四年级奥数：加乘原理(二)

四年级奥数：加乘原理（二）

现有红、黄、蓝三种颜色的小旗各一面，用它们挂在旗杆上作信号（顺序不同时表示的信号也不同），总共可以做出多少种不同信号？

【解析】

做出的信号可以按照挂出的小旗面数分成三类：

①只有一面旗做信号，这样做出的信号有3种；

熟练掌握加法与乘法原理，懂得用标数法、枚举法去解决问题，掌握常见的计数方法，在运用加乘原理解决综合性问题时，懂得分类讨论中结合分步分析，在分步分析中结合分类讨论；明确知道哪些是分类，哪些是分步．并了解与加、乘原理相关的常见题型：数论类问题、染色问题、图形组合和其解题的常用思路，从而达到真正的运用自如。

名师点题

例1 知识概述 ⑴加法原理是把完成一件事的方法分成几类，每一类中的任何一种方法都能完成任务，所以完成任务的不同方法数等于各类方法数之和．

⑵乘法原理是把一件事分几步完成，这几步缺一不可，所以完成任务的不同方法数等于各步方法数的乘积．

⑶在很多题目中，加法原理和乘法原理都不是单独出现的，这就需要我们能够熟练的运用好这两大原理，综合分析，正确作出分类和分步．

加法原理运用的范围：完成一件事的方法分成几类，每一类中的任何一种方法都能完成任务，这样的问题可以使用加法原理解决．我们可以简记为：“加法分类，类类独立”．

乘法原理运用的范围：这件事要分几个彼此互不影响．．．．的独立步骤．．．．来完成，这几步是完成这件任务缺一不可的．．．．．，这样的问题可以使用乘法原理解决．我们可以简记为：“乘法分步，步步相关”． ②用二面小旗做信号，由乘法原理，做出的信号有3×2=6种。

③用三面小旗做信号，由乘法原理，做出的信号有3×2×1=6种。

根据加法原理，总共可以做出3+6+6=15种不同的信号。

用1，2，3，4四个数字，请问：可组成多少个数字不重复的自然数？

【解析】

一位数：4个；

两位数：4×3=12（个）；

三位数：4×3×2=24（个）；

四位数：4×3×2×1=24（个）

共4+12+24+24=64（个）。

3、直线a，b上分别有5个点和4个点，以这些点为顶点可以画出多少个三角形？

ba

【解析】

5×6+4×10=70（个）

画三角形需要在一条线上找1个点，另一条线上找2个点，本题分为两种情况：

⑴在a线上找一个点，有5种选取法，在b线上找两个点，有4326种，根据乘法原理，一共有：5630个三角形；

⑵在b线上找一个点，有4种选取法，在a线上找两个点，有54210种，根据乘法原理，一共有：41040个三角形； 例3 例2 根据加法原理，一共可以画出：304070个三角形

【巩固拓展】

1、如图，从甲地道乙地有三条路，从乙地到丁地有三条路，从甲地到丙地有两条路，从丙地到丁地有四条路，请问，从甲地到丁地有多少种不同的走法？

【解析】

3×3+2×4=17（种）

2、甲、乙、丙三个组，甲组6人，乙组5人，丙组4人，现每组各选1人一起参加活动，一共有（ ）选法；如果三组共同推选一个代表，有（ ）种选法.

【解析】

各选1人，甲组选1人有6种方法，乙组选1人有5种，丙组有4种，所以一共有

6×5×4=120种

共同推选1人时：有6+5+4=15种

3、用0，1，2，3、4、5可以组成多少个没有重复数字的三位偶数？

【解析】

个位数字，只有0、2、4三种可能。

如果个位是0，有5×4=20（个） 如果是个位是2、4，有2×4×4=32（个）

所以，共有20+32=52（个）

（小机灵杯精选考题）

由35个单位小正方形组成的长方形中，如图所示有2个★，问包含2个★在内的由小正方形组成的长方形（含正方形）一共有几个？

【解析】

横向数：4个方块的有1个， 6个方块的有2个， 8个方块的有3个

10个方块的有3个， 12个方块的有2个，14个方块的有1个

共计：1+2+3+3+2+1=12个

纵向数层数：包含两个五角星的有1+2+2+1=6层

共计12×6=72（个）

【巩固拓展】

在下图所示的线段中，至少包含“A”和“B”中一个的线段有多少条。

A B

【解析】

包含A的线段的左端点在A的左边有2个选1个，右端点在A的右边有6个点选1人，因此包含A的线段有2×6=12条。 例1 同理包含B的有3×5=15条

同时包含A和B的有2×3=6条

所以至少包含A和B一个的线段有12+15-6=21条

如果从3本不同的语文书、4本不同的数学书、5本不同的外语书中选取2本不同学科的书阅读，那么共有多少种不同的选择？

【解析】 分三种情况：

第一种，语文书+数学书，3×4=12；

第二种，语文书+外语书，3×5=15；

第三种，数学书+外语书，4×5=20。

共12+15+20=47（种）。

【巩固拓展】

某件工作需要钳工2人和电工2人共同完成．现有钳工3人、电工3人，另有1人钳工、电工都会．从7人中挑选4人完成这项工作，共有多少种方法？

【解析】 分三种情况：

第一种，两个钳工+两个电工，3×3=9；

第二种，两个钳工+1个电工+1个钳工、电工都会的，3×3=9；

第三种，两个电工+1个钳工+1个钳工、电工都会的，3×3=9。

共9+9+9=27（种）。

某信号兵用红，黄，蓝，绿四面旗中的三面从上到下挂在旗杆上的三个位置表示信号．每次可挂一面，二面或三面，并且不同的顺序，表示不同的信号．一共可以表示出多少种不同的信号？ 例3 例2 【解析】

由于每次可挂一面、二面或三面旗子，我们可以根据旗杆上旗子的面数分三类考虑：

第三类第二类第一类

第一类，可以从四种颜色中任选一种，有4种表示法；

第二类，要分两步完成：第一步，第一面旗子可以从四种颜色中选一种，有4种选法；第二步，第二面旗子可从剩下的三种中选一种，有3种选法．根据乘法原理，共有4312种表示法；

第三类，要分三步完成：第一步，第一面旗子可以从四种颜色中选一种，有4种选法；第二步，第二面旗

子可从剩下的三种中选一种，有3种选法；第三步，第三面旗子可从剩下的两种颜色中选一种，有2种选

法．根据乘法原理，共有43224种表示法．

根据加法原理，一共可以表示出4122440种不同的信号．

【巩固拓展】

五面五种颜色的小旗，任意取出一面、两面或三面排成一行表示各种信号，问：共可以表示多少种不同的信号？

【解析】分3种情况：

⑴取出一面，有5种信号；

⑵取出两面：可以表示5420种信号；

⑶取出三面：可以表示：54360种信号；

由加法原理，一共可以表示：5206085种信号．

有两个骰子，每个骰子的六个面分别有1、2、3、4、5、6个点．随意掷这两个骰子，向上一面点数之和为偶数的情形有多少种？

【解析】 例4 方法一：要使两个骰子的点数之和为偶数，只要这两个点数的奇偶性相同，可以分为两步：

第一步第一个骰子随意掷有6种可能的点数；第二步当第一个骰子的点数确定了以后，第二个骰子的点数只能是与第一个骰子的点数相同奇偶性的3种可能的点数．

根据乘法原理，向上一面的点数之和为偶数的情形有6318（种）．

方法二：要使两个骰子点数之和为偶数，只要这两个点数的奇偶性相同，所以，可以分为两类：

第一类：两个数字同为奇数．有339（种）不同的情形．

第二类：两个数字同为偶数．类似第一类，也有339（种）不同的情形．

根据加法原理，向上一面点数之和为偶数的情形共有9918（种）．

方法三：随意掷两个骰子，总共有6636（种）不同的情形．因为两个骰子点数之和为奇数与偶数的可能性是一样的，所以，点数之和为偶数的情形有36218（种）．

【巩固拓展】

有两个一样大的骰子，每个骰子的六个面上分别标有数字1、2、3、4、5、6．将两个骰子放到桌面上，向上的一面数字之和为奇数的有多少种情形？

【解析】

要使两个数字之和为奇数，只要这两个数字的奇偶性不同，即这两个数字一个为奇数，另一个为偶数，由于放两个正方体可认为是一个一个地放．放第一个正方体时，出现奇数有三种可能，即1，3，5；放第二个正方体，出现偶数也有三种可能，由乘法原理，这时共有339种不同的情形．

例1 某条铁路线上，包括起点和终点在内原来共有7个车站，现在新增了3个车站，铁路上两站之间往返的车票不一样，那么，这样需要增加多少种不同的车票？

【解析】

1、新站为起点，旧站为终点有3×7=21张，

2、旧站为起点，新站为终点有7×3=21张，

3、起点、终点均为新站有3×2=6张，

以上共有21＋21＋6=48张 ．

如下图，八面体有12条棱，6个顶点．一只蚂蚁从顶点A出发，沿棱爬行，要求恰好经过每一个顶点一次．问共有多少种不同的走法？

FEDCBA

【解析】

走完6个顶点，有5个步骤，可分为两大类：

①第二次走C点：就是意味着从A点出发，我们要先走F，D，E，B中间的一点，再经过C点，但之后只能走D，B点，最后选择后面两点．

有412118种(从F到C的话，是不能到E的)；

②第二次不走C：有4222132种(同理，F不能到E)；

共计：83240种．

（第10届中环杯四年级初赛）

小池塘中有6片荷叶，如图所示，一只青蛙在荷叶A上，想要跳到荷叶F上，可以通过BCDE例3 例2