０，由定理１有　
ｌｉｍａ　：ｌｉｍＩ　ｆ　（ｘ）ｄｘ—Ｉ　ｆ（ｘ）ｄｘ一０。　
定理２　设数列｛ａ　）的通项为ａ　＝　
ｌ　ｆ　（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ，其中　（　）、ｇ（ｚ）都在区ａ＇，－１　，　
阳上连续，且ｇ（ｚ）在　，６］上不变号，若　
ｌｉｍＩ　ｆ　（ｘ）ｄｖ一０，．￣ｌＪｌｉｍａ　＝＝＝０。　
证　由推广的积分第一中值定理　３得ａ　＝　
Ｉ　ｆ　（ｚ）ｇ（ｚ）　一ｇ（已）ｌ　（Ｌｚ）　，由闭区间上　

连续函数的确。界性及尢穷小量与有界量乘　仍力　
无穷小量，有　ｌｉｍ
。。
口”＝＝＝０。　

例３［３　证明到０　．ｆ｝≯：０。　。。Ｊ　１＿ｒ　

证　因为　与ｒ　都在区间［０，１］上连　
续，且　圭＿＝在［ｏ，１］上不变号，ｌｉｍＩ　ｄｘ—１．ｍ　上　广Ｚ
，卜　ｏ。√０，卜　。。　

一０，由定理２得　
０　
｝　ｚ—ｏ。　十ｌ　ｌ十Ｚ　

例４证明ｌｉｍｆ　ｚ：ｏ。　
。。
Ｊ　０　ｌ＿１一Ｓｌｎ］ｃ　

证　因为　与志都在区间［０，１］上　

连续，ｒＦ１　在［ｏ，１］上不变号，且　
。　

：＝＝　
．ｍ　１（Ｉ～　）一０。　

由定理２得ｌｉｍＩ　ｄｚ：０。　
ｎ—　。　０　ｌ十Ｓ１ｒｌｓｃ　

参老立献．　
［１］　［２］　［３］　华东师范大学数学系．数学分析（下册）［Ｍ］．北京：　
高等教育出版社，２００１：３８．　
华东师范大学数学系．数学分析（上册）［Ｍ］．北京：　
高等教育出版社，２００１：２１８．　
费定晖，周学圣．吉米多维奇数学分析习题集题解　
［Ｍ］．济南：山东科学技术出版社，１９８３：４６４．　
（责任编辑：张书诚）

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《数列极限》课件

《数列极限》课件

性。
适用于任何收敛数列的证明 。
需要选择合适的正数 $varepsilon$，以确保证明
的有效性。
夹逼定理证明法
01 总结词
通过夹逼定理来证明数列的收 敛性。
02 详细描述
03 适用范围
适用于某些收敛数列的证明。
夹逼定理指出，如果存在两个 常数$a$和$b$，使得$a leq a_n leq b$且$lim_{n to infty} a = lim_{n to infty} b = L$， 则数列${a_n}$也收敛于$L$。 通过证明存在这样的常数$a$和 $b$，可以证明数列的收敛性。
利用数列极限探究数学规律或现象，如 探究数学猜想、探究函数的周期性等。
利用数列极限求解复杂数学问题，如求 解高阶导数、求解微分方程等。
详细描述 利用数列极限证明函数的性质或定理。
THANKS
感谢观看
微积分基本定理的推导
01
微积分基本定理的 内容
微积分基本定理是微积分学中的 重要定理，它建立了定积分与不 定积分之间的关系。
02
微积分基本定理的 推导过程
通过极限理论、实数完备性等数 学工具，可以推导出微积分基本 定理。
03
微积分基本定理的 应用
微积分基本定理是计算定积分的 基石，可以用于解决面积、体积 、长度等几何和物理问题。
需要选择合适的正数，以确 保证明的有效性。
柯西收敛准则证明法
总结词
详细描述
适用范围
注意事项
通过柯西收敛准则来证明数 列的收敛性。
柯西收敛准则指出，如果对于任 意正数$varepsilon$，存在正整 数$N$，使得当$n, m > N$时， 有$|a_n - a_m| < varepsilon$ ，则数列收敛。通过证明存在这 样的$N$，可以证明数列的收敛
[理学]第一、二节 数列极限的定义_OK

[理学]第一、二节 数列极限的定义_OK

o t0
故在 t0 时刻的瞬时速度为
v0 lim
tt0
s(t) s(t0 ) t t0
s(t ) t
s
4
第二节 数列极限的定义
一、概念的引入 二、数列的定义 三、数列的极限 四、数列极限的性质
5
一、概念的引入
一尺之棰, 日截其半, 万世不竭.
1, 2
1 22
,
1 23
Hale Waihona Puke ,,1 2n
,
6
一、概念的引入
第一节 微积分中的极限方法
引例1、面积问题 引例2、瞬时速度问题
1
例1、面积问题
求 y = x2 与 x 轴、直线 x = 1 所围曲边三角形的面积 S.
y
y x2
Sn
1 n
2
1 n
2 n
2
1 n
n n
2
1 n
o
i 1x
n
1 n3
n i 1
i
2
1 n3
1 n(n 1)(2n 6
1)
n
n
若0 q 1, xn a qn 0 q n , n ln q ln , n ln ,
ln q
所以, 0,取N [ ln ], ln q
则当n N时,
就有qn 0 , limqn 0. n 22
例5 求证 lim n a 1(a 0). n
证 任给 0, xn 1 n a 1 ,
例如,
数列
xn
n; n1
有界
数列 xn 2n. 无界
数轴上对应于有界数列的点 xn都落在闭区间 [M , M ]上.
29
2） 定理2 收敛的数列必定有界.
斐波那契数列及其性质

斐波那契数列及其性质

裴波纳契数列及其性质在现实生活中，我们经常会遇到类似“数列”变化的一系列经济问题，裴波纳契数列出现在我们生活中的方方面面，一些问题不仅可以用裴波纳契数列表示，而且本质上就是裴波纳契数列，可见裴波纳契数列在很多数学分支都有很广泛的应用，因此研究裴波纳契数列非常必要。

本文通过探讨裴波纳契数列的性质，进一步掌握数列的数字排列、增减变化、波动趋势等数项之间的变化规律，继而给出一系列与裴波纳契数列相关问题的解决方案，特别是对中学数学教育中，如何让学生巧妙解题具有启发作用。

1. 裴波纳契数列的由来斐波那契，公元13世纪意大利数学家，在他的著作《算盘书》中记载着这样一个“兔子繁殖问题”：假定有一对大兔子，每一个月可生下一对小兔子，并且生下的这一对小兔子两个月后就具有繁殖能力。

假如一年内没有发生死亡，那么，从一对小兔子开始，一年后共有多少对兔子？问题的解答思路：将每个月的兔子总对数列出来即可（需考虑到每个月具有生殖能力的兔子的对数），如下：月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 111213小兔子数（对） 1 0 1 1 2 3 5 8 13 21345589大兔子数（对）0 1 1 2 3 5 8 13 21345589144兔子总数（对） 1 1 2 3 5 8 13 21345589144233所以一年后（即第13个月初），繁殖的兔子共有233对。

仔细观察，可以看出上面列出的兔子对数呈现出一个有趣的变化规律：即从第3个月起，每个月的兔子对数都是前两个月的兔子对数之和，把这些数字按照相同的规律推算到无穷多项，就构成了一列数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55……，人们就把它称为裴波纳契数列，而将这个数列中的每一项称为“裴波纳契数”。

2. 生活中常见的裴波纳契数列数学模型:假如我们把设为裴波纳契数列，不难发现数列是由递推关系式：，，……，所给出的一个数列。

从而，我们就可以轻而易举地算出两年，三年……以后的兔子数。

数列极限知识点归纳总结

数列极限知识点归纳总结

数列极限知识点归纳总结数列是数学中的一个重要概念，由一系列有序的数字组成。

数列极限是数列在无穷项处的趋势或趋近的值。

在数学分析中，数列极限是一个基本的概念，具有广泛的应用。

本文将对数列极限的相关知识进行归纳总结，并以此为标题。

一、数列的定义和性质1. 数列的定义：数列是按照一定的规律排列的一系列数字。

2. 数列的通项公式：数列中的每一项可以用一个公式来表示，这个公式称为数列的通项公式。

3. 数列的性质：数列可以是有界的或无界的，可以是递增的或递减的，还可以是周期性的或非周期性的。

二、数列的极限1. 数列的极限定义：对于一个数列，如果随着项数的增加，数列中的元素逐渐接近一个确定的值，那么这个确定的值就是数列的极限。

2. 数列极限的表示：数列极限常用符号lim表示，写作lim(an)=a，其中an为数列的第n项，a为数列的极限。

3. 数列极限的存在性：数列的极限可能存在，也可能不存在。

如果数列极限存在，则称数列收敛；如果数列极限不存在，则称数列发散。

三、数列极限的计算方法1. 直接计算法：对于一些简单的数列，可以通过对数列的通项公式进行计算，得到数列的极限。

2. 套路法：对于一些特殊的数列，可以利用一些已知的极限结果和数列运算的性质，通过一些套路求得数列的极限。

3. 夹逼准则：对于一些复杂的数列，可以通过夹逼准则来求得数列的极限。

夹逼准则指的是如果数列a(n)≤b(n)≤c(n)，且lim(a(n))=lim(c(n))=a，那么lim(b(n))=a。

四、数列极限的性质1. 唯一性：如果数列极限存在，则极限值唯一。

2. 保号性：如果数列的极限为正数（负数），那么数列的项数足够大时，数列的元素大于（小于）零。

3. 有界性：如果数列的极限存在，则数列有界。

五、数列极限的应用1. 函数极限：函数极限是数列极限的推广，通过将自变量取为数列，将函数值作为数列的项，就可以研究函数的极限。

2. 数列极限在微积分中的应用：数列极限在微积分中有广泛的应用，如计算导数、积分等。