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数字信号处理实验作业剖析

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实验5 抽样定理

一、实验目的：

1、了解用MATLAB语言进行时域、频域抽样及信号重建的方法。

2、进一步加深对时域、频域抽样定理的基本原理的理解。

3、观察信号抽样与恢复的图形，掌握采样频率的确定方法和内插公式的编程方法。

二、实验原理：

1、时域抽样与信号的重建

（1）对连续信号进行采样

例5-1 已知一个连续时间信号sinsin(),1Hz30001f(t)=(2ft)+6ftf，取最高有限带宽频率fm=5f0，分别显示原连续时间信号波形和Fs>2fm、Fs=2fm、Fs<2fm三情况下抽样信号的波形。

程序清单如下：

%分别取Fs=fm，Fs=2fm，Fs=3fm来研究问题

dt=0.1;

f0=1;

T0=1/f0;

m=5*f0;

Tm=1/fm;

t=-2:dt:2;

f=sin(2*pi*f0*t)+1/3*sin(6*pi*f0*t);

subplot(4,1,1);

plot(t,f);

axis([min(t),max(t),1.1*min(f),1.1*max(f)]);

title('原连续信号和抽样信号');

for i=1:3;

fs=i*fm;Ts=1/fs;

n=-2:Ts:2;

f=sin(2*pi*f0*n)+1/3*sin(6*pi*f0*n);

subplot(4,1,i+1);stem(n,f,'filled');

axis([min(n),max(n),1.1*min(f),1.1*max(f)]);

end

程序运行结果如图5-1所示： -2-1.5-1-0.500.511.52-0.500.5原连续信号和抽样信号-2-1.5-1-0.500.511.52-0.500.5-2-1.5-1-0.500.511.52-0.500.5-2-1.5-1-0.500.511.52-101

图5-1

（2）连续信号和抽样信号的频谱

由理论分析可知，信号的频谱图可以很直观地反映出抽样信号能否恢复原模拟信号。因此，我们对上述三种情况下的时域信号求幅度谱，来进一步分析和验证时域抽样定理。

例5-2 编程求解例5-1中连续信号及其三种抽样频率（Fs>2fm、Fs=2fm、Fs<2fm）下的抽样信号的幅度谱。

程序清单如下：

dt=0.1;f0=1;T0=1/f0;fm=5*f0;Tm=1/fm;

t=-2:dt:2;N=length(t);

f=sin(2*pi*f0*t)+1/3*sin(6*pi*f0*t);

wm=2*pi*fm;k=0:N-1;w1=k*wm/N;

F1=f*exp(-j*t'*w1)*dt;subplot(4,1,1);plot(w1/(2*pi),abs(F1));

axis([0,max(4*fm),1.1*min(abs(F1)),1.1*max(abs(F1))]);

for i=1:3;

if i<=2 c=0;else c=1;end

fs=(i+c)*fm;Ts=1/fs;

n=-2:Ts:2;N=length(n);

f=sin(2*pi*f0*n)+1/3*sin(6*pi*f0*n);

wm=2*pi*fs;k=0:N-1;

w=k*wm/N;F=f*exp(-j*n'*w)*Ts;

subplot(4,1,i+1);plot(w/(2*pi),abs(F));

axis([0,max(4*fm),1.1*min(abs(F)),1.1*max(abs(F))]);

end

程序运行结果如图5-2所示。

由图可见，当满足Fs≥2fm条件时，抽样信号的频谱没有混叠现象；当不满足Fs≥2fm条件时，抽样信号的频谱发生了混叠，即图5-2的第二行Fs＜2fm的频谱图，，在fm=5f0的范围内，频谱出现了镜像对称的部分。 024681012141618200.511.52024681012141618200.511.52024681012141618200.511.52024681012141618200.511.52

图5-2

（3）由内插公式重建信号

信号重建一般采用两种方法：一是用时域信号与理想滤波器系统的单位冲激响应进行卷积积分；二是用低通滤波器对信号进行滤波。本实验只讨论第一种方法。

由理论分析可知，理想低通滤波器的单位冲激响应为

jΩtπtsin()1Th(t)=H(jΩ)edΩ=πt2πT

抽样信号aˆx(t)通过滤波器输出，其结果应为aˆx(t)与h(t)的卷积积分：

sin[()/]ˆˆ()()()()()()()()/aaaaantnTTytxtxthtxhtdxnTtnTT

该式称为内插公式。由式可见，xa(t)信号可以由其抽样值xa(nT)及内插函数重构。MATLAB中提供了sinc函数，可以很方便地使用内插公式。

例5-3 用上面推导出的内插公式重建例5-1给定的信号。

程序清单如下：

dt=0.01;f0=1;T0=1/f0;fm=5*f0;Tm=1/fm;

t=0:dt:3*T0;x=sin(2*pi*f0*t)+1/3*sin(6*pi*f0*t);

subplot(4,1,1);plot(t,x);axis([min(t),max(t),1.1*min(x),1.1*max(x)]);

title('用时域卷积重建抽样信号');

for i=1:3;

fs=i*fm;Ts=1/fs;

n=0:(3*T0)/Ts;

t1=0:Ts:3*T0;

x1=sin(2*pi*f0*n/fs)+1/3*sin(6*pi*f0*n/fs); T_N=ones(length(n),1)*t1-n'*Ts*ones(1,length(t1));

xa=x1*sinc(fs*pi*T_N);

subplot(4,1,i+1);plot(t1,xa);

axis([min(t1),max(t1),1.1*min(xa),1.1*max(xa)]);

end

程序运行结果如图5-3所示：

00.511.522.53-101用时域卷积重建抽样信号00.511.522.53-0.500.500.511.522.53-0.500.500.511.522.53-0.500.5

图5-3

2、频域抽样与信号恢复

（1）频域抽样定理

从理论学习可知，在单位圆上对任意序列的Z变换等间隔采样N点得到：

2πjkN2πjnkNz=en=-X(k)=X(z)=x(n)e k=0,1,…,N-1

该式实现了序列在频域的抽样。

那么由频域的抽样得到的频谱的序列能否不失真地恢复原时域信号呢？

由理论学习又知，频域抽样定理由下列公式表述：

r=-x(n)=x(n+rN)

表明对一个频谱采样后经IDFT生成的周期序列x(n)是原非周期序列x(n)的周期延拓序列，其时域周期等于频域抽样点数N。

假定有限长序列x(n)的长度为M，频域抽样点数为N，原时域信号不失真地由频域抽样恢复的条件如下：

① 如果x(n)不是有限长序列，则必然造成混叠现象，产生误差；

② 如果x(n)是有限长序列，且频域抽样点数N小于序列长度M（即N

NNNNr=-x(n)=x(n)R(n)=x(n+rN)R(n)=x(n)

（2）从频谱抽样恢复离散时间序列

例5-4 已知一个时间序列的频谱为

jω-jωn-jω-j2ω-j3ω-j4ωn=-X(e)=x(n)e=3+2e+e+2e+3e

用IFFT计算并求出其时间序列x(n)，并绘图显示时间序列。

分析：该题使用了数字频率，没有给出采样周期，则默认Ts=1S,另外，从jωX(e)的解析式可以直接看出时域序列xn=[3,2,1,2,3]。但为说明问题，仍编写程序求解如下：

程序清单如下：

Ts=1;N0=[3,5,10];

for r=1:3;

N=N0(r);

D=2*pi/(Ts*N);

kn=floor(-(N-1)/2:-1/2);

kp=floor(0:(N-1)/2);

w=[kp,kn]*D;

X=3+2*exp(-j*w)+1*exp(-j*2*w)+2*exp(-j*3*w)+3*exp(-j*4*w);

n=0:N-1;

x=ifft(X,N)

subplot(1,3,r);stem(n*Ts,abs(x));

box

end

程序运行结果如图5-4所示：

0120246024012305100123

图5-4

注意：程序中数字频率的排序进行了处理，这是因为jωX(e)的排列顺序是从0开始，而不是从-(N-1)/2开始。

程序运行后将显示数据：

x=5.0000 5.0000 1.0000

x=3.0000 2.0000 1.0000 2.0000 3.0000 x=3.0000 - 0.0000i 2.0000 + 0.0000i 1.0000 - 0.0000i 2.0000 + 0.0000i 3.0000 -

0.0000 -0.0000 + 0.0000i 0 - 0.0000i -0.0000 + 0.0000i 0.0000 - 0.0000i -0.0000 +

0.0000i

由jωX(e)的频谱表达式可知，有限长时间序列x(n)的长度M=5，现分别取频域抽样点数为N=3,5,10，由图5-4显示的结果可以验证：

① 当N=5和N=10时，N≥M，能够不失真地恢复出原信号x(n)；

② 当N=3时，N＜M，时间序列有泄漏，形成了混叠，不能无失真地恢复出原信号x(n)。混叠的原因是上一周期的后2点与本周期的前两点发生重叠，如下所示：

3 2 1 2 3

3 2 1 2 3

例5-5 已知一个频率范围在[-62.8,62.8]rad/s间的频谱sin0.275ΩX(jΩ)=sin0.025Ω，用IFFT计算并求出时间序列x(n)，用图形显示时间序列。

分析：本题给出了模拟频率Ω，其中Ωm=62.8，需将其归一化为数字频率。根据奈奎斯特定理可知，（1/Ts）=Fs≥(2Ωm/2π),可以推导出Ts≤（π/Ωm）,取Ts=0.05s，即采样频率Fs为20Hz或40π。

程序清单如下：

wm=62.8;Ts=pi/wm;

N0=[8,20];

for r=1:2

N=N0(r);

D=2*pi/(Ts*N);

k=[0:N-1]+eps;

omg=k*D;

X=sin(0.275*omg)./sin(0.025*omg);

n=0:N-1;

x=abs(ifft(X,N));

subplot(1,2,r);stem(n*Ts,abs(x));

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西交大数字信号处理实验报告

西交大数字信号处理实验报告

数字信号处理实验报告

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1 西安交通大学实验报告

课程 数字信号处理 实验日期 年 月 日

专业班号 交报告日期 年 月 日

姓名 学号 共 21 页 第 1 页

实验1 常见离散信号的MATLAB 产生和图形显示

一、实验内容

1.编制程序产生上诉5种信号（长度可自行输入确定），并绘出其图形。

2.讨论复指数序列的性质。

二、实验结果及源代码

1.单位抽样序列

01)(n 00nn

在MATLAB中可以利用ZEROS()函数实现。

;1)1();,1(xNzerosx

如果)(n在时间轴上延迟了K个单位，得到)(kn即：

01)(kn 0nkn

（1）单位抽样序列

源程序：

n1=-10;

n2=10;

k=0; %延时k个单位

n=n1:n2;

N=length(n);%N为序列长度

nk=abs(k-n1)+1;

x=zeros(1,N);

x(nk)=1;

stem(n,x,'fill');

axis([n1,n2,0,1.1*max(x)]);

《数字信号处理》上机实验指导

《数字信号处理》上机实验指导

《数字信号处理》上机实验指导

《数字信号处理》上机实验指导 实验一、Z 变换及离散时间系统分析

（一）、实验目的

1、通过本实验熟悉Z 变换在离散时间系统分析中的地位和作用。

2、掌握并熟练使用有关离散系统分析的MATLAB 调用函数及格式，以深入理解离散时间系统的频率特性。

（二）、实验内容及步骤

对于一个给定的LSI 系统，其转移函数H(z)习惯被定义为H(z)=B(z)/A(z),即：

a

b

n a n b z n a z a z a z n b z b z b A B H ------++++++++++==)1(...)3()2(1)1(...)3()2()1(b )z ()z ()z (2121 公式中b n 和a

n 分别是H(Z)分子与分母多项式的阶次，在有关MATLAB 的系统分析的文件中，分子和分母的系数被定义为向量，即

)]1(),...,2(),1([)]

1(),...,2(),1([+=+=a b n a a a a n b b b b

并要求)1(a =1,如果)1(a ≠1，则程序将自动的将其归一化为1。

1、系统的阶跃响应

调用格式为：

y=filter(b,a,x),其中x,y,a,b 都是向量。

例1 令

4

321432155075.02925.28291.30544.31001836.0007374.0011016.0007344.0001836.0)z (--------+-+-++++=z z z z z z z z H 求该系统的阶跃响应（y （n ））。实现该任务的程序如下：

clear; x=ones(100);% x(n)=1,n=1~100；

t=1:100;% t 用于后面的绘图；

b=[.001836，.007344，.011016，.007374，.001836]; % 形成向量b ；

a=[1，-3.0544，3.8291，-2.2925，.55075]; % 形成向量a ；

数字信号处理实验2

数字信号处理实验2

数字信号处理实验2

——离散系统频率响应和零极点分布

姓名：李倩

学号：

班级：通信四班

指导教师：周争

一．实验原理

离散时间系统的常系数线性差分方程：

求一个系统的频率响应:

H(e^jw)是以2pi为周期的连续周期复函数，将其表示成模和相位的形式：

H(e^jw)=|H(e^jw)|*e^(jarg[H(e^jw)])

其中|H(e^jw)|叫做振幅响应（幅度响应），频率响应的相位arg[H(e^jw)]叫做系统的相位响应。

将常系数线性差分方程的等式两边求FT,可以得到系统的频率响应与输入输出的频域关系式：

H(e^jw)=Y(e^jw)/X(e^jw)

将上式中的e^jw用z代替，即可得系统的系统函数：

H(z)=Y(z)/X(z)

H(z)= ∑h(n)*z^(-n)（n的取值从负无穷到正无穷）

将上式的分子、分母分别作因式分解，可得到LTI系统的零极点增益表达式为： H(z)=g∏(1-zr*z^(-1))/ ∏(1-pk*z^(-1))

其中g为系统的增益因子，pk(k=1,2,3,…,N)为系统的极点，zr(r=1,2,3,…,M)为系统的零点。通过系统的零极点增益表达式，可以判断一个系统的稳定性，对于一个因果的离散时间系统，若所有的极点都在单位圆内，则系统是稳定的。

二．实验内容

一个LTI离散时间系统的输入输出差分方程为

y(n)-1.6y(n-1)+1.28y(n-2)=0.5x(n)+0.1x(n-1)

(1) 编程求此系统的单位冲激响应序列，并画出其波形。

(2) 若输入序列x(n)=＆(n)+2＆(n-1)+3＆(n-2)+4＆(n-3)+5＆(n-4),编程求此系统输出序列y(n)，并画出其波形。

(3) 编程得到系统频响的幅度响应和相位响应并画图。

(4) 编程得到系统的零极点分布图，分析系统的因果性和稳定性。

数字信号处理实验报告

数字信号处理实验报告

《数字信号处理》

—实验指导

数字信号处理课程组

电子与信息工程学院

班级：

姓名：

学号：

实验序号 1 2 3 4

成绩

综合评定：

成绩：

指导教师签字：

2 实验一 典型离散信号及其MATLAB实现

一、实验目的

1． 掌握MATLAB语言的基本操作，学习基本的编程功能。

2． 掌握MATLAB产生常用离散时间信号的编程方法。

3． 掌握MATLAB计算卷积的方法。

二、实验原理

（一）MATLAB常用离散时间信号

1． 单位抽样序列:01)(n 00nn

在MATLAB中可以利用zeros()函数实现。;1)1();,1(xNzerosx

如果)(n在时间轴上延迟了k个单位，得到)(kn即：01)(kn 0nkn

2．单位阶跃序列:01)(nu 00nn

在MATLAB中可以利用ones()函数实现。);,1(Nonesx

3．正弦序列:)/2sin()(FsfnAnx

在MATLAB中:)/***2sin(*1:0faiFsnfpiAxNn

4．复正弦序列:njenx)(

在MATLAB中:)**exp(1:0nwjxNn

5．指数序列:nanx)(

在MATLAB中:naxNn.^1:0

6.y=fliplr(x)——信号的翻转；

y=square(x)——产生方波信号 3 y=sawtooth(x)——产生锯齿波信号；

y=sinc(x)——产生sinc函数信号。

（二）离散时间信号的卷积

由于系统的零状态响应是激励与系统的单位取样响应的卷积，因此卷积运算在离散时间信号处理领域被广泛应用。离散时间信号的卷积定义为

mmnhmxnhnxny)()()(*)()(