双曲线的定义及其标准方程
1、概念：如果把椭圆定义中的和改成差: 12||||2PF PF a -=或2
1||||2PF PF a -=,即:
12||||||2PF PF a -=，其中0>a 动点的轨迹会发生什么变化呢
①若21212F F a MF MF ==-，则轨迹是______________________； 若21122F F a MF MF ==-，则轨迹是________________________； ②若21212MF MF a F F -=<，则______________________；
③在1202||a F F <<条件下轨迹是存在的，我们把这时得到的轨迹叫做____________.
（1）当c a 22<时，双曲线 （2）当c a 22=时，射线 （3）当c a 22>时，无轨迹
*
2、概念形成
双曲线定义
定义：平面内到两定点21,F F 的距离的_______________等于常数（小于21F F ）的点的轨迹叫双曲线.这两个定点21,F F 叫做双曲线的焦点，两个焦点间的距离12||F F 叫做焦距. 双曲线定义中的注意点
在概念的理解中要注意： ；
（1）是平面内到两定点的距离之差的绝对值是一个非零正常数，且这个常数小于21F F . （2）当12||||2PF PF a -=时，动点的轨迹是与2F 对应的双曲线的一支，
21||||2PF PF a -=时为双曲线的另一支.
3、双曲线的标准方程的推导
可以仿照求椭圆的标准方程的做法，求双曲线的标准方程． 如图8-12建系，设c F F 221=，取过点21F F 、的直线为x 轴，线段
21F F 的中垂线为y 轴，建立直角坐标系，则)0,(F )0,(21c c F 、-，设
M （x ，y ）
）是所求轨迹上的点.
依已知条件有a MF MF 221±=-，221)(y c x MF
++=，222)(y c x MF +-=，
22)(y c x ++∴a y c x 2)(22±=+--，
移项得：22)(y c x ++22)(2y c x a +-+±=， 平方得：222)()(y c x a cx a +-=-± （*） —
再平方得：)()(2
2
2
2
2
2
2
2
c a a y a x c a -=+-，
即)()(2
2
2
2
2
2
2
2
a c a y a x a c -=--，令)0(2
2
2
>>-=b c a c b
则2
2
2
2
2
2
b a y a x b =-，即122
22=-b
y a x
综上：焦点在x 轴上双曲线的标准方程是12222=-b
y a x ①，其中)0(2
22>>+=a c b a c ，
焦点)0,(F )0,(21c c F 、-.
◆同样如果双曲线的焦点在y 轴上(图8－13)，那么，此时的双曲线的标准方程又是怎样
的呢
焦点是F1(0，－c)、F2(0，c)时，a 、b 的意义同上，那么只要将方程①的x 、y 互换，就可以得到焦点在y 轴上双曲线的标准方程是
12
222=-b
x a y ，其中)0(2
22>>+=a c b a c ，焦点),0(F ),0(21c c F 、-.
【例1】 判断下列方程是否表示双曲线，若是，求出三量c b a ,,的值
③ <
④
12422=-y x ②12
22
2=-y x ③12422-=-y x ④369422=-x y （12
32222=-x y ）
—
【例2】已知双曲线两个焦点的坐标为)0,5()0,5(21F F ，-，双曲线上一点P 到
)0,5()0,5(21F F ，-的距离之差的绝对值等于6，求双曲线标准方程
.
解：
(
【例3】 已知双曲线的焦点在y 轴上，中心在原点，且点)24,3(1-P ，)5,4
9(2P ，在此双曲线上，求双曲线的标准方程
)
(
【例3】已知双曲线
116
92
2=-y x 的右焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线上的左支上且|PF 1||PF 2|=32，求∠F 1PF 2的大小.
】
【例4】已知F 1、F 2是双曲线14
22
=-y x 的两个焦点，点P 在双曲线上且满足∠F 1PF 2 =90°，求△F 1PF 2的面积.
解：
\
练习题：
1.已知点F 1（0，-13）、F 2（0，13），动点P 到F 1与F 2的距离之差的绝对值为26，则动点P 的轨迹方程为（ ）
=0 =0(x ≤-13或x ≥13) =0(|y|≥13) D.以上都不对
2.在方程mx 2－my 2
=n 中，若mn ＜0，则方程的曲线是（ ） *
A.焦点在x 轴上的椭圆
B.焦点在x 轴上的双曲线
C.焦点在y 轴上的椭圆
D.焦点在y 轴上的双曲线
3.已知双曲线的方程为22
22b
y a x -=1,点A 、B 在双曲线的右支上，线段AB 经过双曲线的右焦
点F 2，|AB |=m ,F 1为另一焦点，则△ABF 1的周长为（ ） +2m +2m +m +4m 】
