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2019初中数学因式分解的应用拓展创新题型专项训练五(附答案详解)

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2019初中数学因式分解的应用拓展创新题型专项训练五（附答案详解）1．已知一个三位自然数，若满足百位数字等于十位数字与个位数字的和，则称这个数为“和数”，若满足百位数字等于十位数字与个位数字的平方差，则称这个数为“谐数”．如果一个数即是“和数”，又是“谐数”，则称这个数为“和谐数”．例如， ， 是“和数”， ， 是“谐数”， 是“和谐数”． （1）最小的和谐数是 ，最大的和谐数是 ；（2）证明：任意“谐数”的各个数位上的数字之和一定是偶数；（3）已知（，且均为整数）是一个“和数”，请求出所有．2．阅读材料：若，求m 、n 的值． 解：∵， ∴∴，而，， ∴ 且， ∴n=4，m=4．根据你的观察，探究下面的问题： (1)，则a=______；b=_________．(2)已知△ABC 的三边a ，b ，c 满足=0， 关于此三角形的形状的以下命题：①它是等边三角形；②它属于等腰三角形：③它属于锐角三角形；④它不是直角三角形．其中所有正确命题的序号为________________．(3)已知△ABC 的三边长a 、b 、c 都是正整数，且，求△ABC 的周长．3．阅读下列材料：利用完全平方公式，可以将多项式()20ax bx c a ++≠变形为()2a x m n ++的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式2ax bx c ++的配方法． 运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行分解因式．例如： 222211111124112422x x x x ⎛⎫⎛⎫++=++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 2112524x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ 1151152222x x ⎛⎫⎛⎫=+++- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ()()83x x =++根据以上材料，解答下列问题：（1）用配方法及平方差公式把多项式2340x x --进行分解因式．（2）求证： x ， y 取任何实数时，多项式222416x y x y +--+的值总为正数．4．如果一个正整数的奇数数位上的数字之和与偶数数位上的数字之和的差（通常用大减小）是11的倍数，则这个正整数一定能被11整除．比如整数90827，奇数数位上数字之和为9+8+7＝24，偶数数位上数字之和0+2＝2，24﹣2＝22，因为22为11的倍数，所以整数90827能被11整除；又比如143，奇数数位上数字之和为1+3＝4，偶数数位上数字之和4，4﹣4＝0，因为0为11的倍数，所以143能被11整除；（1）直接写出能被11整除的最小的三位正整数为 ，能被11整除的最大的四位正整数为（2）若四位正整数abcd 能被ll 整除．求证：正整数bcd ﹣a 也一定能被11整除；（3）若一个三位正整数abc 能被11整除（其中0＜a≤5，0＜c≤5），在这个三位数的首位数字前添上1后，得到的新的四位数labc 还能被7整除，求原来这个三位正整数．5．若一个正整数a 可以表示为连续的两个奇数的平方差的形式，如：8＝32﹣12，16＝52﹣32，24＝72﹣52，……，我们则称形如8，16，24这样的正整数a为“奇特数”．（1）请写出最小的三位“奇特数”，并表示成连续的两个奇数的平方差的形式；（2）求证：任意一个“奇特数”都是8的倍数；（3）若一个三位数b为“奇特数”，其百位和个位上的数字相同，十位上的数字比个位上的数字大m（m为正整数），求满足条件的所有三位“奇特数”．6．若一个四位正整数s，中间两位均为3，则称这个四位正整数为“三中全会数”；若将这个“三中全会数”的个位与千位交换位置得到新的正整数记为s'，并记F（s）＝．例如：F（4331）＝．（1）最小的“三中全会数”是；F（2331）＝；（2）若“三中全会数”的个位与千位数字恰好相同，则又称这个四位正整数为“三中对称数”，若“三中全会数”x，y中x恰好是“三中对称数”，且F（x）能被11整除；F（y）﹣2F（x）＝31，求出“三中全会数”y的所有可能值．7．一个四位正整数m各个数位上的数字互不相同且都不为0，四位数m的前两位数字之和为5，后两位数字之和为11，称这样的四位数m为“半期数”；把四位数m的各位上的数字依次轮换后得到新的四位数m′，设m′＝，在m′的所有可能的情况中，当|b+2c﹣a﹣d|最小时，称此时的m′是m的“伴随数”，并规定F（m′）＝a2+c2﹣2bd；例如：m＝2365，则m′为：3652，6523，5236，因为|6+10﹣3﹣2|＝11，|5+4﹣6﹣3|＝0，|2+6﹣5﹣6|＝3，0最小，所以6523叫做2365的“伴随数”，F（5236）＝52+32﹣2×2×6＝10．（1）最大的四位“半期数”为；“半期数”3247的“伴随数”是．（2）已知四位数P＝是“半期数”，三位数Q＝，且441Q﹣4P＝88991，求F（P'）的最大值．8．阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，求m、n的值．解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）=0∴（m﹣n）2+（n﹣4）2=0，∴（m﹣n）2=0，（n﹣4）2=0，∴n=4，m=4．根据你的观察，探究下面的问题：（1）已知x2﹣2xy+2y2+6y+9=0，求xy的值；（2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2+b2﹣10a﹣12b+61=0，求△ABC 的最大边c的值；（3）已知a﹣b=8，ab+c2﹣16c+80=0，求a+b+c的值．9．先阅读下列材料，再解答下列问题：材料：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1．解：将“x+y”看成整体，令x+y=A，则原式=A2+2A+1=（A+1）2．再将“A”还原，得原式=（x+y+1）2．上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请解答下列问题：（1）因式分解：1+2（2x-3y）+（2x-3y）2．（2）因式分解：（a+b）（a+b-4）+4；10．先阅读下面的材料，再因式分解：要把多项式am+an+bm+bn因式分解，可以先把它的前两项分成一组，并提出a；把它的后两项分成一组，并提出b，从而得至a（m+n）+b（m+n）．这时，由于a（m+n）+b（m+n），又有因式（m+n），于是可提公因式（m+n），从而得到（m+n）（a+b）．因此有am+an+bm+bn=（am+an）+（bm+bn）=a（m+n）+b（m+n）=（m+n）（a+b）．这种因式分解的方法叫做分组分解法．如果把一个多项式的项分组并提出公因式后，它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以利用分组分解法来因式分解了．请用上面材料中提供的方法因式分解：（1）ab﹣ac+bc﹣b2：（2）m2﹣mn+mx﹣nx；（3）xy2﹣2xy+2y﹣4．11．在现今“互联网+”的时代,密码与我们的生活已经紧密相连,密不可分.而诸如“123456”、生日等简单密码又容易被破解,因此利用简单方法产生一组容易记忆的密码就很有必要了.有一种用“因式分解”法产生的密码,方便记忆,其原理是:将一个多项式分解因式,如多项式:x3+2x2-x-2因式分解的结果为(x-1)(x+1)(x+2),当x=18时,x-1=17,x+1=19,x+2=20,此时可以得到数字密码171920.(1)根据上述方法,当x=21,y=7时,对于多项式x3-xy2分解因式后可以形成哪些数字密码?(写出三个)(2)若一个直角三角形的周长是24,斜边长为10,其中两条直角边分别为x,y,求出一个由多项式x3y+xy3分解因式后得到的密码;(只需一个即可)(3)若多项式x3+(m-3n)x2-nx-21因式分解后,利用本题的方法,当x=27时可以得到其中一个密码为242834,求m,n的值.12．若在一个两位正整数N的个位数与十位数字之间添上数字5，组成一个新的三位数，我们称这个三位数为N的“至善数”，如34的“至善数”为354；若将一个两位正整数M加5后得到一个新数，我们称这个新数为M的“明德数”，如34的“明德数”为39．（1）26的“至善数”是，“明德数”是．（2）求证：对任意一个两位正整数A，其“至善数”与“明德数”之差能被45整除；（3）若一个两位正整数B的“明德数”的各位数字之和是B的“至善数”各位数字之和的一半，求B的值．答案：1．（1）110；954；（2）；（3）或853或826.解：（1）最小的和谐数是110，最大的和谐数是954.（2）设：“谐数”的百位数字为，十位数字为y，个位数字为z（且且均为正数），由题意知，，∴，z∵与奇偶性相同，∴与必一奇一偶，∴必是偶数，∴任意“谐数”的各个数位上的数字之和一定是偶数；（3）∵，∴，∵，∴，∴，∴，，∵m为和数，∴，即，∴或或，∴或853或826.2．（1）2,0；（2）①②③④；（3）7.解：(1)已知等式整理得：解得：a=2，b=0；故答案为：2；0；(2)∵①它是等边三角形；②它属于等腰三角形：③它属于锐角三角形；④它不是直角三角形．都正确.故答案为：①②③④(3)∵∴∴ 则a-1=0，b-3=0，解得：a=1，b=3，由三角形三边关系可知，三角形三边分别为1、3、3，则△ABC 的周长为1+3+3=7．3．（1）()()58x x +-；（2）解：（1）22223334034022x x x x ⎛⎫⎛⎫--=-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 2316924x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ 3133132222x x ⎛⎫⎛⎫=-+-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ()()58x x =+-．（2）证明： 222416x y x y +--+ ()()22214411x x y y =-++-++()()221211x y =-+-+．∵()210x -≥， ()220y -≥，∴()()2212110x y -+-+>．故x ， y 取任何实数时，多项式222416x y x y +--+的值总为正数．4．（1）9999（2）正整数bcd ﹣a 一定能被11整除（3）235或484解：（1）由题意可得：最小的三位正整数为111，最大的四位正整数为9999（2）∵四位正整数abcd 能被ll 整除∴设（a+c ）﹣（b+d ）＝11k （k 为整数）∴b+d ﹣c ﹣a ＝﹣11k∴正整数bcd ﹣a 一定能被11整除（3）∵正整数abc 能被11整除∴a+c ﹣b ＝11k （k 为整数），∵0＜a≤5，0＜c≤5∴0＜a+c≤10∴0≤a+c ﹣b≤10∴a+c ﹣b ＝0时，正整数abc 能被11整除∴a+c ＝b∵四位数labc 还能被7整除（若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除）∴100+10a+b ﹣2c 也是7的倍数∴100+11a ﹣c 是7的倍数∴当a ＝1时，c ＝6（舍去）当a ＝2时，c ＝3 则b ＝5当a ＝3时，c ＝0（舍去）当a ＝4时，c ＝4 则b ＝8∴三位数为235或4845．（1）;（2）;（3）b 的值为：232, 464 , 696.（1）解：最小的三位奇特数是：104104＝.（2）证明：设m＝∵m＝8k+8, m＝8（k+1）∴r任意一个“奇特数”都是8的倍数（3）设个位上的数字为：x，则十位数字为：（m+x），百位数字为：x则b＝100x+10（m+x）+x＝100x+10m+10x+x＝111x+10m∵b为奇特数∴b是8的倍数＝13x+m+,又∵是整数,∴也是整数且1≤x＜10，1≤（x+m）＜10,∴，，（舍），，（舍），（舍）∴b的值为：232,464,696.6．（1）1331，333；（2）2333，3332，1334，4331．解：（1）最小的三中全会数是1330，F（2331）＝＝333；故答案为：1331；333．（2）设x的个位和千位的数字是a，则F（x）＝，且F（x）能被11整除，故a ＝1．∴F（x）＝242，代入F（y）﹣2F（x）＝31．∴F（y）＝515．y+y′＝515×11＝5665，及y的值为：2333，3332，1334，4331．故“三中全会数”y的所有可能值有：2333，3332，1334，4331．7．（1）4192，7324；（2）42.解；（1）根据题意可得最大的四位“半期数”应该是千位最大，最大只能为4，所以百位是1，十位最大是9，个位是2，所以最大半期数为：4192．∵3247的所有可能为，2473，4732，7324．∵|4+14﹣2﹣3|=13，|7+6﹣4﹣2|=7，|3+4﹣7﹣4|=4，4最小，所以7324为3247的“伴随数”．故答案为：4192；7324．（2）∵P为“半期数”∴a+b=5，c+d=11，∴b=5﹣a，d=11﹣c，∴P=1000a+100（5﹣a）+10c+11﹣c=900a+9c+511．∵Q=200+10a+c，∴441Q﹣4P=88991，∴441（200+10a+c）﹣4（900a+9c+511）=88991 化简得：2a+c=7①当a=1时，c=5，此时这个四位数为1456符合题意；②当a=2时，c=3，此时这个四位数为2338不符合题意，舍去；③当a=3时，c=1，不符合题意，舍去；综上所述：这个四位数只能是1456，则P'可能为4561，5614，6145．∵|5+12﹣4﹣1|=12，|6+2﹣5﹣4|=1，|1+8﹣6﹣5|=2，1最小，所以5614为P的“伴随数”，∴F（5614）=a2+c2﹣2bd=25+1﹣2×6×4=﹣22；F（4561）=a2+c2﹣2bd=16+36﹣2×5×1=42；F（6145）=a2+c2﹣2bd=36+16﹣2×1×5=42；∴F（P'）的最大值为42．8．(1)9；（2）△ABC的最大边c的值可能是6、7、8、9、10；（3）8.解：（1）∵x2﹣2xy+2y2+6y+9=0，∴（x2﹣2xy+y2）+（y2+6y+9）=0，∴（x﹣y）2+（y+3）2=0，∴x﹣y=0，y+3=0，∴x=﹣3，y=﹣3，∴xy=（﹣3）×（﹣3）=9，即xy的值是9．（2）∵a2+b2﹣10a﹣12b+61=0，∴（a2﹣10a+25）+（b2﹣12b+36）=0，∴（a﹣5）2+（b﹣6）2=0，∴a﹣5=0，b﹣6=0，∴a=5，b=6，∵6﹣5＜c＜6+5，c≥6，∴6≤c＜11，∴△ABC的最大边c的值可能是6、7、8、9、10．（3）∵a﹣b=8，ab+c2﹣16c+80=0，∴a（a﹣8）+16+（c﹣8）2=0，∴（a﹣4）2+（c﹣8）2=0，∴a﹣4=0，c﹣8=0，∴a=4，c=8，b=a﹣8=4﹣8=﹣4，∴a+b+c=4﹣4+8=8，即a+b+c的值是8．9．（1）（1+2x-3y）2；（2）（a+b-2）2．解：（1）原式=（1+2x-3y）2．（2）令A=a+b，则原式变为A（A-4）+4=A2-4A+4=（A-2）2，故：（a+b）（a+b-4）+4=（a+b-2）2．故答案为：（1）（1+2x-3y）2；（2）（a+b-2）2．10．（1）（a﹣b）（b﹣c）；（2）（m﹣n）（m﹣x）；（3）（y﹣2）（xy+2）．解：（1）ab﹣ac+bc﹣b2=a（b﹣c）+b（c﹣b）=（a﹣b）（b﹣c）；（2）m2﹣mn+mx﹣nx=m（m﹣n）+x（m﹣n）=（m﹣n）（m﹣x）；（3）xy2﹣2xy+2y﹣4=xy（y﹣2）+2（y﹣2）=（y﹣2）（xy+2）．11．（1） 211428;，212814，142128；（2）48100；（3）m、n的值分别是56、17 解：（1）x3-xy2=x（x-y）（x+y），当x=21，y=7时，x-y=14，x+y=28，可得数字密码是211428，也可以是212814，142128；(2)由题意得:，解得，而，所以可得数字密码为48100；(3)由题意得，，，，解得，故m、n的值分别是56、17.12．（1）256，31；（2）；（3）49，58，67，76或85.解：（1）26的至善数是中间加5，故为256，明德数是加5，故为31，故答案为：256，31；（2）设A的十位数字是a，个位数字是b，则它的至善数是100a+50+b，明德数是10a+b+5，∵100a+50+b﹣（10a+b+5）＝90a+45＝45（2a+1）∴“至善数”与“明德数”之差能被45整除；（3）设B的十位数字是a，个位数字是b，则它的至善数位数字之和是a+5+b，明德数位数字之和是a+b+5或a+1+（5+b﹣10）＝a+b﹣4，当a+5+b＝2（a+b+5）时，b＜5，a+b＝﹣5，不符合题意；当a+5+b＝2（a+b﹣4）时，b≥5，a+b＝13，所以a＝4，b＝9或a＝5，b＝8或a＝6，b＝7，或a＝7，b＝6或a＝8，b＝5，∴B是49，58，67，76或85.故答案为：（1）256，31；（2）见解析；（3）49，58，67，76或85.。

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(专题精选)初中数学因式分解难题汇编附答案解析

(专题精选)初中数学因式分解难题汇编附答案解析

（专题精选）初中数学因式分解难题汇编附答案解析一、选择题1．下列各式中不能用平方差公式分解的是（ ）A ．22a b -+B ．22249x y m -C ．22x y --D ．421625m n -【答案】C【解析】A 选项-a 2+b 2=b 2-a 2=（b+a ）（b-a ）；B 选项49x 2y 2-m 2=（7xy+m ）（7xy-m ）；C 选项-x 2-y 2是两数的平方和，不能进行分解因式；D 选项16m 4-25n 2=(4m)2-(5n)2=（4m+5n ）（4m-5n ），故选C ．【点睛】本题考查了利用平方差公式进行因式分解，解题的关键是要熟记平方差公式的特征.2．下列分解因式正确的是（ ）A ．x 3﹣x=x （x 2﹣1）B ．x 2﹣1=（x+1）（x ﹣1）C ．x 2﹣x+2=x （x ﹣1）+2D ．x 2+2x ﹣1=（x ﹣1）2【答案】B【解析】试题分析：根据提公因式法分解因式，公式法分解因式对各选项分析判断利用排除法求解．解：A 、x 3﹣x=x （x 2﹣1）=x （x+1）（x ﹣1），故本选项错误；B 、x 2﹣1=（x+1）（x ﹣1），故本选项正确；C 、x 2﹣x+2=x （x ﹣1）+2右边不是整式积的形式，故本选项错误；D 、应为x 2﹣2x+1=（x ﹣1）2，故本选项错误．故选B ．考点：提公因式法与公式法的综合运用．3．下列各式中，由等式的左边到右边的变形是因式分解的是( )A ．(x ＋3)(x －3)＝x 2－9B ．x 2＋x －5＝(x －2)(x ＋3)＋1C ．a 2b ＋ab 2＝ab(a ＋b)D ．x 2＋1＝x 1()x x+ 【答案】C【解析】【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．【详解】A 、是整式的乘法，故A 错误；B 、没有把一个多项式转化成几个整式积的形式，故B 错误；C 、把一个多项式转化成了几个整式积的形式，故C 正确；D 、没有把一个多项式转化成几个整式积的形式，故D 错误；故选：C ．【点睛】本题考查了因式分解，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式．4．若三角形的三边长分别为a 、b 、c ，满足22230a b a c b c b -+-=，则这个三角形是（ ）A ．直角三角形B ．等边三角形C ．锐角三角形D ．等腰三角形 【答案】D【解析】【分析】首先将原式变形为()()()0b c a b a b --+=，可以得到0b c -=或0a b -=或0a b +=，进而得到b c =或a b =．从而得出△ABC 的形状．【详解】∵22230a b a c b c b -+-=，∴()()220a b c b c b -+-=，∴()()220b c a b --=，即()()()0b c a b a b --+=，∴0b c -=或0a b -=或0a b +=(舍去)，∴b c =或a b =，∴△ABC 是等腰三角形．故选：D ．【点睛】本题考查了因式分解－提公因式法、平方差公式法在实际问题中的运用，注意掌握因式分解的步骤，分解要彻底．5．如图，矩形的长、宽分别为a 、b ，周长为10，面积为6，则a 2b +ab 2的值为( )A ．60B ．30C ．15D ．16【答案】B【解析】【分析】直接利用矩形周长和面积公式得出a+b ，ab ，进而利用提取公因式法分解因式得出答案．【详解】∵边长分别为a 、b 的长方形的周长为10，面积6，∴2（a+b ）=10，ab=6，则a+b=5，故ab 2+a 2b=ab （b+a ）=6×5=30．故选：B ．【点睛】此题主要考查了提取公因式法以及矩形的性质应用，正确分解因式是解题关键．6．将3a b ab -进行因式分解，正确的是( )A ．()2a a b b -B ．()21ab a -C ．()()11ab a a +-D ．()21ab a - 【答案】C【解析】【分析】多项式3a b ab -有公因式ab ，首先用提公因式法提公因式ab ，提公因式后，得到多项式()21x -，再利用平方差公式进行分解．【详解】()()()32111a b ab ab a ab a a -=-=+-，故选：C ．【点睛】此题主要考查了了提公因式法和平方差公式综合应用，解题关键在于因式分解时通常先提公因式，再利用公式，最后再尝试分组分解；7．如图，边长为a ，b 的矩形的周长为10，面积为6，则a 2b +ab 2的值为（ ）A ．60B ．16C ．30D ．11【答案】C【解析】【分析】 先把所给式子提公因式进行因式分解，整理为与所给周长和面积相关的式子，再代入求值即可．【详解】∵矩形的周长为10，∴a+b=5，∵矩形的面积为6，∴ab=6，∴a 2b+ab 2=ab （a+b ）=30．故选：C ．【点睛】本题既考查了对因式分解方法的掌握，又考查了代数式求值的方法，同时还隐含了整体的数学思想和正确运算的能力．8．多项式225a -与25a a -的公因式是( )A ．5a +B ．5a -C ．25a +D ．25a -【答案】B【解析】【分析】直接将原式分别分解因式，进而得出公因式即可．【详解】解：∵a 2-25=（a+5）（a-5），a 2-5a=a （a-5），∴多项式a 2-25与a 2-5a 的公因式是a-5．故选：B ．【点睛】此题主要考查了公因式，正确将原式分解因式是解题的关键．9．下列因式分解中：①32(2)x xy x x x y ++=+；②2244(2)x x x ++=+；③22()()x y x y y x -+=+-；④329(3)x x x x -=-，正确的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【解析】【分析】将各项分解得到结果，即可作出判断．【详解】①322(2+1)x xy x x x y ++=+，故①错误；②2244(2)x x x ++=+，故②正确；③2222()()x y y x x y y x -+=-=+-，故③正确；④39(+3)(3)x x x x x -=-故④错误.则正确的有2个.故选：B.【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．10．多项式2()()()x y a b xy b a y a b ---+-提公因式后，另一个因式为（ ） A ．21x x --B ．21x x ++C ．21x x --D ．21x x +-【答案】B【解析】【分析】各项都有因式y （a-b ），根据因式分解法则提公因式解答.【详解】 2()()()x y a b xy b a y a b ---+-=2()()()x y a b xy a b y a b -+-+-=2()(1)y a b x x -++，故提公因式后，另一个因式为：21x x ++，故选：B.【点睛】此题考查多项式的因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键.11．下列因式分解正确的是（ ）A ．x 3﹣x ＝x （x 2﹣1）B ．x 2+y 2＝（x+y ）（x ﹣y ）C ．（a+4）（a ﹣4）＝a 2﹣16D ．m 2+4m+4＝（m+2）2 【答案】D【解析】【分析】逐项分解因式，即可作出判断．【详解】A 、原式＝x （x 2﹣1）＝x （x+1）（x ﹣1），不符合题意；B 、原式不能分解，不符合题意；C 、原式不是分解因式，不符合题意；D 、原式＝（m+2）2，符合题意，故选：D ．【点睛】此题主要考查了提公因式法，以及公式法在因式分解中的应用，要熟练掌握．12．若△ABC 三边分别是a 、b 、c ，且满足（b ﹣c ）（a 2＋b 2）＝bc 2﹣c 3 ， 则△ABC 是（ ）A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等腰或直角三角形【答案】D【解析】 试题解析：∵（b ﹣c ）（a 2+b 2）=bc 2﹣c 3，∴（b ﹣c ）（a 2+b 2）﹣c 2（b ﹣c ）=0，∴（b ﹣c ）（a 2+b 2﹣c 2）=0，∴b ﹣c=0，a 2+b 2﹣c 2=0，∴b=c 或a 2+b 2=c 2，∴△ABC 是等腰三角形或直角三角形．故选D ．13．下面式子从左边到右边的变形中是因式分解的是（ ）A ．()2212x x x x --=--B ．()()22a b a b a b +-=-C ．()()2422x x x -=+-D ．()2222a b a b ab +=++ 【答案】C【解析】【分析】根据把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解进行分析即可．【详解】A 选项：等式右边不是乘积的形式，故不是因式分解，不符合题意.B 选项：等式右边不是乘积的形式，故不是因式分解，不符合题意.C 选项：等式右边是乘积的形式，故是因式分解，符合题意.D 选项：等式右边不是乘积的形式，故不是因式分解，不符合题意.故选：C.【点睛】考查了因式分解的意义，关键是掌握因式分解的定义（把一个多项式化为几个整式的积的形式）．14．下列各因式分解正确的是（ ）A ．﹣x 2+（﹣2）2=（x ﹣2）（x+2）B ．x 2+2x ﹣1=（x ﹣1）2C ．4x 2﹣4x+1=（2x ﹣1）2D ．x 3﹣4x=2（x ﹣2）（x+2）【答案】C【解析】【分析】分别根据因式分解的定义以及提取公因式法和公式法分解因式得出即可．【详解】A ．﹣x 2+(﹣2)2=(2+x)(2﹣x)，故A 错误；B ．x 2+2x ﹣1无法因式分解，故B 错误；C.4x 2﹣4x+1=(2x ﹣1)2，故C 正确；D 、x 3﹣4x= x(x ﹣2)(x+2)，故D 错误．故选：C ．【点睛】此题主要考查了提取公因式法与公式法分解因式以及分解因式的定义，熟练掌握相关公式是解题关键．15．将下列多项式因式分解，结果中不含有因式1a +的是（ ）A ．21a -B ．221a a ++C ．2a a +D ．22a a +-【答案】D【解析】【分析】先把各个多项式分解因式，即可得出结果．【详解】解：21(1)(1)a a a -=+-Q ， ()2221=1a a a +++2(1)a a a a +=+，22(2)(1)a a a a +-=+-， ∴结果中不含有因式1a +的是选项D ；故选：D ．【点睛】本题考查了因式分解的意义与方法；熟练掌握因式分解的方法是解决问题的关键．16．将下列多项式因式分解,结果中不含有因式(a+1)的是( )A ．a 2-1B ．a 2+aC ．a 2+a-2D ．(a+2)2-2(a+2)+1【答案】C【解析】试题分析：先把四个选项中的各个多项式分解因式，即a 2﹣1=（a+1）（a ﹣1），a 2+a=a （a+1），a 2+a ﹣2=（a+2）（a ﹣1），（a+2）2﹣2（a+2）+1=（a+2﹣1）2=（a+1）2，观察结果可得四个选项中不含有因式a+1的是选项C ；故答案选C ．考点：因式分解.17．把多项式分解因式，正确的结果是（ ）A ．4a 2+4a +1=（2a +1）2B ．a 2﹣4b 2=（a ﹣4b ）（a +b ）C．a2﹣2a﹣1=（a﹣1）2D．（a﹣b）（a+b）=a2﹣b2【答案】A【解析】【分析】直接利用平方差公式和完全平方公式进行分解因式，进而判断得出答案．【详解】A．4a2+4a+1=（2a+1）2，正确；B．a2﹣4b2=（a﹣2b）（a+2b），故此选项错误；C．a2﹣2a﹣1在有理数范围内无法运用公式分解因式，故此选项错误；D．（a﹣b）（a+b）=a2﹣b2，是多项式乘法，故此选项错误．故选：A．【点睛】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用乘法公式是解题关键．18．已知x﹣y＝﹣2，xy＝3，则x2y﹣xy2的值为（）A．2 B．﹣6 C．5 D．﹣3【答案】B【解析】【分析】先题提公因式xy，再用公式法因式分解，最后代入计算即可．【详解】解：x2y﹣xy2＝xy（x﹣y）＝3×（﹣2）＝﹣6，故答案为B．【点睛】本题考查了因式分解，掌握先提取公因式、再运用公式法的解答思路是解答本题的关键．19．若实数a、b满足a+b=5，a2b+ab2=-10，则ab的值是（）A．-2 B．2 C．-50 D．50【答案】A【解析】试题分析：先提取公因式ab，整理后再把a+b的值代入计算即可．当a+b=5时，a2b+ab2=ab（a+b）=5ab=-10，解得：ab=-2．考点：因式分解的应用．20．下列由左到右边的变形中，是因式分解的是（）A．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4B．x2﹣1＝1 () x xxC．x2﹣4+3x＝（x+2）（x﹣2）+3xD．x2﹣4＝（x+2）（x﹣2）【答案】D【解析】【分析】直接利用因式分解的意义分别判断得出答案．【详解】A、（x+2）（x-2）=x2-4，是多项式乘法，故此选项错误；B、x2-1=（x+1）（x-1），故此选项错误；C、x2-4+3x=（x+4）（x-1），故此选项错误；D、x2-4=（x+2）（x-2），正确．故选D．【点睛】此题主要考查了因式分解的意义，正确把握定义是解题关键．。

(word完整版)初中数学因式分解专题训练及答案解析

(word完整版)初中数学因式分解专题训练及答案解析

七年级下数学因式分解专题训练一．选择题(共 13 小题) 1．下列因式分解错误的是( )2 2 2 2 2 2 2 2A - X - y = (x+y ) (xB . x +6x+9= (x+3)C . x +xy=x (x+y )D . x +y = (x+y ) -y )222.把 x +3x+c 分解因式得：x +3x+c= (x+1) (x+2),贝U c 的值为( )A . 2B . 3C . - 2D . - 33．一次课堂练习，王莉同学做了如下4 道分解因式题，你认为王莉做得不够完整的一题是()32222222A ．x -x=x (x -1)B ．x -2xy+y =(x -C ．xy -xy=xy (x -D ．x -y=(x -y )y ) 2 y ) ( x+y )4．下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的为( )A ．a ( x+y ) =ax+ay C ．10x 2- 5x=5x (2x - 1)5．下列多项式能分解因式的是(A ．x 2- yB ． x 2+16．下列分解因式正确的是( )A ．3x 2- 6x=x ( 3x - 6)22C ．4x - y =( 4x+y )( 4x - y )32232210. 已知a 、b 、c 是厶ABC 的三边长，且满足 a +ab +bc =b +a b+ac ，则△ ABC 的形状是 () A ．等 腰三角形B ． 直角三角形11.任何一个正整数 n 都可以进行这样的分解： n=s M (s , t 是正整数，且s W ),如果p >q 在n 的所有这种分解中两因数之差的绝对值最小，我们就称p >q 是n 的最佳分解，并规定：B．D．x 2- 4x+4=x x 2-16+3x= (x - 4) +4+3x( x - 4)( x+4) )C．2 2 x +xy+yD 2 ．x - 4x+4B ． - a 2+b 2=( b+a )( b - a )22D ．4x 2- 2xy+y 2=( 2x - y )7．下列多项式中，能用2&把代数式ax - 4ax+4a 分解因式，下列结果中正确的是( A ．a ( x - 2) 2 B ． a ( x+2 ) 2 C ． a ( x - 4))2 2 2 2C ．x -yD ．x 2+y 2)D ．a (x+2)(x - 2) 9．下列因式分解错误的是()22A ．x -y=(x+y )(x -y )2C ．x - xy+xz - yz=(x - y )(x+z ) 22B ．x +y =( x+y )( x+y )D ．x 2- 3x - 10=(x+2)(x - 5) C .等腰三角形或直角三角形D 等 腰直角三角形F (n )唔例如18可以分解成1沁"3X3这三种，这时就有F(⑻11 •给出下12. (- 8) 2006+ (- 8) 2005能被下列数整除的是( )A . 3B . 5C . 7D . 923213•如果x +x - 1=0，那么代数式x +2x - 7的值为( )A . 6B . 8C . - 6D . - 8二.填空题(共12小题) (2)14 .若 x +4x+4= (x+2) (x+n ) 贝U n= _______________ .15 .多项式ax 2 - 4a 与多项式x 2- 4x+4的公因式是 ________________________2 216 .因式分解： ax y+axy = _______________]| 217 .计算：9xy? (― =x y) = _____________ ;分解因式：2x( a - 2)+3y (2 - a) = ________________J18 .若 |m - 4|+ (石-5) 2=0,将 mx 2-ny 2分解因式为 ____________________________ .2 219 .因式分解：(2x+1)- x = _____________ .3220 .分解因式：a - ab = ________________ . 21 .分解因式：a 3 - 10a 2+25a= _______________ . 22 .因式分解：9x 2- y 2- 4y - 4= ________________ .223 .在实数范围内分解因式： x +x -仁 一一.24 .已知P=3xy - 8x+1 , Q=x - 2xy - 2,当x 旳时，3P - 2Q=7恒成立，则 y 的值为 —25 .在日常生活中如取款、上网等都需要密码.有一种用因式分解”法产生的密码，方便记忆.原理是：如对于多项式 x 4- y 4,因式分解的结果是(x - y ) (x+y ) (x 2+y 2),若取x=9 , y=9时，则各个因式的值是：(x - y ) =0, (x+y ) =18, (x 2+y 2) =162,于是就可以把 018162" 作为一个六位数的密码.对于多项式 4x 3- xy 2,取x=10, y=10时，用上述方法产生的密码列关于F (n )的说法：(1) F个完全平方数，则 A . F (n ) =1 .B . 2(2)亠;(2) F (24)止;2其中正确说法的个数是(C . 3(3)(27) =3; (4)若 n 是是：_________________ (写出一个即可).三•解答题(共5小题)26.化简：(a - b ) (a+b ) 2 _( a+b ) ( a - b ) 2+2b (a 2+b 2)30.为进一步落实《中华人民共和国民办教育促进法》，某市教育局拿出了 b 元资金建立民办教育发展基金会，其中一部分作为奖金发给了n 所民办学校.奖金分配方案如下： 首先将n 所民办学校按去年完成教育、教学工作业绩(假设工作业绩均不相同)从高到低，由1到n 排序，第1所民办学校得奖金卄元，然后再将余额除以 n 发给第2所民办学校，按此方法 将奖金逐一发给了 n 所民办学校.(1) 请用n 、b 分别表示第2所、第3所民办学校得到的奖金；(2) 设第k 所民办学校所得到的奖金为 a k 元(1<k 詣)，试用k 、n 和b 表示a k (不必证明)； (3) 比较a k 和a k+1的大小(k=1 , 2,…，n - 1)，并解释此结果关于奖金分配原则的实际 意义.七年级下数学因式分解专题训练参考答案与试题解析一．选择题(共 13 小题) 1．下列因式分解错误的是( )2 2 2 2 2 2 2 2A • x - y = (x+y ) (xB . x +6x+9= (x+3)C . x +xy=x (x+y )D . x +y = (x+y )-y ) 考点 ：因式分解的意义. 分析：根据公式特点判断，然后利用排除法求解.解答：解：A 、是平方差公式，正确；B 、是完全平方公式，正确；C 、是提公因式法，正确；D 、两平方项同号，因而不能分解，错误；故选 D .点评：本题主要考查了对于学习过的两种分解因式的方法的记忆与理解，需熟练掌握.222.把 x +3x+c 分解因式得：x +3x+c= (x+1) (x+2),贝U c 的值为( )A. 2B . 3C . - 2D . - 3考点：因式分解的意义.分析：根据因式分解与整式的乘法互为逆运算，把(x+1 ) (x+2)利用乘法公式展开即可求解.27.2 2因式分解：x (y - 1)2 2+2x (y 2- 1) + (y 2- 1).28在实数范围内分解因式:29. -3]计算：1 - a - a (1 - a )-a (1 - a ) 2 -a (1- a ) 3——a (1 - a ) 2000 - [ (1 - a ) 2001解答：解：T (x+1 ) ( x+2) =x2+2x+x+2=x 2+3x+2 ,二c=2. 故选A ．点评：本题主要考查了因式分解与整式的乘法互为逆运算．是中考中的常见题型．3．一次课堂练习，王莉同学做了如下 4 道分解因式题，你认为王莉做得不够完整的一题是()3 2 2 2 2 2 2 2 A．x-x=x(x-1) B．x-2xy+y =(x- C．xy-xy=xy(x- D．x-y=(x-y)2y) 2y) ( x+y)考点：因式分解的意义．分析：要找出“做得不够完整的一题”，实质是选出分解因式不正确的一题，只有选项A：x3 - x=x(x2- 1)没有分解完．解答：解：A、分解不彻底还可以继续分解：x3- x=x (x2- 1) =x (x+1 ) ( x- 1),B 、C、D 正确.故选A.点评：因式分解要彻底，直至分解到不能再分解为止.4.下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的为(2B . x - 4x+4=x (x - 4) +4 D . x 2- 16+3x= (x - 4) (x+4) +3x考点 ：因式分解的意义． 分析：根据分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式，利用排除法求解． 解答：解：A 、是多项式乘法，错误；B 、右边不是积的形式， x 2- 4x+4=(x - 2) 2，错误；C 、提公因式法，正确；D 、右边不是积的形式，错误；故选 C ． 点评：这类问题的关键在于能否正确应用分解因式的定义来判断．5．下列多项式能分解因式的是()22 2 2 2A ．x -yB ．x+1C ．x+xy+yD ．x -4x+4考点：因式分解的意义．分析：根 据多项式特点结合公式特征判断．解答：解：A 、不能提公因式也不能运用公式，故本选项错误；B 、同号不能运用平方差公式，故本选项错误；C 、不符合完全平方公式，应该是 x 2+2xy+y 2，故本选项错误；D 、符合完全平方公式，正确；故选 D ．点评：本题主要考查了公式法分解因式的公式结构特点的记忆，熟记公式是解题的关键．6．下列分解因式正确的是( )A ．3x 2- 6x=x ( 3x - 6)22C ．4x 2- y 2=( 4x+y )( 4x - y )考点：因式分解-运用公式法；因式分解 -提公因式法． 专题 ：计算题．分析：根据因式分解的定义，把一个多项式写成几个整式积的形式叫做因式分解，并根据提 取公因式法，利用平方差公式分解因式法对各选项分析判断后利用排除法求解．解答：解： A 、 3x 2- 6x=3x ( x - 2)，故本选项错误；22B 、 - a+b= (b+a ) (b - a ),故本选项正确；2 9C 、 4x - y = (2x+y ) (2 x - y ),故本选项错误；D 、 4x 2- 2xy+y 2不能分解因式，故本选项错误.故选 B .点评：本题主要考查了因式分解的定义，熟记常用的提公因式法，运用公式法分解因式的方 法是解题的关键.7.下列多项式中，能用公式法分解因式的是( )A . x 2- xyB . x 2+xyC . x 2- y 2D . x 2+y 2考点：因式分解-运用公式法．A ． a ( x+y ) =ax+ay C . 10x 2- 5x=5x (2x - 1)22B ． - a 2+b 2=( b+a )( b - a )22D ．4x 2- 2xy+y 2=( 2x - y )分析：能用平方差公式进行因式分解的式子的特点是：两个平方项，符号相反； 能用完全平方公式法进行因式分解的式子的特点是：两个平方项的符号相同，另一项 是两底数积的 2 倍． 解答：解：A 、x 2-xy 只能提公因式分解因式，故选项错误；B 、 x 2+xy 只能提公因式分解因式，故选项错误；C 、 x 2- y 2能用平方差公式进行因式分解，故选项正确；D 、 x 2+y 2不能继续分解因式，故选项错误. 故选 C ．点评：本题考查用公式法进行因式分解．能用公式法进行因式分解的式子的特点需识记．28．把代数式 ax 2- 4ax+4a 分解因式，下列结果中正确的是（）A ．a （x - 2）2B ．a （x+2）2C ．a （ x - 4）2D ．a （x+2）（x - 2）考点： 分析： 提 公因式法与公式法的综合运用．先提取公因式a ,再利用完全平方公式分解即可. 解答： 2解 ： ax 2- 4ax+4a ,2 =a （ x 2- 4x+4）,2=a （ x - 2） ．故选 A ．点评： 本题先提取公因式,再利用完全平方公式分解,分解因式时一定要分解彻底． 考点：因式分解-十字相乘法等；因式分解的意义；因式分解 -分组分解法．分析：根据公式法分解因式特点判断，然后利用排除法求解．22解答：解：A 、x - y = （x+y ） （x - y ）,是平方差公式，正确；B 、 x 2+y 2，两平方项同号，不能运用平方差公式，错误；C 、 x 2- xy+xz - yz= （x - y ） （x+z ）,是分组分解法，正确；D 、 x 2- 3x - 10= （ x+2）（ x - 5），是十字相乘法，正确．故选 B ．点评：本题考查了公式法、分组分解法、十字相乘法分解因式，熟练掌握分解因式各种方法 的特点对分解因式十分重要．10. 已知a 、b 、c 是厶ABC 的三边长，且满足 a 3+ab 2+bc 2=b 3+a 2b+ac 2,则厶ABC 的形状是（）A .等腰三角形B .直角三角形C .等腰三角形或直角三角形D .等腰直角三角形 考点：因式分解的应用．专题：因式分解．分析：把所给的等式a 3+ab 2+bc 2=b 3+a 2b+ac 2能进行因式分解的要因式分解，整理为非负数相 加得 0 的形式，求出三角形三边的关系，进而判断三角形的形状．解答：解：T a 3+ab 2+bc 2=b 3+a 2b+ac 2,/• a 3 - b 3 - a 2b+ab 2 - a 〜+bc 2=0 ,(a 3 - a 2b ) + (ab 2- b 3)-( ac 2- bc 2) =0,9．下列因式分解错误的是（）A ．x 2- y 2=（x+y ）（x - y ）2C ．x - xy+xz - yz=（x - y ）（x+z ）22B ．x +y =（x+y ）（x+y ）D ．x 2- 3x - 10=（x+2 ）（x - 5）a2( a- b) +b2(a- b)- c2(a - b) =0,(a- b) ( a2+b2- c2) =0,所以a - b=0 或a2+b2- c2=0.所以a=b 或a2+b2=c2.故厶ABC的形状是等腰三角形或直角三角形.故选C.点评：本题考查了分组分解法分解因式，利用因式分解最后整理成多项式的乘积等于0的形式是解题的关键.11. 任何一个正整数n都可以进行这样的分解：n=s M (s, t是正整数，且s W),如果p >q 在n的所有这种分解中两因数之差的绝对值最小，我们就称p>q 是n的最佳分解，并规定：F ( n) =R 例如18可以分解成1 X18, 20 3>6这三种，这时就有F (18)二丄.给出下q & 2列关于F (n)的说法：(1) F (2)丄;(2) F (24) '； (3) F ( 27) =3; (4)若n 是一2 g个完全平方数，则F ( n) =1 .其中正确说法的个数是( )A . 1B . 2C . 3D . 4考点：因式分解的应用.专题:新定义.分析：把2, 24, 27, n分解为两个正整数的积的形式，找到相差最少的两个数，让较小的数除以较大的数，看结果是否与所给结果相同.解答：解：•/ 2=1 >,••• F (2)=二是正确的；24=1 >24=2 X12=3>8=4 0,这几种分解中4和6的差的绝对值最小，4 2•F (24) = ,故(2)是错误的;& 327=1 >27=3 >9,其中3和9的绝对值较小，又3 V 9,•F (27)=二，故(3)是错误的；••• n是一个完全平方数，•n能分解成两个相等的数，则 F (n) =1，故(4)是正确的.•正确的有(1), (4).故选B.点评：本题考查题目信息获取能力，解决本题的关键是理解此题的定义：所有这种分解中两因数之差的绝对值最小， F (n) / ( p W q).|q12. (- 8) 2006+ (- 8) 2005能被下列数整除的是( )A . 3B . 5C . 7D . 9考点：因式分解的应用.分析：根据乘方的性质，提取公因式(- 8) 2005，整理即可得到是7的倍数，所以能被7整除.解答:解：(-8) 2006+ (- 8) 2005,2005 2005=(-8) (- 8) + (- 8) ，=(-8+1) (- 8) 2005, =-7 X ( - 8) 2005=7 X32005.所以能被7整除.故选C.点评：本题考查提公因式法分解因式，关键在于提取公因式，然后再对所剩的因数进行计算.2 3 213•如果x2+x - 1=0，那么代数式X3+2X2 - 7的值为( )A • 6B • 8C • - 6D • - 8考点：因式分解的应用.专题：整体思想.分析：由x2+x - 1=0得x2+x=1，然后把它的值整体代入所求代数式，求值即可.解答: 解：由x2+x - 1=0 得x2+x=1 ,3 2 3 2 2 /• x +2x - 7=x +x +x - 7,=x (x +x) +x - 7,2=x+x - 7,=1 - 7,=-6 •故选C点评：本题考查提公因式法分解因式，代数式中的字母表示的数没有明确告知，而是隐含在‘ (2)题设中，首先应从题设中获取代数式x +x的值，然后利用整体代入法”求代数式的值.二.填空题(共12小题)214. 若x +4x+4= (x+2) (x+n),则n= 2 .考点：因式分解的意义.专题：计算题.分析：根据因式分解与整式的乘法是互逆运算，把等式右边展开后根据对应项系数相等列式求解即可.解答：解：T (x+2) ( x+n) =x2+ ( n+2) x+2n,/• n+2=4 , 2n=4, 解得n=2.点评：本题主要利用因式分解与整式的乘法是互逆运算.15. 多项式ax2- 4a与多项式x2- 4x+4的公因式是x- 2考点：公因式. 分析：分别将多项式ax1 2- 4a与多项式x2- 4x+4进行因式分解，再寻找他们的公因式. 解答：解：考点：因式分解-提公因式法；单项式乘多项式.专题：因式分解.分析：(1)根据单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式，计算即可. (2 )直接提取T ax2- 4a=a (x2- 4) =a (x+2) (x- 2),2- 4x+4= (x - 2) 2,x•••多项式ax2- 4a与多项式x2- 4x+4的公因式是x - 2.点评：本题主要考查公因式的确定，先利用提公因式法和公式法分解因式，然后再确定公共因式.、 2 216. 因式分解：ax y+axy = axy (x+y) .考点：因式分解-提公因式法.分析：确定公因式为axy，然后提取公因式即可.解答：解：ax2y+axy2=axy (x+y ).点评：本题考查了提公因式法分解因式，准确找出公因式是解题的关键.17. 计算：9xy?(-丄x2y) = - 3x3y2;分解因式：2x (a- 2) +3y (2 - a) = (a- 2) 3(2x - 3y)公因式(a-2)即可.解答：解：9xy? (-=x2y) = -->9?x2?x?y?y= - 3x3y2,2x (a- 2) +3y (2 - a) = (a - 2) (2x - 3y), 故答案分别为：-3x3y2, (a- 2) (2x - 3y).点评：(1)本题考查了单项式与单项式相乘，熟练掌握运算法则是解题的关键. (2)本题考查了提公因式法分解因式，解答此题的关键把( a- y)看作一个整体，利用整体思想进行因式分解.18. 若|m- 4|+ C - 5) 2=0,将mx2-ny2分解因式为(2x+5y)(空二5y) .考点：因式分解-运用公式法；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方.分析：先根据绝对值非负数，平方数非负数的性质列式求出m、n的值分别是4和25,然后代入多项式，再利用平方差公式进行因式分解即可.解答：解:|m-4|+ ( II- 5) 2=0•m - 4=0, 11 - 5=0,解得：m=4, n=25 ,2 2•mx - ny ,=4x2- 25y2,=(2x+5y) (2x- 5y).点评：本题主要考查利用平方差公式分解因式，根据非负数的性质求出m、n的值是解题的关键.19.因式分解：(2x+1) 2 - x 2= (3x+1 ) (x+1 ) .考点：因式分解-运用公式法.分析：直接运用平方差公式分解因式，两项平方的差等于这两项的和与这两项的差的积. 解答：解：(2x+1 ) 2 - x 2,=(2x+1+x ) (2x+1 - x ), =(3x+1 ) (x+1 ).点评：本题主要考查平方差公式分解因式，熟记公式结构是解题的关键，本题难点在于把 (2x+1 )看作一个整体.20.分解因式： a 3 - ab = a (a+b ) (a - b ).考点：提公因式法与公式法的综合运用.分析：观察原式a 3- ab 2,找到公因式a ,提出公因式后发现 a 2 - b 2是平方差公式，利用平方 差公式继续分解可得. 解答：解：a 3 - ab 2=a (a 2 - b 2) =a (a+b ) (a - b ).点评：本题是一道典型的中考题型的因式分解：先提取公因式，然后再应用一次公式. 本题考点：因式分解(提取公因式法、应用公式法)3 2 221. 分解因式：a - 10a +25a= a (a - 5).考点：提公因式法与公式法的综合运用.分析：先提取公因式a ,再利用完全平方公式继续分解. 解答：解：a 3 - 10a 2+25a ,=a (a 2 - 10a+25),(提取公因式) =a (a - 5) 2.(完全平方公式)点评：本题考查了提公因式法，公式法分解因式，关键在于提取公因式后可以利用完全平方 公式继续进行二次分解，分解因式一定要彻底.2 222.因式分解： 9x - y - 4y - 4= (3x+y+2 ) (3x - y - 2) .考点：因式分解-分组分解法.分析：此题可用分组分解法进行分解，可以将后三项分为一组，即可写成平方差的形式，利 用平方差公式分解因式. 解答：解：9x 2- y 2 - 4y - 4,22=9x -( y +4y+4), =9x -(y+2),=(3x+y+2 ) ( 3x - y - 2).点评：本题考查了分组分解法分解因式，用分组分解法进行因式分解的难点是采用两两分组还是三一分组.本题后三项可组成完全平方公式，可把后三项分为一组.23.在实数范围内分解因式:(x+—+2x 2+x - 1 =2考点：实数范围内分解因式；因式分解 -运用公式法.本题考查实数范围内的因式分解，因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式•在实 数范围内进行因式分解的式子的结果一般要分到出现无理数为止. 同时还要结合式子特点进行适当的变形，以便能够分解.24•已知 P=3xy - 8x+1 , Q=x - 2xy - 2,当 x 旳时，3P -2Q=7 恒成立，则 y 的值为 _2_ 考点：因式分解的应用.分析：先根据题意把P=3xy - 8x+1 , Q=x - 2xy - 2分别代入3P - 2Q=7中，再合并同类项， 然后提取公因式，即可求出y 的值.解答：解：•/ P=3xy - 8x+1 , Q=x - 2xy - 2,••• 3P - 2Q=3 (3xy - 8x+1 )- 2 (x - 2xy - 2) =7 恒成立，/• 9xy - 24x+3 - 2x+4xy+4=7 ,13xy - 26x=0 , 13x (y - 2) =0, •/ x 电• y - 2=0, • y=2; 故答案为：2 •点评：此题考查了因式分解的应用，解题的关键是把要求的式子进行整理，然后提取公因式,是一道基础题.25.在日常生活中如取款、上网等都需要密码•有一种用因式分解”法产生的密码，方便记忆.原理是：如对于多项式 x 4- y 4,因式分解的结果是(x - y ) (x+y ) (x 2+y 2),若取x=9 ,2 2y=9时，则各个因式的值是：(x - y ) =0, (x+y ) =18, (x +y ) =162,于是就可以把 018162" 作为一个六位数的密码•对于多项式 4x 3- xy 2,取x=10, y=10时，用上述方法产生的密码是:101030 或 103010 或 301010 (写出一个即可).分析: 解答:本题考查对一个多项式进行因式分解的能力，当要求在实数范围内进行分解时，分解 的结果一般要分到出现无理数为止， 解的多项式，则需进行变形整理，一 本题，因为有x 2+x , 2解：x +x+而且对于不能直接看出采用什么方法进行因式分 般可以在保证式子不变的前提下添加一些项，如 所以可考虑配成完全平方式，再继续分解.丄亠14 1§4点评:\|71-2[(考点：因式分解的应用.专题：开放型.分析：把所求的代数式分解因式后整理成条件中所给出的代数式的形式，然后整体代入即可.解答：解：4x3- xy2=x (4x2- y2) =x (2x+y) (2x - y), 当x=10, y=10 时,x=10 ; 2x+y=30 ; 2x - y=10, 用上述方法产生的密码是：101030或103010或301010.点评：本题考查了提公因式法，公式法分解因式，读懂题目信息，正确进行因式分解是解题的关键，还考查了代数式求值的方法，同时还隐含了整体的数学思想和正确运算的能力.三•解答题(共5小题)26. 化简：(a- b) (a+b) 2-( a+b) ( a- b) 2+2b (a2+b2)考点：因式分解-提公因式法.分析：先对前两项提取公因式(a- b) (a+b)，整理后又可以继续提取公因式2b,然后整理即可.解答：解：(a- b) (a+b) 2-( a+b) (a- b) 2+2b (a2+b2),2 2=(a- b) (a+b) (a+b - a+b) +2b (a +b ),=2b (a2- b2) +2b (a2+b2),2.22 .2.=2b (a - b +a - b ),=4a2b.点评：本题考查了平方差公式，提公因式法分解因式，对部分项提取公因式后再次出现公因式是解题的关键，运用因式分解法求解比利用整式的混合运算求解更加简便.27. 因式分解：x2( y2- 1) +2x (y2- 1) + (y2- 1).考点：提公因式法与公式法的综合运用.分析：先提取公因式(y2- 1),再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解，对公因式利用平方差公式分解因式. 解答：解：x2(y2- 1) +2x (y2- 1) + (y2- 1),2 2=(y - 1) (x +2x+1 ),=(y2- 1) (x+1 )2=(y+1) (y- 1) (x+1).点评：本题考查了提公因式法，公式法分解因式，难点在于提取公因式后需要对公因式和剩余项进行二次因式分解，分解因式一定要彻底.28. 在实数范围内分解因式：耳'+^-2+屈.考点：实数范围内分解因式.分析：将原式化为(x2- 2) + (x+.二进行分解即可，前半部分可用平方差公式.解答：解：原式=(x2- 2) + ( x+】：)=(x+ :'：) (x- :'：) + (X+ 一■：)=(x+咯：2) (x-T*+1).点评：本题考查实数范围内的因式分解，因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式.在实数范围内进行因式分解的式子的结果一般要分到出现无理数为止.29. 计算：1 - a — a (1 - a ) — a (1 - a ) 2- a (1 - a ) 3- "•- a (1 - a ) 2000- [ (1 - a ) 2001-3] 考点：因式分解的应用. 专题：规律型.分析：本题要根据规律进行求解，我们发现式子的前两项可写成( 1-a ),那么(1-a ) - a (1 - a )用提取公因式法可得出(1 - a ) (1 - a ) = (1 - a )，再和下一项进行计算就 是(1 - a ) 2 - a (1- a ) 2= (1 - a ) 3,根据此规律，我们可得出原式 =(1 - a ) 2001-[(1 - a ) 2001 - 3]=3 .解答:解：1 - a - a (1 - a ) - a (1 - a ) 2 - a (1 - a ) 3—…-a (1 - a ) 2000- [ (1 - a ) 2001 -3],=(1 - a ) 2000- a (1 - a ) 2000- [ (1- a )2001- 3],=(1 - a ) 2001 - [ (1 - a )2001- 3],=3.点评：本题考查了提公因式法的应用，解题的关键是运用提取公因式法来找出式子的规律， 从而求出答案.30.为进一步落实《中华人民共和国民办教育促进法》，某市教育局拿出了 b 元资金建立民办教育发展基金会，其中一部分作为奖金发给了 n 所民办学校.奖金分配方案如下： 首先将 n 所民办学校按去年完成教育、教学工作业绩(假设工作业绩均不相同)从高到低，由1到n 排序，第1所民办学校得奖金一元，然后再将余额除以 n 发给第2所民办学校，按此方法n将奖金逐一发给了 n 所民办学校.(1) 请用n 、b 分别表示第2所、第3所民办学校得到的奖金； (2)设第k 所民办学校所得到的奖金为 a k 元(1<k 詣)，试用k 、n 和b 表示a k (不必证明)；(3) 比较a k 和a k+1的大小(k=1 , 2,…，n - 1),并解释此结果关于奖金分配原则的实际 意义.考点：因式分解的应用；列代数式. 专题：规律型.分析：(1)第2所民办学校得到的奖金为：(总资金-第一所学校得到的奖金)前；第3所民办学校得到的奖金为：(总资金-第一所学校得到的奖金-第 2所民办学校得到的奖金)匍； (2)由(1)得k 所民办学校所得到的奖金为 a k =总资金用x( 1-2) n ；n(3) 用a k 表示出a k+1进行比较即可.解答：解：(1)因为第1所学校得奖金a 1「，所以第2所学校得奖金a 2* (b -上)丄(1[I-1-丄(1-2)]=b (i-l )n n n玄3=丄[] 7(1 _ ) J 丄n n nnn所以第3所学校得奖金（2）由上可归纳得到 a k =-::-:n n点评：这是一道渗透新课程理念的好题•它以奖金发放为背景，以列代数式、因式分解、代 数式的大小比较等相关知识为载体，考查了学生数感、符号感、数学建模能力、观察 分析、归纳推理等能力•本题得分率较低，究其原因主要有：一是部份学生不能将文 字语言转换成符号语言，二是部份学生不能在代数式的整理变形过程中总结发现规 律•解决本题的关键一是充分理解题意，二要表示第 k 所民办学校所得到的奖金，就 要在第2所、第3所民办学校得到的奖金（代数式）上发现规律，三要提高对代数式 变形的技能.上（1_丄）,a k+i/ (l -丄)“，所以 a k+i = (1 -n nn n结果说明完成业绩好的学校，获得的奖金就多.(3)因为a k =)a k v a k u。

2019初中数学因式分解的应用拓展创新题型专项训练二(附答案详解)

2019初中数学因式分解的应用拓展创新题型专项训练二(附答案详解)

2019初中数学因式分解的应用拓展创新题型专项训练二（附答案详解）1．观察下列一组等式：（a+1）（a2﹣a+1）=a3+1（a+2）（a2﹣2a+4）=a3+8（a+3）（a2﹣3a+9）=a3+27（1）以上这些等式中，你有何发现？利用你的发现填空．①（x﹣3）（x2+3x+9）=_____；②（2x+1）（）=8x3+1；③（）（x2+xy+y2）=x3﹣y3．（2）计算：（a2﹣b2）（a2+ab+b2）（a2﹣ab+b2）．2．阅读材料：若，求、的值.解：∵，∴，∴∴∴，根据你的观察，探究下面的问题：（1）已知求、的值；（2）已知的三边长、、都是正整数，且满足，求的最大边的值.3．材料阅读：若一个整数能表示成a2＋b2(a、b是正整数)的形式，则称这个数为“完美数”．例如：因为13＝32＋22，所以13是“完美数”；再如：因为a2＋2ab＋2b2＝(a＋b)2＋b2(a、b是正整数)，所以a2＋2ab＋2b2也是“完美数”．(1)请你写出一个大于20小于30的“完美数”，并判断53是否为“完美数”；(2)试判断(x2＋9y2)·(4y2＋x2)(x、y是正整数)是否为“完美数”，并说明理由．4．阅读材料：把代数式x2﹣6x﹣7因式分解，可以如下分解：x2﹣6x﹣7=x2﹣6x+9﹣9﹣7=（x﹣3）2﹣16=（x﹣3+4）（x﹣3﹣4）=（x+1）（x﹣7）（1）探究：请你仿照上面的方法，把代数式x2﹣8x+7因式分解；（2）拓展：把代数式x2+2xy﹣3y2因式分解：当________________时，代数式x2+2xy﹣3y2=0．5．阅读下列解答过程：若二次三项式x2-4x+m有一个因式是x+3，求另一个因式及m的值.解：设另一个因式为x+a则x2-4x+m=(x+3)(x+a)=x2+ax+3x+3a=x2+(a+3)x+3a，∴∴∴另一个因式为x-7，m的值为-21.请依照以上方法解答下面问题：（1）已知二次三项式x2+3x-k有一个因式是x-5，求另一个因式及k的值；（2）已知二次三项式2x2+5x+k有一个因式是x+3，求另一个因式及k的值.19．阅读下面题目的解题过程，并回答问题.若,求x2+y2的值.解：设，则原式可化为a2-8a+16=0，即(a-4)2=0，所以a=4.由(x2+y2)2=4，得x2+y2=±2.（1）错误的原因是___________________________________（2）本题正确的结论为_________________________________（3）设“”的方法叫做换元法，它能起到化繁为简的目的.请用“换元法”把(x+y)2-14(x+y)+49因式分解.6．阅读理解并完成下面问题：我们知道，任意一个正整数都可以进行这样的因式分解：（是正整数），在的所有这种分解中，如果两因数之差的绝对值最小，我们就称是的最佳分解．并规定：（其中）．例如：可以分解成，或，因为，所以是的最佳分解，所以．（）如果一个正整数是另外一个正整数的平方，我们称正整数是完全平方数，若是一个完全平方数，求的值；（）如果一个两位正整数，交换其个位数字与十位数字得到的新两位数减去原数所得的差为，那么我们称这个两位正整数为“吉祥数”，求符合条件的所有“吉祥数”；（）在（）中的所有“吉祥数”中，求的最小值．7．当一个多位数的位数为偶数时，在其中间插入一位数k，（0≤k≤9，且k为整数）得到一个新数，我们把这个新数称为原数的关联数．如：435729中间插入数字6可得435729的一个关联数4356729，其中435729=729+435×1000，4356729=729+6×1000+435×10000．请阅读以上材料，解决下列问题．（1）现有一个4位数2316，中间插入数字m（0≤m≤9，且m为3的倍数），得其关联数，求证：所得的2316的关联数与原数10倍的差一定能被3整除；（2）若一个三位关联数是原来两位数的9倍，请找出满足这样的三位关联数．8．把几个图形拼成一个新的图形，再通过图形面积的计算，常常可以得到一些有用的信息，或可以求出一些不规则图形的面积.(1)如图1所示，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m，宽为n的全等小长方形，且m>n.观察图形，可以发现代数式2m2＋5mn＋2n2可以因式分解为 .(2)若图1中每块小长方形的面积为12cm2，四个正方形的面积和为50 cm2，试求图中所有裁剪线(虚线部分)长之和.(3)将图2中边长为a和b的正方形拼在一起，B,C,G三点在同一条直线上，连接BD和BF，若这两个正方形的边长满足a+b=10，ab=16，请求出阴影部分的面积.9．探索题：(x﹣1)(x+1)＝x2﹣1，(x﹣1)(x2+x+1)＝x3﹣1，(x﹣1)(x3+x2+x+1)＝x4﹣1，(x﹣1)(x 4+x 3+x 2+x+1)＝x 5﹣1根据前面的规律，回答下列问题：(1)(x ﹣1)(x n +x n ﹣1+x n ﹣2+…+x 3+x 2+x+1)＝_____．(2)当x ＝3时，(3﹣1)(32015+32014+32013+…+33+32+3+1)＝_____． (3)求：22014+22013+22012+…+23+22+2+1的值．(请写出解题过程) (4)求22016+22015+22014+…+23+22+2+1的值的个位数字．(只写出答案)10．对任意一个正整数m ，如果m=n （n+1），其中n 是正整数，则称m 为“优数”，n 为m 的最优拆分点，例如：72=8×（8+1），则72是一个“优数”，8为72的最优拆分点． （1）请写出一个“优数” ，它的最优拆分点是 ； （2）求证：若“优数”m 是5的倍数，则m 一定是10的倍数；（3）把“优数”p 的2倍与“优数”q 的3倍的差记为D （p ，q ），例如：20=4×5，6=2×3，则D （20，6）=2×20﹣3×6=22．若“优数”p 的最优拆分点为t+4，“优数”q 的最优拆分点为t ，当D （p ，q ）=76时，求t 的值并判断它是否为“优数”．11．请阅读下列材料：我们可以通过以下方法求代数式265x x ++的最小值．()22222652333534x x x x x ++=+⋅⋅+-+=+-，∵()23x +≥0，∴当3x =-时， 265x x ++有最小值4-． 请根据上述方法，解答下列问题：（1）()222224122221x x x x x a b +-=+⋅⋅+--=++，则ab 的值是______；（2）求证：无论x 取何值，代数式27x ++的值都是正数；（3）若代数式227x kx ++的最小值为2，求k 的值．12．已知a+b=1，ab=-1.设（1）计算S 2；（2）请阅读下面计算S 3的过程： ()()33332222a b a b b a-b a a b-a b +=+++ =()()()323222a b a b a b b a a b +++-+ =()()()2222a b a a b b ab a b +++-+ =()()()22a b a b ab a b ++-+ ∵a+b=1，ab=-1，∴()()()()33223221111S a b a b a b ab a b S S =+=++-+=⨯--⨯=+=_______. 你读懂了吗？请你先填空完成（2）中S 3的计算结果；再计算S 4；（3）猜想并写出2n S -， 1n S -， n S 三者之间的数量关系（不要求证明，且n 是不小于2的自然数），根据得出的数量关系计算S 3.13．老师在黑板上写出三个算式:52-32=8×2,92-72=8×4,152-32=8×27,王华接着又写了两个具有同样规律的算式:112-52=8×12,152-72=8×22,……(1)请你再写出两个(不同于上面算式)具有上述规律的算式; (2)用文字写出反映上述算式的规律; (3)证明这个规律的正确性. 答案：】1．（1）①x 3﹣27；②4x 2﹣2x+1；③x ﹣y ；（2）a 6﹣b 6．解：（1）①（x﹣3）（x2+3x+9）=x3﹣27；②（2x+1）（4x2﹣2x+1）=8x3+1；③（x﹣y）（x2+xy+y2）=x3﹣y3；故答案为：①x3﹣27；②4x2﹣2x+1；③x﹣y；（2）原式=[（a﹣b）（a2+ab+b2）][（a+b）（a2﹣ab+b2）]=（a3﹣b3）（a3+b3）=a6﹣b6．2．(1) x=−6，y=−3.(2)8，9.解：(1)∵∴∴∴x−2y=0，y+3=0，∴x=−6，y=−3.(2)∵，∴∴∴a−3=0，b−7=0，∴a=3，b=7，∵7−3<c<7+3，∴∴△ABC的最大边c的值可能是8、9.3．解：(1)25=4²+3²，∵53=49+4=7²+2²，∴53是“完美数”；(2)(x²+9y²)⋅(4y²+x²)是“完美数”，(x²+9y²)⋅(4y²+x²)=4x2y²+36++9x²y²=13x²y²+36+=(6y²+x²) ²+x²y²，∴(x²+9y²)⋅(4y²+x²)是“完美数”.4．(1) （x﹣1）（x﹣7）(2)（x+3y）（x﹣y）;﹣3或1解：（1）x2﹣8x+7=x2﹣8x+16﹣16+7=（x﹣4）2﹣32=（x﹣4+3）（x﹣4﹣3）=（x﹣1）（x﹣7）（2）由x2+2xy﹣3y2=0得x2+2xy+y2﹣y2﹣3y2=0，（x+y）2﹣4y2=0，（x+y+2y）（x+y﹣2y）=0，（x+3y）（x﹣y）=0，x+3y=0或x﹣y=0，所以，当=﹣3或1时，x2+2xy﹣3y2的值为0．5．（1）另一个因式为x+8，k的值为40.（2）另一个因式为2x-1，k的值为-3. 解：（1）设另一个因式为（x+a），∴x2+3x-k=（x-5）（x+a），则x2+3x-k=x2+（a-5）x-5a，∴，解得：a=8，k=40，∴另一个因式为x+8，k的值为40；（2）设另一个因式为（2x+a），∴2x2+5x+k =（x+3）（2x+a），则2x2+5x+k=2x2+（6+ a）x+3a，∴，解得：a=-1，k=-3，∴另一个因式为2x-1，k的值为-3.6．（1）x2+y2是非负数（2）x2+y2=2（3）(x+y-7)²解：（1）∵x2≥0，y2≥0，x2+y2≥0，∴由(x2+y2)2=4，得x2+y2=±2，这步发生错误，错误原因为x2+y2必须是非负数；（2）由（1）可得，本题正确的结论为：x2+y2=2；（3）设x＋y=m，∴原式=m2-14m+49=(m-7)2，∴原式=(x+y-7)².7．（1）1；（2）可取，，，，，，；（3）解：（）∵是完全平方数∴且∴（）设正整数，则，则．∵．．．∴可取，，，，，，．（）由（）得．∴，，，，，，．∵．∴的最小值为．8．（1）；（2）135、225、315和405．（1）证明：∵这个4位数的前两位为23，后两位为16，∴2316的关联数是23m16 将关联数与原数10倍相减得：m•102﹣9×16．∵m和9均为3的倍数，∴关联数与原数10倍的差一定能被3整除；（2）（1）解：设原数为ab=10a+b，其关联数为amb=100a+10m+b．∵amb=9ab，∴100a+10m+b=9×（10a+b），∴5a+5m=4b，∴5（a+m）=4b．∵b、m为整数，a为正整数，且a、b、m均为一位数，∴b=5，a+m=4，∴a=1，m=3；a=2，m=2；a=3，m=1；a=4，b=0，∴满足条件的三位关联数为135、225、315和405．9．（1）(1)(m+2n)(2m+n)；（2）42cm;(3)26.解：(1)(m+2n)(2m+n)(2)由题意得：mn=12,2n 2+2m 2=50，∴n 2+m 2=25，∴(m+n)2= n 2+m 2+2mn=49,∵m>n ，∴m+n=7, ∴图中所有裁剪线(虚线部分)长之和=6(m+n)=42(cm) (3) 阴影部分的面积=0.5a 2+b 2-0.5b(a+b)=0.5(a 2+ b 2-ab)=0.5[(a+b)² -3ab]=0.5×(100-48)=26.10．（1）x n+1﹣1；（2）32016﹣1；（3）22015﹣1；（4）1. 解：（1）（x ﹣1）（x n +x n ﹣1+x n ﹣2+…+x 3+x 2+x+1）=x n+1﹣1， 故答案为：x n+1﹣1；（2）当x=3时，（3﹣1）（32015+32014+32013+…+33+32+3+1）=32016﹣1， 故答案为：32016﹣1（3）解：原式=（2﹣1）（22014+22013+22012+…+23+22+2+1）=22015﹣1（4）22016+22015+22014+…+23+22+2+1=（2﹣1）（22016+22015+22014+…+23+22+2+1）=22017﹣1，21的末位数字是2，22的末位数字是4，23的末位数字是8，24的末位数字是6，25的末位数字是2…，所以2n的末位数字是以2、4、8、6四个数字一循环． 2017÷4=504…1， 所以22017的末尾数字是2，22017﹣1的末尾数字是1． 11．（1）56，7；（2）；（3）解：（1）∵56=7×（7+1），∴56是“优数”，它的最优拆分点是7．故答案为：56，7； （2）∵“优数”m 是5的倍数，∴n （n +1）是5的倍数，（n 是正整数），当n 为奇数时，n +1是偶数，∴n （n +1）是能被5整除的偶数，故n （n +1）是10的倍数，当n 为偶数时，∴n （n +1）是能被5整除的偶数，故n （n +1）是10的倍数，即：“优数”m 是5的倍数，则m 一定是10的倍数；（3）由题意知，p =（t +4）（t +5），q =t （t +1）．∵D （p ，q ）=2p ﹣3q =76，∴2（t +4）（t +5）﹣3t （t +1）=76，∴t =3或t =12，∴3不是“优数”，12是“优数”． 12．-10解：（1）()22222412222125x x x x x +-=+⋅⋅+--=+-， 所以a=2，b=-5，所以ab 的值是-10，故答案为：-10；（2）x 2x+7=x 2)2+7=（）2+1，∵（）2≥0，∴x 2x+7最小值为1，∴无论x 取何值，x 2x+7的值都是正数；（3）2x 2+kx+7=）2x×4k+（4k ）2-（4k ）2+7=4）2-18k 2+7，x+4）2≥0，2-18k 2+7的最小值是-18k 2+7， ∴-18k 2+7=2，∴k=±13．（1）S 2=3；（2）4，S 4=7； （3）S n-2+S n-1=S n ， S 8= 47. 解：（1）S 2＝a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝12－2×(－1)＝3； （2）S 3＝S 2＋1＝3＋1＝4， 故答案为：4；∵S 4＝a 4＋b 4＝( a 2＋b 2)2－2a 2b 2＝( a 2＋b 2)2－2(ab )2， 又∵a 2＋b 2═3，ab ＝－1， ∴S 4＝32－2×1＝7； （3）∵S 1＝1，S 2＝3，S 3＝4，S 4＝7， ∴S 1＋S 2＝S 3，S 2＋S 3＝S 4． 猜想：S n －2＋S n －1＝S n ． ∵S 3＝4，S 4＝7， ∴S 5＝S 3＋S 4＝4＋7＝11， ∴S 6＝S 4＋S 5＝7＋11＝18， ∴S 7＝S 5＋S 6＝11＋18＝29， ∴S 8＝S 6＋S 7＝18＋29＝47．13．（1）72-52=8×3;92-32=8×9；（2）任意两个奇数的平方差是8的倍数；（3）证明解：(1)72-52=8×3;92-32=8×9等.(2)规律:任意两个奇数的平方差是8的倍数.(3)证明设m,n(m≠n)为整数,两个奇数可表示为2m+1和2n+1,则(2m+1)2-(2n+1)2=4(m-n)(m+n+1).∵当m,n同是奇数或偶数时,m-n一定为偶数,∴4(m-n)一定是8的倍数;∵当m,n一偶一奇时,则m+n+1一定为偶数,∴4(m+n+1)一定是8的倍数.∴任意两个奇数的平方差是8的倍数.。

最新初中数学因式分解技巧及练习题附答案

最新初中数学因式分解技巧及练习题附答案

最新初中数学因式分解技巧及练习题附答案一、选择题1．下列分解因式正确的是（ ）A ．24(4)x x x x -+=-+B ．2()x xy x x x y ++=+C ．2()()()x x y y y x x y -+-=-D ．244(2)(2)x x x x -+=+-【答案】C【解析】【分析】根据因式分解的步骤：先提公因式，再用公式法分解即可求得答案．注意分解要彻底．【详解】A. ()244x x x x -+=-- ，故A 选项错误； B. ()21x xy x x x y ++=++，故B 选项错误； C. ()()()2x x y y y x x y -+-=- ，故C 选项正确；D. 244x x -+=（x-2）2，故D 选项错误，故选C.【点睛】本题考查了提公因式法，公式法分解因式．注意因式分解的步骤：先提公因式，再用公式法分解．注意分解要彻底．2．下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（ ）．A ．()x a b ax bx -=-B ．()()222111x y x x y -+=-++C ．()()2111x x x -=+-D ．()ax bx c x a b c ++=+【答案】C【解析】【分析】根据因式分解的定义作答．把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．【详解】解：A 、是整式的乘法运算，故选项错误；B 、右边不是积的形式，故选项错误；C 、x 2-1=（x+1）（x-1），正确；D 、等式不成立，故选项错误．故选：C ．【点睛】熟练地掌握因式分解的定义，明确因式分解的结果应是整式的积的形式．3．把32a 4ab －因式分解，结果正确的是（ ）A ．()()a a 4b a 4b ?+-B ．()22a a 4b ?-C ．()()a a 2b a 2b +-D ．()2a a 2b - 【答案】C【解析】【分析】 当一个多项式有公因式，将其分解因式时应先提取公因式a ，再对余下的多项式继续分解．【详解】a 3-4ab 2=a （a 2-4b 2）=a （a+2b ）（a-2b ）．故选C ．【点睛】本题考查用提公因式法和公式法进行因式分解的能力，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．4．已知4821-可以被在60～70之间的两个整数整除，则这两个数是（ ）A ．61、63B ．61、65C ．61、67D ．63、65 【答案】D【解析】【分析】由()()()()()()24242412686421212121221121=+-=+++--，多次利用平方差公式化简，可解得.【详解】解：原式()()24242121=+-，()()()()()()()()()24121224126624122121212121212163652121=++-=+++-=⨯⨯++ ∴这两个数是63,65.选D.【点睛】本题考查的是因式分解的应用，熟练掌握平方差公式是解题的关键.5．若三角形的三边长分别为a 、b 、c ，满足22230a b a c b c b -+-=，则这个三角形是（ ）A ．直角三角形B ．等边三角形C ．锐角三角形D ．等腰三角形【答案】D【解析】首先将原式变形为()()()0b c a b a b --+=，可以得到0b c -=或0a b -=或0a b +=，进而得到b c =或a b =．从而得出△ABC 的形状．【详解】∵22230a b a c b c b -+-=，∴()()220a b c b c b -+-=，∴()()220b c a b --=，即()()()0b c a b a b --+=，∴0b c -=或0a b -=或0a b +=(舍去)，∴b c =或a b =，∴△ABC 是等腰三角形．故选：D ．【点睛】本题考查了因式分解－提公因式法、平方差公式法在实际问题中的运用，注意掌握因式分解的步骤，分解要彻底．6．下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）A ．2a 2﹣2a+1=2a （a ﹣1）+1B ．（x+y ）（x ﹣y ）=x 2﹣y 2C ．x 2﹣6x+5=（x ﹣5）（x ﹣1）D ．x 2+y 2=（x ﹣y ）2+2x【答案】C【解析】【分析】根据因式分解是将一个多项式转化为几个整式的乘积的形式，根据定义，逐项分析即可．【详解】A 、2a 2-2a+1=2a （a-1）+1，等号的右边不是整式的积的形式，故此选项不符合题意；B 、（x+y ）（x-y ）=x 2-y 2，这是整式的乘法，故此选项不符合题意；C 、x 2-6x+5=（x-5）（x-1），是因式分解，故此选项符合题意；D 、x 2+y 2=（x-y ）2+2xy ，等号的右边不是整式的积的形式，故此选项不符合题意； 故选C ．【点睛】此题考查因式分解的意义，解题的关键是看是否是由一个多项式化为几个整式的乘积的形式．7．已知实数a 、b 满足等式x=a 2+b 2+20，y =a(2b －a )，则x 、y 的大小关系是（ ）． A ．x ≤ yB ．x ≥ yC ．x < yD ．x > y【答案】D【解析】判断x 、y 的大小关系，把x y -进行整理，判断结果的符号可得x 、y 的大小关系．【详解】解：22222202()x y a b ab a a b a -=++-+=-++20，2()0a b -≥Q ，20a ≥，200>,0x y ∴->，x y ∴>，故选:D ．【点睛】本题考查了作差法比较大小、配方法的应用；进行计算比较式子的大小；通常是让两个式子相减，若为正数，则被减数大；反之减数大.8．下列等式从左边到右边的变形，属于因式分解的是( )A ．2ab(a-b)=2a 2b-2ab 2B ．x 2+1=x(x+1x )C ．x 2-4x+3=(x-2)2-1D ．a 2-b 2=(a+b)(a-b)【答案】D【解析】【分析】把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解(也叫作分解因式).分解因式与整式乘法为相反变形.【详解】解：A.不是因式分解，而是整式的运算B.不是因式分解，等式左边的x 是取任意实数，而等式右边的x ≠0C.不是因式分解，原式＝(x －3)(x －1)D.是因式分解.故选D.故答案为：D.【点睛】因式分解没有普遍适用的法则，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法、配方法、待定系数法、拆项法等方法.9．将2x 2a -6xab +2x 分解因式，下面是四位同学分解的结果：①2x （xa -3ab ）， ②2xa （x -3b +1）， ③2x （xa -3ab +1）， ④2x （-xa +3ab -1）． 其中，正确的是（ ）A ．①B ．②C ．③D ．④【答案】C【解析】【分析】直接找出公因式进而提取得出答案．2x 2a-6xab+2x=2x （xa-3ab+1）．故选：C ．【点睛】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．10．下列变形，属于因式分解的有（ ）①x 2﹣16＝（x +4）（x ﹣4）；②x 2+3x ﹣16＝x （x +3）﹣16；③（x +4）（x ﹣4）＝x 2﹣16；④x 2+x ＝x （x +1）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【解析】【分析】【详解】解：①x 2-16=（x+4）（x-4），是因式分解；②x 2+3x-16=x （x+3）-16，不是因式分解；③（x+4）（x-4）=x 2-16，是整式乘法；④x 2+x =x (x +1))，是因式分解．故选B ．11．不论x ,y 为任何实数，22428x y x y +--+ 的值总是（ ）A ．正数B ．负数C ．非负数D ．非正数【答案】A【解析】x²+y²－4x-2y+8=(x²－4x+4)+(y²-2y+1)+3=(x-2)2+(y-1)2+3≥3，不论x,y 为任何实数,x²+y²－4x-2y+8的值总是大于等于3，故选A.【点睛】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是要明确要判断一个算式是正数时总是将其整理成一个完全平方公式加正数的形式．12．下面式子从左边到右边的变形中是因式分解的是（ ）A ．()2212x x x x --=--B ．()()22a b a b a b +-=-C ．()()2422x x x -=+-D ．()2222a b a b ab +=++ 【答案】C【解析】【分析】根据把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解进行分析即可．A 选项：等式右边不是乘积的形式，故不是因式分解，不符合题意.B 选项：等式右边不是乘积的形式，故不是因式分解，不符合题意.C 选项：等式右边是乘积的形式，故是因式分解，符合题意.D 选项：等式右边不是乘积的形式，故不是因式分解，不符合题意.故选：C.【点睛】考查了因式分解的意义，关键是掌握因式分解的定义（把一个多项式化为几个整式的积的形式）．13．下列各式中从左到右的变形，是因式分解的是（ ）A ．（a +3）（a -3）=a 2-9B ．x 2+x -5=（x -2）（x +3）+1C ．a 2b +ab 2=ab （a +b ）D ．x 2+1=x （x +1x） 【答案】C【解析】【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．【详解】A 、是整式的乘法，故A 错误；B 、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故B 错误；C 、因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，故C 正确；D 、因式中含有分式，故D 错误；故选：C ．【点睛】本题考查了因式分解，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式．14．若多项式3212x mx nx ++-含有因式()3x -和()2x +，则n m 的值为 （ ） A ．1B ．-1C ．-8D ．18- 【答案】A【解析】【分析】多项式3212x mx nx ++-的最高次数是3，两因式乘积的最高次数是2，所以多项式的最后一个因式的最高次数是1，可设为()x a +，再根据两个多项式相等，则对应次数的系数相等列方程组求解即可．【详解】解：多项式3212x mx nx ++-的最高次数是3，2(3)(2)6x x x x -+=--的最高次数是2，∵多项式3212x mx nx ++-含有因式()3x -和()2x +，∴多项式的最后一个因式的最高次数应为1，可设为()x a +，即3212(3)(2)()++-=--+x mx nx x x x a ，整理得：323212(1)(6)6++-=+--+-x mx nx x a x a x a ， 比较系数得：1(6)612m a n a a =-⎧⎪=-+⎨⎪=⎩，解得：182m n a =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，∴811-==n m ，故选：A ．【点睛】此题考查了因式分解的应用，运用待定系数法设出因式进行求解是解题的关键．15．已知2021201920102010201020092011x -=⨯⨯，那么x 的值为（ ）A ．2018B ．2019C ．2020D ．2021．【答案】B【解析】【分析】将2021201920102010-进行因式分解为2019201020092011⨯⨯，因为左右两边相等，故可以求出x 得值．【详解】解：2021201920102010- ()()()2019220192019220192019=201020102010=20102010120102010120101201020092011⨯-⨯-=⨯-⨯+=⨯⨯∴2019201020092011201020092011x ⨯⨯=⨯⨯∴x=2019故选：B ．【点睛】本题主要考查的是因式分解中提取公因式和平方差公式，正确的掌握因式分解的方法是解题的关键．16．已知a 、b 、c 为ABC ∆的三边长，且满足222244a c b c a b -=-，则ABC ∆是（ ）A ．直角三角形B ．等腰三角形或直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形【答案】B【解析】【分析】移项并分解因式，然后解方程求出a 、b 、c 的关系，再确定出△ABC 的形状即可得解．【详解】移项得，a 2c 2−b 2c 2−a 4＋b 4＝0，c 2（a 2−b 2）−（a 2＋b 2）（a 2−b 2）＝0，（a 2−b 2）（c 2−a 2−b 2）＝0，所以，a 2−b 2＝0或c 2−a 2−b 2＝0，即a ＝b 或a 2＋b 2＝c 2，因此，△ABC 等腰三角形或直角三角形．故选B ．【点睛】本题考查了因式分解的应用，提取公因式并利用平方差公式分解因式得到a 、b 、c 的关系式是解题的关键．17．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）A ．()21x x x x -=- B ．()22121x x x x -+=-+ C ．()()21323x x x x -+=+- D ．()a b c ab ac -=-【答案】A【解析】【分析】根据因式分解的意义：把一个多项式转化成几个整式积的形式叫因式分解，可得答案．【详解】解：A 、把一个多项式转化成几个整式积的形式，符合题意；B 、右边不是整式积的形式，不符合题意；C 、是整式的乘法，不是因式分解，不符合题意；D 、是整式的乘法，不是因式分解，不符合题意；故选：A ．【点睛】本题考查了因式分解的意义，掌握因式分解的意义是解题关键．18．下列从左到右的变形属于因式分解的是( )A ．(x ＋1)(x －1)＝x 2－1B ．m 2－2m －3＝m(m －2)－3C ．2x 2＋1＝x(2x ＋1x ) D ．x 2－5x ＋6＝(x －2)(x －3)【答案】D【解析】【分析】 根据因式分解的定义，因式分解是把多项式写出几个整式积的形式，对各选项分析判断后利用排除法求解．【详解】解：A 、（x+1）（x-1）=x 2-1不是因式分解，是多项式的乘法，故本选项错误； B 、右边不全是整式积的形式，还有减法，故本选项错误；C 、右边不是整式积的形式，分母中含有字母，故本选项错误；D 、x 2－5x ＋6＝(x －2)(x －3)符合因式分解的定义，故本选项正确.故选：D ．【点睛】本题主要考查了因式分解的定义，因式分解与整式的乘法是互为逆运算，要注意区分．19．下列各式从左到右因式分解正确的是（ ）A ．()26223x y x y +=--B ．()22121x x x x +=+--C ．()2242x x =--D ．()()311 x x x x x =+-- 【答案】D【解析】【分析】因式分解，常用的方法有：（1）提取公因式；（2）利用乘法公式进行因式分解【详解】A 中，需要提取公因式：()26223+1x y x y +=--，A 错误；B 中，利用乘法公式：()2221x x x +=--1，B 错误；C 中，利用乘法公式：2()4()22x x x =-+-，C 错误；D 中，先提取公因式，再利用乘法公式：()()311x x x x x -=+-，正确 故选：D【点睛】在进行因式分解的过程中，若能够提取公因式，往往第一步是进行提取公因式，在观察剩下部分是否还可进行因式分解.20．三角形的三边a 、b 、c 满足a （b ﹣c ）+2（b ﹣c ）＝0，则这个三角形的形状是（ ）A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形【答案】A【解析】【分析】首先利用提取公因式法因式分解，再进一步分析探讨得出答案即可【详解】解：∵a（b-c）+2（b-c）=0，∴（a+2）（b-c）=0，∵a、b、c为三角形的三边，∴b-c=0，则b=c，∴这个三角形的形状是等腰三角形．故选：A．【点睛】本题考查了用提取公因式法进行因式分解，熟练掌握并准确分析是解题的关键.。