2013年“北约”自主招生数学试题的解答攻略与评析
马殿荣
【期刊名称】《数学教学》
【年(卷),期】2014(000)012
【摘要】“北约”2013年自主招生数学试题已引起关注[1]、[2]．对其评论多有溢美之词．本文从考试答题角度，说说解答攻略；在学习、探讨层面，作点试题评析．均属个人拙见，敬请同仁指正．
【总页数】4页(P44-47)
【作者】马殿荣
【作者单位】北京朝阳区100101
【正文语种】中文
【中图分类】O122.3
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2013 清华北大自主招生 测评试题数学自主招生数学与逻辑测评试题（考试时间： 90 分钟，总分 100 分）一、选择题：本大题共 6 小题．每小题 6 分，共 36 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设 z 1,z 2 为一对不相等的共轭复数，且 z 1 = 3,z 12为实数，则 z 1-z 2 的值为z 2（ ） A ． 3B ． 6C ．3D ．232. 若点 P 在曲线 y=-x 2 -1上，点 Q 在曲线 x=1+y 2 上，则 PQ 的最小值为（）A ．3 2B ．3 2C ．3 2D ．3 22483. 在 ABC 中，三边和三角满足 a cos B-b cos A= 3 c 则 tan A = （）5tan BA 。
3B 。
4C 。
5D 。
64. 如图，在正四棱锥 P-ABCD 中，∠ APC =60 °，则二面角 A-PB-C的平面角的余弦值为（ ）A.1 B.177C.1 D.1P22DM CA B5. 设 P 是函数 y=x+ 2x>2 图像上任意一点，过点P 分别向直线 y=x 和 y x轴作垂线，垂足分别为 A 、B ，则 PA PB = （）A ．1B ．2C ．-1D ．-26. 某情报站有 A 、B 、C 、D 四种互不相同的密码，每周使用一种，且每周都是从上周没使用的三种密码中等可能的随机选用一种，设第一周使用 A 密码，则第七周也使用 A 密码的概率为（）（用最简分数表示）A．43B．61C．48D．61 8124324381选择题答题处： 1.() 2.() 3.() 4.()5.()6.( )二、解答题 (每题 16 分,共 64 分)7. 设函数f n x =x n1-x2在1,1上的最大值为 a n n=1,2,3, 2（1）求数列 a n的通项公式；（2）求证：对任何正整数 n n 2 ，都有 a n1成立；2n+2（3）设数列 a n的前 n 项和为S n，求证：对任意正整数 n ，都有S n<7成16立。
2011年综合性大学(北约)自主选拔录取联合考试数学试题请注意:文科考生做1至5题,理科考生做3至7题,每题20分,共100分.1.已知平行四边形的其中两条边长为3和5,一条对角线长为6,求另一条对角线的长.2.求过抛物线2221y x x =--和2523y x x =-++的交点的直线方程.3.在等差数列{}n a 中,3713,3,a a =-=数列{}n a 的前n 项和为n S ,求数列{}n S 的最小项,并指出其值为何.4.在ABC ∆中,2a b c +≥,求证:60C ∠≤.5.是否存在四个正实数,使得它们的两两乘积为2,3,5,6,10,16?6.1C 和2C 是平面上两个不重合的固定圆,C 是平面上的一个动圆,C 与12,C C 都相切,则C 的圆心的轨迹是何种曲线?说明理由.7.求()|1||21||20111|f x x x x =-+-++-的最小值.2012年北约自主招生数学试题1、求x 的取值范围使得12)(-+++=x x x x f 是增函数；2、求1210272611=+-+++-+x x x x 的实数根的个数；3、已知0)2)(2(22=+-+-n x x m x x 的4个根组成首项为41的等差数列，求n m -； 4、如果锐角ABC ∆的外接圆的圆心为O ，求O 到三角形三边的距离之比；5、已知点)0,2(),0,2(B A -，若点C 是圆0222=+-y x x 上的动点，求ABC ∆面积的最小值。
6、在2012,,2,1 中取一组数，使得任意两数之和不能被其差整除，最多能取多少个数？7、求使得a x x x x =-3sin sin 2sin 4sin 在),0[π有唯一解的a ；8、求证：若圆内接五边形的每个角都相等，则它为正五边形；9、求证：对于任意的正整数n ，n )21(+必可表示成1-+s s 的形式，其中+∈N s2013“北约”自主招生试题（时间90分钟，满分120分） 一、选择题（每题8分，共48分）1和1 ） A. 2 B. 3 C. 5 D. 62．66⨯方阵，3个红车，3个黑车，且6个均不在同一行且不在同一列，有（ ）种方法 A. 720 B. 20 C. 518400 D. 14400 3．已知225x y =+，225y x =+，（x y ≠），则32232x x y y -+值为（ ） A. 10- B. 12- C. 14- D. 无法确定 4．在数列{}n a 中，11a =，142n n S a +=+（1n ≥），则2013a 值为（ ） A. 201230192⨯ B. 201330192⨯ C. 201230182⨯ D. 无法确定5．在ABC ∆中，D 为BC 中点，DM 平分ADB ∠交AB 于点M ，DN 平分ADC ∠交AC 于N ，则BM CN +与MN 的关系为（ ）A. BM CN MN +>B. MN CN MN +<C. BM CN MN +=D. 无法确定6．若,,A B C 为三个复数A B C ≠≠，且模全为1，则BC AC ABA B C++++=（ ）A. 12-B. 1C. 2D. 无法确定 二、解答题（每题18分，共72分）7．最多能找多少个两两不相等的正整数使其任意三个数之和为质数，并证明你的结论。
