导数题型一：证明不等式
不等式的证明问题是中学数学教学的一个难点,传统证明不等式的方法技巧性强,多数学生不易想到,并且各类不等式的证明没有通性通法.随着新教材中引入导数,这为我们处理不等式的证明问题又提供了一条新的途径,并且在近年高考题中使用导数证明不等式也时有出现,但现行教材对这一问题没有展开研究,使得学生对这一简便方法并不了解.利用导数证明不等式思路清晰,方法简捷,操作性强,易被学生掌握。下面介绍利用单调性、极值、最值证明不等式的基本思路，并通过构造辅助函数，证明一些不等式。
一．构造形似函数型
例1．求证下列不等式
（1）)
1(2)1ln(22
2x x x x x x +-<+<- ),0(∞+∈x （相减）
（2）πx
x 2sin > )2,0(π
∈x （相除两边同除以x 得π2
sin >x x ）
（3）x x x x -<-tan sin )2,
0(π∈x
（4）已知：)0(∞+∈x ，求证
x
x x x 11ln 11<+<+；（换元：设x x t 1+=）
（5）已知函数()ln(1)f x x x =+-，1x >-，证明：11ln(1)1x x x -
≤+≤+
巩固练习：
1.证明1>x 时，不等式x
x 132-
> 2.0≠x ，证明：x e x +>1
3.0>x 时，求证：)1ln(22
x x x +<- 4.证明: ).11(,3
2)1ln(3
2<<-+-≤+x x x x x 5.证明: 331an x x x t +>，)2
,0(π∈x .
二、需要多次求导
例2.当)1,0(∈x 时,证明:22)1(ln )1(x x x <++
例3.求证:x ＞0时,211x 2
x e x ->+
例4.设函数f (x )＝ln x ＋
2a x 2－(a ＋1)x (a >0，a 为常数)．若a ＝1，证明：当x >1
时，f (x )<
12x 2－21
x x +
三、作辅助函数型
例5.已知：a 、b 为实数，且b ＞a ＞e ,其中e 为自然对数的底，求证：a b ＞b a .
例6.已知函数f(x)=ln(1+x)-x,g(x)=xlnx,
(i)求函数f(x)的最大值；
(ii)设0 巩固练习 6、证明 (1) )0(ln b a a a b a b b a b <<-<<- (2)0,0>>b a ,证明b a b a b a b a ≤++)2 ( （3）若2021π << 212tan tan x x x x > 四、同增与不同增 例7.证明：对任意21ln 0, 1e e x x x x x ---><+. 例8.已知函数1()1,()ln x x f x g x x x e -=- =-证明：21(ln )()1x x f x e ->-. 五、极值点偏移（理科） 例9.已知函数．如果且证明． 例10.已知函数()(1)e x f x x x -=-∈R ，，其中e 是自然对数的底数.若12x x ≠，且12()()f x f x =，求证：12 4.x x +> ()()x f x xe x R -=∈12,x x ≠12()(),f x f x =122x x +> 六、放缩法 例11.已知：2≥∈n N n 且，求证： 11211ln 13121-+++<<+++n n n 。 例12.当2≥n 且*N n ∈时，证明： n n ln ln 13ln 12ln 1>+++ . 例13.求证：（）． 121715131)1ln(+++++> +n n n *N ∈ 巩固练习 7.证明:对任意的正整数n ,不等式34249+++…21ln(1)n n n ++ >+都成立. 8.已知n N *∈且3n ≥，求证: n+11111ln <++++3345n . 9.求证：ln 2ln 3ln 4234 ??×…×ln n n <1n (n≥2，n ∈N *)． 10.证明：对任意的*∈N n ，有) 1(2ln 1)1ln(22ln 11ln 2 +<+--+++n n n n n n . 七、综合题型 例13.已知函数()(1)ln 1f x x x x =+-+. （Ⅱ）证明：(1)()0x f x -≥ . 例14.a 为实数，函数()22,x f x e x a x R =-+∈ （1）求()f x 的单调区间 （2）求证：当12ln ->a 且0x >时，有2 21x e x ax >-+ 例15.已知函数21()(2)ln 2 x f x a x x a =-+（0a >且1a ≠）. （1）当a e ≥时，求证:()f x 在(0,)+∞上单调递增； （2）当21[,][,1)a e e e ∈且[1,)t ∈+∞时,求证:2 (21)2()3f t f t e --≥-+.
相关主题
文本预览