第四章 本构方程.ppt.Convertor

Chapter 4 Constitutive Equations 本构方程 4-1. Introduction 引言 应力分析：从静力学的角度得到力的平衡方程和边界条件。 应变分析：从几何学的角度研究变形几何方程和边界条件。 本构关系：研究应力与应变之间存在的内在联系。 4-2. Experiments 拉伸和压缩时的应变应变曲线 1、低碳钢拉伸试验曲线： 线弹性阶段：OA 弹性阶段：AB B点应力：弹性极限 屈服阶段：CD C点应力：上屈服极限 D点应力：下屈服极限 塑性流动阶段：DH 强化阶段：H点以后 缩径阶段：b点以后 2.无明显屈服阶段材料 应力—应变曲线: 屈服极限规定用产生0.2％塑性 应变所对应的应力来表示。记为ζ0.2

3.包辛格(J.Bauschinger)效应(反向屈服效应): 具有强化性质的材料随着塑性变形的增加，屈服极限在一个方向上提高而在相反方向降低的效应。一般认为这是由多晶材料晶界间残余应力引起的。 通常 且 若 称为理想包辛格效应。

4.真实应力—应变曲线讨论： ζ=P/A0 A0：试件初始截面积，ζ为名义应力 ζT=P/A A：试件变形后截面积 ζT为真实应力 σT>σ 利用体积不可压缩假设： 则

作图：

故有 ***对简单拉伸，考虑泊松效应 若纵向应变 ，则侧向应变为： 截面积 体积 体积变化 4-3.变形能函数 物体受力变形的过程，其本质上是一个热力学过程。 (1)等温过程： 物体在变形过程中，各点的温度与周围介质的 温度保持平衡。 (2)绝热过程： 物体在变形过程中不产生温度的变换。即：物 体温度没有升降，热量无损失或增加。 由热力学第一定律，物体在变形过程中总能量的变化： δK +δU =δA +δQ 其中： δK 为动能的变化， K 为物体的动能 δU 为变形能的变化，U 为物体的变形能 δA 为外力功的变化，A 为变形过程中外力做的功 δQ 为热量的变化，Q 为物体变形吸收(或散发)的热量 设物体的体积为V，变形位移ui，受外力Fi作用 则物体的动能变化 式中 为速度分量， 为加速度分量 注意到 故有 外力功的变化： 式中Fi为体力，Ti为面力，S为物体的表面积 利用应力边界条件 和高斯积分公式 的展开式：

则面力功的变化： 注1：

则面力功的变化： **注2：取 便有 即有

则面力功的变化： ***注3：考察

故有 其中， 为应变分量，表示物体的纯变形部分， 为物体的刚性位移部分，称为转动张量 应力在刚体位移上不做功。 为一二阶对称张量 为一二阶反对称张量

则面力功的变化： 从而有 物体变形能的变化 注意到 又注意到物体运动微分方程为： 平衡状态下，有平衡微分方程： 从而有 若变形过程是绝热的，即 则有 在平衡状态下， 结论：在平衡状态下，外力所做的功等于物体中应变能的变化。 或者说，外力所做的功，全部转化为物体的应变能。 记变形能的变化 则 为单位体积应变能的变化。 记U0为应变分量的函数，即： 显然有 其全微分为 U0表示由于变形而贮存在物体单位体积内的应变能，称为应变能 密度函数。 定义：应变能的变化 应变余能的变化 *** 有 则对于应变能密度函数 U0， 展开式为： 类似地，对于应变余能密度函数U0* ， 展开式为： 有 4-4.广义Hooke定律 在小变形情况下，忽略应变分量的高阶值，同时利用零初应力状态假定，得到最一般形式下线弹性应力—应变关系的表达式： 1、应力—应变关系的一般表示: 展开式： 简记为： 或 写成矩阵形式： 简记为： 一般情况下，系数Cij不是常数，除依赖温度外，还依赖于在物体中所处的位置。通常Cij随着温度的增高而减小。对于均匀的物体，各点的Cij相同。 注意到： 则有： 即[C]为对称矩阵，只有21个独立的弹性系数。 即：一般的各向异性弹性材料有21个弹性系数。 2、各向异性体弹性材料的应力—应变关系： 根据前面的讨论，应变能密度函数U0 满足： 考察： 类似地可得到 3、各向同性体材料的广义Hooke定律 各向同性体材料的应力主轴和应变主轴重合。 证明：1°以三个应变主轴方向为轴建立坐标系。 则对应于三个主轴方向的切应变为零： 于是对应于主应变状态的各应力分量为: 1′ 3′ 2′ o 2°建立新坐标系。不妨把坐标系1、2、3 绕 2 轴旋转180 °得到 坐标系1′、2 ′、3 ′。 坐标系间的方向余弦关系为： 在新坐标系1′、2 ′、3 ′下，对于各向同性体，弹性常数不随 方向而改变，则对应于新坐标系下的各应力分量同样有： 应变状态的坐标变换 显然有： 考察应力状态的坐标变换 同时 对 的影响和 对 的影响应该没有区别： 对于各向同性体材料，在各个方向上的弹性性质相同，显然主应变 对 的影响与主应变 对 的影响和主应变 对 的影响都是相同的，即有 即有： 同理有 于是知：应变主轴坐标系所对应的应力状态是主应力状态，即 应变主轴也是应力主轴，或者说：应变主轴和应力主轴重合。 从而有： 〈ii〉各向同性体材料只存在两个独立的弹性常数 已知在主轴坐标系下， 类似地 不妨记 则有 引入 Lame 常数 体积应变 则有 引入非主轴坐标系 Oxyz，与主轴坐标系 间的方向余弦关系记为： 在 Oxyz 系下的应力和应变状态分别为 不妨考察 以及 利用主轴坐标系下的结论 有 于是得到各向同性体材料的应力—应变关系即广义 Hooke定律为 简记为 根据由拉梅系数表示的广义虎克定律： 可以解出应变以应力分量表示的形式，即得到以工程弹性常数 表示的广义Hooke定律为： <1> 工程弹性常数：E，G， E：（拉压）弹性模量，杨氏（Young’s）模量 G：剪切弹性模量 ：泊松比（Poisson Ratio） 4、以工程弹性常数表示的各向同性体的广义 Hooke定律 <2>工程弹性常数与拉梅系数间的关系： 其中： 由于各向同性体只有两个相互独立的弹性常数，故E、G、 不互相独立，可知： 同时可得到以工程弹性常数E、 表示的拉梅系数为： <3> 为了导出以工程弹性常数表示的各向同性体的广义虎克定律， 考虑单向拉伸问题： x 向: y 向: z 向: 类似地， 叠加： 考虑纯剪切问题： 即 和 即有： <4> 为了考察E、 与G之间的关系，仍以单向拉伸问题为例： 应力状态： 应变状态： 在45°截面上建立x′y′ 坐标系： 则截面上的应力分量 应变分量 利用 有 从而有 <5> 以单向拉伸问题为例考察工程弹性常数与拉梅系数间的关系 已知： 则 利用 有 代入： 有 即有 所以有： 利用 即 代入 有 从而有 物体在均匀压力 p 作用下，压力 p 与体积应变 的比值的绝对值称为体积压缩模量 K，K 恒为正。 5、体积压缩模量： 则广义虎克定律给出： 三式相加： 于是有： 由于在三向等压情况下， 综合： 这几个弹性常数，有较大的实用意义。 4-5.弹塑性力学中常用的简化力学模型 2、线性强化弹塑性力学模型 1、理想弹塑性模型： 3、幂强化力学模型： 4、刚塑性力学模型（理想塑性模型） 在应力到达屈服极限之前应变为零。 4－6. 屈服函数与应力空间 1、屈服界限的判据：通俗定义屈服点为弹性和塑性的分界点。 <ⅰ>有明显屈服极限的材料： 应力超过ｏ，材料不服从虎克定律。屈服应力ｏ，由简单拉伸曲线图决定（下屈服极限）。 (1) 材料受简单拉伸（压缩）： <ⅱ>弹塑性分界不明显的材料: 依据规定来确定ζｏ，供工程设计用。通常采用0.2为屈服极限。定义0.2为卸载后有0.2%塑性变形所对应的应力。 (2) 复杂应力状态：（确定材料的屈服界限就不那么简单） 例如：薄壁圆管受内压P、拉力F和扭矩T作用，管子平均半径r，壁厚为t，t«r。 管壁应力可简化为一个平面应力问题。 组合应力 显然，对于不同的外力组合，所产生的应力状态不同。 如何确定屈服极限？ 内压P： 拉力F： 扭矩T： (3) 对应于不同应力状态的屈服条件： <ⅰ>在一定的内力组合下，所产生的应力随着内力的增加而进入塑性状态，于是就可得到这种应力状态的屈服条件。 <ⅱ>确定这种屈服条件，也要通过实验确定。 由于这种内力组合是多种多样的，实验的次数也将很多，不可能一一做到。所以要以实验为基础，从理论上寻求其规律，找出屈服条件的解析式，建立屈服条件的理论。 一般情况下，屈服条件与所考虑的应力状态有关，或者说，屈服条件是一点的6个应力分量的函数， (1) 屈服函数： 屈服条件是与该点的应力状态即6个应力分量有关的，反映了这6个应力分量对屈服的影响： 表示在一个六维应力空间内的超曲面，屈服条件成立。 六维应力空间是指6个应力分量x, y,的全体所构成的抽象空间，空间中任一点代表一个确定的应力状态。