非常考案通用版2017版高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用分层限时跟踪练16

分层限时跟踪练(二十)(限时40分钟) [基 础 练]扣教材 练双基一、选择题1．函数f (x )＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2图象的一条对称轴方程可以为( ) A ．x ＝π4B ．x ＝π3C ．x ＝34πD ．x ＝π【解析】 ∵f (x )＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝cos(2x ＋π)＋1＝1－cos 2x ， 由2x ＝k π(k ∈Z )，得x ＝k π2，k ∈Z .故当k ＝2时，x ＝π，故选D. 【答案】 D2．(2015·浙江高考)函数f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫x －1x cos x (－π≤x ≤π且x ≠0)的图象可能为]( )【解析】 函数f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫x －1x cos x (－π≤x ≤π且x ≠0)为奇函数，排除选项A ，B ；当x ＝π时，f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫π－1πcos π＝1π－π<0，排除选项C ，故选D.【答案】 D3．(2015·石家庄一模)函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z )B.⎝⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z )C.⎝⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z ) D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z ) 【解析】 由k π－π2＜2x －π3＜k π＋π2(k ∈Z )得k π2－π12＜x ＜k π2＋5π12(k ∈Z )，所以函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z )，故选B. 【答案】 B4．已知函数f (x )＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m 等于( )A ．0B ．3＋322C ．3－322D.32【解析】 ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴2x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，1，∴f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－322，3，∴M ＋m ＝3－322.【答案】 C5．已知函数f (x )＝2sin ωx 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最小值为－2，则ω的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－92∪[6，＋∞)B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－92∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ C ．(－∞，－2]∪[6，＋∞)D ．(－∞，－2]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞【解析】 当ω＞0时，由－π3≤x ≤π4得－π3ω≤ωx ≤π4ω，由题意知，－π3ω≤－π2，∴ω≥32， 当ω＜0时，由－π3≤x ≤π4得π4ω≤ωx ≤－π3ω，由题意知，π4ω≤－π2，∴ω≤－2，综上知ω∈(－∞，－2]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞.【答案】 D 二、填空题6．比较大小：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π18 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π10.【解析】 ∵－π2＜－π10＜－π18＜0，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π18＞sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π10. 【答案】 ＞7．(2016·潍坊模拟)函数f (x )＝cos(x ＋2φ)＋2sin φsin(x ＋φ)的最大值为 ．【解析】 ∵f (x )＝cos[(x ＋φ)＋φ]＋2sin φsin(x ＋φ) ＝cos(x ＋φ)cos φ＋sin φsin(x ＋φ) ＝cos x .∴f (x )的最大值即为cos x 的最大值1. 【答案】 18．(2014·北京高考)设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A ＞0，ω＞0)．若f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上具有单调性，具f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，则f (x )的最小正周期为 ．【解析】 ∵f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上具有单调性，∴T 2≥π2－π6，∴T ≥2π3. ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3， ∴f (x )的一条对称轴为x ＝π2＋2π32＝7π12.又∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6， ∴f (x )的一个对称中心的横坐标为π2＋π62＝π3.∴14T ＝7π12－π3＝π4，∴T ＝π. 【答案】 π 三、解答题9．已知函数f (x )＝6cos 4x ＋5sin 2x －4cos 2x ，求f (x )的定义域，判断它的奇偶性，并求其值域．【解】 由cos 2x ≠0得2x ≠k π＋π2，k ∈Z ，解得x ≠k π2＋π4，k ∈Z ， 所以f (x )的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π2＋π4，k ∈Z ，x ∈R. 因为f (x )的定义域关于原点对称，且f (－x )＝6cos 4－x ＋5sin 2－x －4cos －2x＝6cos 4x ＋5sin 2x －4cos 2x ＝f (x )．所以f (x )是偶函数． 当x ≠k π2＋π4，k ∈Z 时， f (x )＝6cos 4x ＋5sin 2x －4cos 2x ＝6cos 4x ＋5－5cos 2x －42cos 2x －1 ＝ 2cos 2x －1 3cos 2x －1 2cos 2x －1＝3cos 2x －1. 所以f (x )的值域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪⎪－1≤y ＜12或12＜y ≤2. 10．已知f (x )＝sin 2ωx ＋3sin ωx cos ωx (ω＞0)的最小正周期为π. (1)求ω的值及函数f (x )的单调递增区间；(2)求函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，23π上的值域．【解】 (1)f (x )＝sin 2ωx ＋3sin ωx cos ωx ＝12(1－cos 2ωx )＋32sin 2ωx ＝32sin 2ωx －12cos 2ωx ＋12＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx －π6＋12， ∵T ＝π，∴2π2ω＝π，得ω＝1，∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12. 由2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )，∴f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z )．(2)由0≤x ≤2π3，得－π6≤2x －π6≤76π， ∴－12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6≤1，∴0≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12≤32， ∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，23π上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32. [能 力 练]扫盲区 提素能1．(2016·银川模拟)设函数f (x )＝3sin θ3x 3＋cos θ2x 2＋4x －1，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π6，则导数f ′(－1)的取值范围是( )A ．[3,4＋3]B ．[3,6]C ．[4－3，6]D ．[4－3，4＋3]【解析】 ∵f ′(x )＝3x 2sin θ＋x cos θ＋4， ∴f ′(－1)＝3sin θ－cos θ＋4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＋4.又θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π6，∴θ－π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，2π3.∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1， ∴2sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π6＋4∈[3,6]，故选B.【答案】 B2．已知函数f (x )＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ)为奇函数，且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上为减函数，则θ的值可以是( )A ．－π3 B.π6 C.5π6 D.2π3【解析】 ∵f (x )＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋θ＋π3为奇函数，∴θ＋π3＝k π，θ＝k π－π3(k ∈Z )，此时f (x )＝2sin(2x ＋k π)．又∵f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上为减函数，∴k ＝2n －1(n ∈Z )．当k ＝1时，θ＝2π3，即θ的值可以是2π3.【答案】 D3．若函数f (x )＝cos 2x ＋a sin x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2是减函数，则a 的取值范围是 ． 【解析】 f ′(x )＝－2sin 2x ＋a cos x ＝－4sin x cos x ＋a cos x ＝cos x (－4sin x ＋a )．∵x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2时，f (x )是减函数， 又cos x ＞0， ∴由f ′(x )≤0 得－4sin x ＋a ≤0， ∴a ≤4sin x 在⎝⎛⎭⎪⎫π6，π2上恒成立，∴a ≤(4sin x )min ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2， ∴a ≤2.【答案】 (－∞，2]4．(2015·天津高考)已知函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx (ω>0)，x ∈R .若函数f (x )在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝ω对称，则ω的值为 ．【解析】 f (x )＝sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4， 因为f (x )在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数图象关于直线x ＝ω对称， 所以f (ω)必为一个周期上的最大值，所以有ω·ω＋π4＝2k π＋π2，k ∈Z ，所以ω2＝π4＋2k π，k ∈Z . 又ω－(－ω)≤2πω2，即ω2≤π2，所以ω2＝π4，所以ω＝π2. 【答案】π25．(2015·重庆高考)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x sin x －3cos 2x .(1)求f (x )的最小正周期和最大值； (2)讨论f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3上的单调性．【解】 (1)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x sin x －3cos 2x＝cos x sin x －32(1＋cos 2x ) ＝12sin 2x －32cos 2x －32＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3－32， 因此f (x )的最小正周期为π，最大值为2－32.(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3时，0≤2x －π3≤π，从而当0≤2x －π3≤π2，即π6≤x ≤5π12时，f (x )单调递增，当π2≤2x －π3≤π，即5π12≤x ≤2π3时，f (x )单调递减． 综上可知，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π12上单调递增；在⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π12，2π3上单调递减． 6．设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx 3－π6－2cos 2πx 6.(1)求y ＝f (x )的最小正周期及单调递增区间；(2)若函数y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，当x ∈[0,1]时，求函数y ＝g (x )的最大值．【解】 (1)由题意知f (x )＝32sin πx 3－32cos πx 3－1＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 3－π3－1，所以y ＝f (x )的最小正周期T ＝2ππ3＝6. 由2k π－π2≤πx 3－π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得6k －12≤x ≤6k ＋52，k ∈Z ，所以y ＝f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤6k －12，6k ＋52，k ∈Z .(2)因为函数y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，所以当x ∈[0,1]时，y ＝g (x )的最大值即为x ∈[3,4]时，y ＝f (x )的最大值， 当x ∈[3,4]时，π3x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，π，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32，f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12， 即当x ∈[0,1]时，函数y ＝g (x )的最大值为12.。

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(2)有理数指数幂的性质 ①aras＝ ar＋s (a＞0，r，s∈Q)； ②(ar)s＝ ars (a＞0，r，s∈Q)； ③(ab)r＝ arbr (a＞0，b＞0，r∈Q)．
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2．指数函数的图象与性质
y＝ax
a＞1
0＜a＜1
图象
定义域
R
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故②正确；③
＝ ＝ 2；④ 4 －24＝2；⑤当 a≠0 时，由(1＋a2)m＜(1
＋a2)n 可知 m＜n，当 a＝0 时不成立．
答案：②
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考点疑难突破
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指数(zhǐshù)幂的化简与求值
计算：
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【解】 (1)原式＝
－ 51－0 2＋1＝
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[自 主 演 练]
1．化简 4 16x8y4(x＜0，y＜0)得( A．2x2y C．4x2y
) B．2xy D．－2x2y
解析： 4 16x8y4＝(16x8y4) ＝[24(－x)8·(－y)4] ＝
＝
2(－x)2(－y)＝－2x2y.
答案：D
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2．(2017 届四川绵阳一诊)计算：2 3×3 1.5×6 12＝________. 解析：原式＝
【答案】 C
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角度三 探究指数型函数的性质
(1)函数 y＝14x－12x＋1 在区间[－3,2]上的值域是________．
(2)函数 f(x)＝
的单调减区间为________．
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【解析】 (1)因为 x∈[－3,2]， 所以令 t＝12x，则 t∈14，8， 故 y＝t2－t＋1＝t－122＋34. 当 t＝12时，ymin＝34；当 t＝8 时，ymax＝57. 故所求函数的值域为34，57.

2021年高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用分层限时跟踪练(I)一、选择题1．(xx·太原模拟)函数y＝2x－2－x是( )A．奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递增B．奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递减C．偶函数，在区间(－∞，0)上单调递增D．偶函数，在区间(－∞，0)上单调递减【解析】令f(x)＝2x－2－x，则f(－x)＝2－x－2x＝－f(x)，所以函数f(x)是奇函数，排除C，D.又函数y＝－2－x，y＝2x均是R上的增函数，故y＝2x－2－x在R上为增函数．【答案】 A2．已知函数f(x)＝2x－2，则函数y＝|f(x)|的图象可能是( )【解析】y＝2x――――→向下平移2个单位y＝2x－2――――――――→把x轴下方的部分翻折上去y＝|f(x)|.故选B.【答案】 B3．已知f(x)＝3x－b(2≤x≤4，b为常数)的图象经过点(2,1)，则f(x)的值域为( ) A．[9,81] B．[3,9]C．[1,9] D．[1，＋∞)【解析】因为f(x)＝3x－b的图象经过点(2,1) ，所以1＝32－b，∴b＝2，∴f(x)＝3x－2.∵2≤x≤4，∴0≤x－2≤2，∴30≤3x－2≤32，即1≤f(x)≤9，故选C.【答案】 C4．(xx·全国卷Ⅱ)若存在正数x使2x(x－a)＜1成立，则a的取值范围是( ) A．(－∞，＋∞)B．(－2，＋∞)C．(0，＋∞)D．(－1，＋∞)【解析】∵2x(x－a)＜1，∴a＞x－12x .令f(x)＝x－12x，∴f′(x)＝1＋2－x ln 2＞0.∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增，∴f(x)＞f(0)＝0－1＝－1，∴a的取值范围为(－1，＋∞)，故选D.【答案】 D5．(xx·济宁模拟)已知函数f(x)＝|2x－1|，a＜b＜c且f(a)＞f(c)＞f(b)，则下列结论中一定成立的是( )A．a＜0，b＜0，c＜0 B．a＜0，b≥0，c＞0C．2－a＜2c D．2a＋2c＜2【解析】作出函数f(x)＝|2x－1|的图象，如图，∵a＜b＜c，且f(a)＞f(c)＞f(b)，结合图象知0<f(a)＜1，a＜0，c＞0，∴0＜2a＜1.∴f(a)＝|2a－1|＝1－2a＜1，∴f(c)＜1，∴0＜c＜1.∴1＜2c＜2，∴f(c)＝|2c－1|＝2c－1，又∵f(a)＞f(c)，∴1－2a＞2c－1，∴2a＋2c＜2，故选D.【答案】 D二、填空题6．已知正数a 满足a 2－2a －3＝0，函数f (x )＝a x，若实数m ，n 满足f (m )>f (n )，则m ，n 的大小关系为________．【解析】 ∵a 2－2a －3＝0，∴a ＝3或a ＝－1(舍)． 函数f (x )＝3x 在R 上递增，由f (m )>f (n )，得m >n . 【答案】 m >n7．(xx·长沙模拟)若函数f (x )＝a x(a >0，a ≠1)在[－1,2]上的最大值为4，最小值为m ，且函数g (x )＝(1－4m )x 在[0，＋∞)上是增函数，则a ＝________.【解析】 当a >1时，有a 2＝4，a －1＝m ，此时a ＝2，m ＝12，此时g (x )＝－x 为减函数，不合题意．若0<a <1，则a －1＝4，a 2＝m ，故a ＝14，m ＝116，检验知符合题意．【答案】 148．(xx·安阳模拟)设函数f (x )＝⎩⎨⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－7，x <0，x ，x ≥0，若f (a )<1，则实数a 的取值范围是________．【解析】 当a <0时，由⎝ ⎛⎭⎪⎫12a －7<1，得⎝ ⎛⎭⎪⎫12a<8＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12-3.∴a >－3，故－3<a <0； 当a ≥0时，由a <1，得a <1，故0≤a <1. 综上可得a 的取值范围是－3<a <1. 【答案】 (－3,1) 三、解答题9．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 2－4x ＋ 3.(1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间； (2)若f (x )有最大值3，求a 的值； (3)若f (x )的值域是(0，＋∞)，求a 的值．【解】 (1)当a ＝－1时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13 － x 2－4x ＋ 3，令g (x )＝－x 2－4x ＋3，由于g (x )在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13t在R 上单调递减，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f (x )的单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2)．(2)令g (x )＝ax 2－4x ＋3，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13g (x )，由于f (x )有最大值3，所以g (x )应有最小值－1，因此必有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，3a －4a＝－1.解得a ＝1，即当f (x )有最大值3时，a 的值等于1. (3)由指数函数的性质知，要使y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13g (x )的值域为(0，＋∞)．应使g (x )＝ax 2－4x ＋3的值域为R ，因此只能a ＝0(因为若a ≠0，则g (x )为二次函数，其值域不可能为R )． 故a 的值为0.10．已知函数f (x )＝b ·a x(其中a ，b 为常数且a >0，a ≠1)的图象经过点A (1,6)，B (3,24)．(1)试确定f (x )；(2)若不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1b x－m ≥0在x ∈(－∞，1]上恒成立，求实数m 的取值范围．【解】 (1)∵f (x )＝b ·a x的图象过点A (1,6)，B (3,24)，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ·a ＝6， ①b ·a 3＝24， ②②÷①得a 2＝4，又a >0且a ≠1，∴a ＝2，b ＝3， ∴f (x )＝3·2x.(2)由(1)知⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1b x－m ≥0在(－∞，1]上恒成立可转化为m ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x在(－∞，1]上恒成立．令g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x， 则g (x )在(－∞，1]上单调递减， ∴m ≤g (x )min ＝g (1)＝12＋13＝56，故所求实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，56. [能 力 练]扫盲区 提素能1. (xx·贵阳模拟)若函数y ＝a x＋b 的图象如图2­5­4所示，则函数y ＝1x ＋a＋b ＋1的图图2­5­4象为( )【解析】 由图可知0＜a ＜1，－2＜b ＜－1.又函数y ＝1x ＋a ＋b ＋1的图象是由y ＝1x向左平移a 个单位，向下平移|b ＋1|个单位而得到的．结合四个选项可知C 正确．【答案】 C2．(文)当x ∈(－∞，－1]时，不等式(m 2－m )·4x －2x＜0恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．(－2,1)B ．(－4,3)C ．(－1,2)D ．(－3,4)【解析】 原不等式变形为m 2－m ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，∵函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x在(－∞，－1]上是减函数， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫12x≥ ⎝ ⎛⎭⎪⎫12-1＝2，当x ∈(－∞，－1]时，m 2－m ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 恒成立等价于m 2－m ＜2，解得－1＜m ＜2.【答案】 C3. (xx·福建高考)若函数f (x )＝2|x －a |(a ∈R )满足f (1＋x )＝f (1－x )，且f (x )在[m ，＋∞)上单调递增，则实数m 的最小值等于________．【解析】 因为f (x )＝2|x －a |，所以f (x )的图象关于直线x ＝a 对称．又由f (1＋x )＝f (1－x )，知f (x )的图象关于直线x ＝1对称，故a ＝1，且f (x )的增区间是[1，＋∞)，由函数f (x )在[m ，＋∞)上单调递增，知[m ，＋∞)⊆[1，＋∞)，所以m ≥1，故m 的最小值为1.【答案】 14．(xx·苏州模拟)已知函数f (x )＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a2x 的定义域是(1，＋∞)，则实数a 的值为________．【解析】 由题意得，不等式1－a 2x >0的解集是(1，＋∞)，由1－a2x >0，可得2x>a ，故x >log 2a ，由log 2a ＝1得a ＝2.【答案】 25．已知定义在R 上的函数f (x )＝2x－12|x |. (1)若f (x )＝32，求x 的值；(2)若2tf (2t )＋mf (t )≥0对于t ∈[1,2]恒成立，求实数m 的取值范围．【解】 (1)当x ＜0时，f (x )＝0，无数解； 当x ≥0时，f (x )＝2x－12x ，由2x－12x ＝32，得2·22x－3·2x－2＝0， 看成关于2x的一元二次方程， 解得2x ＝2或2x＝－12(舍去)，∴2x＝2，∴x ＝1.(2)当t ∈[1,2]时，2t ⎝ ⎛⎭⎪⎫22t－122t ＋m ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t －12t ≥0，即m (22t－1)≥－(24t－1)，∵22t－1＞0， ∴m ≥－(22t＋1)，∵t ∈[1,2]，∴－(22t＋1)∈[－17，－5]， 故m 的取值范围是[－5，＋∞)．6．设函数f (x )＝ka x －a －x(a >0且a ≠1)是定义域为R 的奇函数． (1)若f (1)>0，试求不等式f (x 2＋2x )＋f (x －4)>0的解集；(2)若f (1)＝32，且g (x )＝a 2x ＋a －2x－4f (x )，求g (x )在[1，＋∞)上的最小值．【解】 因为f (x )是定义域为R 的奇函数，所以f (0)＝0，所以k －1＝0，即k ＝1，f (x )＝a x －a －x .(1)因为f (1)>0，所以a －1a>0，又a >0且a ≠1，所以a >1.因为f ′(x )＝a xln a ＋a －xln a ＝(a x ＋a －x)ln a >0， 所以f (x )在R 上为增函数，原不等式可化为f (x 2＋2x )>f (4－x )，所以x 2＋2x >4－x ，即x 2＋3x －4>0， 所以x >1或x <－4.所以不等式的解集为{x |x >1或x <－4}． (2)因为f (1)＝32，所以a －1a ＝32，即2a 2－3a －2＝0，所以a ＝2或a ＝－12(舍去)．所以g (x )＝22x＋2－2x－4(2x －2－x )＝(2x －2－x )2－4(2x －2－x)＋2.令t (x )＝2x －2－x(x ≥1)，则t (x )在(1，＋∞)为增函数(由(1)可知)，即t (x )≥t (1)＝32， 所以原函数为ω(t )＝t 2－4t ＋2＝(t －2)2－2， 所以当t ＝2时，ω(t )min ＝－2，此时x ＝log 2(1＋2)．即g (x )在x ＝log 2(1＋2)时取得最小值－2.37697 9341 鍁28851 70B3 炳23047 5A07 娇e35911 8C47 豇 @Esn~+m37781 9395 鎕y。

非常考案通用版2019版高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用分层限时跟踪练(13)一、选择题1．(2015·太原模拟)函数y ＝2x －2－x 是( )A ．奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递增B ．奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递减C ．偶函数，在区间(－∞，0)上单调递增D ．偶函数，在区间(－∞，0)上单调递减【解析】 令f (x )＝2x －2－x ，则f (－x )＝2－x －2x＝－f (x )，所以函数f (x )是奇函数，排除C ，D.又函数y ＝－2－x ，y ＝2x均是R 上的增函数，故y ＝2x －2－x 在R 上为增函数．【答案】 A2．已知函数f (x )＝2x －2，则函数y ＝|f (x )|的图象可能是( )【解析】 y ＝2x――――→向下平移2个单位y ＝2x －2――――――――→把x 轴下方的部分翻折上去y ＝|f (x )|.故选B.【答案】 B3．已知f (x )＝3x －b (2≤x ≤4，b 为常数)的图象经过点(2,1)，则f (x )的值域为( ) A ．[9,81]B ．[3,9]C ．[1,9]D ．[1，＋∞) 【解析】 因为f (x )＝3x －b 的图象经过点(2,1) ，所以 1＝32－b ，∴b ＝2，∴f (x )＝3x －2.∵2≤x ≤4，∴0≤x －2≤2，∴30≤3x －2≤32， 即1≤f (x )≤9，故选C.【答案】 C 4．(2013·全国卷Ⅱ)若存在正数x 使2x(x －a )＜1成立，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，＋∞)B ．(－2，＋∞)C ．(0，＋∞)D ．(－1，＋∞)【解析】∵2x(x－a)＜1，∴a＞x－12x .令f(x)＝x－12x，∴f′(x)＝1＋2－x ln 2＞0.∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增，∴f(x)＞f(0)＝0－1＝－1，∴a的取值范围为(－1，＋∞)，故选D.【答案】 D5．(2015·济宁模拟)已知函数f(x)＝|2x－1|，a＜b＜c且f(a)＞f(c)＞f(b)，则下列结论中一定成立的是( )A．a＜0，b＜0，c＜0 B．a＜0，b≥0，c＞0C．2－a＜2c D．2a＋2c＜2【解析】作出函数f(x)＝|2x－1|的图象，如图，∵a＜b＜c，且f(a)＞f(c)＞f(b)，结合图象知0<f(a)＜1，a＜0，c＞0，∴0＜2a＜1.∴f(a)＝|2a－1|＝1－2a＜1，∴f(c)＜1，∴0＜c＜1.∴1＜2c＜2，∴f(c)＝|2c－1|＝2c－1，又∵f(a)＞f(c)，∴1－2a＞2c－1，∴2a＋2c＜2，故选D.【答案】 D二、填空题6．已知正数a满足a2－2a－3＝0，函数f(x)＝a x，若实数m，n满足f(m)>f(n)，则m，n的大小关系为________．【解析】∵a2－2a－3＝0，∴a＝3或a＝－1(舍)．函数f(x)＝3x在R上递增，由f(m)>f(n)，得m>n.【答案】 m >n7．(2015·长沙模拟)若函数f (x )＝a x(a >0，a ≠1)在[－1,2]上的最大值为4，最小值为m ，且函数g (x )＝(1－4m )x 在[0，＋∞)上是增函数，则a ＝________.【解析】 当a >1时，有a 2＝4，a －1＝m ，此时a ＝2，m ＝12，此时g (x )＝－x 为减函数，不合题意．若0<a <1，则a －1＝4，a 2＝m ，故a ＝14，m ＝116，检验知符合题意． 【答案】 14 8．(2015·安阳模拟)设函数f (x )＝⎩⎨⎧ ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －7，x <0，x ，x ≥0，若f (a )<1，则实数a 的取值范围是________．【解析】 当a <0时，由⎝ ⎛⎭⎪⎫12a －7<1，得⎝ ⎛⎭⎪⎫12a <8＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12-3.∴a >－3，故－3<a <0； 当a ≥0时，由a <1，得a <1，故0≤a <1.综上可得a 的取值范围是－3<a <1.【答案】 (－3,1)三、解答题9．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 2－4x ＋ 3. (1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间；(2)若f (x )有最大值3，求a 的值；(3)若f (x )的值域是(0，＋∞)，求a 的值． 【解】 (1)当a ＝－1时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13 － x 2－4x ＋ 3， 令g (x )＝－x 2－4x ＋3， 由于g (x )在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13t 在R 上单调递减，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f (x )的单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2)．(2)令g (x )＝ax 2－4x ＋3，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13g (x )，由于f (x )有最大值3，所以g (x )应有最小值－1，因此必有⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，3a －4a ＝－1.解得a ＝1，即当f (x )有最大值3时，a 的值等于1.(3)由指数函数的性质知，要使y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13g (x )的值域为(0，＋∞)．应使g (x )＝ax 2－4x ＋3的值域为R ，因此只能a ＝0(因为若a ≠0，则g (x )为二次函数，其值域不可能为R )．故a 的值为0.10．已知函数f (x )＝b ·a x(其中a ，b 为常数且a >0，a ≠1)的图象经过点A (1,6)，B (3,24)．(1)试确定f (x )； (2)若不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1b x－m ≥0在x ∈(－∞，1]上恒成立，求实数m 的取值范围． 【解】 (1)∵f (x )＝b ·a x 的图象过点A (1,6)，B (3,24)，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ·a ＝6， ①b ·a 3＝24， ②②÷①得a 2＝4，又a >0且a ≠1，∴a ＝2，b ＝3， ∴f (x )＝3·2x . (2)由(1)知⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1b x －m ≥0在(－∞，1]上恒成立可转化为m ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x在(－∞，1]上恒成立．令g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x， 则g (x )在(－∞，1]上单调递减，∴m ≤g (x )min ＝g (1)＝12＋13＝56， 故所求实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，56. [能 力 练]扫盲区 提素能1. (2015·贵阳模拟)若函数y ＝a x ＋b 的图象如图2­5­4所示，则函数y ＝1x ＋a＋b ＋1的图图2­5­4象为( )【解析】 由图可知0＜a ＜1，－2＜b ＜－1.又函数y ＝1x ＋a ＋b ＋1的图象是由y ＝1x向左平移a 个单位，向下平移|b ＋1|个单位而得到的．结合四个选项可知C 正确．【答案】 C2．(文)当x ∈(－∞，－1]时，不等式(m 2－m )·4x －2x＜0恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．(－2,1)B ．(－4,3)C ．(－1,2)D ．(－3,4)【解析】 原不等式变形为m 2－m ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12x， ∵函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x在(－∞，－1]上是减函数， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≥ ⎝ ⎛⎭⎪⎫12-1＝2， 当x ∈(－∞，－1]时，m 2－m ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 恒成立等价于m 2－m ＜2，解得－1＜m ＜2. 【答案】 C3. (2015·福建高考)若函数f (x )＝2|x －a |(a ∈R )满足f (1＋x )＝f (1－x )，且f (x )在[m ，＋∞)上单调递增，则实数m 的最小值等于________．【解析】 因为f (x )＝2|x －a |，所以f (x )的图象关于直线x ＝a 对称．又由f (1＋x )＝f (1－x )，知f (x )的图象关于直线x ＝1对称，故a ＝1，且f (x )的增区间是[1，＋∞)，由函数f (x )在[m ，＋∞)上单调递增，知[m ，＋∞)⊆[1，＋∞)，所以m ≥1，故m 的最小值为1.【答案】 14．(2015·苏州模拟)已知函数f (x )＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a 2x 的定义域是(1，＋∞)，则实数a 的值为________．【解析】 由题意得，不等式1－a 2x >0的解集是(1，＋∞)，由1－a 2x >0，可得2x >a ，故x >log 2a ，由log 2a ＝1得a ＝2.【答案】 25．已知定义在R 上的函数f (x )＝2x －12|x |. (1)若f (x )＝32，求x 的值； (2)若2t f (2t )＋mf (t )≥0对于t ∈[1,2]恒成立，求实数m 的取值范围．【解】 (1)当x ＜0时，f (x )＝0，无数解；当x ≥0时，f (x )＝2x －12x ， 由2x －12x ＝32， 得2·22x －3·2x－2＝0，看成关于2x 的一元二次方程，解得2x ＝2或2x ＝－12(舍去)， ∴2x ＝2，∴x ＝1.(2)当t ∈[1,2]时，2t ⎝⎛⎭⎪⎫22t －122t ＋m ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t －12t ≥0， 即m (22t －1)≥－(24t －1)，∵22t －1＞0，∴m ≥－(22t ＋1)，∵t ∈[1,2]，∴－(22t ＋1)∈[－17，－5]，故m 的取值范围是[－5，＋∞)．6．设函数f (x )＝ka x －a －x(a >0且a ≠1)是定义域为R 的奇函数．(1)若f (1)>0，试求不等式f (x 2＋2x )＋f (x －4)>0的解集；(2)若f (1)＝32，且g (x )＝a 2x ＋a －2x －4f (x )，求g (x )在[1，＋∞)上的最小值． 【解】 因为f (x )是定义域为R 的奇函数，所以 f (0)＝0，所以k －1＝0，即k ＝1，f (x )＝a x －a －x .(1)因为f (1)>0，所以a －1a>0， 又a >0且a ≠1，所以a >1.因为f ′(x )＝a x ln a ＋a －x ln a ＝(a x ＋a －x)ln a >0，所以f (x )在R 上为增函数，原不等式可化为 f (x 2＋2x )>f (4－x )，所以x 2＋2x >4－x ，即x 2＋3x －4>0，所以x >1或x <－4.所以不等式的解集为{x |x >1或x <－4}．(2)因为f (1)＝32，所以a －1a ＝32， 即2a 2－3a －2＝0，所以a ＝2或a ＝－12(舍去)． 所以g (x )＝22x ＋2－2x －4(2x －2－x )＝(2x －2－x )2－4(2x －2－x )＋2. 令t (x )＝2x －2－x (x ≥1)，则t (x )在(1，＋∞)为增函数(由(1)可知)，即t (x )≥t (1)＝32， 所以原函数为ω(t )＝t 2－4t ＋2＝(t －2)2－2，所以当t ＝2时，ω(t )min ＝－2，此时x ＝log 2(1＋2)．即g(x)在x＝log2(1＋2)时取得最小值－2.。