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2018高中数学第2章参数方程章末分层突破学案北师大版4-4

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1 第2章 参数方程 章末分层突破

①圆的参数方程 ②椭圆的参数方程 ③代数法 ④平摆线的参数方程 ⑤渐开线的参数方程

2

参数法求动点的轨迹方程 满足一定条件的动点所形成的图形即为动点的轨迹，而轨迹方程实际上为轨迹曲线的方程.求轨迹方程是解析几何的主要问题之一，大致分为直接法和间接法两种方法.其中，参数法求轨迹方程是常用的间接法. 如图2­1，正方形ABCD的边长为1，P，Q分别为BC，CD上的点，△CPQ的周长为2，

图2­1 (1)求∠PAQ的大小； (2)建立恰当的直角坐标系，试求△APQ的重心的轨迹. 【精彩点拨】 (1)利用平面图形的性质，先求tan PAQ再求角；(2)建系后把重心坐标用参数θ(θ＝∠BOP)表示，消参即得轨迹方程. 【规范解答】 (1)设BP＝p，DQ＝q，∠BAP＝α， ∠DAQ＝β，其中0＜p＜1,0＜q＜1，

α，β∈0，π4，则tan α＝p，tan β＝q，

∴tan(α＋β)＝p＋q1－pq， 又(1－p)＋(1－q)＋1－p2＋1－q2＝2， ∴(1－p)2＋(1－q)2＝(p＋q)2， ∴1－pq＝p＋q，∴tan(α＋β)＝1.

又0＜α＋β＜π2，

∴α＋β＝π4，∴∠PAQ＝π4. (2)以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴，建立直角坐标系，如图. 设∠BOP＝θ，由(1)得，∠BOQ＝π4＋θ， 3

其中0＜θ＜π4. ∴P点的坐标为(1，tan θ)，Q点的坐标为1tanθ＋π4，1， 又设△APQ的重心为G(x，y)，由重心坐标公式得：

 x＝131＋1tanθ＋π4＝231＋tan θ，

y＝131＋tan θ

(θ为参数)，消去参数θ，得y

＝29x. 又0＜θ＜π4， ∴0＜tan θ＜1，∴13＜x＜23，13＜y＜23， ∴△APQ的重心G的轨迹是双曲线xy＝29在第一象限内的一部分.

1.已知动点P，Q都在曲线C： x＝2cos β，y＝2sin β(β为参数)上，对应参数分别为β＝α与β＝2α(0(1)求M的轨迹的参数方程； (2)将M到坐标原点的距离d表示为α的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点. 【解】 (1)依题意有P(2cos α，2sin α)，Q(2cos 2α，2sin 2α)，因此M(cos α

＋cos 2α，sin α＋sin 2α).M的轨迹的参数方程为 x＝cos α＋cos 2α，y＝sin α＋sin 2α(α为参数，0(2)M点到坐标顶点的距离 d＝x2＋y2＝2＋2cos α(0

当α＝π时，d＝0，故M的轨迹过坐标原点. 直线的参数方程的应用 直线参数方程的应用非常广泛，主要用来解决直线与圆锥曲线的位置关系问题.在解决这类问题时，应用直线的参数方程，利用直线参数方程中参数t的几何意义，可以避免通过解方程组求交点等繁琐运算，使问题得到简化，由于直线的参数方程有多种形式，只有标准4

形式中的参数才具有明显的几何意义. 已知点P(3,2)平分抛物线y2＝4x的一条弦AB，求弦AB的长. 【精彩点拨】 利用直线参数方程中参数的几何意义求解.

【规范解答】 设弦AB所在的直线方程为 x＝3＋tcos α，y＝2＋tsin α(t为参数)， 代入方程y2＝4x整理得： t2sin2 α＋4(sin α－cos α)t－8＝0. ①

因为点P(3,2)是弦AB的中点，由参数t的几何意义可知，方程①的两个实根t1，t2满足关系t1＋t2＝0， 即sin α－cos α＝0.

因为0≤α因为|AB|＝|t1－t2| ＝t1＋t22－4t1t2

＝4·8sin2 π4＝8.

2.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 x＝3－22t，y＝5＋22t(t为参数).在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，圆C的方程ρ＝25sin θ. (1)求圆C的直角坐标方程； (2)设圆C与直线l交于A，B.若点P的坐标为(3，5)，求|PA|＋|PB|. 【解】 (1)由ρ＝25sin θ，得x2＋y2－25y＝0，即x2＋(y－5)2＝5.

(2)将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得3－22t2＋22t2＝5， 即t2－32t＋4＝0. 由于Δ＝(32)2－4×4＝2>0，故可设t1，t2是上述方程的两实根，

所以 t1＋t2＝32，t1·t2＝4. 又直线l过点P(3，5)， 5

故由上式及t的几何意义得|PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝t1＋t2＝32. 圆锥曲线的参数方程 椭圆、双曲线、抛物线统称为圆锥曲线.对于椭圆的参数方程，要明确a，b的几何意义以及离心角φ的意义，要分清椭圆上一点的离心角φ和这点与坐标原点连线倾斜角θ的关系，双曲线的参数方程中，要注意参数的取值范围，且它们的参数方程都有多种形式.

椭圆x216＋y24＝1上有P，Q两点，O为椭圆中心，OP，OQ的斜率分别为kOP，kOQ，

且kOP·kOQ＝－14. (1)求|OP|2＋|OQ|2的值； (2)求线段PQ中点的轨迹方程. 【精彩点拨】 利用椭圆的参数方程设点P(4cos θ1,2sin θ1)，Q(4cos θ1,2sin θ2)，充分利用已知条件建立方程求解. 【规范解答】 (1)设P点的坐标为(4cos θ1,2sin θ1)，Q点的坐标为(4cos θ2,2sin θ2).

∵kOP·kOQ＝－14，

∴2sin θ14cos θ1·2sin θ24cos θ2＝－14， ∴cos(θ1－θ2)＝0， ∴θ1－θ2＝kπ＋π2(k∈Z)， ∴sin2θ1＝cos2θ2，cos2θ1＝sin2θ2， ∴|OP|2＋|OQ|2＝16cos2θ1＋4sin2θ1＋16cos2θ2＋4sin2θ2＝20，即|OP|2＋|OQ|2＝20.

(2)设PQ的中点为(x，y)，则 x＝2cos θ1＋cos θ2，y＝sin θ1＋sin θ2， ∴x24＋y2＝(cos θ1＋cos θ2)2＋(sin θ1＋sin θ2)2＝2＋2cos(θ1－θ2)＝2， ∴PQ中点的轨迹方程为x28＋y22＝1.

3.在平面直角坐标系xOy中，设P(x，y)是椭圆x23＋y2＝1上的一个动点，求S＝x＋y的最大值. 【解】 因为椭圆x23＋y2＝1的参数方程为 x＝3cos φ，y＝sin φ(φ为参数). 6

故可设动点P的坐标为(3cos φ，sin φ)，其中0≤φ<2π. 因此，S＝x＋y＝3cos φ＋sin φ

＝232cos φ＋12sin φ＝2sinφ＋π3.

所以当φ＝π6时，S取得最大值2. 参数方程化为普通方程 参数方程是用第三个变量(即参数)，分别表示曲线上任一点M的坐标x，y的另一种曲线方程的形式，它体现了x，y之间的一种关系，这种关系借助于中间桥梁——参数.有些参数具有物理或几何意义，在解决问题时，要注意参数的取值范围. 在求轨迹方程问题时，参数的选择十分重要，参数必须与曲线上每一点都有密切关系，其次是能用参数较简捷地表示出x，y. 在参数方程与普通方程的互化中，要注意参数方程与普通方程应是等价的，即它们所表示的应是同一条曲线.

判断参数方程 x＝1＋4t＋t21＋t2，y＝6＋2t21＋t2(t为参数)表示的曲线形状. 【精彩点拨】 根据参数方程的特点，可采用代数法消参，要注意自变量的范围. 【规范解答】  x＝1＋4t＋t21＋t2＝1＋4t1＋t2， ①y＝6＋2t21＋t2＝2＋41＋t2， ② 由①得x－1＝4t1＋t2， ③ 由②得y－2＝41＋t2， ④ ③÷④得x－1y－2＝t，代入④，得 (x－1)2＋(y－4)2＝4. ⑤ 由④知41＋t2＞0，所以y＞2， 所以参数方程的普通方程为 (x－1)2＋(y－4)2＝4(2＜y≤6). 可见，方程的曲线是以(1,4)为圆心，以2为半径的圆，不包括点(1,2). 7

4.已知曲线C的参数方程为 x＝t－1t，y＝3t＋1t(t为参数，t>0)，求曲线C的普通方程. 【导学号：12990035】

【解】 因为x2＝t＋1t－2，所以x2＋2＝t＋1t＝y3，故曲线C的普通方程为3x2－y＋6＝0. 参数思想 参数思想是一种重要的数学思想，尤其在运动变化型问题中.若能引入参数作桥梁，沟通变量之间的联系，既有利于揭示运动变化的本质规律，还能把多个变量统一体现在一个参变量上.

直线l过点P0(－4,0)，它的参数方程为 x＝－4＋32t，y＝12t(t为参数)与圆x2＋y2＝7相交于A，B两点. (1)求弦长|AB|； (2)过P0作圆的切线，求切线的长； (3)求|P0A|和|P0B|的长； (4)求交点A，B的坐标. 【精彩点拨】 充分利用参数思想，即参数的几何意义解决问题.

【规范解答】 将直线l的参数方程代入圆的方程，得－4＋32t2＋12t2＝7，整理得t2－43t＋9＝0. (1)设A和B两点对应的参数分别为t1和t2， 由根与系数的关系得t1＋t2＝43，t1·t2＝9， 所以|AB|＝|t2－t1|＝t1＋t22－4t1t2＝23. (2)设圆过P0的切线为P0T，T在圆上，则 |P0T|2＝|P0A|·|P0B|＝|t1t2|＝9，所以切线长|P0T|＝3. (3)解方程t2－43t＋9＝0，得t1＝33，t2＝3，所以|P0A|＝33，|P0B|＝3. (4)将t1＝33，t2＝3代入直线的参数方程，得

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高中数学 第2章 参数方程 2.1 参数方程的概念学业分层

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【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学 第2章 参数方程 2.1 参数方程的概念学业分层测评 北师大版选修4-4(建议用时：45分钟)学业达标]一、选择题1.▱ABCD 中三个顶点A ，B ，C 的坐标分别是(－1,2)，(3,0)，(5,1)，则顶点D 的坐标是( )A.(9，－1)B.(－3,1)C.(1,3)D.(2,2)【解析】 设D点坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧k AB ＝k DC ，k AD ＝k BC .即⎩⎪⎨⎪⎧2－0－1－3＝y －1x －5，2－y －1－x ＝0－13－5，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3.故D 点坐标为(1,3).故应选C.【答案】 C2.方程(x 2－4)2＋(y 2－4)2＝0表示的图形是( ) A.两条直线 B.四条直线 C.两个点D.四个点【解析】 由方程得⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4＝0，y 2－4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－2，故选D.【答案】 D3.在同一平面直角坐标系中，将曲线y ＝13cos 2x 按伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝3y后为( )A.y ＝cos xB.y ＝3cos 12xC.y ＝2cos 13xD.y ＝12cos 3x【解析】 由⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝3y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′2，y ＝y ′3.代入y ＝13cos 2x ，得y ′3＝13cos x ′. ∴y ′＝cos x ′，即曲线y ＝cos x . 【答案】 A4.将圆x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0平分的直线是( ) A.x ＋y －1＝0 B.x ＋y ＋3＝0 C.x －y ＋1＝0D.x －y ＋3＝0【解析】 因为圆心是(1,2)，所以将圆心坐标代入各选项验证知选C. 【答案】 C5.平面内有一条固定线段AB ，|AB |＝4，动点P 满足|PA |－|PB |＝3，O 为AB 的中点，则|OP |的最小值是( )【导学号：12990002】A.32B.12C.2D.3【解析】 以AB 的中点O 为原点，AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，如图，则点P 的轨迹是以A ，B 为焦点的双曲线的一部分.2c ＝4，c ＝2,2a ＝3，∴a ＝32，∴b 2＝c 2－a 2＝4－94＝74.∴点P 的轨迹方程为x 294－y 274＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫x ≥32.由图可知，点P 为双曲线与x 轴的右交点时，|OP |最小，|OP |的最小值是32.【答案】 A 二、填空题6.x 轴上的单位长度为y 轴上单位长度的2倍的平面直角坐标系中，以原点为圆心，4为半径的圆的图形变为________.【解析】 如果x 轴上的单位长度不变，y 轴上的单位长度缩小为原来的12，圆x 2＋y2＝16的图形变为中心在原点，焦点在x 轴上的一个椭圆.【答案】 椭圆7.已知点A (－2,0)，B (－3,0)，动点P (x ，y )满足PA →·PB →＝x 2＋1，则点P的轨迹方程是____________.【解析】 由题意得PA →＝(－2－x ，－y )， PB →＝(－3－x ，－y )，∴PA →·PB →＝(－2－x )(－3－x )＋(－y )2＝x 2＋1， 即y 2＋5x ＋5＝0. 【答案】 y 2＋5x ＋5＝08.如图1­1­2所示，正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点M 在AB 上，且AM ＝13AB ，点P在平面ABCD 上，且动点P 到直线A 1D 1的距离的平方与P 到点M 的距离的平方差为1，在平面直角坐标系xAy 中，动点P 的轨迹方程是________.图1­1­2【解析】 过P 作PQ ⊥AD 于Q ，再过Q 作QH ⊥A 1D 1于H ，连结PH ，PM ，可证PH ⊥A 1D 1，设P (x ，y )，由|PH |2－|PM |2＝1，得x 2＋1－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x －132＋y 2＝1，化简得y 2＝23x －19.【答案】 y 2＝23x －19三、解答题9.台风中心从A 地以20 km/h 的速度向东北方向移动，离台风中心30 km 内的地区为危险区，城市B 在A 地正东40 km 处，求城市B 处于危险区内的时间.【解】 以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，则B 点坐标为(40,0)，以点B 为圆心，30为半径的圆的方程为(x －40)2＋y 2＝302，台风中心移动到圆B 内时，城市B 处于危险区，台风中心移动的轨迹为直线y ＝x ，与圆B 相交于点M ，N ，点B 到直线y ＝x 的距离d ＝402＝20 2.求得|MN |＝2302－d 2＝20(km).所以|MN |20＝1，所以城市B 处于危险区内的时间为1 h.10.A 为定点，线段BC 在定直线l 上滑动.已知|BC |＝4，A 到l 的距离为3，求△ABC的外心的轨迹方程.【解】 建立平面直角坐标系，使x 轴与l 重合，A 点在y 轴上(如图)，则A 点的坐标为(0,3).设外心P 点的坐标为(x ，y ).∵P 在BC 的垂直平分线上，∴B (x ＋2,0)，C (x －2,0). ∵P 也在AB 的垂直平分线上， ∴|PA |＝|PB |， 即x 2＋y －2＝22＋y 2，化简得x 2－6y ＋5＝0. 这就是所求的轨迹方程.能力提升]1.方程x 2＋xy ＝0的曲线是( ) A.一个点 B.一条直线 C.两条直线D.一个点和一条直线【解析】 x 2＋xy ＝x (x ＋y )＝0，即x ＝0或x ＋y ＝0. 故方程x 2＋xy ＝0表示两条直线. 【答案】 C2.已知△ABC 的底边BC 长为12，且底边固定，顶点A 是动点，且sin B －sin C ＝12sinA ，若以底边BC 为x 轴、底边BC 的中点为原点建立平面直角坐标系，则点A 的轨迹方程是( )【导学号：12990003】A.x 29－y 227＝1 B.x 29－y 227＝1(x <－3) C.x 227－y 29＝1 D.x 227－y 29＝1(x <－3) 【解析】 由题意知，B (－6,0)，C (6,0) 由sin B －sin C ＝12sin A ，得b －c ＝12a ＝6，即|AC |－|AB |＝6.所以点A 的轨迹是以B (－6,0)，C (6,0)为焦点，2a ＝6的双曲线的左支且y ≠0.其方程为x 29－y 227＝1(x <－3).【答案】 B3.曲线C 是平面内与两个定点F 1(－1,0)和F 2(1,0)的距离的积等于常数a 2(a >1)的点的轨迹.给出下列三个结论：①曲线C 过坐标原点； ②曲线C 关于坐标原点对称；③若点P 在曲线C 上，则△F 1PF 2的面积不大于12a 2.其中，所有正确结论的序号是________.【解析】 因为原点O 到两个定点F 1(－1,0)，F 2(1,0)的距离的积是1，而a >1，所以曲线C 不过原点，即①错误；因为F 1(－1,0)，F 2(1,0)关于原点对称，所以|PF 1||PF 2|＝a2对应的轨迹关于原点对称，即②正确；因为S △F 1PF 2＝12|PF 1||PF 2|sin ∠F 1PF 2≤12|PF 1||PF 2|＝12a 2，即面积不大于12a 2，所以③正确. 【答案】 ②③4.学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验.设计方案如图1­1­3，航天器运行(按顺时针方向)的轨迹方程为x 2100＋y 225＝1，变轨(即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线)后返回的轨迹是以y 轴为对称轴，M ⎝⎛⎭⎪⎫0，647为顶点的抛物线的实线部分，降落点为D (8,0).观测点A (4,0)，B (6,0).图1­1­3(1)求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；(2)试问：当航天器在x 轴上方时，航天器离观测点A ，B 分别为多远时，应向航天器发出变轨指令？【解】 (1)设曲线方程为y ＝ax 2＋647，∵点D (8,0)在抛物线上，∴a ＝－17，∴曲线方程为y ＝－17x 2＋647.(2)设变轨点为C (x ，y )，根据题意可知⎩⎪⎨⎪⎧x 2100＋y 225＝1， ①y ＝－17x 2＋647， ②得4y 2－7y －36＝0.y ＝4或y ＝－94(舍去)，∴y ＝4，得x ＝6或x ＝－6(舍去). ∴C 点的坐标为(6,4)， ∴|AC |＝25，|BC |＝4.所以当航天器离观测点A ，B 的距离分别为25，4时，应向航天器发出变轨指令.。

2018版数学课堂讲义北师大版选修4-4课件：第二讲 参数

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2.平摆线轨迹的参数方程
x＝r（α－sin α）， (－∞＜α＜＋∞，α y＝r（1－cos α）
为参数)
3.渐开线定义 把一条没有弹性的细绳绕在一个固定圆盘的圆周上， 将铅笔系在绳的外端，把绳拉紧逐渐地展开，要求绳 的拉直部分和圆保持相切，那么铅笔会画出一条曲线，
圆的渐开线，这个圆叫作渐开线的_____. 基圆 这条曲线叫__________
︵
︵
→ OA＝(4cos θ，4sin θ). 由几何知识知∠MAB＝θ， → → → → AM＝(4θsin θ，－4θcos θ)，得OM＝OA＋AM ＝(4cos θ＋4θsin θ，4sin θ－4θcos θ) ＝(4(cos θ＋θsin θ)，4(sin θ－θcos θ)).
x＝4（cos θ＋θsin θ）， → 又OM＝(x， y)， 因此有 y＝4（sin θ－θcos θ）
分析 首先根据圆的直径可知半径为1，写出渐开线的 标准参数方程，再根据A、B对应的参数代入参数方程 可得对应的A、B两点的坐标，然后使用两点之间的距 离计算公式可得A、B之间的距离.
解
根据条件可知圆的半径是 1， 所以对应的渐开线参数方程是 π π (φ 为参数)，分别把 φ＝3和 φ＝2代入，可
︵
从上述分析可以看到，在圆周沿定直线无滑动滚动的过
程中，圆周上定点M的位置可以有圆心角φ惟一确定，因
此以φ为参数是非常自然的. 摆线的参数方程也不能化为普通方程.
【例1】 已知一个圆的摆线过一定点(1，0)，请写出该摆线的
参数方程.
解 根据圆的摆线的参数方程的表达式 (φ 为参数)可知，只需求
x＝r（φ－sin φ）， y＝r（1－cos φ）
2018学年高中数学北师大版选修2-1课件：第2章 章末分层突破 精品

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则 f＝f1＋f2＋f3＝a＋2b＋3c， ∴|f|2＝(a＋2b＋3c)(a＋2b＋3c) ＝|a|2＋4|b|2＋9|c|2＋4a·b＋6a·c＋12b·c ＝14＋4cos 60°＋6cos 60°＋12cos 60° ＝14＋2＋3＋6＝25. ∴|f|＝5，即所求合力的大小为 5.
且 cos〈f，a〉＝|ff|··a|a| ＝|a|2＋2a5·b＋3a·c＝1＋15＋32＝170， 同理可得：cos〈f，b〉＝45，cos〈f，c〉＝190.
【精彩点拨】 证明 AO⊥平面 BCD，可以利用题中的已知条件证明 AO 与平 面 BCD 内的两条相交直线垂直．(2)、(3)可以建立空间直角坐标系，利用向量法求 解．(2)也可以不建系，利用异面直线所成角的定义作出异面直线所成的角，(3)也 可以利用等积变换法求解．
图 2-4
(3)求斜线与平面的夹角 如图2-5，设平面α的法向量为n1，斜线OA的方向向量为n2，斜线OA与平面的 夹角为θ，则sin θ＝|cos〈n1，n2〉|.
图2-5
如图2-6所示四棱锥P-ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝ AD＝2，点M，N分别在棱PD，PC上，且PC⊥平面AMN.
∵A→M＝(0,1,1)，E→C＝(0,2，－2)，C→B＝(2,0,0)， ∴A→M·E→C＝0，A→M·C→B＝0. ∴AM⊥EC，AM⊥CB. 又∵EC∩CB＝C，AM 平面 EBC， ∴AM⊥平面 EBC.
(2)∵AM⊥平面 EBC， ∴A→M为平面 EBC 的一个法向量． ∵A→M＝(0,1,1)，A→B＝(2,2,0)， ∴cos〈A→B，A→M〉＝|A→A→BB|··A|A→→MM|＝12. ∴〈A→B，A→M〉＝60°. ∴直线 AB 与平面 EBC 的夹角为 30°.
2018版数学课堂讲义北师大版选修4-4练习：第二讲 参数方程 4 平摆线和渐开线 课时作业 含答案 精品

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一、选择题1.关于渐开线和摆线的叙述，正确的是( ) A.只有圆才有渐开线B.渐开线和摆线的定义是一样的，只是绘图的方法不一样，所以才能得到不同的图形C.正方形也可以有渐开线D.对于同一个圆，如果建立的直角坐标系的位置不同，画出的渐开线形状就 不同解析 本题主要考查渐开线和摆线的基本概念.不仅圆有渐开线，其他图形如椭圆、正方形也有渐开线，渐开线和摆线的定义虽然从字面上有相似之处，但是它们的实质是完全不一样的，因此得出的图形也不相同.对于同一个圆不论在什么地方建立直角坐标系，画出的图形的大小和形状都是一样的，只是方程的形式及图形在坐标系中的位置可能不同. 答案 C2.已知一个圆的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos φ，y ＝3sin φ (φ为参数)，那么圆的摆线方程中与参数φ＝π2对应的点A 与点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2之间的距离为( )A.π2－1B. 2C.10D.3π2－1解析 根据圆的参数方程可知，圆的半径为3，那么它的摆线的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3（φ－sin φ），y ＝3（1－cos φ） (φ为参数)，把φ＝π2代入参数方程中可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－1，y ＝3，即A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－1，3， ∴|AB |＝ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－1－3π22＋（3－2）2＝10.答案 C3.如图所示，ABCD 是边长为1的正方形，曲线AEFGH …叫做“正方形的渐开线”，其中AE 、EF 、FG 、GH …的圆心依次按B 、C 、D 、A 循环，它们依次相连接，则曲线AEFGH 长是( )A.3πB.4πC.5πD.6π解析 根据渐开线的定义可知，AE ︵是半径为1的14圆周长，长度为π2，继续旋转可得EF ︵是半径为2的14圆周长，长度为π；FG ︵是半径为3的14圆周长，长度为3π2；GH ︵是半径为4的14圆周长，长度为2π.所以曲线AEFGH 的长是5π. 答案 C 二、填空题4.渐开线⎩⎨⎧x ＝6（cos φ＋φsin φ），y ＝6（sin φ－φcos φ） (φ为参数)的基圆的圆心在原点，把基圆的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)得到的曲线的焦点坐标为__________. 解析 根据圆的渐开线方程可知基圆的半径r ＝6，其方程为x 2＋y 2＝36，把基圆的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到的曲线的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋y 2＝36，整理可得x 2144＋y 236＝1，这是一个焦点在x 轴上的椭圆.c ＝a 2－b 2＝144－36＝63，故焦点坐标为(63，0)和(－63，0). 答案 (63，0)和(－63，0)5.我们知道关于直线y ＝x 对称的两个函数互为反函数，则圆的摆线⎩⎨⎧x ＝r （φ－sin φ），y ＝r （1－cos φ） (φ为参数)关于直线y ＝x 对称的曲线的参数方程为________.解析 关于直线y ＝x 对称的函数互为反函数，而求反函数的过程主要体现了x 与y 的互换.所以要写出摆线方程关于直线y ＝x 的对称曲线方程，只需把其中的x 与y 互换.答案 ⎩⎨⎧x ＝r （1－cos φ），y ＝r （φ－sin φ） (φ为参数)三、解答题6.有一个半径是2a 的轮子沿着直线轨道滚动，在轮辐上有一点M ，与轮子中心的距离是a ，求点M 的轨迹方程.解 如图：B 点坐标为(2aφ，2a )，MB →＝(a sin φ，a cos φ)，设OM→＝(x ，y )，OM →＝OB →＋BM →＝(2aφ，2a )＋(－a sin φ，－a cos φ)＝(2aφ－a sin φ，2a －a cos φ)， ∴⎩⎨⎧x ＝a （2φ－sin φ），y ＝a （2－cos φ）.7.已知圆C 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝1＋6cos α，y ＝2＋6sin α (α为参数)和直线l 对应的普通方程是x －y －62＝0.(1)如果把圆心平移到原点O ，请问平移后圆和直线有什么关系？ (2)写出平移后圆的摆线方程； (3)求摆线和x 轴的交点.解 (1)圆C 平移后圆心为O (0，0)，它到直线x －y －62＝0的距离为d ＝622＝6，恰好等于圆的半径，所以直线和圆是相切的.(2)由于圆的半径是6，所以可得摆线方程是⎩⎨⎧x ＝6φ－6sin φ，y ＝6－6cos φ(φ为参数).(3)令y ＝0，得6－6cos φ＝0⇒cos φ＝1， 所以φ＝2k π(k ∈Z ). 代入x ＝6φ－6sin φ，得x ＝12k π(k ∈Z )，即圆的摆线和x 轴的交点为(12k π，0) (k ∈Z ).8.设圆的半径为8，沿x 轴正向滚动，开始时圆与x 轴相切于原点O ，记圆上动点为M ，它随圆的滚动而改变位置，写出圆滚动一周时M 点的轨迹方程，画出相应曲线，求此曲线上纵坐标y 的最大值，说明该曲线的对称轴. 解 轨迹曲线的参数方程为 ⎩⎨⎧x ＝8（t －sin t ），y ＝8（1－cos t ）(0≤t ≤2π). 即t ＝π时，即x ＝8π时，y 有最大值16. 第一拱(0≤t ≤2π)的对称轴为x ＝8π.。