高中数学第4章函数应用章末复习课学案北师大版必修11

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4。要写出本利和 y，关键是什 么？
（关键在于寻找第x期后的本利和 与第x-1期后的本利和的关系有何 规律）
另： an=an-1(1+r)
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在实际问题中，常遇到有关平均 增长率问题。如果原来产值的基 础数为N，平均增长率为P，则对 于时间X的总产值y，满足公式： y=N（1+P）X
例如
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例2：一片树林中现有木材 30000米3，如果每年平均增 长5%，经过X年，树林中有 木材y米3，试写出X，y的函 数关系式。
ykn x b (k0 ,x0 )
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复利 是一种计算方法， 即把前一期的利息和本 金加在一起算做本金再 计算一下期利息。
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例1，按复利计算利息的一种储 蓄,本金为a元,每期利率为r， 设本利和为y,存期为x,写出本 利和y随存期x变化的函数式， 如果存入本金1000元，每期 利率2.25%，试计算5期后的 本利和是多少。
a(1+x)20=4a
x1021
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5.李师傅购买了5000元三年期建 设债券，到期时可得本利和7250 元，问所购买的债券的年利率是 多少？
5000(1+x)3=7250
x3 1.451
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例4 某公司一年需要一种计算机元 件８０００个，每天需同样多的元 件用于组装整机，该元件每年分n次 进货，每次购买元件的数量均为x,购 一次货需要手续费５００元，已购 进而未使用的元件要付库存费，可 以认为平均库存量为x/2件，每个元 件的库存费是一年２元，请核算一 下，每年进货几次花费最小？
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分析：1．此题已知条件中出 现了什么样的新概念、新字 母？它们的含义是什么？
(复利、利息、本金元、每期 利率、本利和、存期）

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§1函数的单调性与极值1．1 导数与函数的单调性函数f（x）＝x2－2x－2的图像如图所示:问题1：当x0∈（－∞，1)时，函数在(x0，f(x0））处的切线斜率f′（x0）大于零还是小于零？提示:小于零．问题2：函数f（x）＝x2－2x－2在(－∞,1）上单调性如何？提示：是减少的．问题3：当x0∈(1,＋∞）时，函数在（x0，f（x0)）处的切线斜率f′(x0)大于零还是小于零?提示：大于零．问题4：f(x)＝x2－2x－2在(1，＋∞)上单调性如何？提示：是增加的．函数在区间（a，b）上的单调性与其导函数的符号关系导函数的正负函数在（a,b）上的单调性f′(x）＞0是增加的f′（x）＜0是减少的1．求函数的单调区间先求函数的定义域，再求导数f′(x），令f′（x）>0，得单调增区间，令f′(x）〈0得单调减区间．2．在某个区间内f′(x）>0（f′（x)〈0）是函数f（x)在此区间内为增（减)函数的充分条件,而不是必要条件．如果出现个别点使f′(x)＝0，不会影响函数f（x）在包含该点的某个区间内的单调性．例如函数f（x）＝x3在定义域(－∞，＋∞)上是增加的，但由f′（x)＝3x2知，f′（0）＝0，即并不是在定义域内的任意一点处都满足f′(x）>0.错误!求函数的单调区间[例1](1）f(x)＝x2－ln x；(2)f（x）＝错误!；（3）f（x）＝－x3＋3x2.[思路点拔] 根据求可导函数单调区间的基本步骤求解．[精解详析] (1）函数f(x）的定义域为（0，＋∞)．f′（x)＝2x－错误!＝错误!。

1．1 利用函数性质判定方程解的存在学习目标 1.理解函数的零点、方程的根与图像交点三者之间的关系.2.会借助零点存在性定理判断函数的零点所在的大致区间.3.能借助函数单调性及图像判断零点个数．知识点一 函数的零点概念 思考 函数的“零点”是一个点吗？梳理 概念：函数y ＝f (x )的零点是函数y ＝f (x )的图像与横轴的交点的__________． 方程、函数、图像之间的关系：方程f (x )＝0______________⇔函数y ＝f (x )的图像________________⇔函数y ＝f (x )__________．知识点二 零点存在性定理思考 函数零点有时是不易求或求不出来的．如f (x )＝lg x ＋x .但函数值易求，如我们可以求出f (110)＝lg 110＋110＝－1＋110＝－910，f (1)＝lg 1＋1＝1.那么能判断f (x )＝lg x ＋x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫110，1内有零点吗？梳理 若函数y ＝f (x )在闭区间[a ，b ]上的图像是______________，并且在区间端点的函数值符号相反，即________________，则在区间(a ，b )内，函数y ＝f (x )至少有一个零点，即相应的方程f (x )＝0在区间(a ，b )内至少有一个实数解．这个结论可称为函数零点的存在性定理．类型一求函数的零点例1 函数f(x)＝(lg x)2－lg x的零点为________．反思与感悟函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也就是函数y＝f(x)的图像与x轴交点的横坐标，所以函数的零点是一个数，而不是一个点．在写函数零点时，所写的一定是一个数字，而不是一个坐标．跟踪训练1 函数f(x)＝(x2－1)(x＋2)2(x2－2x－3)的零点个数是________．类型二判断函数的零点所在的区间例 2 根据表格中的数据，可以断定方程e x－(x＋2)＝0(e≈2.72)的一个根所在的区间是( )A.(－1,0)C．(1,2) D．(2,3)反思与感悟在函数图像连续的前提下，f(a)·f(b)＜0，能判断在区间(a，b)内有零点，但不一定只有一个；而f(a)·f(b)＞0，却不能判断在区间(a，b)内无零点．跟踪训练 2 若函数f(x)＝3x－7＋ln x的零点位于区间(n，n＋1)(n∈N)内，则n＝________.类型三函数零点个数问题命题角度1 判断函数零点个数例3 求函数f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2的零点个数．反思与感悟判断函数零点个数的方法主要有：(1)可以利用零点存在性定理来确定零点的存在性，然后借助函数的单调性判断零点的个数．(2)利用函数图像交点的个数判定函数零点的个数．跟踪训练3 求函数f (x )＝ln x ＋2x －6零点的个数．命题角度2 根据零点情况求参数范围例4 f (x )＝2x·(x －a )－1在(0，＋∞)内有零点，则a 的取值范围是( ) A ．(－∞，＋∞) B ．(－2，＋∞) C ．(0，＋∞)D ．(－1，＋∞)反思与感悟 为了便于限制零点个数或零点所在区间，通常要对已知条件进行变形，变形的方向是：(1)化为常见的基本初等函数；(2)尽量使参数与变量分离，实在不能分离，也要使含参数的函数尽可能简单．跟踪训练4 若函数f (x )＝x 2＋2mx ＋2m ＋1在区间(－1,0)和(1,2)内各有一个零点，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，1－2]∪[1＋2，＋∞)B ．(－∞，1－2)∪(1＋2，＋∞)C ．[－56，－12]D ．(－56，－12)1．函数y ＝x 的零点是( )A ．(0,0)B ．x ＝0C ．x ＝1D ．不存在 2．函数f (x )＝x 2－2x 的零点个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．33．若函数f (x )的图像在R 上连续不断，且满足f (0)<0，f (1)>0，f (2)>0，则下列说法正确的是( )A ．f (x )在区间(0,1)上一定有零点，在区间(1,2)上一定没有零点B ．f (x )在区间(0,1)上一定没有零点，在区间(1,2)上一定有零点C ．f (x )在区间(0,1)上一定有零点，在区间(1,2)上可能有零点D ．f (x )在区间(0,1)上可能有零点，在区间(1,2)上一定有零点 4．下列各图像表示的函数中没有零点的是( )5．函数f (x )＝x 3－(12)x 的零点有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个1．方程f (x )＝g (x )的根是函数f (x )与g (x )的图像交点的横坐标，也是函数y ＝f (x )－g (x )的图像与x 轴交点的横坐标．2．在函数零点存在性定理中，要注意三点：(1)函数是连续的；(2)定理不可逆；(3)至少存在一个零点．3．解决函数的零点存在性问题常用的办法有三种： (1)用定理；(2)解方程；(3)用图像．4．函数与方程有着密切的联系，有些方程问题可以转化为函数问题求解，同样，函数问题有时化为方程问题，这正是函数与方程思想的基础．答案精析问题导学 知识点一思考 不是，函数的“零点”是一个数，一个使f (x )＝0的实数x .实际上是函数y ＝f (x )的图像与x 轴交点的横坐标．梳理 横坐标 有实数根 与x 轴有交点 有零点 知识点二思考 能．因为f (x )＝lg x ＋x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫110，1内是连续的，函数值从－910变化到1，势必在⎝⎛⎭⎪⎫110，1内某点处的函数值为0.梳理 连续曲线 f (a )·f (b )<0 题型探究例1 x ＝1或x ＝10 解析 由(lg x )2－lg x ＝0， 得lg x (lg x －1)＝0，∴lg x ＝0或lg x ＝1，∴x ＝1或x ＝10. 跟踪训练1 4解析 f (x )＝(x ＋1)(x －1)(x ＋2)2(x －3)(x ＋1)＝(x ＋1)2(x －1)(x ＋2)2(x －3)． 可知零点为±1，－2,3，共4个．例2 C [令f (x )＝e x－(x ＋2)，则f (－1)＝0.37－1<0，f (0)＝1－2<0，f (1)＝2.72－3<0，f (2)＝7.40－4＝3.40>0.由于f (1)·f (2)<0，∴方程e x －(x ＋2)＝0的一个根在(1,2)内．]跟踪训练2 2解析 ∵函数f (x )＝3x －7＋ln x 在定义域上是增函数， ∴函数f (x )＝3x －7＋ln x 在区间(n ，n ＋1)上只有一个零点． ∵f (1)＝3－7＋ln 1＝－4<0，f (2)＝6－7＋ln 2<0， f (3)＝9－7＋ln 3>0，∴函数f (x )＝3x －7＋ln x 的零点位于区间(2,3)内，∴n ＝2. 例3 解 方法一 ∵f (0)＝1＋0－2＝－1<0，f (1)＝2＋lg 2－2>0，∴f (x )在(0,1)上必定存在零点．又显然f (x )＝2x＋lg(x ＋1)－2在(－1，＋∞)上为增函数． 故函数f (x )有且只有一个零点．方法二 在同一坐标系下作出h (x )＝2－2x和g (x )＝lg(x ＋1)的草图．由图像知g (x )＝lg(x ＋1)的图像和h (x )＝2－2x的图像有且只有一个交点，即f (x )＝2x＋lg(x ＋1)－2有且只有一个零点．跟踪训练3 解 方法一 由于f (2)<0，f (3)>0，即f (2)·f (3)<0，说明这个函数在区间(2,3)内有零点．又因为函数f (x )在定义域(0，＋∞)内是增函数，所以它仅有一个零点．方法二 通过作出函数y ＝ln x ，y ＝－2x ＋6的图像，观察两图像的交点个数得出结论．也就是将函数f (x )＝ln x ＋2x －6的零点个数转化为函数y ＝ln x 与y ＝－2x ＋6的图像交点的个数．由图像可知两函数有一个交点，即函数f (x )有一个零点． 例4 D [由题意可得a ＝x －(12)x(x ＞0)．令g (x )＝x －(12)x，该函数在(0，＋∞)上为增函数，可知g (x )的值域为(－1，＋∞)，故a＞－1时，f (x )在(0，＋∞)内有零点．]跟踪训练4 D [函数f (x )＝x 2＋2mx ＋2m ＋1的零点分别在区间(－1,0)和(1,2)内，即函数f (x )＝x 2＋2mx ＋2m ＋1的图像与x 轴的交点一个在(－1,0)内，一个在(1,2)内，根据图像列出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧f－＝2＞0，f＝2m ＋1＜0，f＝4m ＋2＜0，f＝6m ＋5＞0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＜－12，m ＞－56，∴－56＜m ＜－12，∴实数m 的取值范围是(－56，－12)．]当堂训练1．B 2.C 3.C 4.D 5.B。

(2)当销售商一次订购多少件产品时，该厂获得的利润最大？ 其最大利润是多少？
【解】 (1)当 0<x≤100 时，p＝60； 当 100<x≤600 时，p＝60－0.02(x－100)＝62－0.02x， ∴p＝6602， －00.0<2xx≤，10100，0<且x≤x∈60Z0，，且x∈Z. (2)设利润为 y 元，则 当 0<x≤100 时，y＝60x－40x＝20x； 当 100<x≤600 时，y＝(62－0.02x)x－40x＝22x－0.02x2. ∴y＝2202xx， －00<.0x2≤x21，001，00<x≤600.
所在的区间是( )
A．(0,1)
B．(1,2)
C．(2,3)
D．(3,4)
解析：令 ƒ(x)＝x3－3·12x，则 ƒ(0)＝－3<0，ƒ(1)＝1－32<0，
ƒ(2)＝8－34>0，∴ƒ(1)·ƒ(2)<0.∴x0∈(1,2)． 答案：B
3．设 f(x)与 g(x)是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若
某厂生产一种产品，每件产品的成本为 40 元，出厂 单价定为 60 元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过 100 件时，每多订购一件，订购的全部产品的出场单价就降低 0.02 元，根据市场调查，销售商一次订购量不会超过 600 件．
(1)设一次订购 x 件，产品的实际出厂单价 p 元，写出函数 p ＝f(x)的表达式；
1．函数 ƒ(x)＝ln32x－2x的零点一定位于区间( )
A．(1,2)
B．(2,3)
C．(3,4)
D．(4,5)
解析：∵ƒ(1)＝ln32－2<0，ƒ(2)＝ln 3－1>0，∴ƒ(1)·ƒ(2)<0， ∴函数 ƒ(x)在区间(1,2)内一定有零点．