2020年湖北省高三二模理科数学试卷(含答案和解析)
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2020年湖北高三二模理科数学试卷注意事项:1. 答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息；2. 请将答案正确填写在答题卡上。
一、标题1.设集合，，则（ ）．A. B. C. D.2.复数满足，则（ ）．A. B. C. D.3.若实数，满足，则的最大值是（ ）．A.B.C.D.4.非零向量，满足，．则，的夹角为（ ）．A.B.C.D.5.在魅力江城武汉举行的第七届世界军人运动会开幕式上，最激动人心的时刻是“升国旗、唱国歌”环节．中华人民共和国国歌有个字，小节，奏唱需要秒，如图所示，旗杆正好处在坡度的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为和，第一排和最后一排的距离为米，旗杆底部与第一排在同一个水平面上．若国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部，升旗手升旗的速度应为（ ）(米/秒)．第一排最后一排旗杆看台A.B.C.D.6.《孙子算经》中曾经记载，中国古代诸侯的等级从高到低分为：公，侯，伯，子，男，共有五级．若给有巨大贡献的甲、乙两人进行封爵，则甲比乙获封等级高的概率为（ ）．A.B.C.D.7.已知，则实数的取值范围是（ ）．A.B.C.D.8.已知，则（ ）．A.B.C.D.9.已知函数，那么的大致图象是（ ）．A.B.C.D.10.已知，为椭圆上的两个动点，，且满足，则的取值范围为（ ）．A.B.C.D.11.设数列的前项和为，且，，则的最小值是（ ）．A.B.C.D.12.如图，已知四面体的各条棱长均等于，，分别是棱，的中点．若用一个与直线垂直，且与四面体的每一个面都相交的平面去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积最大值为（ ）．A.B.C.D.13.设为所在平面内一点，，若，则．14.若的展开式中项的系数为，则 ．15.已知双曲线的左、右焦点分别为、，过点作圆的切线交双曲线右支于点，若，则双曲线的离心率为 ．16.为响应国家号召，打赢脱贫致富攻坚战，武汉大学团队带领湖北省大悟县新城镇熊湾村村民建立有机、健康、高端，绿色的蔬菜基地，并策划“生产，运输、销售”一体化的直销供应模式，据统计，当地村民两年时间成功脱贫，蔬菜种植基地将采摘的有机蔬菜以每份三斤称重并保鲜分装，以每份元的价格销售到生鲜超市，每份元的价格卖给顾客，如果当天前小时卖不完，则超市通过促销以每份元的价格卖给顾客（根据经验，当天能够把剩余的有机蔬菜都低价处理完毕，且处理完毕后，当天不再进货）．该生鲜超市统计了天有机蔬菜在每天的前个小时内的销售量（单位：份），制成如下表格（注：，且），若以天记录的频率做为每日前小时销售销售量发生的概率，该生鲜超市当天销售有机蔬菜利润的期望值为决策依据，若购进份比购进份的利润的期望值大，则的最小值是 ．前小时内销售量频数（1）（2）17.已知数列的前项和为，且满足．求证：数列为等比数列．求数列的前项和．（1）（2）18.如图，四棱锥中， 平面，底面是正方形，，为上一点，当为的中点时，平行于平面．求证：平面；求二面角的余弦值．（1）（2）19.已知椭圆：的离心率为．求椭圆的方程．设直线过点且与椭圆相交于，两点．过点作直线的垂线，垂足为．证明：直线过轴上的定点．（1）（2）20.已知函数．求的极值．若，，，求证：．21.（1）（2）三棱锥中,、均为边长为的正三角形，在平面内，侧棱．现对其四个顶点随机贴上写有数字至的个标签中的个，并记对应的标号为，（取值为），为侧棱上一点．求事件“为偶数”的概率；若；求二面角的平面角大于的概率．（1）（2）22.在平面直角坐标系中，直线的参数方程为，（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程．设Р为曲线上的点，，垂足为，若的最小值为，求的值．（1）（2）23.已知函数，．若，求的取值范围．若，对，，都有不等式恒成立，求的取值范围．2020年湖北高三二模理科数学试卷答案注意事项:1. 答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息；2. 请将答案正确填写在答题卡上。
一、标题1.设集合，，则（ ）．A. B. C. D.【答案】B解析:∵，∴，则，∵，∴，则，，则．故选．2.复数满足，则（ ）．A. B. C. D.【答案】D解析:∵，∴，故，故正确．故选．A. B. C. D.3.若实数，满足，则的最大值是（ ）．【答案】B解析:∵实数，满足，∴，化为．当且仅当时取等号．则的最大值是．故选．4.非零向量，满足，．则，的夹角为（ ）．A.B.C.D.【答案】C解析:由得，①，又由得，②，将②代入①式，整理得：，即，又因为，即，的夹角为．故选：．5.在魅力江城武汉举行的第七届世界军人运动会开幕式上，最激动人心的时刻是“升国旗、唱国歌”环节．中华人民共和国国歌有个字，小节，奏唱需要秒，如图所示，旗杆正好处在坡度的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为和，第一排和最后一排的距离为米，旗杆底部与第一排在同一个水平面上．若国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部，升旗手升旗的速度应为（ ）(米/秒)．第一排最后一排旗杆看台A.B.C.D.【答案】B 解析:如图所示旗杆，，，，，在中，由余弦定理，，即：，整理得，解得，，．6.《孙子算经》中曾经记载，中国古代诸侯的等级从高到低分为：公，侯，伯，子，男，共有五级．若给有巨大贡献的甲、乙两人进行封爵，则甲比乙获封等级高的概率为（ ）．A.B.C.D.【答案】A解析:由题意，中国古代诸侯的等级从高到低分为：公，候，伯，子，男共有五级．则甲比乙获封等级高的概率为，故正确．故选．7.已知，则实数的取值范围是（ ）．A.B.C.D.【答案】A解析:∵，∴，∵，由指数函数性质，，则，∴实数的取值范围为．故选．8.已知，则（ ）．A.B.C.D.【答案】A解析:∵，，，∴，．故选．9.已知函数，那么的大致图象是（ ）．A.B.C.D.【答案】D解析:令，则，∴，，，∵，∴，可排除，，又，，可排除，故选：．10.已知，为椭圆上的两个动点，，且满足，则的取值范围为（ ）．A.B.C.D.【答案】C解析:椭圆中，，．∴为椭圆左焦点，∵设，，，．又∵，．∴．将椭圆方程代入可得，．由椭圆方程可知．∴．故选．11.设数列的前项和为，且，，则的最小值是（ ）．A.B.C.D.【答案】A解析:①②由①②当时，．∴是以为首项，公差的等差数列．．．．令，．令，或（舍去）在单调递减，单调递增．．∴的最小值为．故选．12.如图，已知四面体的各条棱长均等于，，分别是棱，的中点．若用一个与直线垂直，且与四面体的每一个面都相交的平面去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积最大值为（ ）．A.B.C.D.【答案】B解析:补成正方体，如图，∵，∴截面为平行四边形，可得，又，，且，∴，可得，当且仅当时取等号．故选．四边形13.设为所在平面内一点，，若，则 ．【答案】解析:为所在平面内一点，，∴，，三点共线，若，∴，化为，与比较可得，，解得．14.若的展开式中项的系数为，则 ．【答案】解析:的展开式的通项公式为，令，求得，故的展开式中项的系数为，∴．故答案为：．15.已知双曲线的左、右焦点分别为、，过点作圆的切线交双曲线右支于点，若，则双曲线的离心率为 ．【答案】解析:设切点为，连接，作作，垂足为，x由，且为的中位线，可得，，即有，在直角三角形中，可得，即有，由双曲线的定义可得，可得，∴，∴．故答案为：．16.为响应国家号召，打赢脱贫致富攻坚战，武汉大学团队带领湖北省大悟县新城镇熊湾村村民建立有机、健康、高端，绿色的蔬菜基地，并策划“生产，运输、销售”一体化的直销供应模式，据统计，当地村民两年时间成功脱贫，蔬菜种植基地将采摘的有机蔬菜以每份三斤称重并保鲜分装，以每份元的价格销售到生鲜超市，每份元的价格卖给顾客，如果当天前小时卖不完，则超市通过促销以每份元的价格卖给顾客（根据经验，当天能够把剩余的有机蔬菜都低价处理完毕，且处理完毕后，当天不再进货）．该生鲜超市统计了天有机蔬菜在每天的前个小时内的销售量（单位：份），制成如下表格（注：，且），若以天记录的频率做为每日前小时销售销售量发生的概率，该生鲜超市当天销售有机蔬菜利润的期望值为决策依据，若购进份比购进份的利润的期望值大，则的最小值是 ．前小时内销售量频数【答案】解析:由表格知各销售量的概率如下：前销量①购进份：当前销量为时，利润：，当前销量为时，利润：，当前销量为时，利润：，当前销量为，，，时，利润：．∴期望为：，②购进份，当前销量为时，利润：，当前销量为时，利润：，当前销量为时，利润：，当前销量为时，利润：，当前销量为，，时，利润：，∴期望为：，又∵购进份比购进份利润的期望值大，∴，∴，，故．故答案为：．（1）（2）17.（1）（2）已知数列的前项和为，且满足．求证：数列为等比数列．求数列的前项和．【答案】（1）（2）证明见解析．．解析:，当时，，两式相减，得，即．∴，由，得．∴数列是以为首项，为公比的等比数列．由（）可得，，∴，∴，∴．（1）（2）18.（1）如图，四棱锥中， 平面，底面是正方形，，为上一点，当为的中点时，平行于平面．求证：平面；求二面角的余弦值．【答案】（1）（2）证明见解析．解析:证明：∵平面，∴，又∴正方形中，，，∴平面，又∵平面，∴，∵，当为的中点时，平行平面，所以是的中点，，，∴平面．（2）以点为坐标原点，分别以直线，，为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，由题意知：，，，，，设平面的法向量为，则，，∴，令，得到，∴又∵，， ，且平面，∴平面的一个法向量设二面角的平面角为则．∴二面角的余弦值为．，（1）（2）19.（1）已知椭圆：的离心率为．求椭圆的方程．设直线过点且与椭圆相交于，两点．过点作直线的垂线，垂足为．证明：直线过轴上的定点．【答案】（1）（2）.证明见解析．解析:（2）由题意可得 解得所以椭圆的方程为.直线恒过轴上的定点.证明如下① 当直线斜率不存在时，直线的方程为,不妨设，，.此时，直线的方程为：，所以直线过点.②当直线的斜率存在时，设，,.由得.所以.直线，令，得，所以.由于，所以.故直线过点.综上所述，直线恒过轴上的定点.（1）（2）20.（1）已知函数．求的极值．若，，，求证：．【答案】（1）（2）有极小值为，无极大值．证明见解析．解析:，（2）当时，恒成立，则在上单调递减，无极值；当时，令，得；令，得，则在上单调递减，在上单调递增，有极小值为，无极大值．当，时，，，令，则，所以在上单调递增，又，，所以，使得，即，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以函数的最小值为：，又函数在上单调减函数，所以，又，，故．（1）（2）21.三棱锥中,、均为边长为的正三角形，在平面内，侧棱．现对其四个顶点随机贴上写有数字至的个标签中的个，并记对应的标号为，（取值为），为侧棱上一点．求事件“为偶数”的概率；若；求二面角的平面角大于的概率．【答案】（1）（2）．．解析:（1）（2）用表示“和均为奇数”的事件，表示“和均为偶数”的事件．由题意知，.记“为偶数”为事件，则，所以．如图，取中点，连结、、．因为、均为边长为的正三角形，所以，因此平面．所以是二面角的平面角．又，所以．若，则，此时，所以大于，即．当时，，所以可取，，，…，共个值；当时，，所以可取、、共个值；当时，，所以不存在．所以．22.在平面直角坐标系中，直线的参数方程为，（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）（2）（1）（2）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程．设Р为曲线上的点，，垂足为，若的最小值为，求的值．【答案】（1）（2）曲线的直角坐标方程为，直线的普通方程为．或．解析:因为曲线的极坐标方程为，即，将，代入上式并化简得，所以曲线的直角坐标方程为，直线的普通方程为．设，由点到直线的距离公式得，由题意知，当时，，得；当时，，得；所以或．（1）（2）23.已知函数，．若，求的取值范围．若，对，，都有不等式恒成立，求的取值范围．【答案】（1）（2）．．解析:（1）（2）．若，则，得；若，则，得，即不等式无解；若，则，得，综上所述，的取值范围是．由题意知，要使得不等式恒成立，只需，当时，，，因为，所以当时，，即，解得，结合，所以的取值范围是．。
