【跨越一本线】2017届高三数学问题：2.5-利用导数处理不等式相关问题(含答案)

2017年高考数学试题分类汇编：不等式1（2017北京文）已知，，且x +y =1，则的取值范围是__________．【考点】3W ：二次函数的性质．【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；49 ：综合法；51 ：函数的性质及应用． 【分析】利用已知条件转化所求表达式，通过二次函数的性质求解即可． 【解答】解：x ≥0，y ≥0，且x +y=1，则x 2+y 2=x 2+（1﹣x ）2=2x 2﹣2x +1，x ∈[0，1]，则令f （x ）=2x 2﹣2x +1，x ∈[0，1]，函数的对称轴为：x=，开口向上， 所以函数的最小值为：f （）==．最大值为：f （1）=2﹣2+1=1． 则x 2+y 2的取值范围是：[，1]． 故答案为：[，1]．【点评】本题考查二次函数的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．2（2017浙江）已知a R ，函数在区间[1，4]上的最大值是5，则的取值范围是___________．【考点】3H ：函数的最值及其几何意义．【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；49 ：综合法；51 ：函数的性质及应用． 【分析】通过转化可知|x +﹣a |+a ≤5且a ≤5，进而解绝对值不等式可知2a ﹣50x ≥0y ≥22x y +∈4()||f x x a a x=+-+a≤x+≤5，进而计算可得结论．【解答】解：由题可知|x+﹣a|+a≤5，即|x+﹣a|≤5﹣a，所以a≤5，又因为|x+﹣a|≤5﹣a，所以a﹣5≤x+﹣a≤5﹣a，所以2a﹣5≤x+≤5，又因为1≤x≤4，4≤x+≤5，所以2a﹣5≤4，解得a≤，故答案为：（﹣∞，]．【点评】本题考查函数的最值，考查绝对值函数，考查转化与化归思想，注意解题方法的积累，属于中档题．3（2017新课标Ⅲ文数）[选修4—5：不等式选讲]（10分）f x=│x+1│–│x–2│.已知函数()f x≥1的解集；（1）求不等式()f x≥x2–x +m的解集非空，求实数m的取值范围.（2）若不等式()【考点】R4：绝对值三角不等式；R5：绝对值不等式的解法．【专题】32 ：分类讨论；33 ：函数思想；4C ：分类法；4R：转化法；51 ：函数的性质及应用；5T ：不等式．【分析】（1）由于f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|=，解不等式f（x）≥1可分﹣1≤x≤2与x＞2两类讨论即可解得不等式f（x）≥1的解集；（2）依题意可得m≤[f（x）﹣x2+x]max，设g（x）=f（x）﹣x2+x，分x≤1、﹣1＜x＜2、x≥2三类讨论，可求得g（x）max=，从而可得m的取值范围．【解答】解：（1）∵f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|=，f（x）≥1，∴当﹣1≤x≤2时，2x﹣1≥1，解得1≤x≤2；当x＞2时，3≥1恒成立，故x＞2；综上，不等式f（x）≥1的解集为{x|x≥1}．（2）原式等价于存在x∈R使得f（x）﹣x2+x≥m成立，即m≤[f（x）﹣x2+x]max，设g（x）=f（x）﹣x2+x．由（1）知，g（x）=，当x≤﹣1时，g（x）=﹣x2+x﹣3，其开口向下，对称轴方程为x=＞﹣1，∴g（x）≤g（﹣1）=﹣1﹣1﹣3=﹣5；当﹣1＜x＜2时，g（x）=﹣x2+3x﹣1，其开口向下，对称轴方程为x=∈（﹣1，2），∴g（x）≤g（）=﹣+﹣1=；当x≥2时，g（x）=﹣x2+x+3，其开口向下，对称轴方程为x=＜2，∴g（x）≤g（2）=﹣4+2+3=1；综上，g（x）max=，∴m 的取值范围为（﹣∞，]．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，去掉绝对值符号是解决问题的关键，突出考查分类讨论思想与等价转化思想、函数与方程思想的综合运用，属于难题．4（2017新课标Ⅲ理数）．[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知函数f （x ）=│x +1│–│x –2│． （1）求不等式f （x ）≥1的解集；（2）若不等式f （x ）≥x 2–x +m 的解集非空，求m 的取值范围．解：（1）当1x ≤-时()()()1231f x x x =-++-=-≤无解当12x -<<时()1(2)212111f x x x x x x =++-=--≥≥∴12x <<当2x ≥时()1(2)3312f x x x x =+--=>∴≥Q 综上所述()1f x ≥的解集为 [1,)+∞.（2）原式等价于存在x R ∈，使2()f x x x m -+≥ 成立，即 2max [()]f x x x m -+≥设2()()g x f x x x =-+由（1）知 2223,1()31,123,2x x x g x x x x x x x ⎧-+-≤-⎪=-+--<<⎨⎪-++≥⎩当1x ≤-时，2()3g x x x =-+-5（2017新课标Ⅱ文）[选修4−5：不等式选讲]（10分） 已知330,0,2a b a b >>+=.证明：（1）55()()4a b a b ++≥； （2）2a b +≤. 【解析】（1）()()()()()5565562333344222244++=+++=+-++=+-≥a b ab a ab a b b a ba b ab a b ab a b（2）因为()()()()()33223233323+3+3+2++244a +=+++=+≤=+b a a b ab b ab a b a b a b a b所以()3+8≤a b ，因此a+b≤2.6（2017新课标Ⅱ理）[选修4—5：不等式选讲]（10分）已知330,0,2a b a b >>+=．证明：（1）55()()4a b a b ++≥； （2）2a b +≤． 【解析】（1）()()()()()5565562333344222244++=+++=+-++=+-≥a b ab a ab a b b a ba b ab a b ab a b（2）因为()()()()()33223233323+3+3+2++244a +=+++=+≤=+b a a b ab b ab a b a b a b a b所以()3+8≤a b，因此a+b≤2.7（2017新课标Ⅰ文数）[选修4—5：不等式选讲]（10分）已知函数f （x ）=–x 2+ax +4，g (x )=│x +1│+│x –1│. （1）当a =1时，求不等式f （x ）≥g （x ）的解集；（2）若不等式f （x ）≥g （x ）的解集包含[–1，1]，求a 的取值范围.解：（1）当1a =时，不等式()()f x g x ≥等价于2|1||1|40x x x x -+++--≤.①当1x <-时，①式化为2340x x --≤，无解；当11x -≤≤时，①式化为220x x --≤，从而11x -≤≤；当1x >时，①式化为240x x +-≤，从而1x <≤.所以()()f x g x ≥的解集为{|1x x -<≤. （2）当[1,1]x ∈-时，()2g x =.所以()()f x g x ≥的解集包含[1,1]-，等价于当[1,1]x ∈-时()2f x ≥.又()f x 在[1,1]-的最小值必为(1)f -与(1)f 之一，所以(1)2f -≥且(1)2f ≥，得11a -≤≤.所以a 的取值范围为[1,1]-.8（2017新课标Ⅰ理数）设x 、y 、z 为正数，且235x y z==，则A ．2x <3y <5zB ．5z <2x <3yC ．3y <5z <2xD ．3y <2x <5z【考点】72：不等式比较大小．【专题】35 ：转化思想；51 ：函数的性质及应用；59 ：不等式的解法及应用．【分析】x、y、z为正数，令2x=3y=5z=k＞1．lgk＞0．可得x=，y=，z=．可得3y=，2x=，5z=．根据==，＞=．即可得出大小关系．另解：x、y、z为正数，令2x=3y=5z=k＞1．lgk＞0．可得x=，y=，z=．==＞1，可得2x＞3y，同理可得5z＞2x．【解答】解：x、y、z为正数，令2x=3y=5z=k＞1．lgk＞0．则x=，y=，z=．∴3y=，2x=，5z=．∵==，＞=．∴＞lg＞＞0．∴3y＜2x＜5z．另解：x、y、z为正数，令2x=3y=5z=k＞1．lgk＞0．则x=，y=，z=．∴==＞1，可得2x＞3y，==＞1．可得5z＞2x．综上可得：5z ＞2x ＞3y ．解法三：对k 取特殊值，也可以比较出大小关系． 故选：D ．【点评】本题考查了对数函数的单调性、换底公式、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9（2017新课标Ⅰ理数）．[选修4—5：不等式选讲]（10分）已知函数f （x ）=–x 2+ax +4，g (x )=│x +1│+│x –1│. （1）当a =1时，求不等式f （x ）≥g （x ）的解集；（2）若不等式f （x ）≥g （x ）的解集包含[–1，1]，求a 的取值范围.【解析】（1）当1a =时，不等式()()f x g x ≥等价于2|1||1|40x x x x -+++--≤.①10（2017天津文）若a，b∈R，0ab>，则4441a bab++的最小值为 .【考点】7F：基本不等式．【专题】34 ：方程思想；4R：转化法；5T ：不等式．【分析】【方法一】两次利用基本不等式，即可求出最小值，需要注意不等式等号成立的条件是什么．【方法二】将拆成+，利用柯西不等式求出最小值．【解答】解：【解法一】a，b∈R，ab＞0，∴≥==4ab+≥2=4，当且仅当，即，即a=，b=或a=﹣，b=﹣时取“=”；∴上式的最小值为4．【解法二】a，b∈R，ab＞0，∴=+++≥4=4，当且仅当，即，即a=，b=或a=﹣，b=﹣时取“=”；∴上式的最小值为4．故答案为：4．【点评】本题考查了基本不等式的应用问题，是中档题．11（2017天津理）若,a b ∈R ，0ab >，则4441a b ab++的最小值为___________. 【答案】4 【解析】442241414a b a b ab ab+++≥≥ ，当且仅当21a b ==时取等号12（2017山东文）若直线1(00)x y a b a b+=＞，＞ 过点（1,2）,则2a +b 的最小值为 . 【答案】8（7）（2017山东理）若0a b >>，且1ab =，则下列不等式成立的是（A ）()21log 2a b a a b b +<<+ （B ）()21log 2a b a b a b<+<+ （C ）()21log 2a b a a b b +<+< （D ）()21log 2a b a b a b +<+< 【答案】B【解析】221,01,1,log ()log 1,2a b a b a b ><<∴<+>= 12112log ()a b a a b a a b b b+>+>+⇒+>+ ，所以选B.13（2017江苏）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则的值是 ▲ ．【解析】总费用600900464()4240x x x x +⨯=+≥⨯=，当且仅当900x x=，即30x =时等号成立.14(2017年江苏卷)［选修4-5：不等式选讲］（本小题满分10分）已知为实数，且证明： 【解析】由柯西不等式可得22222()()()a b c d ac bd ++≥+， 即2()41664ac bd +≤⨯=，故8ac bd +≤.15（2017北京理）能够说明“设a ，b ，c 是任意实数．若a ＞b ＞c ，则a +b ＞c ”是假命题的一组整数a ，b ，c 的值依次为______________________________． x 4x x ,,,a b c d 22224,16,a b c d +=+=8.ac bd +≤【考点】FC：反证法．【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；4O：定义法；5L ：简易逻辑．【分析】设a，b，c是任意实数．若a＞b＞c，则a+b＞c”是假命题，则若a＞b ＞c，则a+b≤c”是真命题，举例即可，本题答案不唯一【解答】解：设a，b，c是任意实数．若a＞b＞c，则a+b＞c”是假命题，则若a＞b＞c，则a+b≤c”是真命题，可设a，b，c的值依次﹣1，﹣2，﹣3，（答案不唯一），故答案为：﹣1，﹣2，﹣3【点评】本题考查了命题的真假，举例说明即可，属于基础题．16.（2017•新课标Ⅲ文数）设x，y满足约束条件则z=x﹣y的取值范围是（）A．[﹣3，0]B．[﹣3，2]C．[0，2]D．[0，3]【考点】7C：简单线性规划．【专题】11 ：计算题；31 ：数形结合；35 ：转化思想；5T ：不等式．【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解目标函数的范围即可．【解答】解：x，y满足约束条件的可行域如图：目标函数z=x﹣y，经过可行域的A，B时，目标函数取得最值，由解得A（0，3），由解得B（2，0），目标函数的最大值为：2，最小值为：﹣3，目标函数的取值范围：[﹣3，2]．故选：B．【点评】本题考查线性规划的简单应用，目标函数的最优解以及可行域的作法是解题的关键．。

第27题 利用导数证明不等式I ．题源探究·黄金母题【例1】利用函数的单调性，证明下列不等式：（1）sin x x <，()0,x ∈π； （2）20x x ->，(0,1)x ∈； （3）1x e x >+，0x ≠；（4）ln xx x e <<，0x >．【解析】（1）证明：设()sin f x x x =-，()0,x ∈π．因为()cos 10f x x '=-<，()0,x ∈π，所以()sin f x x x =-在()0,π内单调递减，因此()sin (0)0f x x x f =-<=，()0,x ∈π，即sin x x <，()0,x ∈π．（2）证明：设2()f x x x =-，(0,1)x ∈．因为()12f x x '=-，(0,1)x ∈所以当1(0,)2x ∈时，()120f x x '=->，()f x 单调递增，2()(0)0f x x x f =->=；当1(,1)2x ∈时，()120f x x '=-<，()f x 单调递减，2()(1)0f x x x f =->=；又11()024f =>．因此，20x x ->，(0,1)x ∈．（3）证明：设()1x f x e x =--，0x ≠．因为()1x f x e '=-，0x ≠，所以，当0x >时，()10x f x e '=->，()f x 单调递增，()1(0)0x f x e x f =-->=； 当0x <时，()10x f x e '=-<，()f x 单调递减，精彩解读【试题来源】人教版A 版选修2-2P 31习题1．3B 组第1题 【母题评析】不等式证明是高中数中常见的一类典型问题，本题考查了如何通过构造函数结合函数的单调性去证明不等式．【思路方法】不等式证明常用的基本方法有：综合法、比较法（作差法、作商法）、分析法，本题之后又添一法——构造函数法，要注意所构造函数的定义域．()1(0)0x f x e x f =-->=；综上，1x e x ->，0x ≠．（4）证明：设()ln f x x x =-，0x >． 因为1()1f x x '=-，0x ≠，所以当01x <<时，1()10f x x'=->，()f x 单调递增，()ln (1)10f x x x f =-<=-<；当1x >时，1()10f x x'=-<，()f x 单调递减，()ln (1)10f x x x f =-<=-<；当1x =时，显然ln11<． 因此，ln x x <． 由（3）可知，1x e x x >+>，0x >． 综上，ln x x x e <<，0x >．II ．考场精彩·真题回放【例1】【2017全国III 】已知函数()()2ln 21f x x ax a x =+++．（I ）讨论()f x 的单调性； （II ）当0a <时，证明3()24f x a≤--． 【答案】（I ）当0≥a 时，)(x f 在),0(+∞单调递增；当0<a 时，则)(x f 在)21,0(a -单调递增，在),21(+∞-a 单调递减；（II ）详见解析 【解析】试题分析：（I ）先求函数导数(21)(1)'()(0)ax x f x x x++=>，再根据导函数符号变化情况讨论单调性：当0≥a 时，0)('≥x f ，则)(x f 在),0(+∞单调递增，当0<a 时，则)(x f 在)21,0(a -单调递增，在),21(+∞-a单调递减．（II ）证明3()24f x a ≤--，即证max 3()24f x a ≤--，而)21()(max af x f -=，所以目标函数为121)21ln()243()21(++-=+---a a a a f ，即t t y -+=1ln【命题意图】本类题通常主要考查利用导数求单调性，利用导数证不等式．【考试方向】这类试题在考查题型上，主要是解答题，难度中等；若为压轴题，则难度大． 作为压轴题，基本上含有参数．含有参数的函数导数试题，主要有两个方面：一是根据给出的某些条件求出这些参数值，基本思想方法为方程的思想；二是在确定参数的范围（或取值）使得函数具有某些性质，基本解题思想是函数与方程的思想、分类讨论的思想．含有参数的函数导数试题是高考考查函数方程思想、分类讨论思想的主要题（021>-=at ），利用导数易得0)1(max ==y y ，即得证． 试题解析：（I ）)0()1)(12(1)12(2)('2>++=+++=x xx ax x x a ax x f ，当0≥a 时，0)('≥x f ，则)(x f 在),0(+∞单调递增，当0<a 时，则)(x f 在)21,0(a -单调递增，在),21(+∞-a单调递减． （II ）由（I ）知，当0<a 时，)21()(max af x f -=， 121)21ln()243()21(++-=+---aa a a f ，令t t y -+=1ln （021>-=a t ），则011'=-=ty ，解得1=t ，∴y 在)1,0(单调递增，在),1(+∞单调递减，∴0)1(max ==y y ，∴0≤y ，即)243()(max +-≤a x f ，∴243)(--≤ax f ．【例2】【2017全国II 理】已知函数()2ln f x ax ax x x =--，且()0f x ≥．（I ）求a ；（II ）证明：()f x 存在唯一的极大值点0x ，且()2202e f x --<<．【答案】（I ）1a =；（II ）证明略． 【解析】试题分析：（I ）利用题意结合导函数与原函数的关系可求得1a =，注意验证结果的正确性；（II ）结合（I ）的结论构造函数()22ln h x x x =--，结合()h x 的单调性和()f x 的解析式即可证得题中的不等式()2202ef x --<<．试题解析：（I ）()f x 的定义域为()0，+∞．设()ln g x ax a x =--，则()()f x xg x =，()0f x ≥等价于()0g x ≥．因为()()10,0g g x =≥，因()'10g =，而()()1','11g x a g a x =-=-，得1a =．若1a =，则()1'1g x x=-．当01x <<时，()'0g x <，()g x 单调递减；当1x >时，()'0g x >，()g x 单调递增．所以1x =是()g x 的极小值点，故()()10g x g ≥=．型之一．【难点中心】利用导数证明不等式常见类型及解题策略： （1）构造差函数()()()h x f x g x =-． 根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式；（2）根据条件，寻找目标函数．一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数．综上，1a =．（II ）由（I ）知 ()2ln f x x x x x =--，()'22ln f x x x =--．设()22ln h x x x =--，则()1'2h x x=-．当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ 时，()'0h x <；当1,2x ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时，()'0h x >， 所以()h x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ 单调递减，在1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭单调递增． 又()20h e ->，102h ⎛⎫< ⎪⎝⎭，()10h =，所以()h x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭有唯一零点0x ，在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭有唯一零点1，且当()00,x x ∈ 时，()0h x >；当()0,1x x ∈ 时，()0h x <，当()1,x ∈+∞ 时，()0h x >．因为()()'f x h x =，所以0x x =是()f x 的唯一极大值点． 由()0'0f x =得()00ln 21x x =-，故()()0001f x x x =-． 由()00,1x ∈ 得 ()014f x <． 因为0x x =是()f x 在（0，1）的最大值点，由()10,1e -∈，()1'0f e -≠ 得()()120f x f e e -->=，所以()2202e f x --<<．【例3】【2017天津理20】设a ∈Z ，已知定义在R 上的函数432()2336f x x x x x a =+--+在区间(1,2)内有一个零点0x ，()g x 为()f x 的导函数．（Ⅰ）求()g x 的单调区间； （Ⅱ）设00[1,)(,2]m x x ∈，函数0()()()()h x g x m x f m =--，求证：0()()0h m h x <；（Ⅲ）求证：存在大于0的常数A ，使得对于任意的正整数,p q ，且00[1,)(,2],p x x q ∈ 满足041||p x q Aq-≥． 【答案】（I ）增区间是(,1)-∞-，1(,)4+∞，减区间是1(1,)4-；（II ）（III ）证明见解析．【解析】试题分析：由于()g x 为()f x '，所以判断()g x 的单调性，需要对()f x 二次求导，根据()g x '的导数的符号判断函数的单调性，给出单调区间；由0()()()()h x g x m x f m =--，得()()()00()h m g x m x f m =--，令函数10()()()()H x g x x x f x =--，200()()()()H x g x x x f x =--分别求导证明．有关零点问题，利用函数的单调性了解函数的图像情况，对极值作出相应的要求可控制零点的个数．试题解析：（Ⅰ）由432()2336f x x x x x a =+--+，可得32()()8966g x f x x x x '==+--，进而可得2()24186g x x x '=+-．令()0g x '=，解得1x =-，或14x =． 当x 变化时，(),()g x g x '的变化情况如下表：所以()g x 的单调递增区间是(,1)-∞-和(,)4+∞，单调递减区间是1(1,)4-．（Ⅱ）证明：由0()()()()h x g x m x f m =--，得0()()()()h m g m m x f m =--，000()()()()h x g x m x f m =--．令函数10()()()()H x g x x x f x =--，则10()()()H x g x x x ''=-．由（Ⅰ）知，当[1,2]x ∈时，()0g x '>，故当0[1,)x x ∈时，1()0H x '<，1()H x 单调递减；当0(,2]x x ∈时，1()0H x '>，1()H x 单调递增．因此，当00[1,)(,2]x x x ∈时，1100()()()0H x H x f x >=-=，可得1()0,()0H m h m >>即．令函数200()()()()H x g x x x f x =--，则20()()()H x g x g x '=-．由（Ⅰ）知，()g x 在[1,2]上单调递增，故当0[1,)x x ∈时，2()0H x '>，2()H x 单调递增；当0(,2]x x ∈时，2()0H x '<，2()H x 单调递减．因此，当00[1,)(,2]x x x ∈时，220()()0H x H x <=，可得20()0,()0H m h x <<即．所以，0()()0h m h x <．（III ）证明：对于任意的正整数p ，q ，且00[1)(,],2px x q∈， 令pm q=，函数0()()()()h g m x x x m f =--． 由（II ）知，当0[1),m x ∈时，()h x 在区间0(,)m x 内有零点； 当0(,2]m x ∈时，()h x 在区间0(),x m 内有零点．所以()h x 在(1,2)内至少有一个零点，不妨设为1x ，则110()()()()0p ph g x f q x qx =--=．由（I ）知()g x 在[1,2]上单调递增，故10()()12()g x g g <<<，于是432234041()|()||2336|||||()()(2)2p p f f p p p q p q pq aq q q x q g x g g q+--+-=≥=． 因为当[12],x ∈时，()0g x >，故()f x 在[1,2]上单调递增，所以()f x 在区间[1,2]上除0x 外没有其他的零点，而0p x q≠，故()0pf q ≠．又因为p ，q ，a 均为整数，所以432234|2336|p p q p q pq aq +--+是正整数，从而432234|2336|1p p q p q pq aq +--+≥．所以041|2|()p x q g q -≥．所以，只要取()2A g =，就有041||p x q Aq -≥． III ．理论基础·解题原理考点 利用导数解决不等式恒成立问题、证明不等式导数研究不等式，涉及不等式的证明、不等式的恒成立等问题，主要考查通过转化使用导数研究函数性质并把函数性质用来分析不等式和方程等问题的能力，该点和第二个点一般是解答题中的两个设问，考查的核心是导数研究函数性质的方法和函数性质的应用IV ．题型攻略·深度挖掘【考试方向】含有参数的函数导数试题，主要有两个方面：一是根据给出的某些条件求出这些参数值，基本思想方法为方程的思想；二是在确定参数的范围（或取值）使得函数具有某些性质，基本解题思想是函数与方程的思想、分类讨论的思想．含有参数的函数导数试题是高考考查函数方程思想、分类讨论思想的主要题型之一．这类试题在考查题型上，通常以解答题的形式出现，难度中等． 【技能方法】利用导数证明不等式常见类型及解题策略： （1）构造差函数()()()h x f x g x =-．根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式；（2）根据条件，寻找目标函数．一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数． 【易错指导】等于含参数的问题，最后结果区间端点到底取不取（即能否取等号），是个难点，易出错．注意要验证参数取等号时，函数是否满足题设条件，若满足把取等号的情况加上，否则不加．V ．举一反三·触类旁通考向1 利用函数的单调性证明不等式【例1】【2016高考新课标Ⅲ】设函数()ln 1f x x x =-+． （I ）讨论()f x 的单调性； （II ）证明当(1,)x ∈+∞时，11ln x x x-<<； （III ）设1c >，证明当(0,1)x ∈时，1(1)xc x c +->．（Ⅲ）由题设1c >，设()1(1)x g x c x c =+--，则'()1ln x g x c c c =--．令'()0g x =，解得01lnln ln c c x c-=． 当0x x <时，'()0g x >，()g x 单调递增；当0x x >时，'()0g x <，()g x 单调递减． 由（Ⅱ）知，11ln c c c-<<，故001x <<．又(0)(1)0g g ==，故当01x <<时，()0g x >， 所以当(0,1)x ∈时，1(1)x c x c +->．考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、不等式的证明与解法．【思路点拨】求解导数中的不等式证明问题可考虑：（1）首先通过利用研究函数的单调性，再利用单调性进行证明；（2）根据不等式结构构造新函数，通过求导研究新函数的单调性或最值来证明【例2】【2018河南豫北豫南名校高三上学期精英联考】已知函数()ln f x x ax b =-+（a ，b R ∈）有两个不同的零点1x ，2x ． （I ）求()f x 的最值； （II ）证明：1221x x a<． 【答案】（I ）见解析；（II ）见解析【解析】试题分析：（I ）求出导函数，由函数()f x 有两个不同的零点，则()f x 在()0,+∞内必不单调，得0a >，进而得到函数的单调性，即可求出函数的最值．（II ）由题意转化为证明()212211221221ln 2x x x x x x x x x x -<=-+，不妨设12x x <，令()120,1xt x =∈，只需证明21ln 2t t t <-+，设()12ln h t t t t=-+，根据函数的单调性，即可作出证明．试题解析：（I ）()1'f x a x=-，()f x 有两个不同的零点，∴()f x 在()0,+∞内必不单调，故0a >，此时()'0f x >，解得1x a <，∴()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单增，1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单减， ∴()max 1ln 1f x f a b a ⎛⎫==--+⎪⎝⎭，无最小值． （II ）由题知11220,{ 0,lnx ax b lnx ax b -+=-+=两式相减得()1122ln 0xa x x x --=，即1212lnx x a x x =-， 故要证1221x x a <，即证()21212212ln x x x x x x -<，即证()212211221221ln 2x x x x x x x x x x -<=-+，不妨设12x x <，令()120,1x t x =∈，则只需证21ln 2t t t <-+，设()21l n 2g t t t t =--+，则()212l n 11'2ln 1t t t g t t t t t-+=-+=，设()12ln h t t t t =-+，则()()221'0t h t t -=-<，∴()h t 在()0,1上单减，∴()()10h t h >=，∴()g t 在()0,1上单增，∴()()10g t g <=，即21ln 2t t t<-+在()0,1t ∈时恒成立，原不等式得证．点睛：本题主要考查导数在函数中的应用，不等式的证明，考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力．导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题；(4)考查数形结合思想的应用． 【跟踪练习】1．【2018北京朝阳区高三一模】已知函数()()ln 1x f x ax a R x-=-∈． （Ⅰ）若0a =，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； （Ⅱ）若1a <-，求函数()f x 的单调区间； （Ⅲ）若12a <<，求证：()1f x <-．【答案】（Ⅰ）230x y --=；（Ⅱ） ()0,+∞；（Ⅲ）证明见解析．求得x 的范围，可得函数()f x 增区间，()'0f x <求得x 的范围，可得函数()f x 的减区间；（Ⅲ） ()0,1x f x ><-，等价于ln 11x ax x--<-，等价于21ln 0ax x x -+->，设()21ln h x ax x x =-+-，只须证()0h x >成立，利用导数研究函数的单调性，利用单调性求出()h x 的最小值，证明最小值大于零即可得结论．试题解析：（Ⅰ）若0a =，则()11f =-，()()22ln ,12xf x f x''-==， 所以()f x 在点()1,1-处的切线方程为230x y --=．（Ⅱ）()()222ln 0,,.ax x x f x x --∞'∈+=令()22ln g x ax x =--，则()221ax g x x-='-．令()0g x '=，得x =(依题意102a ->)．由()0g x '>，得x >()0g x '<，得0x <<所以()g x 在区间⎛⎝上单调递减，在区间⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增，所以，()min 52g x g ==-因为1a <-，所以110,022a <-<<，所以()0g x >，即()0f x '>．所以函数()f x 的单调递增区间为()0,+∞．（Ⅲ）由()0,1x f x ><-，等价于ln 11x ax x--<-，等价于21ln 0ax x x -+->． 设()21ln h x ax x x =-+-，只须证()0h x >成立．因为()212121,12,a x x h x a xa x x--='--=<<由()0h x '=，得2210ax x --=有异号两根．令其正根为0x ，则200210ax x --=．在()00,x 上()0h x '<，在()0,x +∞上()0h x '>，则()h x 的最小值为()200001ln h x ax x x =-+-又()131220,230,222a h a h a ⎛⎫⎛⎫=->=-=-<⎪ ⎪⎝⎭'⎝⎭'所以01 1.2x <<则0030,ln 0.2x x ->->因此03ln 0,2x x -->即()00.h x >所以()0h x >．所以()1f x <-． 【方法点晴】本题主要考查利用导数求曲线切线方程以及利用导数研究函数的单调性、证明不等式，属于难题．求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出()y f x =在0x x =处的导数，即()y f x =在点P ()()00,x f x 出的切线斜率（当曲线()y f x =在P 处的切线与y 轴平行时，在 处导数不存在，切线方程为0x x =）；（2）由点斜式求得切线方程()()00•y y f x x x '-=-．2．【2018河南郑州高三毕业年级第二次质量预测】已知函数()2xf x e x =-．（I ）求曲线()f x 在1x =处的切线方程；（II ）求证：当0x >时，()21ln 1x e e x x x+--≥+．【答案】（Ⅰ）()2 1.y e x =-+；（II ）见解析．试题解析：（Ⅰ） ()'2xf x e x =-， 由题设得()'12f e =-，()11f e =-，()f x 在1x =处的切线方程为()2 1.y e x =-+（II ） ()'2xf x e x =-，()''2xf x e =-，∴()'f x 在()0,ln2上单调递减，在()ln2,+∞上单调递增，所以()()''ln222ln20f x f ≥=->，所以()f x 在[]0,1上单调递增，所以()()[]m a x 11,0,1fx f e x ==-∈．()f x 过点()1,1e -，且()y f x =在1x =处的切线方程为()21y e x =-+，故可猜测：当0,1x x >≠时，()f x 的图象恒在切线()21y e x =-+的上方．下证：当0x >时，()()21,f x e x ≥-+设()()()21,0g x f x e x x =--->，则()()()'22,''2xxg x e x e g x e =---=-，()'g x 在()0,ln2上单调递减，在()ln 2,+∞上单调递增，又()()'030,'10,0ln 21g e g =->=<<，∴()'ln20g <，所以，存在()00,12x n ∈，使得()0'0g x =，所以，当()()00,1,x x ∈⋃+∞时，()'0g x >；当()0,1x x ∈时，()'0g x <，故()g x 在()00,x 上单调递增，在()0,1x 上单调递减，在()1,+∞上单调递增，又()()010g g ==，∴()()2210xg x e x e x =----≥，当且仅当1x =时取等号，故()21,0x e e x x x x+--≥>．又ln 1x x ≥+，即()21ln 1x e e x x x+--≥+，当1x =时，等号成立．【点睛】解本题的关键是第（I ）结论对第（II ）问的证明铺平了路，只需证明()21x e e x x+--≥x ln 1x ≥+．所以利用导数证明不等式时，要进行适当的变形，特别是变形成第（I ）问相似或相同形式时，将有利于快速证明． 3．【2018山东烟台高三下学期高考诊断性测试】已知()()21ln 2f x x a x a R =-∈有两个零点 （I ）求a 的取值范围（II ）设x 1、x 2是f (x )的两个零点，求证证：x 1+x 2>【答案】（I ）(),e +∞；（II ）见解析试题解析：（I ）()()20a x af x x x x x-=-=>'，当0a ≤时，()0f x '>，此时()f x 在()0,+∞单调递增，()f x 至多有一个零点．当0a >时，令()0f x '=，解得x =当(x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减，当)x ∈+∞，()0f x '>，()f x 单调递增，故当x =时函数取最小值()1ln .2afa =-当0a e <≤时，1ln 0a -≥，即0f≥，所以()f x 至多有一个零点．当a e >时，1ln 0a -≤，即()1ln 0.2a fa =-<因为()1102f =>，所以()f x 在(x ∈有一个零点；因为ln 1a a ≤-，所以ln221a a ≤-，()()2222ln22210f a a a a a a a a =-≥--=>，由于2a >()f x 在)x ∈+∞有一个零点．综上，a 的取值范围是(),e +∞．（II ）不妨设12x x <，由（I ）知，(1x ∈，)2x ∈+∞．构造函数()))(0g x fx fx x =-≤<，则()))ln ln.g x a x a x =-+()g x =='因为0x <<()0g x '<，()g x 在(单调递减．所以当(x ∈时，恒有()()00g x g <=，即)).f x fx <因为(1x ∈(1x ∈，于是()()))()21111.f x f x f x f x f x ⎤⎤==>=⎦⎦又))21,x x ∈+∞∈+∞，且()f x 在)+∞单调递增，所以21x x >，即12x x +>点睛：本题主要考查导数在函数中的应用，不等式的证明和不等式的恒成立问题，考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、圆等知识联系；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题；(4)考查数形结合思想的应用．考向2 构造函数证明不等式【例3】【2018江西五校联考】已知函数()y f x =对任意的(,)22x ππ∈-满足()cos ()sin 0f x x f x x '+> (其中()f x '是函数()f x 的导函数)，则下列不等式成立的是A ()()34f ππ-<-B ()()34f ππ< C ．(0)2()3f f π> D ．(0)()4f π>【答案】A【例4】【2018江苏南通高三上学期第一次调研】已知函数()32g x x ax bx =++ (),a b R ∈有极值，且函数()()x f x x a e =+的极值点是()g x 的极值点，其中e 是自然对数的底数．（极值点是指函数取得极值时对应的自变量的值）（I ）求b 关于a 的函数关系式；（II ）当0a >时，若函数()()()F x f x g x =-的最小值为()M a ，证明：()73M a <-． 【答案】（I ）243b a a =---，32a ⎛⎫≠-⎪⎝⎭；（II ）见解析． 【解析】试题分析：（I ）先分别求两函数极值点，再根据条件得b 关于a 的函数关系式；最后求自变量取值范围；（II ）先研究()F x 导函数零点情况，仅有一个零点，再根据导函数符号变化规律确定最小值，最后再利用导数求最小值函数单调性，根据单调性证明不等式试题解析：（I ）因为()()'xxf x e x a e =++ ()1xx a e =++，令()'0f x =，解得1x a =--．列表如下．所以1x a =--时，()f x 取得极小值． 因为()2'32g x x ax b =++，由题意可知()'10g a --=，且24120a b ∆=-> 所以()()231210a a a b --+--+=， 化简得243b a a =---，由2412a b ∆=- ()()2412130a a a =+++>，得32a ≠-． 所以243b a a =---，32a ⎛⎫≠-⎪⎝⎭． （II ）因为()()()F x f x g x =- ()()32x x a e x ax bx =+-++，所以()()()'''F x f x g x =- ()()()213213x x a e x ax a a ⎡⎤=++-+-++⎣⎦ ()()()1133xx a e x a x a =++-++--()()133xx a e x a =++-++记()33xh x e x a =-++，则()'3xh x e =-，令()'0h x =，解得ln3x =．列表如下．所以ln3x =时，()h x 取得极小值，也是最小值，此时，()ln3ln33ln33h e a =-++ 63ln3a =-+ ()32ln3a =-+ 23ln 03e a a ⎛⎫=+>> ⎪⎝⎭．令()'0F x =，解得1x a =--． 列表如下．所以1x a =--时，()F x 取得极小值，也是最小值．所以()()1M a F a =--=()()()()()3211111a a e a a a b a -------+--+--()()2112a e a a --=--++．令1t a =--，则1t <-，记()()21t m t e t t =--- 32t e t t =-+-，1t <-，则()2'32tm t e t t =-+-，1t <-．因为10t e e --<-<，2325t t ->，所以()'0m t >，所以()m t 单调递增．所以()172233tm t e -<--<--=-，所以()73M a <-． 点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数()()()h x f x g x =-．根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式．（2）根据条件，寻找目标函数．一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数．【例5】【2018云南昆明高三教学质量检查第二次统考】已知函数()()234cos 1xf x ex x x x α=+++，()()1x g x e m x =-+．（I ）当1m ≥时，求函数()g x 的极值； （II ）若72a ≥-，证明：当()0,1x ∈时，()1f x x >+． 【答案】（I ）见解析；（II ）见解析．（II ）不等式等价于3214cos 1xx x ax x x e++++>，由（I ）得：1xe x ≥+， 所以()221xex ≥+，所以2111x x e x +<+，()0,1x ∈， ()3214cos 1x x x ax x x e ++++-> ()314cos 11x ax x x x +++-+34cos 1x x ax x x x =++++ 214cos 1x x x a x ⎛⎫=+++ ⎪+⎝⎭ 令()214cos 1h x x x a x =++++，则()()21'24sin 1h x x x x =--+， 令()24sin I x x x =-，则()()'24cos 212cos I x x x =-=-， 当()0,1x ∈时，1cos cos1cos32x π>>=，所以12cos 0x -<，所以()'0I x <，所以()I x 在()0,1上为减函数，所以()()00I x I <=，则()'0h x <，所以()h x 在()0,1上为减函数， 因此，()()314cos12h x h a >=++，因为4cos14cos 23π>=，而72a ≥-， 所以34cos102a ++>，所以()0h x >，而()0,1x ∈，所以()1f x x >+． 【点睛】利用导数证明不等式恒成立问题，不能强制多次求导，要考虑对不等式进行变形，特别题目有第（I ）问是要考虑利用第（I ）的结果，对不等式进行变形，特别注意常见函数不等式的切线放缩的几个常见式子．如本题就是利用了1xe x ≥+进行放缩变形．【跟踪练习】1．【2018山东济南高三一模】已知函数()()2ln 21f x a x x a x =-+- ()a R ∈有两个不同的零点．（I ）求a 的取值范围；（II ）设1x ，2x 是()f x 的两个零点，证明：122x x a +>． 【答案】（I ） ()1,+∞ （II ）见解析试题解析：（I ）【解法一】函数()f x 的定义域为：()0,+∞．()'221af x x a x =-+- ()()21x a x x+-=，①当0a ≤时，易得()'0f x <，则()f x 在()0,+∞上单调递增， 则()f x 至多只有一个零点，不符合题意，舍去． ②当0a >时，令()'0f x =得：x a =，则∴()()max f x f x =极大 ()()ln 1f a a a a ==+-． 设()ln 1g x x x =+-，∵()1'10g x x=+>，则()g x 在()0,+∞上单调递增． 又∵()10g =，∴1x <时，()0g x <；1x >时，()0g x >．因此：（i ）当01a <≤时，()()max 0f x a g a =⋅≤，则()f x 无零点，不符合题意，舍去． （ii ）当1a >时，()()max 0f x a g a =⋅>， ∵121f a e e ⎛⎫⎛⎫=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 2110e e --<，∴()f x 在区间1,a e ⎛⎫⎪⎝⎭上有一个零点，∵()()31ln 31f a a a -=- ()()()2312131a a a --+-- ()()ln 3131a a a ⎡⎤=---⎣⎦， 设()ln h x x x =-，(1)x >，∵()1'10h x x=-<，∴()h x 在()1,+∞上单调递减，则()()312ln220h a h -<=-<，∴()()31310f a a h a -=⋅-<，∴()f x 在区间(),31a a -上有一个零点，那么，()f x 恰有两个零点．综上所述，当()f x 有两个不同零点时，a 的取值范围是()1,+∞． （I ）【解法二】函数的定义域为：()0,+∞．()'221af x x a x =-+- ()()21x a x x+-=， ①当0a ≤时，易得()'0f x <，则()f x 在()0,+∞上单调递增，则()f x 至多只有一个零点，不符合题意，舍去． ②当0a >时，令()'0f x =得：x a =，则∴()()maxf x f x =极大 ()()ln 1f a a a a ==+-． ∴要使函数()f x 有两个零点，则必有()()ln 10f a a a a =+->，即ln 10a a +->， 设()ln 1g a a a =+-，∵()1'10g a a=+>，则()g a 在()0,+∞上单调递增， 又∵()10g =，∴1a >； 当1a >时：∵121f a e e ⎛⎫⎛⎫=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 2110e e --<，∴()f x 在区间1,a e ⎛⎫⎪⎝⎭上有一个零点；设()ln h x x x =-，∵()11'1x h x x x-=-=，∴()h x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减， ∴()()110h x h ≤=-<，∴ln x x <，∴()()2ln 21f x a x x a x =-+- ()22213ax x a x ax x x ≤-+-=-- ()233ax x x a x ≤-=-，则()40f a <，∴()f x 在区间(),4a a 上有一个零点，那么，此时()f x 恰有两个零点． 综上所述，当()f x 有两个不同零点时，a 的取值范围是()1,+∞．（II ）【证法一】由（I ）可知，∵()f x 有两个不同零点，∴1a >，且当()0,x a ∈时，()f x 是增函数；当(),x a ∈+∞时，()f x 是减函数；不妨设：12x x <，则：120x a x <<<； 设()()()2F x f x f a x =--，()0,2x a ∈，则：()()()'''2F x f x f a x =-- ()2212a ax a x a x=-+-+- ()()2221a x a --+- ()()22222x a a ax a x x a x -=+-=--．当()0,x a ∈时，()'0F x >，∴()F x 单调递增，又∵()0F a =，∴()0F x <，∴()()2f x f a x <-， ∵()10,x a ∈，∴()()112f x f a x <-，∵()()12f x f x =，∴()()212f x f a x <-，∵()2,x a ∈+∞，()12,a x a -∈+∞，()f x 在(),a +∞上单调递减，∴212x a x >-，∴122x x a +>． （II ）【证法二】由（I ）可知，∵()f x 有两个不同零点，∴1a >，且当()0,x a ∈时，()f x 是增函数；当(),x a ∈+∞时，()f x 是减函数；不妨设：12x x <，则：120x a x <<<； 设()()()F x f a x f a x =+--，()0,x a ∈， 则()()()'''F x f a x f a x =++- ()()221a aa x a a x a x=-++-++- ()()221a x a --+- ()()222a a x a x a x a x a x =+-=+-+-． 当()0,x a ∈时，()'0F x >，∴()F x 单调递增，又∵()00F =，∴()0F x >，∴()()f a x f a x +>-，∵()10,a x a -∈，∴()()12f x f x = ()()()()11f a a x f a a x =--<+- ()12f a x =-，∵()2,x a ∈+∞，()12,a x a -∈+∞，()f x 在(),a +∞上单调递减，∴212x a x >-，∴122x x a +>．2．【2018山西平遥中学高三3月高考适应性调研考试】已知函数()()ln f x x ax x a R =+∈ （I ）讨论函数()f x 的单调性；（II ）若函数()ln f x x ax x =+存在极大值，且极大值点为1，证明：()2xf x e x -≤+．【答案】（I ）见解析（II ）见解析试题解析：（I ）由题意0x >，()'1ln f x a a x =++． ①当0a =时，()f x x =，函数()f x 在()0,+∞上单调递增；②当0a >时，函数()'1l n f x a a x =++单调递增，()'1ln f x a a x =++ 1100ax e--=⇒=>，故当110,a x e --⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()'0f x <，当11,a x e --⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()'0f x >，所以函数()f x 在110,a x e --⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递减，函数()f x 在11,a x e --⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭上单调递增；③当0a <，函数()'1ln f x a a x =++单调递减，()'1ln f x a a x =++ 1100ax e--=⇒=>，故当110,a x e --⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()'0f x >，当11,a x e --⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()'0f x <，所以函数()f x 在110,a x e --⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递增，函数()f x 在11,a x e --⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭上单调递减．（II）由()10f '=得1a =-，令()2ln x h x e x x x x-=+-+，则()()()()()000112ln ,20,1,0x x h x e x x h x e x h x h x h x x e --⎛⎫=-++=++>∴∃∈=∴≥ ⎭'⎪⎝''' 当00ln 0x x +<时，000000ln 0x x x x x e e x --<-⇒<⇒-+< 所以0000ln 0x e x x x --+++<与0002ln 0x e x x --++=矛盾； 当00ln 0x x +>时，000000ln 0x x x x x e e x -->-⇒>⇒-+> 所以0000ln 0x e x x x --+++>与0002ln 0x e x x --++=矛盾； 当00ln 0x x +=时，000000ln 0x x x x x e e x --=-⇒=⇒-+= 得0002ln 0x e x x --++=，故00ln 0x x +=成立，得()()()00001ln 0h x x x x =++=，所以()0h x ≥，即()2xf x e x -≤+．点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略（1）构造差函数()()()h x f x g x =-．根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式；（2）根据条件，寻找目标函数．一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数．3．【2018河北衡水中学高三第十次模拟考试】已知函数()()ln 11x f x ax +=+．（I ）当1a =，求函数()y f x =的图象在0x =处的切线方程；（II ）若函数()f x 在()0,1上单调递增，求实数a 的取值范围；（III ）已知x ，y ，z 均为正实数，且1x y z ++=，求证()()()()31l n 131l n 111x x y y x y -+-++--()()31ln 101z z z -++≤-．【答案】（I ） y x = （II ） 11,2ln21⎡⎤-⎢⎥-⎣⎦(3)见解析试题解析：（I ）当1a =时，()()ln 11x f x x +=+则()00f =，()()()21ln 1'1x f x x -+=+则()'01f =，∴函数()y f x =的图象在0x =时的切线方程为y x =．（II ）∵函数()f x 在()0,1上单调递增，∴10ax +=在()0,1上无解，当0a ≥时，10ax +=在()0,1上无解满足，当0a <时，只需1010a a +≥⇒-≤<，∴1a ≥-①()()()21ln 11'1ax a x x f x ax +-++=+， ∵函数()f x 在()0,1上单调递增，∴()'0f x ≥在()0,1上恒成立，即()()1ln 11a x x x ⎡⎤++-≤⎣⎦在()0,1上恒成立．设()()()11x x ln x ϕ=++ ()()()'ln 11x x x x ϕ-=+++，()11ln 11x x ⋅-=++， ∵()0,1x ∈，∴()'0x ϕ>，则()x ϕ在()0,1上单调递增，∴()x ϕ在()0,1上的值域为()0,2ln21-． ∴()()11ln 1a x x x≤++-在()0,1上恒成立，则12ln21a ≤-②综合①②得实数a 的取值范围为11,2ln21⎡⎤-⎢⎥-⎣⎦． （III ）由（II ）知，当1a =-时，()()ln 11x f x x+=-在()0,1上单调递增，于是当103x <≤时，()()ln 11x f x x+=- 134ln 323f ⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，当113x ≤<时，()()ln 11x f x x +=- 134ln 323f ⎛⎫≥= ⎪⎝⎭， ∴()()31x f x - ()3431ln 23x ≥-⋅，即()()31ln 11x x x -+- ()3331ln 24x ≤-⋅，同理有()()31ln 11y y y -+- ()3331ln 24y ≤-⋅，()()31ln 11z z z -+- ()3331ln 24z ≤-⋅， 三式相加得()()31ln 11x x x -+- ()()31ln 11y y y -++- ()()31ln 101z z z -++≤-．考向3 不等式恒成立问题【例6】【2018皖江名校高三12月份大联考】设函数()f x 在R 上存在导函数()f x '，对任意的实数x 都有()()24f x x f x =--，当(),0x ∈-∞时，()142f x x +'<．若()()3132f m f m m +≤-++，则实数m 的取值范围是( ) A ．1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭ B ．3,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C ．[)1,-+∞D ．[)2,-+∞ 【答案】A【解析】（构造函数法）令()()22F x f x x =-，则()()1402F x f x x '-<-'=<，函数()F x 在(),0-∞上为减函数，因为()()()()240F x F x f x f x x -+=-+-=，即()()F x F x -=-，故()F x 为奇函数，于是()F x 在(),-∞+∞上为减函数，而不等式()()3132f m f m m +≤-++可化为()()1F m F m +≤-，则1m m +≥-，即12m ≥-．选A ． 【例7】【2018陕西省高三第一次模拟】已知函数()ln f x x =，()1g x x =-． （I ）求函数()y f x =的图像在1x =处的切线方程； （II ）证明：()()f x g x ≤；（III ）若不等式()()f x ag x ≤对任意的()1,x ∈+∞均成立，求实数a 的取值范围．【答案】(1) 1y x =-；（II ）见解析；（III ）1a ≥．试题解析：（I ）∵()1'f x x=，∴()'11f =． 又由()10f =，得所求切线l ：()()()1'11y f f x -=-，即所求切线为1y x =-． （II ）设()()()ln 1h x f x g x x x =-=-+，则()1'1h x =-，令()'0h x =，得1x =，得下表：∴()()()max 10h x h x h ≤==，即()()f x g x ≤． （III ）()1,+x ∀∈∞，()0f x >，()0g x > （i ）当1a ≥时，()()()f x g x ag x ≤≤； （ii ）当0a ≤时，()0f x >，()0g x <；（iii ）当01a <<时，设()()()()ln 1e x f x ag x x a x =-=--，()1'e x a x=-， 令()'0e x =，得下表：∴()()max 110e x e e a ⎛⎫=>= ⎪⎝⎭，即不满足等式． 综上，1a ≥．点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若()0f x >就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为()min 0f x >，若()0f x <恒成立，转化为()max 0f x <；（3）若()()f xg x >恒成立，可转化为()()min max f x g x >．【例8】【2018广东华南师大附中高三综合测试（三）】函数()()2ln 1f x x m x =++．（I ）讨论()f x 的单调性；（II ）若函数()f x 有两个极值点1x 、2x ，且12x x <，求证：()21122ln2f x x x >-+． 【答案】（I ）见解析；（II ）见解析．（I ）由题设知，10x +>，令()222g x x x m =++，这是开口向上，以12x =-为对称轴的抛物线，1122g m ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭，①当102g ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，即12m ≥时，()0g x ≥，即()'0f x ≥在()1,-+∞上恒成立．②当102g ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，即12m <时，由()2220g x x x m =++=得12x =-，令112x =-，2122x =-+，则112x <-，212x >-． 1）当()10g -≤即0m ≤时，11x <-，故在()21,x -上，()0g x <，即()'0f x <，在()2,x +∞上，()0g x >，即()'0f x >．2）当()10g ->时，即1m <<时，综上：0m ≤时，()f x 在11,2⎛-- ⎝⎭上单调递减，在12⎛⎫-++∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增； 102m <<时，()f x 在1122⎛--- ⎝⎭上单调递减，在11,2⎛--- ⎝⎭和12⎛⎫-++∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增；12m ≥时，()f x 在()1,-+∞上单调递增． （II ）若函数()f x 有两个极值点1x 、2x ，且12x x <，则必是102m <<，()00g >，则121102x x -<<-<<，且()f x 在()12,x x 上单减，在()11,x -和()2,x +∞上单增，则()()200f x f <=，∵1x 、2x 是()2220g x x x m =++=的二根，∴12121{ 2x x m x x +=-=，即121x x =--，122m x x =，∴若证()21122ln2f x x x >-+成立，只需证()()2222222ln 1f x x m x =++()2212224ln 1x x x x =++()()22222241ln 1x x x x =-++ ()()22121ln2x x >---+--()22121ln2x x =+-+．即证()()22222241ln 1x x x x -++()()2112ln20x -+->对2102x -<<恒成立， 设()()()2241ln 1x x x x x ϕ=-++()()1112ln202x x ⎛⎫-+--<< ⎪⎝⎭，()()()4'412ln 1ln x x x eϕ=-+++，当102x -<<时，120x +>，()ln 10x +<，4ln 0e >，故()'0x ϕ>，故()x ϕ在1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭上单增， 故()1111242422x ϕϕ⎛⎫⎛⎫>-=⨯-⨯⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()11ln 12ln2022⨯-⨯-=， ∴()()22222241ln 1x x x x -++()()2112ln20x -+->对2102x -<<恒成立，∴()21122ln2f x x x >-+． 点睛：本题考查了导数的综合运用，难度较大；在求函数单调性时还要注意对其进行分类讨论，在证明不等式成立时结合根与系数之间的关系，将其中一个量用另一个量表示，然后转化为新函数，证明得出结果，有一定难度，注意将两个未知量转化为一个未知量． 【跟踪练习】1．【2018四川凉山州高中毕业班第二次诊断性检测】设函数()2f x x ax =+，()()ln 1g x b x =-（I ）若3a =-，()()()F x f x g x =+在()1+∞，上单调递增．求b 的取值范围；（II ）若()21g '=-，且()()()h x f x g x =-有两个极值点1x ，2x．求证：22123x x +>+【答案】（I ） 18b ≥；（II ）见解析．解析：（I ） 2{1y x ax y x =+=--得()2110x a x +++=，()2140a =+-=，∴3a =-或1a =（舍）． ()()23ln 1F x x x b x =-+-其中（1x >），∴()231bF x x x =-+-' 225301x x b x -++=≥-， 在()1+∞，恒成立，分子中，514x =>对，∴()25830b =-+≤，∴18b ≥． （II ）∵()1b g x x '=-，()21g '=-得1b =-，()()2ln 1h x x ax x =++-，（ 1x >） ()1201h x x a x +'=+=-有两根11x >，21x >，即：()22210x a x a +--+=，()0{1 10x ϕ>>>对，得22a <--又1212a x x +=-，1212a x x -+=，∴()2222121212234a x x x x x x +=+-=>+． 点睛：本题考查了导数的综合运用，在求函数单调递增时只需求导，令导函数大于或者等于零，结合题目求出范围，在证明不等式时，本题结合韦达定理，转化为两根之和与两根之积的问题，从而证明结果．2．【2018新疆乌鲁木齐高三下学期第二次诊断性测验】已知函数()()ln xf x e ex a =-+（其中 2.71828e =，是自然对数的底数）．（Ⅰ）当a e =时，求()f x 的最小值； （Ⅱ）若()f x e >恒成立，求证1a e <-． 【答案】（Ⅰ）0；（Ⅱ）证明见解析．试题解析：（Ⅰ）当a e =时，()()1ln 1xf x e x =--+，()1(1)1xf x e x x +'=->-，设()()g x f x ='． ∵()()2101x g x e x +'=+>∴()g x 是增函数 又∵()00f '=，∴当10x -<<时，()0f x '<，()f x 递减；当0x >时，()0f x '>，()f x 递增； ∴()()min 00f x f ==．（Ⅱ）∵()xe af x e x ex a e ⎛'⎫=->- ⎪+⎝⎭，()()2'20xe f x e ex a =+'+> ∴()f x '是增函数∵axee e ->，由a aee e a ex e ex a e->⇒>-+ ∴当a ea x e e >-时()0f x '>；若11a x e a x e e e -+<-+⇒<，由11a ae e e a ex e ex a e-+-<⇒<-+．。

2017届高三数学跨越一本线问题一：集合中的创新问题数学思维的创新是思维品质最高层次,以集合为背景的创新问题是近几年高考命题创新型试题的一个热点,此类题目常常以“问题”为核心,以“探究”为途径,以“发现”为目的,以集合为依托,考查考生理解问题、解决创新问题的能力．常见的命题形式有新定义、新法则、新运算等,这类试题中集合只是基本的依托．一、创新集合新定义解决以集合为背景的新定义问题,要抓住两点：(1)紧扣新定义．首先分析新定义的特点,把新定义所叙述的问题的本质弄清楚,并能够应用到具体的解题过程之中,这是破解新定义型集合问题难点的关键所在；(2)用好集合的性质．解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素,在关键之处用好集合的运算与性质．【例1】若集合A具有以下性质：(Ⅰ)0∈A,1∈A；(Ⅱ)若x∈A,y∈A,则x－y∈A,且x≠0时,1x∈A.则称集合A是“好集”．下列命题正确的个数是( )(1)集合B＝{－1,0,1}是“好集”；(2)有理数集Q是“好集”；(3)设集合A是“好集”,若x∈A,y∈A,则x＋y∈A.A．0 B．1 C．2 D．3【分析】抓住新定义的特点,根据“好集”满足的两个性质,逐个进行验证．【点评】紧扣新定义,抓住新定义的特点,把新定义叙述的问题的本质搞清楚,并能够应用到具体的解题过程中．【小试牛刀】【2017浙江温州高三模拟】已知集合22{(,)|1}M x y x y=+≤,若实数λ,μ满足：对任意的(,)x y M∈,都有(,)x y Mλμ∈,则称(,)λμ是集合M的“和谐实数对”,则以下集合中,存在“和谐实数对”的是（）A．{(,)|4}λμλμ+=B ．22{(,)|4}λμλμ+= C ．2{(,)|44}λμλμ-= D ．22{(,)|4}λμλμ-=【答案】C.【解析】分析题意可知,所有满足题意的有序实数对(,)λμ所构成的集合为{(,)|11,11}λμλμ-≤≤-≤≤,将其看作点的集合,为中心在原点,(1,1)-,(1,1)--,(1,1)-,(1,1)为顶点的正方形及其内部,A,B,D 选项分别表示直线,圆,双曲线,与该正方形及其内部无公共点,选项C 为抛物线,有公共点(0,1)-,故选C.二、创新集合新运算创新集合新运算问题是按照一定的数学规则和要求给出新的集合运算规则,并按照此集合运算规则和要求结合相关知识进行逻辑推理和计算等,从而达到解决问题的目的．【例2】如图所示的Venn 图中,,A B 是非空集合,定义集合A B ⊗为阴影部分表示的集合．若x y ∈R ，,{A x y ==,30{|}x B y y x >＝＝，,则A B ⊗为( )A ．{}2|0x x <<B ．{}2|1x x <≤C ．1{|0}2x x x ≤≤≥或D ．1{|0}2x x x ≤≤>或【分析】读懂运算A B ⊗的含义,由韦恩图得A B ⊗=()A B C A B ,进而转化为学习过的集合运算求解．【点评】本题是在学习了集合的交集、并集、补集的基础上,新定义的一种运算,在理解新运算的含义后,转化为交、并、补运算,即新知识向旧知识转化．【小试牛刀】【2017河北武邑模拟】用()C A 表示非空集合A 中的元素个数,定义且由的所有可能值构成的集合为S ,那么()C S 等于（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】D三、创新集合新性质创新集合新性质问题是利用创新集合中给定的定义与性质来处理问题,通过创新性质,结合相应的数学知识来解决有关的集合性质的问题．【例3】【2017吉林四校联考】若X 是一个集合,是一个以X 的某些子集为元素的集合,且满足：①X 属于,空集∅属于；②中任意多个元素的并集属于；③中任意多个元素的交集属于．则称是集合X 上的一个拓扑．已知集合{,,}X a b c =,对于下面给出的四个集合: ① {,{},{},{,,}}a c a b c τ=∅； ② {,{},{},{,},{,,}}b c b c a b c τ=∅； ③ {,{},{,},{,}}a a b a c τ=∅； ④ {,{,},{,},{},{,,}}a c b c c a b c τ=∅． 其中是集合X 上的一个拓扑的集合的所有序号是 ．【分析】根据集合具有的3个性质逐个进行判断.【解析】①{,{},{},{,,}}a c a b c τ=∅,但是{}{}{},a c a c τ⋃=∉,所以①错；②④都满足集合X 上的一个拓扑的集合的三个条件．所以②④正确；③{}{}{,}a a b b τ⋃=∉,故错．所以答案②④． 【点评】求解本题需要准确理解集合X 上的一个拓扑所具有的三个性质条件,需要准确的把握集合包含的判定方法,及集合的子集间的交并补的关系．需要学生认真分析题干,准确把握信息．对于这种开放性题目,需要考生准确理解和快速掌握新知识的能力．【小试牛刀】【2016湖北襄阳四校期中】已知集合M 是由具有如下性质的函数()f x 组成的集合：对于函数()f x ,在定义域内存在两个变量12,x x 且12x x <时有1212()()f x f x x x ->-．则下列函数①()(0)x f x e x =>；②ln ()x f x x=；③()f x =()1sin f x x =+在集合M 中的个数是A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B.【解析】由题对于函数()f x ,在定义域内存在两个变量12,x x 且12x x <时有1212()()f x f x x x ->-即1212()()1f x f x x x -<-,即对于函数()f x ,在定义域内存在两个变量12,x x 且12x x <时, 若()f x 为增函数,则0()1f x '<<,若()f x 为减函数,则()1f x '<-,对于①()(0),()0()1x xf x e x f x e x f x ''=>=>∴>,不合题意；对于②()2ln 1ln ()0,()x x f x x f x x x -'=>=,取特殊值验证,不合题意；对于③()()0f x f x '==>,函数()f x 在(0,)+∞单调递增,在定义域内存在两个变量12,x x 且12x x <时,在()f x 单调增区间时有0()1f x '<<,此时只须1x >时可得0()1f x '<<.满足题意；对于④()1sin ,,()cos f x x f x x '=+=,函数()f x 在3(2,2)()22k k k Z ππππ++∈单调递减,在定义域内存在两个变量12,x x 且12x x <时,在()f x 单调减区间时有()0f x '<,满足题意.【迁移运用】1.【2017山东潍坊临朐月考】已知集合{(,)|()}M x y y f x ==,若对于任意11(,)x y M ∈,存在22(,)x y M ∈,使得12120x x y y +=成立,则称集合M 是“理想集合”.给出下列4个集合：②{(,)|sin }M x y y x ==； ③{(,)|2}x M x y y e ==-； ④{(,)|lg }M x y y x ==.其中所有“理想集合”的序号是（ ）A.①③B.②③C.②④D.③④【答案】B【解析】由题意得,设1122(,),(,)A x y B x y ,又12120x x y y +=可知OA OB ⊥,对于①项是以,x y 轴为渐近线的双曲线,渐近线的夹角为90︒,所以当点A ,B 在同一支上时,90AOB ∠<︒,当点A ,B 不在同一支上时,90AOB ∠>︒,不存在OA OB ⊥,故①不正确；②项,通过对图象的分析发现,对于任意的点A 都能找到对应的点B ,使得OA OB ⊥成立,故正确；③项由图象可得,直角始终存在,故正确；④项,由图象可知,点(1,0)在曲线上不存在另外一个点,使得OA OB ⊥成立,故错误；综合②③正确,所以选B. 【点评】对于此题而言,通过12120x x y y +=可得出就是在函数的曲线上找任意一个点A 都能找到一个点B ,使得OA OB ⊥成立,找到新定义的含义了,剩余的选项中都是我们所熟知的基本初等函数,可通过数形结合分析即可求解,所以对新定义的转化能力是解这类问题的关键.2.【2015湖北高考】已知集合A ＝{(x ,y )|x 2＋y 2≤1,x ,y ∈Z },B ＝{(x ,y )||x |≤2,|y |≤2,x ,y ∈Z },定义集合A ⊗B ＝{(x 1＋x 2,y 1＋y 2)|(x 1,y 1)∈A ,(x 2,y 2)∈B },则A ⊗B 中元素的个数为( )A ．77B ．49C ．45D ．30【答案】C3.【2016广东省华南师大附中高三5月测试】非空集合G 关于运算⊕满足：（1）对任意,G b ∈,都有G a b ⊕∈；（2）存在G e ∈,使得对一切G a ∈,都有a e e a a ⊕=⊕=,则称G 关于运算⊕为“融洽集”．现给出下列集合和运算：①{}G =非负整数,⊕为整数的加法；②{}G =偶数,⊕为整数的乘法；③{}G =平面向量,⊕为平面向量的加法；④{}G =二次三项式,⊕为多项式的加法；⑤{}G =虚数,⊕为复数的乘法．其中G 关于运算⊕为“融洽集”的是（ ）A ．①③B ．②③C ．①⑤D ．②③④【答案】B【解析】根据题意可知①当,都为非负整数时, ,通过加法运算还是非负整数,且存在一整数0G ∈有00a a a +=+=,所以①为融洽集；③当,都为平面向量时,两平面向量相加任然为平面向量,且存在零向量通过向量加法满足条件（2）；②④中找不到满足条件（2）的．故选B ．4．【2017年河北武邑中学】若集合(){},,,|04,04,04,,,E p q r s p s q s r s p q r s N =≤<≤≤<≤≤<≤∈且,(){},,,|04,04,,,F t u v w t u v w t u v w N =≤<≤≤<≤∈且,用()card X 表示集合X 中的元素个数,则()()card E card F +=（ ）A ．50B ．100C ．150D ．200【答案】D 【解析】()()333312341010200card E card F +=++++⨯=,故选D. 5．【2017湖南石门一中高三月考】对于任意两个正整数n m ,,定义某种运算“※”,法则如下：当n m ,都是正奇数时,m ※n m n +=；当n m ,不全为正奇数时,m ※mn n =,则在此定义下,集合a b a M |),{(=※},,16**∈∈=N b N a b 的真子集的个数是（ ）A ．127-B ．1211-C ．1213-D ．1214-【答案】C6.对于复数,,,a b c d ,若集合{}=,,,S a b c d 具有性质“对任意x y S ∈，,必有∈xy S ”,则当⎩⎨⎧ a ＝1，b 2＝1，c 2＝b 时,b ＋c ＋d 等于( )A ．1B ．－1C ． 0D ．【答案】B【解析】∵{}S a b c d ＝，，，,由集合中元素的互异性可知当1a ＝时,1b ＝－,21c ＝－,∴ c i ±＝,由“对任意x y S ∈，,必有xy S ∈”知i S ±∈,∴c i d i ＝，＝－或c id i ＝－，＝,∴10()1b c d ＋＋＝－＋＝－.【点评】在已学集合知识的基础上,给集合元素新定义一种性质,考查在新环境中运用知识的能力,解题的关键在于阅读理解上,在准确把握信息的基础上,以旧带新,利用已有知识解决问题．7．设S 为复数集C 的非空子集．若对任意x,y S ∈,都有x y,x y,xy S +-∈,则称S 为封闭集.下列命题：①集合S ＝{a ＋bi|（a,b 为整数,为虚数单位）}为封闭集；②若S 为封闭集,则一定有0S ∈；③封闭集一定是无限集；④若S 为封闭集,则满足S T C ⊆⊆的任意集合T 也是封闭集．上面命题中真命题共有哪些？（ ）A ．① B．①② C．①②③ D．①②④【答案】B8．【2016广东省揭阳模拟】非空数集A 如果满足：①0A ∉；②若对,x A ∀∈有1A x∈,则称A是“互倒集”.给出以下数集：①2{|10}x R x ax ∈++=；②2{|410}x x x -+<；③ln 1{|,[,1)(1,]}x y y x e x e=∈⋃； ④22,[0,1)51.[1,2]x x x x x y y +∈+∈⎧⎫⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪=⎨⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎭.其中“互倒集”的个数是（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1【答案】C【解析】集合①,当22a -<<时为空集,所以集合①不是“互倒集”；集合②,2{|410}x x x -+<={|22x x <<,1x <<即122x -<<+所以集合②是“互倒集”；集合③,当1[,1)x e∈时,[,0)y e ∈-,当1(1,]x e ∈时1(0,]y e ∈,所以集合③不是“互倒集”；集合④,2125[,)[2,]552y ∈25[,]52=且125[,]52y ∈,所以集合④是“互倒集”.故选C ． 9.【(2017河南郑州质检)已知集合A ,B ,定义集合A 与B 的一种运算A ⊕B ,其结果如下表所示：________．【答案】 {－2 012,2 013,－2 013,2 014}【解析】 由给出的定义知,集合A ⊕B 的元素是由所有属于集合A 但不属于集合B 和属于集合B 但不属于集合A 的元素构成的,即A ⊕B ＝{x |x ∈A 且x ∉B ,或x ∈B 且x ∉A }．故M ⊕N ＝{－2 012,2 013,－2 013,2 014}．10．【2017福建连城期中】设P 是一个数集,且至少含有两个数,若对任意、b P ∈,都有a b +、a b -、ab 、（除数0b ≠）,则称P 是一个数域,例如有理数集Q 是数域,有下列命题： ①数域必含有0,1两个数；②整数集是数域；③若有理数集Q M ⊆,则数集M 必为数域；④数域必为无限集．其中正确的命题的序号是 ．【答案】①④【点评】本题考查简单的合情推理、新定义问题以及转化与划归思想,属于难题.新定义题型的特点是：通过给出一个新概念,或约定一种新运算,或给出几个新模型来创设全新的问题情景,要求考生在阅读理解的基础上,依据题目提供的信息,联系所学的知识和方法,实现信息的迁移,达到灵活解题的目的.遇到新定义问题,应耐心读题,分析新定义的特点,弄清新定义的性质,按新定义的要求,“照章办事”,逐条分析、验证、运算,使问题得以解决.本题的解答都围绕新概念“数域” 对任意、b P ∈,都有a b +、a b -、ab 、. 11．【2017福建泉州段考】若集合12,A A 满足12A A A ⋃=,则称12(,)A A 为集合A 的一种分拆,并规定：当且仅当12A A =时, 12(,)A A 与21(,)A A 是集合A 的同一种分拆.若集合A 有三个元素,则集合A 的不同分拆种数是 .【答案】27 【解析】设{}1,2,3A =①若1A =∅时,2A =A,此时只有一种分拆．②若1A 是单元素集时,共有六种分拆,{1}与{2,3},{1}与{1,2,3},{2}与{1,3},{2}与{1,2,3},{3}与{1,2},{3}与{1,2,3}． ③若1A 是双元素集时,共有12种,{1,2}与{3},{1,3},{2,3},{1,2,3}；{1,3}与{2},{1,2},{2,3},{1,2,3}；{2,3}与{1},{1,2},{1,3},{1,2,3}；④若1A =A={1,2,3},则2A =∅,{1},{2},{3},{1,2}{1,3},{2,3},{1,2,3}共8种．综上有1+6+12+8=2712．【2017浙江杭州期中】设有限集合{}12,,,n A a a a =,则12n a a a +++叫做集合A 的和,记作A S 集合P 的含有个元素的全体子集分别记为12,,,k P P P ,【答案】4813．【2017福建闽侯三中高三期中】定义：若平面点集A 中的任一个点),(00y x ,总存在正实数,则称A 为一个开集.给出下列集合： ①}1|),{(22=+y x y x ； ②}02|),{(>++y x y x ；③}6|||),{(≤+y x y x ； 其中不是开集的是 . （请写出所有符合条件的序号）【答案】①③ 【解析】对于①,A =}1|),{(22=+y x y x 表示以原点为圆心,以为半径的圆,在该圆上任取一点),(00y x 以任意实数为半径的圆面均不满足集合②,{(,)|20}A x y x y =++>,平面点集A 中的任意一点),(00y x 取等于该点到直线的距离,③,A =}6|||),{(≤+y x y x ,在曲线||=6x y +上任取一点),(00y x ,以任意实数为半径的圆面,以为半径除去圆心和圆周的圆面,该平面集A 中的任取一点),(00y x ,则该点到圆周上的点的最短距离为d ,取=d r ,则满足故④是开集,所以不是开集的是①③,故答案为①③.14.【2016湖南省益阳四月调研】已知为合数,且1100k <<,当的各数位上的数字之和为质数时,称此质数为的“衍生质数”．（1）若的“衍生质数”为2,；（2）设集合()(){}|A P k P k k =为的“衍生质数”,(){}|B k P k k =为的“衍生质数”,则集合A B 中元素的个数是 ． 【答案】20,30．15.设全集{1,2,3,4,5,6}U =,用U 的子集可表示由0, 1组成的6位字符串,如：{2,4}表示的是第2个字符为1,第4个字符为1,其余均为0的6位字符串010100,并规定空集表示的字符串为000000．①若{,3,6}M =2,则U M ð表示的6位字符串为 ； ②若{1,3}A =, 集合A B 表示的字符串为101001,则满足条件的集合B 的个数是 ．【答案】100110；4【解析】由题意{,3,6}M =2表示的6位字符串为011001,故U M ð表示的6位字符串为100110；若{1,3}A =, 集合AB 表示的字符串为101001,则集合B 中必含有4,且至多含有1,3,故满足的集合B 有}4{,}4,1{,}4,3{,}4,3,1{16．在整数集Z 中,被除所得余数为的所有整数组成一个“类”,记为[]k ,即[]{}5k n k n =+∈Z ,0k =, , , ,．给出如下四个结论：①[]20153∈； ②[]22-∈； ③[][][][][]01234Z =；④整数,属于同一“类”的充要条件是“[]0a b -∈”． 其中,正确结论的个数是（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】B17．由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪.直到1872年,德国数学家戴德金从连续性的要求出发,用有理数的“分割”来定义无理数（史称戴德金分割）,并把实数理论建立在严格的科学基础上,才结束了无理数被认为“无理”的时代,也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机.所谓戴德金分割,是指将有理数集Q 划分为两个非空的子集M 与N ,且满足M N =Q ,MN =∅,M 中的每一个元素都小于N 中的每一个元素,则称(),M N 为戴德金分割.试判断,对于任一戴德金分割(),M N ,下列选项中,不可能成立的是（ ） A ．M 没有最大元素,N 有一个最小元素 B ．M 没有最大元素,N 也没有最小元素C ．M 有一个最大元素,N 有一个最小元素D ．M 有一个最大元素,N 没有最小元素 【答案】C【解析】A 正确,例如M 是所有1<的有理数,N 是所有1≥的有理数.B 正确,如M 是所有负的有理数,零和平方小于2的正有理数,N 是所有平方大于2的正有理数.显然M 和N 的并集是所有的有理数,因为平方等于2的数不是有理数.D 正确,如例如M 是所有1≤的有理数,N 是所有1>的有理数.C 错；M 有最大元素a,且N 有最小元素b 是不可能的,因为这样就有一个有理数不存在于M 和N 两个集合中,与M 和N 的并集是所有的有理数矛盾18．【2016届福建漳州毕业班质量检查】已知集合{}12,,,n x x x X =⋅⋅⋅（n *∈N ,3n ≥）,若数列{}n x 是等差数列,记集合(){},,,1,,ij i j x x x x x x i j n i j P X ==+∈X ≤<≤∈N 的元素个数为()P X ,则()P X 关于的表达式为 ． 【答案】2n-3【解析】当3n =时,集合X 中有3个元素成等差数列,23()3P x C ==,当4n =时,集合X中有4个元素成等差数列,由于1423+x x x x =+,24()15P x C =-=,当5n =时,集合X中有4个元素成等差数列,由于14+x x x x =+,15242534+x =x +x ,x +x =x +x x 25()37P x C =-=,可见形成一个等差数列,根据等差数列通项公式,按照归纳推理可知：当即可X 有个元素时,()3(P x n =+-3)223n ⨯=- .19．设集合*{1,2,3,,}()M n n N =∈,对M 的任意非空子集A ,定义()f A A 为中的最大元素,当A 取遍M 的所有非空子集时,对应的()f A 的和为n S ,则①3S = ；②n S = . 【答案】①17；②(1)21n n -+20．定义全集U 的子集A 的特征函数为⎩⎨⎧∈∈=AC x Ax x f U A ,01)(，,这里A C U 表示A 在全集U 中的补集,那么对于集合U B A ⊆、,下列所有正确说法的序号是 ． （1）)()(x f x f B A B A ≤⇒⊆ （2）()1()UA A f x f x =-ð（3）()()()A BA B f x f x f x =+ （4）()()()ABA B f x f x f x =⋅【答案】（1）（2）（4）【解析】（1）∵A ⊆B,分类讨论：①当A x ∈,则B x ∈,此时1)()(==x f x f B A ；②当A x ∉,且B x ∉,即B C x U ∈,此时0)()(==x f x f B A ；③当A x ∉,且B x ∈,即B A C x U )(∈时,0)(=x f A ,1)(=x f B ,此时)()(x f x f B A ≤. 综合有)()(x f x f B A ≤,故（1）正确； （2）)(1,0,1)(x f Ax A C x x f A U A C U-=⎩⎨⎧∈∈=,故（2）正确；)()()(,1,0)(x f x f B A C x B A x x f B A U B A +≠⎩⎨⎧∈∈= ,故（3）不正确；)()(,01,01)(,0,1)(,0,1)(x f x f BC x Bx A C x A x B C A C x B A x B A C x B A x x f B A U U U U U B A ⋅=⎩⎨⎧∈∈⋅⎩⎨⎧∈∈=⎩⎨⎧∈∈=⎩⎨⎧∈∈=，， ,故（4）正确.21．以（0, m ）间的整数∈>m m ,1(N ）为分子,以m 为分母组成分数集合A 1,其所有元素和为a 1；以),0(2m 间的整数∈>m m ,1(N ）为分子,以2m 为分母组成不属于集合A 1的分数集合A 2,其所有元素和为a 2； ,依次类推以),0(n m 间的整数∈>m m ,1(N ）为分子,以n m 为分母组成不属于A 1,A 2, ,1-n A 的分数集合A n ,其所有元素和为a n ；则=+++n a a a 21=________．【答案】12n m -.【解析】由题意1111m a m mm -=+++,222222222121121211m m m m m a m m m m m m m -+-+-=+++++++++ 221222222121121121m m m a m mm m mm m mm---⎛⎫=+++-+++=+++- ⎪⎝⎭,3321121333121121,,,n n n n n n m m a a a a a a a m mm m mm ---=+++--=+++---所以()12121111212n n nn n n nn m m a a a m m mm m --⎡⎤+++=+++=⋅+++-=⎣⎦⋅⋅⋅.22．对于集合A ,定义了一种运算“⊕”,使得集合A 中的元素间满足条件：如果存在元素e A ∈,使得对任意A a ∈,都有e a a e a ⊕=⊕=,则称元素是集合A 对运算“⊕”的单位元素．例如：R =A ,运算“⊕”为普通乘法；存在R 1∈,使得对任意R ∈a ,都有11a a a ⨯=⨯=,所以元素是集合R 对普通乘法的单位元素． 下面给出三个集合及相应的运算“⊕”： ①R =A ,运算“⊕”为普通减法；②A ={m n m n A A ⨯⨯表示m n ⨯阶矩阵,**∈∈N ,N n m },运算“⊕”为矩阵加法； ③{}A X X M =⊆（其中M 是任意非空集合）,运算“⊕”为求两个集合的交集． 其中对运算“⊕”有单位元素的集合序号为 A ．①② B．①③ C．①②③ D ．②③ 【答案】D23. 【2016届江苏省淮安市高三5月信息卷】已知非空集合M 满足{0,1,2,,}M n ⊆(2,)n n N +∈≥．若存在非负整数()k k n ≤,使得当a M ∈时,均有2k a M -∈,则称集合M 具有性质P ．设具有性质P 的集合M 的个数为()f n ．（1）求(2)f 的值； （2）求()f n 的表达式．【解析】（1）当2n =时,{0},{1},{2},{0,2},{0,1,2}M =具有性质P , 对应的分别为0,1,2,1,1,故(2)5f =．（2）可知当n k =时,具有性质P 的集合M 的个数为()f t , 则当1n k =+时,(1)()(1)f t f t g t +=++,其中(1)g t +表达1t M +∈也具有性质P 的集合M 的个数, 下面计算(1)g t +关于的表达式,此时应有21k t +≥,故对n t =分奇偶讨论,① 当为偶数时,1t +为奇数,则对每一个,1t +和21k t --必然属于集合M ,且和2k t -,…,和共有1t k +-组数,每一组数中的两个数必然同时属于或不属于集合M , 故对每一个,对应的具有性质P 的集合M 的个数为01111112t k t k t k t k t k C C C +-+-+-+-+-+++=,121+++=② 当为奇数时,1t +为偶数,121+++=综上,2221,+⨯-又(2)5f =,。

高三数学不等式试题答案及解析1.已知，则A．n＜m＜1B．1＜n＜m C．1＜m＜n D．m＜n＜1【答案】B【解析】函数是减函数，所以故选B2.现将一个质点随即投入区域中，则质点落在区域内的概率是【答案】【解析】略3.不等式的解集为或，则实数的取值范围．【答案】【解析】略4.如果实数满足条件，那么的最大值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】解：当直线过点(0，-1)时，最大，故选B5.一元二次不等式的解集为，则的最小值为．【答案】【解析】由已知得，解得，又，则。

【考点】一元二次不等式的解法及基本不等式的应用。

6.设，则函数的最小值是（）A．2B．C．D．3【答案】C【解析】因为，所以，令，则，由于，故知函数是减函数，因此；故选C．【考点】1．换元法；2．函数的最值．7.若变量x，y满足约束条件，则的最小值为．【答案】-6【解析】在坐标系中画出约束条件的可行域，得到的图形是一个平行四边形，目标函数z=x+2y，变化为，当直线沿着y轴向上移动时，z的值随着增大，当直线过A点时，z取到最小值，由与的交点得到，∴，故答案为：﹣6．【考点】简单线性规划．8.已知的大小关系是（）A．a<c<b B．b<a<e C．c<a<b D．a<b<c【答案】D【解析】因为.所以,故D正确.【考点】指数函数,对数函数.9.设，则，，的大小关系是__________________．（用“<”连接）【答案】【解析】令，则，∴函数为增函数，∴，∴，∴，∴，又，∴．【考点】利用导数研究函数的单调性、作差比较大小．10.对一切实数x，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（）A．（-，-2）B．[-2，+）C．[-2,2]D．[0，+）【答案】B【解析】对一切实数x，不等式恒成立，等价于对任意实数，恒成立，因此有或，解得，故选B．【考点】不等式恒成立，二次函数的性质．【名师点晴】本题考查不等式恒成立问题，由于题中含有绝对值符号，因此解题的关键是换元思想，设，这样原来对一切实数恒成立，转化为对所有非负实数，不等式恒成立，也即二次函数在区间上的最小值大于或等于0，最终问题又转化为讨论二次函数在给定区间的最值问题，解题中始终贯彻了转化与化归的数学思想．11.设不等式组所表示的区域为，函数的图象与轴所围成的区域为，向内随机投一个点，则该点落在内的概率为．【答案】【解析】如图所示区域是及其内部．即，所以其面积为．区域是图中阴影部分，面积为．所以所求概率为．【考点】1几何概型概率；2定积分的几何意义．12.已知实数x、y满足，如果目标函数的最小值为－1，则实数m＝（）．A．6B．5C．4D．3【答案】B【解析】将化为，作出可行域和目标函数基准直线（如图所示），当直线向左上方平移时，直线在轴上的截距增大，即变小，所以当直线过点时，取得最小值，即，解得；故选B．【考点】简单的线性规划．13.已知正数满足，则的最小值为（）A．2B．0C．-2D．-4【答案】D【解析】作出题设约束条件表示的可行域，如图内部（含边界），作直线，直线的纵截距是，因此向上平移直线，当过点时，取得最小值，故选D．【考点】简单的线性规划问题．14.已知，满足约束条件若的最小值为，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】先根据约束条件画出可行域，设，将最大值转化为轴上的截距，当直线经过点时，最小，由得：，代入直线，解得故答案选【考点】线性规划．15.选修4-5：不等式选讲已知函数．（1）当时，解不等式；（2）若时，，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】（1）把要解的不等式等价转化为与之等价绝对值不等式，再求出此不等式的解集，即得所求（2）当时，即由此得讨论即可得到实数的取值范围试题解析：(1）当时，不等式为当时，不等式化为，不等式不成立；当时，不等式化为，解得；当时，不等式化为，不等式必成立．综上，不等式的解集为．（2）当时，即由此得当时，的最小值为7，所以的取值范围是【考点】绝对值不等式16.已知函数，其中且．（1）当时，若无解，求的范围；（2）若存在实数，（），使得时，函数的值域都也为，求的范围．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）分析题意可知，不等式无解等价于恒成立，参变分离后即再进一步等价为，即可求解；（2）分析函数的单调性，可知其为单调递增函数，换元令，从而可将问题等价转化为二次方程根的分布，列得关于的不等式即可求解．试题解析：（1）∵，∴无解，等价于恒成立，即恒成立，即，求得，∴；（2）∵是单调增函数，∴，即，问题等价于关于的方程有两个不相等的解，令，则问题等价于关于的二次方程在上有两个不相等的实根，即，即，得．【考点】1．恒成立问题；2．二次方程的根的分布；3．转化的数学思想．17.选修4-5：不等式选讲已知函数（1）解不等式（2）若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）解绝对值不等式，主要是分类讨论，分类标准由绝对值的定义确定；（2）不等式对任意的恒成立，即的最小值满足，由（1）的讨论，可得．试题解析：（1），当时，由，此时无解当时，由当时，由综上，所求不等式的解集为（2）由（1）的函数解析式可以看出函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，故在处取得最小值，最小值为，不等式，对任意的恒成立即，解得故的取值范围为．【考点】解绝对值不等式，不等式恒成立问题，函数的最值．18.若不等式组表示的平面区域为，不等式表示的平面区域为．现随机向区域内撒下一粒豆子，则豆子落在区域内的概率为．【答案】．【解析】不等式组表示的平面区域为，不等式表示的平面区域为．的面积为，其中满足的图形面积为，所以随机向区域内撒下一粒豆子，则豆子落在区域内的概率为．【方法点晴】本题属于几何概型的问题，通常在几何概型中，事件的概率计算公式为：用几何概率公式计算概率时，关键是构造出随机事件所对应的几何图形，并对几何图形进行相应的几何度量．因此本题解题思路清晰，作出图形，计算相关三角形的面积，代入上述公式便得答案．19.实数满足，则的最大值是（）A．2B．4C．6D．8【答案】B【解析】试题解析：依题画出可行域如图，可见及内部区域为可行域，令，则为直线在轴上的截距，由图知在点处取最大值是4，在处最小值是-2，所以，所以的最大值是4，故选B．【考点】简单线性规划20.选修4－5：不等式选讲已知命题“，”是真命题，记的最大值为，命题“，”是假命题，其中．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的取值范围．【答案】（Ⅰ）．（Ⅱ）．【解析】试题解析：（Ⅰ）因为“，”是真命题，所以，恒成立，又，所以恒成立，所以，．又因为，“”成立当且仅当时．因此，，于是．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，因为“，”是假命题，所以“，”是真命题．因为（），因此，，此时，即时．即，，由绝对值的意义可知，．【考点】不等式选讲21.已知实数满足不等式组则的最小值为______．【答案】【解析】由得,则当直线在y轴上的截距最大时取得最小值,所以当直线经过A（2,3）时,z最小,即当x=2,y=3,取得最小值-4．【考点】线性规划22.若关于的不等式组，表示的平面区域是直角三角形区域，则正数的值为（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】如图，易知直线经过定点，又知道关于的不等式组，表示的平面区域是直角三角形区域，且，所以，解得，故选B.【考点】线性规划.23.已知函数，且关于的不等式的解集为R．（1）求实数的取值范围；（2）求的最小值．【答案】（1）；（2）9【解析】（1）由绝对值的性质可知，由此解不等式即可求出结果；（2）由（1），根据基本不等式的性质，即可求出结果.试题解析：解：（1）依题意，（2）时，当且仅当，即时等号成立。